奥数染色问题题目及答案
五年级奥数春季实验班第讲组合数学之染色与覆盖
第二讲组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，以下列图，每个展室与相邻的展室都有门相通，进口和出口以下图。
观光者（填“能”或“不可以”）从人口进去，不重复地观光完每个展室再从出口出来。
解：答：不可以；如图将展室黑白相间染色，进口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应当走到黑格，而出口仍旧是白格，矛盾，所以没法达成。
例2．棋盘由下列图所示的9个小圆圈摆列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子能够从此中一格走入另一格，此刻由警察先走，两人轮番，每人每次走一步，每步能够从一格走到有线相连的临格之中。
假如在6步以内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；假如警察走了6步还没有抓住小偷，就算他渎职而失败。
问警察应怎样取胜。
147369258解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）；第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷不论是走到7（或8），警察在第6步必定能够获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连结它们获得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：不论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A、B、C、D、E、F，从A点出发的五条线段AB、AC、AD、AE、AF中起码有3条是同色的，不如设AB、AC、AD为红色，我们再看△BCD的三边，假如都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD，若△BCD中有一条边不是蓝色，而是红色，不如设BC是红色，则AB、AC、BC都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下列图是由14个大小同样的方格构成的图形，试问方格构成的长方形。
（“能”或“不可以”）剪裁成7个由相邻两个解：答：不可以；如图，将图形黑白相间染色，则出现8个黑格，6个白格，而相邻的两个方格构成的长方形必定是一黑一白，矛盾，所以没法裁成7个小长方形。
五年级下册奥数试题-组合数学之染色与覆盖 全国通用(含答案)
组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者 （填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）； 第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，从A 点出发的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中至少有3条是同色的，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，我们再看△BCD 的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD ，若△BCD 中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC 是红色，则AB 、AC 、BC 都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问 （“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
小学奥数专题15：染色问题
专题14 染色问题1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个4⨯1矩形覆盖8⨯8棋盘?7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8⨯8的正方形棋盘?8.在8⨯8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4⨯4的正方形分别剪去两个1⨯1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1⨯2的七个小矩形?(1)(2) (3)10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红红红红11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1⨯2⨯4的长方体木块,能不能把一个容积为6⨯6⨯6的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个27⨯27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9⨯9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12⨯12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3⨯4矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?123———————————————答 案—————————————————————— 1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的. 2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等. 4. 如图,对4⨯n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L 形纸片所占的3黑1白,第二类占3白1黑.设第一类有a 个,第二类有b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b +a =3a +b ,即a =b ,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4⨯1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4⨯1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4⨯1的矩n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8⨯8的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先对4⨯4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1⨯2矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1⨯2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1⨯2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7,也就不能剪成7个1⨯2的矩形.