九年级数学竞赛题：代数最值
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解
小升初时，初中数学竞赛开始流行起来。
学校里的比赛场面异常火爆，参赛者们竞争激烈，甚至出现了成绩大涨，但是也有一种比赛让学生们摸不着头脑，就是解决代数式求值的比赛。
许多学生都认为，解决代数式求值的比赛是最难的，因为代数式求值的计算方式比较复杂，还需要学生们掌握一定的数学常识。
他们很是头疼，参加了几次竞赛，但总是没有解决出一道代数式求值的题目。
这时，在一次竞赛中出现了一个学生，他完美地解决了这道题，使全班学生都被他的表现惊呆了，因为他与其他学生很明显的不同，他的解答正确率极高，他到底是怎么做到的？
原来，这位少年把他的注意力放在微积分和三角学领域，做了大量的训练，他在认真学习的同时，还把这些技能应用到了代数式求值中，他知道微积分和三角学的知识可以帮助他把复杂的计算分解，从而解决问题。
他可以将复杂的求值变为一系列简单的计算步骤，就像积木一样，一步一步搭建起一道题，慢慢解决起来。
然而，这种做法也并非轻而易举，而是要求学生具有数学常识和深厚的数学基础，只有这样才能把繁杂复杂的题目解决出来。
这位少年的表现给这些参赛的学生提供了一个很好的启发，他们也逐渐开始把注意力放在其他数学领域，并加强自身的数学素养，慢慢地，他们也开始取得优异成绩。
经过一段时间的努力，这些学生终于表现出色，他们不仅学会了解决代数式求值的答案，还学会了如何应用微积分和三角学的知识来解决更多复杂的问题，取得丰硕的成果。
可以说，这位少年以及他的同学们，他们通过解决代数式求值而对这个学科产生了更深的理解，实现了从无知到有知的进步，他们的努力让学校的数学水平达到了新的高度，而这位少年的英勇无畏，给了学生们更坚定的信心，让他们更加热爱数学。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]
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最值问题求法例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（）A．27 B、 18 C、15 D、 12例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、 1B、 2C、 3D、 4例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。
例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S= 2a－3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。
（二）、直接运用a 2＋b 2≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。
例题（6）、若X > 0，则函数Y =3X ＋31X＋21++XX 的最小值。
例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2 =316，求a 的最小值与最大值。
（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。
例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值 ；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。
例题（9）、求函数Y = 12156322++++X X X X 的最小值。
（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。
例题（10）、a b c d e是一个五位自然数，其中a ，b ，c ，d ，e 为阿拉伯数字，且a<b<c<d ,则│a-b │＋│b-c │＋│c －d │＋│d －e │的最大值是 ———。
人教版 九年级数学 竞赛专题：代数最值问题(含答案)
人教版 九年级数学 竞赛专题：代数最值问题（含答案）【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2019，求k 的最大可能值．（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ． 4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( ) 5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E.27．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）A. 0B. 4C. 8D. 105．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）A. 5B.423 C. 427 D. 4356．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．参考答案例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当x =43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2019，即120192k(k )+≤ k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故cA 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b+1，从而a +c ，则211,12>≥，于是a >4，即a ≥5，故b≥b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3． 提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB ，C (2125,24k k k -++-），ABC S =k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0.75（万元），3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1． 故 当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。
数学竞赛中的代数式求值经典问题
数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.假设1,那么111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值是( ) A ．1． B ．0． C ．-1． D ．-2．解析：1，那么a ，b ，c 均不为0．选A ．2．假设x 33=1000，且x 22496，那么(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)． 解析：由于x 33=1000，且x 22496，因此要把(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)分组、凑项表示为含x 33及x 22的形式，以便代入求值，为此有(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=19923．假设m ＋n －p ＝0，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m p p m n p n m 111111－－－＋－的值等于．解析：3-，4．假设2，x 22=4，那么x 19921992的值是 ( )A ．4B ．19922C ．21992D ．41992解析：由2 ①平方得x 2-22=4 ②又x 22=4 ③所以x ，y 中至少有一个为0，但x 22=4．因此，x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x 19921992=01992+(±2)1992=21992，选C ．5．在等式2中,当1时2,当1时20,那么9b 2．解析：以12代入2得2 ①以120代入2得20 ②①-②,222，所以11．因此9．于是9b 2()+9b 2=(-11)×(9)+9×112=990．6．a ＋b ＝－3，a 2b ＋2＝－30，那么a 2－＋b 2＋11＝50．7．a a 1+2，那么441a a += 2 ； 441a a -= 0 . 8．如果m －m 1＝－3，那么m 3－31m ＝． 解析：36-，提示：32232211111()(1)()[()3] (3)[(3)3]36m m m m m m m m m m-=-++=--+=-⨯-+= 9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为0b a, 的形式,那么a 19921993.解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是1．于是1．所以，a19921993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．10．如图6，D点在△的直角边上上，且2，3，假设，，那么解析:勾股定理：m222=522n222=322 可得：m2 - n2 =16 11．7，22=49，33=133，44=406，试求1995()+617( )的值.2分析：7，22=49，33=133，44=406．形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49，…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同．事实上，平方后必出现a2x2及b2y2，而22中，a，b都不是平方，这一特点已经说明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最根本的方式去做．解：显然2=492，2=4923=492，3=492y相加得13333=49()()即49()-71337()19 ①同理3=1333，3=1333 4=1333，4=1333y相加得40644=133()(22)即133()-4940619()-758 ②由①、②联立，设，得71919758,解得，即，由7，7得2=7，2=7相加得4922=7()()所以 1.5()=49-7×∴21此时即可求得-9-178.5=4800说明：此题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力及观察综合能力，并且计算也要很细心，因此此题属于对学生数学素质综合检查的题目．此题改编自下面的问题“8，22=22，33=62，44=178，试求1995()+6之值〞．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a及b两数之与等于多少？你能独立地求出之值吗？(答3)题型二、多项式的带余除法1．设m2＋m－1＝0，那么m3＋2m2＋1997＝．解析：原式＝m3＋m2－m＋m2＋m－1＋1998＝m〔m2＋m－1〕＋〔m2＋m－1〕＋1998＝〔m2＋m－1〕〔m＋1〕＋1998由于m2＋m－1＝0，∴原式＝1998．2.如果x2－1=0，那么x3+2x2+3= 4 ．3.假设=+++=-+1855,013232x x x x x 则204．如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=18。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
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的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
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九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
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九年级数学竞赛题：代数最值
数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：
1．利用配方法求最值；
2．运用不等式或不等分析法求最值；
3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
4．构造二次函数模型求最值；
5．构造图形求最值．
例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？
（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．
例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 、
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．
例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a
（1） 求a 、b 、c 中最大者的最小值；
（2） 求||||||c b a ++的最小值．
例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书
包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？
（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？
（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．
例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线64
12+-=x y 交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为2
3321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为
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米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．
2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,12
22222的最小值为__________．
3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：
（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；
（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？
4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
5．某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．
6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．
7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．
8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．
9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22
都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．
10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．
11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．
12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．
（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？
（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？
（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？
13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．
（1）若抛物线c bx x y ++=23
1经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；
（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。