【创新设计】2016高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题课件 文
考点整合
1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那 么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例
关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所
影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引 进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒 成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
2 2 3 k － 3 6 k 6k2 12－2× 2 ＋k2× 2 －4× 2 ＋6 3k ＋1 3k ＋1 3k ＋1 ＝ 3k2－3 6k2 9－3× 2 ＋ 2 3k ＋1 3k ＋1
12（2k2＋1） ＝ ＝2.综上，得 k1＋k2＝2 为定值. 6（2k2＋1）
又 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 2－y1 2－y2 所以 k1＋k2＝ ＋ 3－x1 3－x2 （2－y1）（3－x2）＋（2－y2）（3－x1） ＝ （3－x1）（3－x2）
[2－k（x1－1）]（3－x2）＋[2－k（x2－1）]（3－x1） ＝ 9－3（x1＋x2）＋x1x2 12－2（x1＋x2）＋k[2x1x2－4（x1＋x2）＋6] ＝ 9－3（x1＋x2）＋x1x2
a2－b2 2 4 2 (1)解 由题意得 a ＝ ， 2＋ 2＝1， 2 a b 2 2 x y 解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为 8 ＋ 4 ＝1. (2)证明 设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2 y2 M(xM，yM).将 y＝kx＋b 代入 8 ＋ 4 ＝1 得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. x1＋x2 －2kb b 故 xM＝ ＝ 2 ，yM＝k· xM＋b＝ 2 . 2 2k ＋1 2k ＋1 1 yM 于是直线 OM 的斜率 kOM＝x ＝－2k， M 1 即 kOM· k＝－2. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.
[微题型2] 求几何量、某个参数的取值范围
x2 y2 【例 2－2】 (2015· 青岛模拟)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)经过 a b 点
3 1 M 1，2 ，其离心率为2.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线
1 l：y＝kx＋m(|k|≤2与椭圆
由对称性可知 N(x2，－y2)，定点在 x 轴上， y1＋y2 直线 AN：y－y1＝ (x－x1). x1－x2 y1（x1－x2） x1y2＋x2y1 令 y＝0 得：x＝x1－ ＝ y1＋y2 y1＋y2 2kx1x2－2k（x1＋x2） 2x1x2－2（x1＋x2） ＝ ＝ k（x1＋x2－4） x1＋x2－4 16k2－4 16k2 2－ 1＋2k 1＋2k2 ＝ ＝1， 8k2 2－4 1＋2k 故直线 AN 恒过定点(1，0).
就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的
坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.
(2) 斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方
程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围， 如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体 分析，得出相应的不等关系. (3) 面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，
(2)双曲线中的最值 x2 y2 F1、F2 分别为双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为双 a b 曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p＞0)上的任一点，F 为焦点，则有 p ①|PF|≥2； ②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
C 相交于点 A，B 两点，以
线段 OA，OB 为邻边作平行四边形 OAPB，其中顶点 P 在椭圆 C 上，O 为坐标原点，求|OP|的取值范围.
2 2 a － b 3 1 2 2 2 解 (1)由已知可得 e ＝ 2 ＝ ，所以 3a ＝4b .又点 M1，2在 a 4
解
2 2 3 (1)设 F(c，0)，由条件知c ＝ ，得 c＝ 3. 3
3 c 又a＝ ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 2 x2 2 故 E 的方程为 4 ＋y ＝1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意， 故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2). x2 2 将 y＝kx－2 代入 4 ＋y ＝1， 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当 Δ＝16(4k2－3)>0，
2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、 三角形面积的最 值等 (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1、F2 分别为椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P 为椭圆 上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|∈[b，a]； ②|PF1|∈[a－c，a＋c]； ③|PF1|· |PF2|∈[b2，a2]； ④∠F1PF2≤∠F1BF2.
