水力学第四章
水力学第4章
n
1/6 1/6.6
1/7
1/8.8
α β
1.077 1.065 1.058 1.039 1.027 1.023 1.020 1.013
V/Vmax 0.791 0.807
0.817 0.850
>2 ╳ 106 1/10
1.031 1.011 0.866
2019/10/24
4.8 量纲分析和相似理论
x
x0
f (x0 ) f '(x0 )
f (x) x 2 log x 9.8021 x 0.8686 ln x 9.8021
f '(x) 1 0.8686 x
选初值x0=6。 迭代值为：6，7.961777706，7.996832646，
7.996299004，7.996299005
指数行列式不等于零。 4.用这3个基本物理量与其余的任一个物理量组成一个无
量纲数
(Q1)a (Q2 )b (Q3)c q
2019/10/24
例4-11 管道水流。管段的压强差Δp与管段长
度l, 平均流速V，水的密度ρ ，动力粘度μ，
管道直径D，绝对粗糙度Δ有关。试用π定理 决定本流动现象的无量纲数，并列出Δp与 其 他物理量关系的一般表达式。
第四章 流态和水头损失
4.1 水头损失的分类 流体从截面1运动到截面2,机械能减少:
z1
p1 g
1
V12 2g
z2
p2 g
2
V22 2g
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
水力学 第4章
Chap4 Similar Theory
4.2 动力相似准则 牛顿定理 F=ma
F ' 'V ' dv' / dt' F V dv / dt
由动力相似: kF F '/ F 1 1 2 2 2 2 2 2 k kl k v 'l ' v ' / l v
F' F ' l '2 v '2 l 2 v2
功率比例尺：
M Fl k M ' ' ' k F kl kl3kv2 k M Fl p FP A k F kp ' ' ' p FP A k A P Fv k P ' ' ' k F kv kl2 kv3k P Fv
动力粘度比例尺：
k k kl k v
Fluid Dynamics 23
Chap4 Similar Theory
模型实验主要解决的问题 ：
• 1．根据单值条件相似和由单值条件中的物理量所组成 的相似准则数相等的原则去设计实验模型，选择模型中 的流动介质； • 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物 理量，并把它们整理成相似准则数； • 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准 则方程式，该方程式便可推广应用到原型及其他相似流 动中去，有关物理量可按各自的比例尺进行换算。
1
Re 称为雷诺数，它是
' v' l ' vl '
惯性力与粘性力的比值。 令:
vl Re
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反 之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
北航水力学 第四章理想流体动力学和恒定平面势流解读
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
4.2.2 由动能定理推导理想流体的伯努利方程
推导过程同学们自学
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的 物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。
第三节 元流伯努利方程的意义和应用
4.3.1 沿流线的伯努利方程的水力学意义
可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。
2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。
y ABdrBnA x
d r dxi dy j
n cos i sin j dy i dx j
dr dr V ui v j
dq V
ndr
u
dy dr
v
dx dr
等 线和等Ψ线，这两族曲线互相垂直，构
成流网。
两族曲线所构成的正交网络，称为流网
流网的特征：
流网
等 线和速度矢量垂直，或者说， 等 线与等Ψ线（流线）垂直，
【例题】
已知90度角域内无粘流动，速度分布
ux kx uy ky
(k 0, x 0, y 0)
求：（1）判断该流场是否存在速度势函数， 若存在请给出并画出等势线；
流动。但粘滞性对流动 的影响很微小时，影响可以忽略。 --机械能守恒
引入势流的意义：使问题简化。
波浪运动，无分离的边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流） 等等可以看为势流。
4.4.1 流速势函数
以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价
由 ux 0 无旋流的条件→涡量 z 0
《水力学》第四章 有压管中的恒定流.