棋盘(1)可以被7个1⨯2的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A11277B26543654310. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的3⨯4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A 向其他16点A 1,A 2,…A 16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA 1,AA 2,…AA 6且同为红色.考虑A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A 1A 2为红色) ,则三角形AA 1A 2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色.若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2⨯2⨯2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2⨯2⨯2的正方体有14个,白色2⨯2⨯2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1⨯1⨯1的小正方体.将1⨯2⨯4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6⨯6⨯6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8⨯26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1⨯2⨯4长方体木块不管怎样A A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1A 2A 3A4放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部.因为一开始时,81枚棋子摆成一个9 9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。
小学奥数杂题染色问题【三篇】
小学奥数杂题染色问题【三篇】
导读：本文小学奥数杂题染色问题【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇】 1.如图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门．有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是否能够找到．【第二篇】展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 答案：不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 【第三篇】染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关8个顶点。
两面染色和棱长有关。
即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。
同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6 0面染色和体积有关。
用新棱长计算体积公式（棱
长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
六级奥数专题染色问题.docx
二十染色问题(1)年级班姓名得分( 编者按 : 由于内容本身的限制 , 本讲不设填空题 )1.某影院有 31 排, 每排 29 个座位 . 某天放映了两场电影 , 每个座位上都坐了一个观众 . 如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他 ( 前、后、左、右 ) 相邻的某一观众交换座位 , 这样能办到吗为什么2.如图是一所房子的示意图 , 图中数字表示房间号码 , 每间房子都与隔壁的房间相通 . 问能否从 1 号房间开始 , 不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间1234567893.在一个正方形的果园里 , 种有 63 棵果树、加上右下角的一间小屋 , 整齐地排列成八行八列 ( 见图 ( a)). 守园人从小屋出发经过每一棵树 , 不重复也不遗漏( 不许斜走 ), 最后又回到小屋 , 行吗如果有 80 棵果树 , 连小屋在内排成九行九列( 图( b)) 呢(a)(b)4.一个 8 8 国际象棋 ( 下图 ) 去掉对角上两格后 , 是否可以用 31 个 2 1 的“骨牌” ( 形如)把象棋盘上的62个小格完全盖住5.如果在中国象棋盘上放了多于45 只马 , 求证 : 至少有两只马可以“互吃”.6. 空间 6 个点 , 任三点不共线 , 对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色 , 是否必有两个同色三角形7.如图 , 把正方体分割成 27 个相等的小正方体 , 在中心的那个小正方体中有一只甲虫 , 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任一个中去 . 如果要求甲虫能走到每个小正方体一次 , 那么甲虫能走遍所有的正方体吗8.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只马从起点出发 , 跳了 n 步又回到起点 . 证明 : n 一定是偶数 .9.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只马能否跳遍这半张棋盘, 每一点都不重复 , 最后一步跳回起点10.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B证明 : 一只马不可能从位置 B 出发 , 跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次 ( 不要求最后一步跳回起点 ).11.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只马能否从位置 B 出发 , 用 6 步跳到位置 A 为什么12.中国象棋的马走“日”字 , 车走横线或竖线 , 下图是半张中国象棋盘 , 试回答下面的问题 :A B一只车从位置 A 出发 , 在这半张棋盘上走 , 每步走一格 , 走了若干步后到了位置 B. 证明 : 至少有一个格点没被走过或被走了不止一次 .8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2 2 的正方形和 9 个 4 1 的长方形如果可以 , 请给出一种剪法 ; 如果不行 , 请说明理由 .14.( 表 1) 是由数字 0,1 交替构成的 ,( 表 2) 是由 ( 表 1) 中任选、、三种形式组成的图形 , 并在每个小方格全部加 1 或减 1, 如此反复多次进行形成的 , 试问 ( 表 2) 中的 A格上的数字是多少并说明理由 .1010101001010101101010100101010010101010010101011010101001010101表1111111111111111111111111111111111 1 1 1 1 1 A 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11表2———————————————答案——————————————————————1.