高中数学《椭圆的标准方程》最新公开课PPT
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《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆的标准方程精品课件(公开课)
实战演练
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
x2 y2 1 16 =4，b=1，焦点在 x 轴上； 2 2 y x 2 1 =4，b=1，焦点在坐标轴上； y 2 1或 x 16 16
(1) a (2) a (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）.
一一映 射关系
曲线上 一点坐标满足的等量关系
曲线方程
充要条件
(二) 椭圆方程的推导：（坐标法）
椭圆方程的建立—— 步骤一：建立直角坐标系
步骤二：设动点坐标 步骤三：限制条件，列等式 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程
学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
M
x2 y 2 2 1 a b 0 2 a b 根据题意有 2a 3，2c 2.4 即 a 1.5， c 1.2
F1
O
F2
x
b2 a 2 c 2 1.52 1.22 0.81 x2 y2 1 因此，这个椭圆的标准方程为 2.25 0.81
玩转 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
x c 2 y 2 为表述方便记：
则 m +n= 2a 思考 m - n= 2c x
m
?
x c 2 y 2
① ②
n
a
c 2c ① + ② 得 2m=2a+ x 得m=a+ a x 两边平方得 a
严谨意识求简意识求美意识三个意识活动规则1抢答时每次限答一题答完报组号2答对一空得其分值答错扣一半分值3答题限时2分钟学习小组大pk14922yx111271622yx20505?3030?116722yx在椭圆中ab3焦点位于轴上焦点坐标是
椭圆及其标准方程：课件一(18张PPT)003
椭圆及其标准方程
开普勒的行星定律
火星
太阳
开普勒的发现，为圆锥曲线的研究加 添上一层实际的意义。
取一条定长的细绳，把它的两端 探 究 都固定在图板的同一点处，套上铅笔， ？ 拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画
出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段
距离，分别固定在图板的两点处（如图），套 上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是 什么曲线？
2
3 2
)
2
(
5 2
2) (
2
3 2
) 2 10
2
所以
a
10 .
2 2 2
又因为 c 2 ,所以 b a c 10 4 6 . 因此, 所求椭圆的标准方程为
x
2
y
2
1.
10
6
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 ( , ) , 求它的标准方程.
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。
(3)因|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=3，故点M的轨迹不成图形。
练习1：
（1）到两定点F1（－2,0）和F2（2,0）的距 离之和为4的点M的轨迹是（ B ）
• 椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对 （2）命题甲：动点P到两定点A、B的距离之 和 PA PB 2 a ( a 0 , 且 a 为常数 ) ； 命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题 乙的（ B ）条件 A.充分不必要 C.充分必要 B.必要不充分 D.既不充分也不必要
联立①②,
（2）设出椭圆的标准方程； 2 2 解得 a 10 ， b 6 （3）用待定系数法确定a、b的值，
开普勒的行星定律
火星
太阳
开普勒的发现，为圆锥曲线的研究加 添上一层实际的意义。
取一条定长的细绳，把它的两端 探 究 都固定在图板的同一点处，套上铅笔， ？ 拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画
出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段
距离，分别固定在图板的两点处（如图），套 上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是 什么曲线？
2
3 2
)
2
(
5 2
2) (
2
3 2
) 2 10
2
所以
a
10 .
2 2 2
又因为 c 2 ,所以 b a c 10 4 6 . 因此, 所求椭圆的标准方程为
x
2
y
2
1.
10
6
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 ( , ) , 求它的标准方程.
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。
(3)因|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=3，故点M的轨迹不成图形。
练习1：
（1）到两定点F1（－2,0）和F2（2,0）的距 离之和为4的点M的轨迹是（ B ）
• 椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对 （2）命题甲：动点P到两定点A、B的距离之 和 PA PB 2 a ( a 0 , 且 a 为常数 ) ； 命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题 乙的（ B ）条件 A.充分不必要 C.充分必要 B.必要不充分 D.既不充分也不必要
联立①②,
（2）设出椭圆的标准方程； 2 2 解得 a 10 ， b 6 （3）用待定系数法确定a、b的值，
高中数学选修2《椭圆及其标准方程》课件
∴|AB|+|AC|=12>|BC|,
∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆 (除去与x轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得
a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是
(y≠0).