(1)解
2 c 由题意知 b＝1，e＝a＝ ，得 a2＝2c2＝2a2－2b2，故 a2 2
x2 2 ＝2.故所求椭圆 C 的方程为： 2 ＋y ＝1. (2)证明 设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)， y＝k（x－2）， 2 2 2 2 2 则由x 得 (1 ＋ 2 k ) x － 8 k x ＋ 8 k －2＝0. 2 ＋y ＝1， 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 8k2－2 8k2 则 x1 ＋x2 ＝ x2 ＝ 2，x1· 2. 1＋2k 1＋2k
热点二 最值与范围问题 [微题型1] 求线段长度、三角形面积的最值
x 2 y2 【例 2－1】 (2015· 长沙模拟)已知点 A(0，－2)，椭圆 E： 2＋ 2＝ a b 3 1(a>b>0)的离心率为 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率 2 2 3 为 3 ，O 为坐标原点. (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当△OPQ 的面积 最大时，求 l 的方程.
3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立
目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：
(1) 距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和 平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线 的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆 锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点
2 8 k ± 2 4 k －3 3 2 即 k > 时，x1，2＝ . 4 4 k 2 ＋1
2 2 4 k ＋ 1· 4 k －3 2 从而|PQ|＝ k ＋1|x1－x2|＝ . 2 4k ＋1
2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ 2 . k ＋1 4 4k2－3 1 所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝ d· |PQ|＝ . 2 4k2＋1 4t 4 设 4k －3＝t，则 t>0，S△OPQ＝ 2 ＝ . 4 t ＋4 t＋ t 4 因为 t＋ t ≥4，当且仅当 t＝2，
探究提高
动直线l过定点问题，解法：设动直线方程
(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，
得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).
[微题型2] 定值的探究与证明
x2 y2 【例 1－2】 (2015· 成都模拟)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的两 个焦点分别为 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)，点 M(1，0)与椭圆短轴 的两个端点的连线相互垂直. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M(1， 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点， 设点 N(3， 2)，记直线 AN，BN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1＋k2 为定值.
2
7 即 k＝± 时等号成立，且满足 Δ>0. 2 7 7 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 2 x－2 或 y＝－ 2 x－2.
探究提高
若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、
分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元
的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，
这样便于求解此函数式的最值.
可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数
的函数关系，用函数方法求解.
热点一 定点与定值问题
[微题型1] 定点的探究与证明 x2 y2 【例 1－1】已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的短轴长为 2，离心
2 率为 ，过点 M(2，0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，O 2 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N，证明：直线 AN 恒过一定点.
从而直线 AP，AQ 的斜率之和 y1＋1 y2＋1 kx1＋2－k kx2＋2－k kAP＋kAQ＝ x ＋ x ＝ ＋ x x
1 2 1 2
Байду номын сангаас
1 x1＋x2 1 ＝2k＋(2－k)x ＋x ＝2k＋(2－k) x x 1 2 1 2
4k（k－1） ＝2k＋(2－k) ＝2k－2(k－1)＝2. 2k（k－2）
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1). x2 2 将 y＝k(x－1)代入 ＋y ＝1 化简整理，得(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2 3 －3＝0，依题意，直线 l 与椭圆 C 必相交于两点，
2 3 k －3 6k 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 . 3k ＋1 3k ＋1 2
(1)解
依题意，得 c＝ 2，所以 a2－b2＝2，
由点 M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得 b＝|OM| x2 2 ＝1，所以 a＝ 3，故椭圆 C 的方程为 3 ＋y ＝1. x＝1， 2 (2)证明 当直线 l 的斜率不存在时，由x 2 ＋ y ＝1， 3 6 解得 x＝1，y＝± 3 . 6 6 2－ 3 2＋ 3 6 6 设 A 1， ，B 1，－ ，则 k1＋k2＝ 2 ＋ 2 ＝2 为定值. 3 3
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．。
圆锥曲线中定点和定值问题的解题方法
二、定值的探究与证明问题
【说明】 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素 无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能 是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表 达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当 使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要 注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参 数问题解决．