把影院的座位画成黑白相的矩形.(29 31), 共有 899 个小方格 . 不妨假定四角黑格 , 共有黑格 450 个, 白格 449 个.要求看第二影 , 每位众必跟他相的某一众交位置 , 即要求每一黑白格必互 , 因黑白格的数不相等 , 因此是不可能的 .2.将号奇数的房染成黑色 , 号偶数的房染成白色 . 从 1 号房出 , 只能按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍九个房在黑色房中 , 个房不与 1 号房相 , 故不能不重复地走遍所有房又回到 1 号房 .3.(a) 行, 走法如所示 .(a)(b) 不行 , 将小屋染成黑色 , 果染成黑白相的色 ,(b) 中有 41 个黑色的 ,40 个白色的 . 从小屋出 , 按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍 80 棵后 , 到达的的色是黑色 , 与小屋不相 , 故不可能最后回到小屋 .4.不能 . 原因是每一个 2 1 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31 个的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格 .但是国象棋棋上角两格的色是相同的 , 把它去掉后剩下的是 30 个白格 ,32 个黑格 , 或 32 个白格 ,30 个黑格 , 因此不能盖住 .5.中国象棋棋盘上有 90 个交叉点 , 把棋盘分成 10 个小部分 , 每部分有33=9 个交叉点 , 由抽屉原则知 , 至少有一个小部分内含有 6 只马 .将这一小部分的 9 个交叉点分别涂上黑色及白色 . 总有两只马在不同颜色交叉点上 , 故一定有两只马“互吃”.6.设这六个点为 A、 B、 C、 D、 E、 F. 我们先证明存在一个同色的三角形 :考虑由 A 点引出的五条线段 AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色 , 不妨设 AB、AC、AD三条同为红色 . 再考虑三角形 BCD的三边 : 若其中有一条为红色 , 则存在一个红色三角形 ; 若这三条都不是红色 , 则三角形 BCD为蓝色三角形 .BCAD下面再来证明有两个同色三角形, 不妨设三角形 ABC的三边同为红色 .(1)若三角形 DEF也是红色三角形 , 则存在两个同色三角形 .(2)若三角形 DEF中有一条边为蓝色 ( 不妨设 DE), 下面考虑 DA、DB、 DC三条线段，其中必有两条同色 .①若其中有两条是红色的 , 如 DA、DB是红色的 , 则三角形 DAB为第二个同色三角形 ( 图 1).D AE B C( 图 1)②若其中有两条是蓝色的 , 设 DA、DB为蓝色 ( 图 2). 此时在 EA、EB两条线段中 , 若有一条为蓝色 , 则存在一个蓝色三角形 ; 若两条都是红色的 , 则三角形 EAB 为红色三角形 .综上所述 , 一定有两个同色三角形 .7.甲虫不能走遍所有的立方体 .我们将大正方体如图分割成 27 个小正方体 , 涂上黑白相间的两种颜色 , 使得中心的小正方体染成白色 , 再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色 . 显然在 27 个小正文体中 ,14 个是黑的 ,13 个是白的 . 甲虫从中间的白色正方体出发 , 每走一步 , 小正方体就改变一种颜色 . 故它走 27 步, 应该经过 14 个白色的小正方体 ,13 个黑色的小正方体 . 因此在 27 步中至少有一个白色的小正方体 , 甲虫进去过两次 . 故若要求甲虫到每个小正方体只去一次 , 甲虫就不能走遍所有的小正方体 .8.将棋上的各点按黑白相的方式染上黑白二色 .由“ 步”的行走 , 当“ ”从黑点出 , 下一步只能跳到白点 , 以后依次是黑、白、黑、白⋯⋯要回到原出点 ( 黑点 ), 它必跳偶数步 .9.不能 . 半象棋共有 45 个格点 , 从起点出跳遍半棋 , 起点与最后一步同色 . 故不可能从最后一步跳回起点 .10.与 B 点同色的点 ( 白点 ) 有 22 个, 异色的点 ( 黑色 ) 有 23 个. 从 B 点出 , 跳了 42 步 , 已跳遍了所有的白色 , 剩下两个黑点 , 但是不能跳两个黑点 .11.不能 . 因 A、B 两点异色 , 从 B 到 A 所跳的步数是一个奇数 .12.“ ”每走一步 , 所在的格点就会改一次色 . 因 A、B 两点异色 , 故从 A 到B“ ”走的步数是一个奇数 . 但半棋共有 45 个格点 , 不重复地走遍半棋要 44 步，但44 是一个偶数 .13.如 8 8 的棋染色 , 每一个 4 1 的方形能盖住 2 白 2 黑小方格 , 而每一个 2 2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 1 黑 3 白小方格 , 那么 7 个 22的正方形盖住的黑色小方格数是一个奇数, 但中黑格数32 是一个偶数 . 故种剪法是不存在的 .+1+1-1-1+1+1+1+1+1-1-1+1+1+1+1+1-1-1-1-1 -1+1 +1-1-1-1-1 -1+1 +1-1 -114.如下所示 , 将表 (1) 黑白相地染色 .表(1)本题条件允许如图所示的 6 个操作 , 这 6 个操作无论实行在那个位置上 , 白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数 , 所以表 1 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即 32, 等于表 2 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32, 于是 (31+A)-32=32, 故 A=33.二十染色问题(2)年级班姓名得分1.下图是一套房子的平面图 , 图中的方格代表房间 , 每个房间都有通向任何一个邻室的门 . 有人想从某个房间开始 , 依次不重复地走遍每一个房间 , 他的想法能实现吗2.展览会有 36 个展室 ( 如图 ), 每两相邻展室之间均有门相通 . 能不能从入口进去 , 不重复地参观完全部展室后 , 从出口出来呢3.图中的 16 个点表示 16 个城市 , 两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通 . 问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线4.下图是由 4 个小方格组成的“ L”形硬纸片 , 用若干个这种纸片无重叠地拼成一个 4 n 的长方形 , 试证明 : n 一定是偶数 .5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃” ( “马”走“日”字 , 另不考虑“别马腿”的情况 ).6.能否用一个田字和 15 个 4 1 矩形覆盖 8 8 棋盘7. 能否用 1 个田字和 15 个 T 字纸片 , 拼成一个 88 的正方形棋盘8.在 8 8 棋盘上 , 马能否从左下角的方格出发 , 不重地走遍棋盘 , 最后回到起点若能请找出一条路 , 若不能 , 请说明理由 .9. 下面三个图形都是从 4 4 的正方形分别剪去两个 1 1 的小方格得到的 , 问可否把它们分别剪成 1 2 的七个小矩形(1)(2)(3)10.