x2 y2 1 36 20
定义法
练习：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、 AB、CB的长成等差数列，则点C的 轨迹方程是___x_2/_4_+y_2_/3_=_1___.
y2
1
10 6
课堂练习2：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x2 (1)
y2
1
25 16
(2) 3x2 2 y 2 1
x2
y2
(3
x2 m2
y2 m2 1
1
(4)9x2 25 y 2 225 0
? (6) x2 y2 1 24 k 16 k
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
Y
M (x,y)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面
分析二：设方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)
x2/15+y2/5=1
• (2)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点 (3,0)的椭圆的标准方程。
椭圆的定义与标准方程(公开课)课件
2 2 2 2
（3）用待定系数法确定a、b的值， 又因为c = 2,所以b = a - c =10 - 4 = 6.
2 2 2
写出椭圆的标准方程. 因此，所求椭圆的标准方程为 x y + =1. 10 6
2 2 2 2
1 1 1 变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭圆的标准方程.
2 2 2 2 2 2
？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
x y 例3.若 + = 1,表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m,n满足什么条件，并指出焦点坐标.
2 2
x y 解：若 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m > n > 0, 且c = m - n,
2 2
所以，焦点坐标为( m - n,0),(- m - n,0).
王新敞
奎屯 新疆
则有
5 3 2 ( ) ( )2 2 2 1 n m ( 3) 2 ( 5 ) 2 1 n m
，解得 m 6, n 10
所以，所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 1 6 10
例4.在圆x + y = 4上任取一个点P，过点P作
2 2
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
（3）用待定系数法确定a、b的值， 又因为c = 2,所以b = a - c =10 - 4 = 6.
2 2 2
写出椭圆的标准方程. 因此，所求椭圆的标准方程为 x y + =1. 10 6
2 2 2 2
1 1 1 变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭圆的标准方程.
2 2 2 2 2 2
？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
x y 例3.若 + = 1,表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m,n满足什么条件，并指出焦点坐标.
2 2
x y 解：若 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m > n > 0, 且c = m - n,
2 2
所以，焦点坐标为( m - n,0),(- m - n,0).
王新敞
奎屯 新疆
则有
5 3 2 ( ) ( )2 2 2 1 n m ( 3) 2 ( 5 ) 2 1 n m
，解得 m 6, n 10
所以，所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 1 6 10
例4.在圆x + y = 4上任取一个点P，过点P作
2 2
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
人教A版高二数学《椭圆及其标准方程》课件
y
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
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定
义
MF1+MF2=2a
(2a>2c>0)
y
图 形
方 焦 程 点
F1
y
M
F2 x F2
M
o
o
F1
x
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
(a c 0, a b 0)
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的是焦点在坐标轴 上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方 和，每一项的分子是 x2、y2，分母是一个正数。 右边是常数1. 不同点：焦点在x轴的椭圆x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆y2项分母较大.
例 题、 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（5 3 2,0）,（2,0），并且经过点 ，求它的标准方程。 ( , ) 2 2
焦点在y轴：
2
2
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
y
F2
M
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
2
o
F1
2
x
2 2
Байду номын сангаас
( y c ) x ( y c ) x 2a 思考： 说明: ⑴椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0； ⑴椭圆的标准方程有什么特点？ ⑵a,b,c的关系始终满足a2=b2+c2； ⑵如何确定椭圆焦点所在位置？
x
( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
方案一
(对称、“简洁”)
y
F2 M
O
x F1
方案二
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
y
椭圆的标准方程 焦点在x轴：
M F2
F1
o
x
x y 2 1 a b 0 2 a b
椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆. P 定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 说明三点: F2 F1 1、”平面上”这一个条件不可 少 2.; 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记 为2a；两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即 F1F2＝2c. 3、 2a> F1F2 若2a=F1F2轨迹是什么呢？ 轨迹是一条线段 轨迹不存在 若2a<F1F2轨迹是什么呢？
椭圆及其标准方程(一)
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中 这些椭圆形的物件呢？
椭圆方程推导过程
求曲线方程的一般步骤是什么？ 建系、设点 列式 化简 检验
在建立坐标系时应充分利用题中已有的定点、定 直线、中点、垂直、垂直平分线等条件。
y y
y
y M
F1
O
O
O
O F2
xx x