3。4 群的同构定理
群的同构定理
群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。
对于群的研究，同构是一个重要的概念。
同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。
在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。
一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。
若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。
同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。
即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。
2. 同构保持群的运算结构。
若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。
3. 同构保持单位元。
若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。
4. 同构保持逆元。
若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。
二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。
1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。
对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。
则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。
2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。
三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。
以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。
2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。
S3,S4的自同态和自同构(近世代数)
题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名：学号：指导教师：时间： 2012年6月17日摘要本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。
关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。
一、S4和S4的子群：假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A与A同态。
假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算 和 来说，A与A同构。
S3={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}，S4={(1)，(12),(34),(13),(24)，（14），(23)，(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.其中,在S3里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。
在S4里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。
S 3的子群有H1={（1）}，H2={（1），（12）}，H3={（1），（13）}，H4={（1），（23）} ，H5={（1），（123），（132）}，H 6=S3。
群同态基本定理与同构定理
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
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目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。
数学同构知识点总结
数学同构知识点总结一、集合的同构1、定义集合的同构是指两个集合之间存在一个一一对应的关系，使得两个集合具有相似的结构和性质。
若存在一个双射函数f:A→B，则集合A与集合B同构，记为A≅B。
2、同构的性质（1）同构是一种等价关系。
（2）同构具有传递性，即若A≅B，B≅C，则A≅C。
（3）同构保持集合的基本运算，即若A≅B，则对于A中的任意元素a和b，有f(a∪b)=f(a)∪f(b)和f(a∩b)=f(a)∩f(b)。
3、例题（1）已知集合A={1,2,3}，B={a,b,c}，问A是否同构于B？解：由于A与B的元素个数相同，且可以建立双射关系1↔a，2↔b，3↔c，因此A与B 同构。
（2）已知集合A={1,2,3}，B={1,4,9}，问A是否同构于B？解：由于A与B的元素个数相同，但是无法建立双射关系，因此A与B不同构。
二、群的同构1、定义群的同构是指给定两个群G和H，若存在一个双射的函数f:G→H，并且满足对于任意的g1、g2∈G，有f(g1∗g2)=f(g1)∗f(g2)，则称G和H同构，记为G≅H。
2、同构的性质（1）同构是一种等价关系。
（2）同构保持群的结构和性质，即若G≅H，且G为Abel群，则H也为Abel群。
3、例题（1）已知群G={1,−1,i,−i}，由乘法构成的乘法群，问G与一个已知的群H={1,−1,1,−1}，由乘法构成的乘法群是否同构。
解：由于G与H的元素个数相同，且可以建立双射关系1↔1，−1↔−1，i↔1，−i↔−1，因此G与H同构。
（2）已知群G={1,−1,i,−i}，由乘法构成的乘法群，问G与一个已知的群H={1,−1,i,−i}，由加法构成的加法群是否同构。
解：由于G与H的元素个数相同，但是无法建立双射关系，因此G与H不同构。
三、环的同构1、定义环的同构是指给定两个环R和S，若存在一个双射的函数f:R→S，并且满足对于任意的r1、r2∈R，有f(r1+r2)=f(r1)+f(r2)和f(r1∗r2)=f(r1)∗f(r2)，则称R和S同构，记为R≅S。
第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G， 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三 循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群， 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广 交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群 也是交换群.