相关知识点：
含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数
含义
定
变化的某个点或某几个点
点
把曲线系方程按照参数进行集项，使得方程对任
解法
意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点
含义
不随其他量的变化而发生数值变化的量
定
建立这个量关于其他量的关系式，最后的结果与
值 解法
其他变化的量无关
一、定点的探究与证明问题 定点问题1：直线过定点
【茂名二模】
20、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
过点 P(
3,
3) 2
，离心率为
1 2
，过直线
l
:
x
4
ห้องสมุดไป่ตู้
上一点
M
引椭圆 E 的
两条切线，切点分别是 A 、 B ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若在椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0上的任一点
N x0, y0 处的切线方程
图 17-2
(1)求抛物线方程． (2)若 O 为坐标原点，问是否存在点 M，使过点 M 的动直 线与抛物线交于 B，C(与原点不重合)两点，且以 BC 为直径的 圆恰好过坐标原点．若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请 说明理由．
圆锥曲线中的定点问题及解决方法
圆锥曲线中的定点问题及解决方法1. 引言1.1 背景介绍圆锥曲线是几何学中一个重要的概念，指的是由一个平面与一个圆锥体相交而得到的曲线。
在数学中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
这些曲线在几何学和代数学中有着广泛的应用，涉及到许多重要的定理和性质。
圆锥曲线中的定点问题是指关于曲线上或曲线与其他几何图形的交点位置和性质的问题。
这些问题在实际应用中具有重要意义，例如在天文学中描述行星轨道的形状，或在工程学中设计湖面上的浮标位置等。
研究圆锥曲线中的定点问题不仅可以加深对这些曲线的理解，更可以拓展数学知识的应用范围。
通过研究不同的解决方法，可以进一步提高解决问题的能力和技巧，为数学领域的发展贡献力量。
深入探讨圆锥曲线中的定点问题具有重要的研究意义和价值。
1.2 问题提出圆锥曲线中的定点问题是一个重要而复杂的数学问题，其研究有着深远的理论和应用意义。
在圆锥曲线中，定点问题是指在已知曲线的情况下，找到曲线上满足一定条件的点的位置。
这种问题涉及到几何、代数和分析等多个数学领域，需要综合运用不同的数学方法来求解。
定点问题在圆锥曲线中具有广泛的实际应用。
比如在工程领域中，定点问题可以帮助我们确定某个位置的几何特性，从而设计出更加精确的结构。
在物理学中，定点问题可以帮助我们分析物体的运动轨迹和速度方向。
在计算机图形学和机器人领域中，定点问题也有着重要的应用价值。
研究圆锥曲线中的定点问题不仅有助于深化数学理论，还能推动相关领域的发展和创新。
在本文中，我们将介绍不同的解决方法来解决圆锥曲线中的定点问题，探讨其适用场景和未来研究方向，以期为相关领域的研究工作提供一定的参考和启发。
1.3 研究意义在圆锥曲线中，定点问题具有重要的研究意义。
通过对定点问题的研究，我们可以深入理解圆锥曲线的性质和特点，进一步探索其数学规律和几何意义。
定点是曲线上的固定点，对于圆锥曲线而言，定点的位置和性质对曲线的形状和特征具有决定性影响。
圆锥曲线中的定点、定值问题-高中数学总复习课件
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
2
代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
2
2
2
3
2
2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)
圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB 为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆22:14x C y +=，F 为其右焦点，直线()0:k y x m l m k +<=与椭圆交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，点,A B 在l 上，且满足,,PA PF QB QF OA OB ===.(点,,,A P Q B 从上到下依次排列)(I )试用1x 表示PF ：(II )证明：原点O 到直线l 的距离为定值.2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD 为定值．4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求ⅠFBM 的面积；(2) Ⅰ记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值；5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0).设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q .一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
圆锥曲线中的定点,定值问题
圆锥曲线中的定点，定值问题天台中学 张丽君教学目标：（1）知识目标：以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）能力目标：培养学生分析能力，逻辑推理能力，运算能力；（3）情感目标：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学重点与难点：（1）重点：探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）难点：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学内容：一．解读高考高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：（1）以解答题的形式考查，以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或多个参数。
（2）以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与椭圆，抛物线的位置关系，在一元二次方程，函数，向量，数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力，计算能力。
二．热身训练练习1. 已知A,B 分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，对于椭圆C 上异于A,B 的点P ，则=⋅PB PA k k （ C ）A. 22a bB. 22b aC. 22a b -D. 22ba - 分析：由答案的唯一性，P 取特殊点短轴端点时即可快速求得答案。
变式 （1）若椭圆上的点 A,B 关于原点O 对称； ( C )（2） 椭圆改为双曲线12222=-by a x 。
