整理误差传播与算法稳定性实验报告
数值分析实验指导书
数值分析课程实验指导书应用科学学院数学系目录前言 (1)第一部分数值实验报告格式 (1)第二部分数值实验报告范例 (2)第三部分数值实验 (6)数值实验一 (6)数值实验二 (8)数值实验三 (10)数值实验四 (12)数值实验五 (13)数值实验六 (16)数值实验七 (17)第四部分MATLAB入门 (19)前言该实验指导书是《数值分析》课程的配套数值实验教材。
《数值分析》是理工科大学本科生与硕士研究生的必修课程，学习本课程的最终目的，是用计算机解决科学和工程实际中的数值计算问题，因此熟练地在计算机上实现算法是必备的基本技能。
数值实验是数值分析课程中不可缺少的部分，利用计算机进行数值实验，以消化巩固所学的内容，增加对算法的可靠性、收敛性、稳定性及效率的感性认识，体会和重视算法在计算机上实验时可能出现的问题。
学生通过选择算法、编写程序、分析数值结果、写数值实验报告等环节的综合训练，逐步掌握数值实验的方法和技巧，获得各方面的数值计算经验，培养学生运用所学算法解决实际问题和进行理论分析的能力。
该实验指导书由王希云、刘素梅、王欣洁、李晓峰等老师编写。
第一部分数值实验报告格式一个完整的实验，应包括数据准备、理论基础、实验内容及方法，最终对实验结果进行分析，以达到对理论知识的感性认识，进一步加深对相关算法的理解，数值实验以实验报告形式完成，实验报告格式如下：一、实验名称实验者可根据报告形式需要适当写出。
二、实验目的及要求首先要求做实验者明确，为什么要做某个实验，实验目的是什么，做完该实验应达到什么结果，在实验过程中的注意事项，实验方法对结果的影响也可以以实验目的的形式列出。
三、算法描述（实验原理与基础理论）数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的，所以要求将实验涉及到的理论基础，算法原理详尽列出。
四、实验内容实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法以及可能用到的仪器设备。
误差理论与数据处理实验报告
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...nin i l l l l x n n=++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合： 当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1nii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合：当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1nii v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差 式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
大学物理实验报告数据处理及误差分析_0
大学物理实验报告数据处理及误差分析篇一：大学物理实验报告数据处理及误差分析力学习题误差及数据处理一、指出下列原因引起的误差属于哪种类型的误差？1．米尺的刻度有误差。
2．利用螺旋测微计测量时，未做初读数校正。
3．两个实验者对同一安培计所指示的值读数不同。
4．天平测量质量时，多次测量结果略有不同。
5．天平的两臂不完全相等。
6．用伏特表多次测量某一稳定电压时，各次读数略有不同。
7．在单摆法测量重力加速度实验中，摆角过大。
二、区分下列概念1．直接测量与间接测量。
2．系统误差与偶然误差。
3．绝对误差与相对误差。
4．真值与算术平均值。
5．测量列的标准误差与算术平均值的标准误差。
三、理解精密度、准确度和精确度这三个不同的概念；说明它们与系统误差和偶然误差的关系。
四、试说明在多次等精度测量中，把结果表示为x?????（单位）的物理意义。
五、推导下列函数表达式的误差传递公式和标准误差传递公式。
1．V?2．g?432st2?r32d?11???a??3．?2s?t2t1??六、按有效数字要求，指出下列数据中，哪些有错误。
1．用米尺（最小分度为1mm）测量物体长度。
3.2cm50cm78.86cm6.00cm16.175cm2．用温度计（最小分度为0.5℃）测温度。
68.50℃31.4℃100℃14.73℃七、按有效数字运算规则计算下列各式的值。
1．99.3÷2.0003=?2．?6.87?8.93???133.75?21.073?=?3．?252?943.0??479.0???1.362?8.75?480.0??62.69?4.1864．?751.2?23.25?14.781??????八、用最小分度为毫米的米尺测得某物体的长度为L=12.10cm（单次测量），若估计米尺的极限误差为1mm，试把结果表示成L???L?的形式。
九、有n组?x,y?测量值，x的变化范围为2.13~3.25，y的变化范围为0.1325~0.2105，采用毫米方格纸绘图，试问采用多大面积的方格纸合适；原点取在何处，比例取多少？十、并排挂起一弹簧和米尺，测出弹簧下的负载m和弹簧下端在米尺上的读数x如下表：长度测量1、游标卡尺测量长度是如何读数？游标本身有没有估读数？2、千分尺以毫米为单位可估读到哪一位？初读数的正、负如何判断？待测长度如何确定？3、被测量分别为1mm，10mm，10cm时，欲使单次测量的百分误差小于0.5%，各应选取什么长度测量仪器最恰当？为什么？物理天平侧质量与密度1、在使用天平测量前应进行哪些调节？如何消除天平的不等臂误差？2、测定不规则固体的密度时，若被测物体进入水中时表面吸有气泡，则实验所得的密度是偏大还是偏小？为什么？用拉伸法测量金属丝的杨氏模量1、本实验的各个长度量为什么要用不同的测量仪器测量?2、料相同，但粗细、长度不同的两根金属丝，它们的杨氏模量是否相同？3、本实验为什么要求格外小心、防止有任何碰动现象？精密称衡—分析天平的使用1、如果被测物体的密度与砝码的密度不同，即使它们的质量相等，但体积不同，因而受到空气浮力也不同，便产生浮力误差。
计算方法与计算 实验一误差分析
% 输出的量--每次迭代次数k和迭代值xk,
%
--每次迭代的绝对误差juecha和相对误差xiangcha，
误差分析
误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算 中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。 因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时， 由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法 的好坏会影响到数值结果的精度。 一、实验目的
因为运行后输出结果为： y 1.370 762 168 154 49， yˆ =1.370 744 664 189
38， R 1.750 396 510 491 47e-005， WU= 1.782 679 830 970 664e-005 104 . 所
以， yˆ 的绝对误差为 10 4 ，故 y
③ 运行后输出计算结果列入表 1–1 和表 1-2 中。
④ 将算法 2 的 MATLAB 调用函数程序的函数分别用 y1=15-2*x^2 和
y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法 1 和算法 3 的调用函数程序，将其保
存，运行后将三种算法的前 8 个迭代值 x1, x2 ,, x8 列在一起（见表 1-1），进行
的精确解 x* 2.5 比较，观察误差的传播.