ϕ
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
引理 设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ， 则
群论中的群的同构和同构定理
群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质、结构和变换。
群的同构在群论中扮演着重要的角色，可以帮助我们发现不同群之间的相似性，并且提供了一种分类不同群的方法。
同构定理则是群论中的一项重要成果，它不仅提供了一种判断群是否同构的方法，还为我们分析群之间的关系提供了便利。
首先，我们来了解一下群的同构。
群的同构是指两个群之间存在一个双射映射，该映射既保持群运算的性质，也保持了群元素间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足以下条件：（1）f(x * y) = f(x) * f(y)，对任意x，y∈G成立；（2）f是双射（即一一映射和满射）；那么我们可以说G和H是同构的，记作G≅H。
同构的映射f在保持群运算的性质的同时，也保持了群元素之间的关系。
换句话说，两个同构群中的元素在运算上是相同的，在群的性质和结构上也是相似的。
例如，我们可以通过一个同构映射将整数加法群（Z，+）与自然数乘法群（N，*）建立起一一对应的关系，从而发现它们之间的相似性和对应关系。
而同构定理则进一步帮助我们判断群是否同构，以及刻画群之间的关系。
同构定理包括两个重要的定理，即第一同构定理和第二同构定理。
第一同构定理（同构基本定理）指出了任何一个群G和它的一个正规子群N的商群G/N之间存在一个同构关系。
具体来说，如果N是G的一个正规子群，那么存在一个同构映射f：G/N→im(f)，其中im(f)是映射f的像，满足f(gN) = f(g)，对任意g∈G成立。
第一同构定理不仅帮助我们理解了群的结构中正规子群的作用，也为判断群是否同构提供了一个重要的工具。
第二同构定理（同构定理）则是对第一同构定理的进一步应用和拓展。
它描述了两个群的商群之间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，N1和N2分别是G和H的正规子群，并且存在一个同构映射f：G→H，那么G/N1和H/N2之间也存在一个同构的关系。
第二同构定理进一步说明了群的正规子群的作用，以及同构映射对群之间的关系的保持性。
群同态基本定理与同构定理
群论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有某种性质的 元素的集合。群同态基本定理和同构定理是群论中的两个基 础概念，它们为研究群的结构和性质提供了有力的工具。
应用广泛
除了在代数结构中的应用外，群同态基本定理和同构定理在 拓扑学、物理学等各个领域也有广泛的应用。例如，在量子 力学中，它们被用来描述量子态的演化。
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群同态基本定理的证明方法
证明方法通常采用构造法，即通过构造一个 具体的映射函数来实现同态映射，并证明这 个映射函数保持了群的运算律。
在证明过程中，通常需要使用到群的定义和 性质，以及一些重要的引理和定理。
02
同构定理
同构定理的内容
定义
如果存在一个从集合A到集合B的映射，该映射保持集合A中的元素之间的加 法运算，则称A与B同构。
对群同态基本定理与同构定理的展望
进一步研究与应用
群同态基本定理和同构定理是群论中的经 典理论，对于它们的进一步研究可以促进 我们对群论的理解。同时，这两个定理在 许多其他数学领域中也有着广泛的应用， 例如代数学、拓扑学等。
推广与扩展
目前，群论中的许多概念和定理已经推广 到了更广泛的范围，例如量子群、李群等 。未来，我们可以进一步探索群同态基本 定理和同构定理在这些新领域中的表现和 作用。
04
举例说明群同态基本定理与同构定理的应用Biblioteka 举例说明群同态基本定理的应用
01
群同态基本定理是群论中一个重要的定理，它表明任何两个群之间的同态映射 都可以扩展到从这两个群的陪集的并集上的全映射。这个定理在许多数学领域 中都有应用，例如代数学、拓扑学等。
02
1. 在代数学中的应用：群同态基本定理在代数学中被广泛应用。例如，在模论 中，该定理可以用来证明一些重要的结论，如“任何两个模之间的同态映射都 可以扩展到从它们的张量积上的全映射”。
群同态基本定理与同构定理
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及 群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定 理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本 的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关 键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。 这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本 定理。它们对于理解群的结构和性质具有重 要的意义。
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限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02
从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之 间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要 引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构， 包括环、域、模等。