把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色 , 每个小格染上红、蓝两种色中的一种 . 求证 : 总可以找到 4 个同色小方格 , 处于某个矩形的 4 个角上 ( 如图 ) 1红红红红2个科学家互相通信 , 在他们的通信中共讨论 3 个问题 , 而任意两个科学家之间仅讨论 1 个问题 . 证明 : 至少有 3个科学家 , 他们彼此通信讨论的是同一个问题 .12. 用一批 1 2 4 的长方体木块 , 能不能把一个容积为 6 6 6 的正方体木箱充塞填满说明理由 .13.在平面上有一个 27 27 的方格棋盘 , 在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子 , 它们被罢成一个 9 9 的正方形 . 按下面的规则进行游戏 : 每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子 , 放进紧挨着这枚棋子的空格中 , 并把越过的这格棋子取出来 . 问: 是否存在一种走法 , 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子12 的超极棋盘上 , 一匹超级马每步跳至 3 4 矩形的另一角 ( 如图 ). 问能否从任一点出发遍历每一格恰一次 , 再回到出发点 ( 这种情况又称马有“回路”)OO———————————————答案——————————————————————1.不能 . 对房间染色 , 使最下面的两个房间染成黑色 , 与黑色相邻的房染成白色 , 则图中有 7 个黑色房间和 5 个白色房间 . 如果要想不重复地走过每一个房间 ,黑色与白色房间数应该相等. 故题中的想法是不能实现的.2.不能 . 对展室进行染色, 使相邻两房间分别是黑色和白色的 . 此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的 , 而不重复参观完 36 个展室 , 入口与出口展室的颜色应该不相同 .3.不能 . 对这 16 个城市进行黑白相间的染色 , 一种颜色有 9 个, 另一种颜色有7 个. 而要不重复地走遍这 16 个城市 , 黑色与白色的个数应该相等 .4.如图 , 对 4 n 长方形的各列分别染上黑色和白色 . 任一 L 形纸片所占的方格只有两类 : 第一类占 3 黑 1 白, 第二类占 3 白 1 黑.n个设第一类有 a 个, 第二类有 b 个, 因为涂有两种颜色的方格数相等, 故有3b+a=3a+b, 即a=b, 也就是说第一类与第二类相等, 因此各种颜色的方格数都是4 的倍数 , 总数是 8 的倍数 , 从而 n 是偶然 .5.将棋盘黑白相间染色 , 由“马”的走法可知 , 放在黑点上的“马” , 只能吃放在某些白点上的马 . 整个棋盘上黑、白点的个数均为45, 故可在45 个黑点放上马 , 它们是不能互吃的 .6.如图的方式对棋盘染色 . 那么一个田字形盖住 1 个或 3 个白格 , 而一个4 1 的矩形盖住 2 个白格 . 这样一来一个田字和 15 个 4 1 的矩形能盖住的白格数是一个奇数 , 但上图中的白格数是一个偶数 , 因此一个田字形和 15 个 4 1 的矩形不能复盖 8 8 的棋盘 .7.将棋盘里黑白相间涂色 . 一个田字形盖住 2 个白格 , 一个 T 字形盖住 3 个或 1 个白格 . 故 1 个田字和 15 个 T 字盖住的白格数是一个奇数 , 但棋盘上的白格数是一个偶数 . 因此一个田字形和 15 个 T 字形不能盖住 8 8 的棋盘 .8.将棋盘黑白相间地染色后 , 马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色. 棋盘上有 32 个白格与 32 个黑格 , 故马可能跳遍整个棋盘 . 图中给出了一种走法 .564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先对 4 4 的棋盘黑白相间的涂色 ( 如图 ), 这道题的实际问题是问7 个1 2 矩形能否分别复盖剪去 A、B；剪去 A、C；剪去 A、D的三个棋盘 . 若 7 个 12矩形可以复盖剪残的棋盘 , 因为每个 1 2 矩形均可盖住一个白格和一个黑格, 所以棋的白格与黑格数目相等 . 都是 7 个. 而剪去 A 格和 C 格的棋 (2) 有 5 个白格 8 个黑格 , 剪去 A、D 的棋 (3) 有 5 个白格 8 个黑格 , 因此两个剪的棋均不能被 7 个1 2 矩形复盖 , 也就不能剪成 7 个 1 2 的矩形 .ABCD棋 (1) 可以被 7 个 1 2 的矩形所复盖 . 下面出一种剪法 :A11277B26543654310.在第一行的 7 格中必有 4 格同色 , 不妨 4 格位于前 4 个位置 , 且均色 .然后考前 4 列构成的 3 4 矩形 . 若第二行和第 3 行中出 2 个或 2 个以上的色格子 . 行的两个色格子与第一行的色格子就成一个 4 角同色格子的矩形 .若不然 , 第 2、3 行中都至少有 3 个格在前 4 列中 , 不妨第 2 行前 3 格色 , 然第三行中的前 3 格中至少有 2 个格，故在二、三行的前 4 列中必存在四角都是色的矩形 .11.将 17 个科学家用 17 个点代表 , 两点之的段表示两个科学家之的 . 用三种色些段染色 , 表示三个 , 于是就成 :17 个点之的所有段用三种色染色, 必有同色三角形 .从任意一点 , 不妨从 A 向其他 16 点 A1, A2 , ⋯ A16共可成 16 条段 , 用三种色染色 , 由抽原可知 , 必有 6 条段同色 . 6 条段 AA1, AA2 , ⋯AA6且同色 .考 A1, A2, A3, A4, A5, A6六点之的 , 若有一条色 ,( 如 A1A2色 ) ,则三角形 AA1 A2为红色的同色三角形 .A1A2A3AA4A5A6若这六点之间的连线中 , 没有一条是红色的 , 则它们之间只能涂两种颜色 . 考虑从 A1引出的五条线段 A1A2 A1A3 A1A4 A1A5 A1A6, 由抽屉原理知 , 其中必有三条是同色的 . 不妨设这三条为 A1A2 A1 A3 A1A4, 且同为蓝色 . 若三角形 A2A3A4的三边中有一条为蓝色的 , 则有一个蓝色的三角形存在 ; 若三角形 A2A3 A4三边都不是蓝色的 , 则它的三边是同为第三色的同色三角形 . A2A3A1A412. 把正方体木箱分成27 个小正方体 , 每个小正方体的体积为 2 2 2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色. 显然黑色 2 2 2 的正方体有 14 个, 白色2 2 2 小正方体有 13 个 . 每一个这样的正方体相当于8 个 1 1 1 的小正方体 .将 1 2 4 的长方体放入木箱 , 无论怎么放 , 每个长方体木块盖住8个边长为1 的单位正方体 , 其中有 4 个黑色的 ,4 个白色的 . 木箱共含 6 6 6=216个单位正方体 ,26 个长方体木块共盖住 8 26=208个单位正方体 , 其中黑白各占 104 个 , 余下216-208=8 个单位正方体是黑色的 . 但是第 27 个 1 2 4 长方体木块不管怎样放 , 也无法盖住这 8 个黑色单位正方体 .13.如图 , 将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色 , 这种染色方式将棋盘分成了三个部分 . 