算法 1 将已知方程化为同解方程 x 15 2x2 .取初值 x0 2 ，按迭代公式
xk1 15 2xk2
实验一误差传与算法稳定性
实验一：误差传播与算法稳定性一：实验内容考虑一个简单由积分定义的序列： 显然0,1,2,.n I n >=L 当n=1时，11101/x I xe dx e -==⎰。
而对于2n ≥时，利用分步积分易得：另一方面，我们有1111/(1)n x n n I x e dx x dx n -=≤=+⎰⎰。
由以上递推关系，我们可以得到计算序列{}n I 的两种方法。
(Ⅰ) 11/I e =，111/,n 1,2,3,..n n I I -=-=⋯ (Ⅱ) 0N E =, 11,,1,2,,3,2nn E E n N N N n--==--L 二：实验要求及实验结果（1） 分别用算法(Ⅰ)、(Ⅱ)计算，并且在计算机中分别采用5位、6位和7位有效数字，请判断哪种算法能给出更精确的结果。
实验过程：ⅰ）编写MA TLAB 程序如下：a= input ('请输入有效位数a:'); %设定有效数字位数 syms n InIn=vpa((exp(-1)),a) %vpa 设定结果有效数字 for n=2:10; In=vpa((1-n*In),a) %循环计算End运行文件，输入有效数字a 分别为5位、6位和7位，得到运算结果如下表格所示：ⅱ）编写MA TLAB 程序如下： function In=NO1Bb= input ('请输入有效位数b:'); syms n EnEn=vpa(0,b) for n=10:-1:2;En=vpa(((1-En)/n),b) End由以上两种算法所得到的数据可知，对算法11/I e =，111/,n 1,2,3,..n n I I -=-=⋯从8I 开始，结果变得无规律，各个有效位数计算结果都不一样，这是因为随着计算的n 增大，误差会越来越大。
而对0N E =, 11,,1,2,,3,2nn E E n N N N n--==--L ，5位、6位和7位结果相近，随着有效数字位数的增加，结果越来越精确。
误差理论与数据处理实验报告.
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1ni i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
误差理论与数据处理实验报告
误差理论与数据处理实验报告姓名：小叶9101学号：小叶9101班级：小叶9101指导老师：小叶目录实验一误差的基本概念实验二误差的基本性质与处理实验三误差的合成与分配实验四线性参数的最小二乘法处理实验五回归分析实验心得体会实验一误差的基本概念一、实验目的通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。
二、实验原理1、误差的基本概念：所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示误差=测得值-真值1、绝对误差：某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。
绝对误差=测得值-真值2、相对误差：绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。
相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值2、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
3、有效数字与数据运算含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
数字舍入规则如下：①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。
②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。
③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。
三、实验内容1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。
2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有四、实验数据整理（一）用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。
1、分析：绝对误差：绝对误差=测得值-真值相对误差：相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值2、程序%绝对误差和相对误差的求解x=1897.64 %已知数据真值x1=1897.57 %已知测量值d=x1-x %绝对误差l=(d/x)%相对误差3、在matlab中的编译及运行结果（二）按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。
3.3多步法3.4误差与稳定性分析3.5数值积分法的选择与计算步长的确定
最大误差
0.001
0.00797
0.01
0.00078
0.02
0.00038
0.05
0.00001
0.1
0.00104
0.2
0.01501
0.5
0.59470
1.0
0.48049
（R=0）
最大误差 0.00104 0.00010 0.00005 0.00001 0.00003 0.00107 0.01645 0.79498
5 12
h y ( ),
3 (3)
系统仿真
a.Adams显示公式
当k=3时，可得四阶Adams显式公式：
yn1 yn
h 24
55 f n 59 f n1 37 f n2 9 f n3
h y ( ),
5 (5)
其局部截断误差
Rn
251 720
(tn1, tn )
式中：
ek 1 y(tk 1 ) yk 1 ——整体截断误差
k 1 yk 1 yk 1
系统仿真
——舍入误差
17
（a）截断误差
截断误差
局部截断误差
• 假定前k步为微分方程精确解的误差
整体截断误差
• 从初值开始，每步均有局部截断误差
假定前一步得到的结果yn是准确的，则用泰级数展
h p yn (9 f n1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24
y n1
c
是一个四步法，具有四阶精度。
除了初始值yo以外，其前三步的值y1，y2，y3 往往用RK4法计算，其余的y4,y5转向预估－校正 求解