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§3.4 群的同构定理
同态基本定理：设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则
ker G
G
ϕ
≅ 。
用图表示：
将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。
定理1 (第一同构定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ϕ⊆ ，记()N N
ϕ=，则
G G
N N
≅，或
()
()G G
N
N ϕϕ≅。
当ker N ϕ=时，{}()N e ϕ=，{}
G G
G
e N =≅，第一同构定理退化
成同态基本定理
第一同构定理也可以用图表示： 证明 首先，由N G 有()N N G
ϕ= 。
作映射：
:G G
N
N
τ→， ()()xN x N τϕ=，G xN N
∀∈。
以下验证τ是G N 到G
N
的一个同构映射。
（1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是
11
()()()()a b a b N N
ϕϕϕϕ--=∈=，从而()()a N
b N
ϕϕ=，
即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G
N
的一个映射。
（2）是满射：()G
aN
a G N
∀∈∈，因为ϕ
是满射，所以存在
a G
∈，使得()a a ϕ=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=，
即是满射。
（3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N
b N
ϕϕ=，从而
1
1
()()()a b a b N
ϕϕϕ--=∈。
但ϕ是满同态且()N N
ϕ=
，所以
c N
∃∈，使得1
1
1
1
1
()()()K er a
b c a b c e a bc ϕϕϕϕ
-----=⇒⋅=⇒∈。
于是由已知条件ker N ϕ⊆得111
1
1
a bc N a
b a bc
c N
-----∈⇒=⋅∈，
从而aN
bN
=，即是单射。
（4）又由于
()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττϕϕϕϕϕττ⋅====⋅=，
所以τ是G N 到G
N
的一个同态映射。
综上所述，σ是G N 到G N 的一个同构。
所以G G
N
N
≅ 。
推论1. 设,H
G N G
且N
H
⊆，则
G G N
H H
N
≅。
证明 取自然同态:G G N ϕ→，()a aN ϕ=，其核K er N
ϕ
=。
在第一同构定理中取G G N =，取N 为这里的H ，并注意
()H
H N
ϕ=，由第一同构定理得
G G N
H H
N
≅。
例1 设,H
G K G
，证明
G G H H K H K
H
≅。
证明 由,H
G K G H K G
⇒ 。
又显然H
H K
，直接由推论得
G G H
H K H K
H
≅。
注意：交换,H K 的位置也可以得 G G K H K H K
K
≅。
定理2 (第二同构定理) 设G 是群，H
G
≤，N G ，则
H N H
，且 ()HN
H
N
H N ≅ 。
第二同构定理也可以用图表示： 证明：由H G
≤，N G 有HN
G
≤，且N
HN。
作映射
:HN
H
N
ϕ→，()x xN ϕ=，x H ∀∈，
则ϕ显然是H 到H N N
的满同态。
且
{}{}{},(),,K er x
x H x N x x H xN N x x H x N H N
ϕϕ=∈==∈==∈∈= ，
于是由同态基本定理得 ()HN
H H N N
≅ 。
例2 34,S S 设分别为3次、4次对称群，4
K 是Klein 四元群，
证明：
4
34
S S K ≅。
证明 首先44K S （见前面）。
以下验证：4
34S S K = 且
34{}S K e = ，再用第二同构定理即可得证。
事实上，把3
S 中
的每个置换看成保持4不动，则显然34{}S K e = 成立。
于是
343434||||||6424||
S K S K S K ⋅==⨯= 。
又34
4S K S ⊆且4||24S =，所以4
34S S K =。
于是由第二同构定理 34
3
3
4
34
4
34()
{}
S K S S S S K K S K e ≅≅≅≅ 。
定理3(第三同构定理) 设G 是群，且N G
，G
H
N
≤，则 （1）存在G 的唯一子群,H G H N
≤⊇，使得H
H
N
=；
（2）当G
H
N
时，存在G 的唯一正规子群,H
G H N
⊇ ，
使得H
H N
=，且
G G N H H
N
≅。
第三同构定理表明：商群G N 的子群仍为商群，且呈H N
的
形式，其中,H
G H N
≤⊇；而且是的正规子群当且仅当
H N
是G
N
的正规子群。
证明 （1）取自然同态:G G N ϕ→，()a aN ϕ=，其核K er N
ϕ=。
由上一节定理4知，在G 的包含N 的子群与G N 的所有子群
之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当G
H
N
≤时，
必然存在G 的唯一的子群,H
G H N
≤⊇与之对应，即()H H ϕ=。
另一方面，根据ϕ的定义有()H H N
ϕ=，所以H
H
N =。
（2）还是由上一节定理4，当G
H N
时，存在G 的唯一的正
规子群,H G H N
⊇ ，使得H
H
N
=。
再由第一同构定理得
()
()
G
G G
N
H
H H
N
ϕϕ≅
≅。