按照游戏规则 , 每走一步 , 有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个, 而第三种颜色的棋子数增加了一个 . 这表明每走一步 , 每个部分的棋子的奇偶性要发生改变 .因为一开始时 ,81 枚棋子摆成一个 9 9 的正方形 , 显然三个部分的棋子数是相同的 , 从而每走一步 , 三部分中的棋子数的奇偶性是相同的 . 如果走了若干步以后, 棋盘上恰好剩下一枚棋子 , 则两部分上的棋子数为偶数 , 而另一部分上的棋子数为奇数 . 这种结果是不可能出现的 .14.用两种方法对超级棋盘染色 .首先 , 将棋盘黑白相间染色 , 则马每跳一步 , 它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次 , 将棋盘的第 3,4,5 及 8,9,10 这六行染成黑色 , 其余六行染成白色 . 在此种染色方式下 , 马从白格一定跳入黑格 . 又因黑白格总数相同 , 马要遍历每一格恰一次又回到出发点 , 因此 , 马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格 . 不妨设马第奇数步跳入白格 .但是对于一种满足要求跳法 , 在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的 , 这显然是不可能的 , 故题目要求的跳法是不存在的 .。
小学奥数教程-乘法原理之染色问题教师版139全国通用含答案
7-2-3乘法原理之染色问题1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法.那么完成这件事情一共有A x B x……x N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5x2个可选择的路线了，即10条.三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例1】地图上有A, B, C, D四个国家（如下图），现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】A有3种颜色可选；当B, C取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D也有2种颜色可选.根据乘法原理，不同的涂法有3x 2x 2=12种；当B, C取不同的颜色时，B有2种颜色可选，C仅剩1种颜色可选，此时D也只有1种颜色可选（与A相同）.根据乘法原理，不同的涂法有3x2x 1 x 1=6种.综上，根据加法原理，共有12 + 6=18种不同的涂法.【答案】18【巩固】如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步，首先对A进行染色一共有4种方法，然后对B、C进行染色，如果B、C取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B、C取不同颜色，有3x2=6种方法，D剩下2种方法，对该图的染色方法一共有4x（3x3 + 3x2x2）= 84种方法.【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题. 【答案】84【例2】在右图的每个区域内涂上A、B、C、D四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有 __________ 种不同的染色方法．【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有4x3x2=24种染色方法.如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法.【答案】24【例3】如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?ABC D【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选.第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选.第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选.第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选. 根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5 x 4 x 3 x 3=180种不同的染色方法. 【答案】180 【巩固】如图，一张地图上有五个国家A , B , C , D , E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色 方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B , A 两国相邻，所以不能使用A , B 国的颜色，只有两种选择；第四步，给D 国上色，D 国与B , C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C , D 两国相邻，有两种选择.共有4x 3x 2x 2x 2=96种着色方法.【答案】96【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【解析】对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块， 我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法 有：4、3、2、2、2 ，所以一共有：4x 3x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2 = 1536 种.【答案】1536 【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？【考点】乘法原理之染色问题 【题型】解答【难度】3星【考点】乘法原理之染色问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步.第一步，涂A 部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B 部分， 由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A 和B 相邻，当A 确定了一种颜色后，B 只有两种颜色可选择 了；第三步，涂C 部分，C 和A 、B 都相邻，A 和B 确定了两种不相同的颜色，那么C 只有一种颜 色可选择了.然后再根据乘法原理.3x 2x 1=6【答案】6【例 5】 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4x 3x 2x 2x 2=96种方法.【讨论】如果染色步骤为C - A - B - D - E ,那么应该该如何解答？答案：也是4x 3x 2x 2x 2=96种方法.如果染色步骤为C - A - D - B - E 那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4x3种方法，但染第 三步时需要分类讨论，如果D 与A 颜色相同，那么B 有2种染法，E 也有2种方法，如果D 与A 染 不同的颜色，那么D 有2种染法那么B 只有一种染法，E 有2种染法，所以一共应该有4x 3x （1x 2x 2 + 2x 1 x 2） = 96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授），染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所 染的区块相邻.