（ P 趋向无穷远处 ，即可求得答案为 A )练习2. 已知直线L 与抛物线)0(22>=p px y 有异于原点O 的两个不同的交点A, B.若=⋅OB OA k k -1，则直线L 必过定点——分析：由对称性知，定点必为X 轴上一点，再取L 垂直X 轴时的位置，解得A(2p,2p),故定点为(2p,0)。
高考数学(理科)新精准大二轮：专题五 第三讲 第2课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题
1．(2019·山西太原模拟)已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l 经过一个定点．解析：(1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k2，Δ＝(2km －4)2－4m 2k 2＝16(1－km )>0.∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5， ∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0，则m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)，∴直线l 必经过定点(5,0)．2．(2019·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解析：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13， 又a 2－c 2＝b 2，∴a ＝3，b ＝22，c ＝1.∴椭圆方程为：x 29＋y 28＝1. (2)由(1)，可知A (－3,0)，B (3,0)，F 1(－1,0)，据题意，F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆的另一交点为M ′，设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)，∵F 1M ∥F 2N ，根据对称性，得N (－x 2，－y 2)，联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72，y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.∵x 1>x 2，∴x 1＝－37，x 2＝－32， ∵k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469， k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263. ∴3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎫－263＝0， 即3k 1＋2k 2的值为0.3．(2019·山东济宁模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点，且|MF |＝5.(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，不过原点的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点Q ，过点A ，B 分别作抛物线E 的切线，与x 轴分别相交于C ，D 两点．判断直线QC 与直线BD 是否平行？直线QC 与直线QD 是否垂直？并说明理由．解析：(1)依题意，设点M (t ，t )(t >0)．由|MF |＝5，得t ＋p 2＝5.① 又点M 在抛物线E 上，则t 2＝2pt (t >0)，即t ＝2p ，②联立①②，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知抛物线E ：x 2＝4y ，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)，则Q (0，b )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 由x 2＝4y 得y ＝14x 2，从而y ′＝12x ， 所以过点A (x 1，y 1)的切线方程为y －14x 21＝x 12(x －x 1)， 令y ＝0，得C ⎝⎛⎭⎫x 12，0，同理可得D ⎝⎛⎭⎫x 22，0， 所以k QC ＝b －00－x 12＝－2b x 1＝－－x 1x 22x 1＝x 22， k BD ＝y 2x 2－x 22＝14x 22x 22＝x 22，所以QC ∥BD .若QC ⊥QD ， 则QC →·QD →＝x 12·x 22＋(－b )·(－b )＝x 1x 24＋b 2＝b 2－b ＝0， 解得b ＝1(b ＝0舍去)，所以当Q 为焦点F 时，b ＝1，此时QC ⊥QD ；当Q 不为焦点F 时，QC 与QD 不垂直．4．(2019·上海模拟)已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d (P )＝|PF ||FQ |. (1)当P ⎝⎛⎭⎫－1，－83时，求d (P )； (2)证明：存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a ；(3)P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d (P 1)＋d (P 3)与2d (P 2)的关系．解析：(1)抛物线方程y 2＝4x 的焦点F (1,0)，P ⎝⎛⎭⎫－1，－83， k PF ＝832＝43，PF 的方程为y ＝43(x －1)，代入抛物线的方程，解得x Q ＝14， 抛物线的准线方程为x ＝－1，可得|PF |＝22＋649＝103， |QF |＝14＋1＝54，d (P )＝|PF ||QF |＝83. (2)证明：当P (－1,0)时，a ＝2d (P )－|PF |＝2×2－2＝2，设P (－1，y P )，不妨设y P >0，PF ：x ＝my ＋1，则my P ＝－2，联立x ＝my ＋1和y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，y Q ＝4m ＋16m 2＋162＝2m ＋21＋m 2，2d (P )－|PF |＝2y P y Q －1＋m 2y P ＝2·－2m (2m ＋21＋m 2)＋21＋m 2m ＝－2·1＋m 2－m m ＋21＋m 2m＝2， 则存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a .(3)设P 1(－1，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(－1，y 3)，则2[d (P 1)＋d (P 3)]－4d (P 2)＝|P 1F |＋|P 3F |－2|P 2F |＝4＋y 21＋4＋y 23－24＋y 22＝4＋y 21＋4＋y 23－2⎝⎛⎭⎫y 1＋y 322＋4＝4＋y 21＋4＋y 23－(y 1＋y 3)2＋16，由(4＋y 21＋4＋y 23)2－[(y 1＋y 3)2＋16]＝24＋y 214＋y 23－2y 1y 3－8， (4＋y 21)(4＋y 23)－(y 1y 3＋4)2＝4(y 21＋y 23)－8y 1y 3＝4(y 1－y 3)2>0，则d (P 1)＋d (P 3)>2d (P 2)．。
《圆锥曲线中定点与定值问题)教学设计
则 ，联立 ，得
，
，代入上式，得
，
不妨设 ，上式化为
因为定点与 的变化无关，所以 ，即
直线 恒过点 ，
经检验，当直线 的斜率为 时，结论也成立
综上，直线 横过定点
进一步提问：这个定点能否通过分析，提前确定下来呢？
解法2：
根据椭圆的对称性，再结合几何直观感受，猜想直线很可能过 轴上一定点.