【答案】96 【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G （如左下图）.为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图.那么，为了完成地图染色这 件工作需要多少步呢【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】由于有7个区域，我们不妨按A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜 色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A ，有5种颜色可供选择;再染区域B ，由于B 不能与A 同色，所以区域B 的染色方式有4种； 染区域C ，由于C 不能与B 、A同色，所以区域C 的染色方式有3种； 染区域D ，由于D 不能与C 、A 同色，所以区域D 的染色方式有3种; 染区域E ，由于E 不能与D 、A 同色，所以区域E 的染色方式有3种； 染区域F ，由于F 不能与E 、A 同色，所以区域F 的染色方式有3种; 染区域G ，由于G 不能与C 、D 同色，所以区域G的染色方式有3种.根据分步计数的乘法原理，共有5 x 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3=4860种不同的染色方法.【答案】4860【例6】 用3种颜色把一个3x 3的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有 ____ 种不同的染色法.【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】根据题意可知，染完后这个3x 3的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色.用3种颜色染第一行，有P 3=6种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法； 当第一行和第一列都染好后3，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知 其余的方格都只有唯一一种染法.所以，根据乘法原理，共有3 x 2=6种不同的染法.【答案】6【例7】 如右图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？【解析】先采用分步：第一步给A 染色，有5种方法；第二步给B 染色，有4种方式；第三步给C 染色，有 3种方式；第四步给D 染色，有3种方式；第五步，给E 染色，由于E 不能与A 、B 、D 同色，但可 以和C 同色.此时就出现了问题：当D 与B 同色时，E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时，E 有 2种颜色可染.所以必须从第四步就开始分类：第一类，D 与B 同色.E 有3种颜色可染，共有5 x 4 x 3 x 3=180 （种）染色方式；第二类，D 与B 异色.D 有2种颜色可染，E 有2种颜色可染，共有5x 4x 3x 2x 2=240 （种）染色 方式.根据加法原理，共有180 + 240=420 （种）染色方式.【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决. 【答案】420【巩固】如右图，有A , B , C , D 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】A 有4种颜色可选，然后分类：第一类：B , D 取相同的颜色.有3种颜色可染，此时D 也有3种颜色可选.根据乘法原理，不同 的染法有4x 3x 3=36 （种）；第二类：当B , D 取不同的颜色时，B 有3种颜色可染，C 有2种颜色可染，此时D 也有2种颜色 可染.根据乘法原理，不同的染法有4x 3x 2x 2=48 （种）.根据加法原理，共有36 + 48=84（种）染色方法.第2步 第3步 第4步 第5步 第6步 第7步 【考点】 乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【答案】84 【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?【解析】第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选； 当“奥”，“数”取相同的颜色时，有 2 种颜色可选，此时“思”也有 2 种颜色可选，不同的涂法有3 x 2 x 2 = 12 种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种 颜色可选（与“学”相同），不同的涂法有3 x 2 x 1x 1=6种.所以，根据加法原理，共有4x 3x （2x 2 + 2） = 72种不同的涂法.【答案】72分别用五种颜色中的某一种对下图的A , B , C , D , E , F 六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【解析】先按A , B , D , C , E 的次序染色，可供选择的颜色依次有5, 4, 3, 2, 3种，注意E 与D 的颜 色搭配有3 x 3=9（种），其中有3种E 和D 同色，有6种E 和D 异色.最后染F ，当E 与D 同色时 有3种颜色可选，当E 与D 异色时有2种颜色可选，所以共有5x 4x 2x （3x 3 + 6x 2） = 840种染法.【答案】840【例9】 将图中的。
小学奥数专题15：染色问题
专题14 染色问题1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何 一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口 进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地 拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个4⨯1矩形覆盖8⨯8棋盘?7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8⨯8的正方形棋盘?8.在8⨯8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4⨯4的正方形分别剪去两个1⨯1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1⨯2的七个小矩形?10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1⨯2⨯4的长方体木块,能不能把一个容积为6⨯6⨯6的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个27⨯27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9⨯9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12⨯12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3⨯4矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回12 3———————————————答 案——————————————————————1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对4⨯n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L 形纸片所占的方3黑1白,第二类占3白1黑.设第一类有a 个,第二类有b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b +a =3a +b ,即a =b ,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4⨯1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4⨯1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4⨯1的矩形n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8⨯8的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.9. 先对4⨯4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1⨯2矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1⨯2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1⨯2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个也就不能剪成7个1⨯2的矩形.棋盘(1).下面给出一种剪法:10. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的3⨯4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA1A2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A1引出的五条线段A1A2A1A3A1A4A1A5A1A6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A1A2A1A3A1A4,且同为蓝色.若三角形A2A3A4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A2A3A4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2⨯2⨯2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2⨯2⨯2的正方体有14个,白色2⨯2⨯2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1⨯1⨯1的小正方体.将1⨯2⨯4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6⨯6⨯6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8⨯26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1⨯2⨯4长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部.AA1 A2A3A4A5A6A1A2A3A4因为一开始时,81枚棋子摆成一个9 9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。
最新小学奥数染色与操作问题学生版
模块一：染色问题【巩固】 右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P 点在岸上，那么A 点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A 点出发走到某 点B ，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B 点是在岸上还是在水中？为 什么？一、染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.二、操作问题例题11第十一讲染色与操作问题六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?例题44例题33例题22右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【巩固】下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？【巩固】下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问：能否把它们分 别剪成1×2的七个小矩形？【巩固】能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？【巩固】9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形，请你说明理由！例题66例题55右图是由14个大小相同的方格组成的图形. 试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？ 用11个和5个能否盖住8×8的大正方形?【巩固】用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！模块二：操作问题例题1010例题99例题88例题77【巩固】对于表（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表（2）？为什么？右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得12，次子得13，给幼子19.不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！【巩固】甲、乙、丙、丁分29头羊. 甲、乙、丙、丁分别得1111,,,25610，应如何分？【巩固】9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【巩固】 大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？【巩固】 有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意. 一天，他遇到了两位农妇. 两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！例题1313例题1212例题11118个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤. 但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?例题1717例题1616例题1515例题1414练习11一只电动老鼠从左下图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