5、（2017奉贤一模20）过双曲线 的右支上的一点 作一直线 与两渐近线交于 、 两点，其中 是 的中点.求证： 是一个定值．
6、（2017青浦一模19）如图， 、 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，且焦距为 ，动弦 平行于 轴，且 ；
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 是椭圆 上异于点 、 的任意一点，且直线 、 分别与 轴交于点 、 ，若 、 的斜率分别为 、 ，求证： 是定值；
在直线 方程中，令 ，得
将 代入上式，
化简得
所以，直线 横过定点
深入分析解题过程，与学生一起归纳定点问题的解决策略：
（1）找到变化的根源，探究这一变化是由哪些量的变化引起的；进而引进参变量，根据题意建立这些参变量与已知量之间的关系；要使参变量的变化对建立的关系没有影响，其系数或整个代数结构就应满足一定的条件，而恰恰是这些条件决定了我们要探究的定点，这是解决定点问题的基本思路。
（3）过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆M于 两点，且 ，求证：直线 恒过一个定点．
4、（2017虹口一模20）椭圆 （ ）过点 ，且右焦点为 ，过 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，设点 ，记 、 的斜率分别为 和 ；
（1）求椭圆 的方程；
（2）探讨 是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出 的取值范围；
圆锥曲线中的定点、定值问题专题
(2) 设 P(x，y)，R(a，b)，则(x－4)2＋(y－2)2＝9，即 x2＋y2＝8x＋4y－11. 又 PQ2＝x2＋y2－1，PR2＝(x－a)2＋(y－b)2＝x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2， 故 PQ2＝8x＋4y－12，PR2＝(8－2a)x＋(4－2b)y＋a2＋b2－11.
综上，存在点 R(2,1)或 R25，15满足题意．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝1＋8k42k2，x1x2＝41k＋2－4k42. 又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点，所以点 M(2,0)． 由题意可知直线 AM 的方程为 y＝x1y－1 2(x－2)，故点 P0，－x12－y12. 直线 BM 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)，故点 Q0，－x22－y22. 若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N(x0,0)，则等价于P→N·Q→N＝0 恒成立． 又因为P→N＝x0，x12－y12，Q→N＝x0，x22－y22， 所以P→N·Q→N＝x20＋x12－y12·x22－y22＝x20＋x1－42y1yx22－2＝0 恒成立． 又因为(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝41k＋2－4k42－21＋8k42k2＋4＝1＋4k42k2， y1y2＝k(x1－1)k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝k241k＋2－4k42－1＋8k42k2＋1＝1－＋34kk22，
－12k2 所以 x20＋x1－42y1yx22－2＝x20＋1＋4k42k2＝x20－3＝0，解得 x0＝± 3.
1＋4k2
故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点(± 3，0)．
小结： 问题1：圆锥曲线问题中，求（证明）定点的方法，步骤分别是什么？ 问题2：圆锥曲线问题中，求（证明）定值的方法，步骤分别是什么？