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染色问题(1)
年级班姓名得分
(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)
1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?
2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?
3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?
(a) (b)
4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨
牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?
7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?
8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.
9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?
10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).
11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?
12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.
13.8⨯8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2⨯2的正方形和9个4⨯1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.
14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)
三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.
表 1
表 2
———————————————答案——————————————————————
1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29⨯31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.
要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.
2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.
3. 图(a)行,走法如图所示.
图(a)
图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.
4. 不能.原因是每一个2⨯1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.
但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.
5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有
3 3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.
将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.
6. 设这六个点为A 、B 、C 、D 、E 、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A 点引出的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB 、AC 、AD 三条同为红色.再考虑三角形BCD 的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD 为蓝色三角形.
下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色. (1)若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.
(2)若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC 三 条线段，其中必有两条同色.
①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1).
②若其中有两条是蓝色的,设DA 、DB 为蓝色(图2).此时在EA 、EB 两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.
综上所述,一定有两个同色三角形.
7. 甲虫不能走遍所有的立方体.
我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在
27
(图1)
(图2)
个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.
8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.
由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.
9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.
10. 与B 点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B 点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.
11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.
12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.
13. 如图对8⨯8的棋盘染色,则每一个4⨯1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2⨯2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2⨯2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.
14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.
+1 +1 +1 +1
-1
-1 -1 -1
+1 +1 +1 +1 +1 +1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1
+1 +1 -1
-1
-1 -1
-1 -1
本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.。