4-1 简单管道水力计算的基本公式
简单管道：指管道直径不变且无分支的管道。
简单管道的水力计算可分为自由出流和淹没出流。
一、自由出流
对1-1断面和2-2断面 建立能量方程
v0 称为行近流速
H
1v02
2g
2v2
2g
hw12
令 H 1v02
2g
H0
且因
hw12 hf hj
流的粗糙区或过渡粗糙区。可近似认为当v＜1.2m/s时，
管流属于过渡粗糙区，hf约与流速v的1.8次方成正比。故
当按常用的经验公式计算谢齐系数C求hf应在右端乘以修
正系数k，即
H
hf
k
Q2 K2
l
管道的流量模数K，以及修正系数k可根据相关手册资料
得到。
11
12
13
例4-1 一简单管道，如图4-3所示。长为800m，管径 为0.1m，水头为20m，管道中间有二个弯头，每个弯头的 局部水头损失系数为0.3，已知沿程阻力系数λ＝0.025，试 求通过管道的流量。
Z
l d
淹
注：1 自＝淹 8
以上是按短管计算的情况。如按长管的情况，忽略
局部水头损失及流速水头损失。有
H
hf
l
d
v2 2g
水利工程的有压输水管道水流一般属于紊流的水力粗糙
区，其水头损失可直接按谢齐公式计算，用 8g 则
C2
H
8g C2
l d
v2 2g
8gl C 2 4R
Q 0.0703 3.14 0.12 19.6 20 0.01093 m2 / s
水力学第4章
γJ 2 u r0 r 2 4μ
γJ 2 r0 4μ
断面平均速度：
V
udA u 2πrdr
A
r0
A
0
πr02
umax 2
二.沿程损失系数：
umax γJ 2 γh f 2 V r0 r0 2 8μ 8 μl
第四章
流态和水头损失
§4-1
水头损失及其分类
流体从1-1断面运移到2-2断面，机械能减少：
p1 V12 p2 V22 z1 α1 z2 α2 hw γ 2g γ 2g
h w为水头损失。
hw分为两类：沿程水头损失hf和局部水头损失hj。
一.圆管流动：
hf的计算公式：
l V hf λ d 2g
u*r0 V Vd u* 2.5 ln 1.75 2.5 ln 1.75 u* ν ν 2V
又因为：
V 8 u λ
故：
1 λ 8 1.75 2.5 ln Re 2 8 λ 1 (2.5 ln 10) log Re λ 1.75 2 8
2
二.液体的非圆管流动：
A 水力半径：R χ
上式中：为过流断面上液体与固壁接触的周线长，称为湿周。
例如：
1).矩形断面管道：χ （b h) 2 A bh R χ 2(b h)
2).矩形断面排水沟：χ b 2h R A bh χ b 2h
π 2 d A 4 d 3).对于液体在圆管中的流动：R 。即：d 4 R。 χ πd 4
u um
平均速度：
水力学第四章 水动力学基础(一)
u12 2
gdQdt
z1
z2
dQdt
p1
p2
对单位重量液体而言，各项都除以 gdQdt
u22 2
u12 2
(Z1
Z2 ) (P1
P2 )
整理得：
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
元流的任意过水断面，即 ：
z p u2 常数
方程的物理意义是：
元流各过水断面上单位重量液体所具有的总 机械能沿流程减小，部分机械能转化为热能或声 能等而损失；同时，亦表示了各项能量之间沿流 程可以相互转化的关系。
4.3 实际液体总流的能量方程
将构成总流的所有2微小流束的能量方程式叠加起来，2
p v p v 即为总流的1 能量方程1 式1。
2 22
Z g 2g Z g 2g h 1
Q
(Z1
p1
g
12
2g
)gdQ
hw' 为元流单位重量液体上游过水断面1-1到下游 过水断面2-2的能量损失。
则，根据能量守恒原理可得：
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw'
该式表明： 在不可压缩实际液体恒定流情况下，元
流中不同的过水断面上总能量是不相等的， 而且是总能量沿流程减少。
4.2.2 实际液体元流能量方程的意义
m22'u 222'
水力学第四章层流、紊流,液流阻力和水头损失
3.7d
结论2:
•紊流光滑区水流沿程水头损失系数只取决于雷诺数，粗糙度不 起作用。容易得出光滑区紊流沿程损失与流速的1.75次方成正 比。 •紊流粗糙区水流沿程水头损失系数只取决于粗糙度，由于粗糙 高度进入流速对数区，阻力大大增加，这是不难理解的。容易 得出粗糙区紊流沿程损失与流速的2.0次方成正比。 •在紊流光滑区与粗糙区之间存在紊流过渡粗糙区，此时沿 程损失系数与雷诺数和粗糙度都有关。 •尼古拉兹试验反映了圆管流动的全部情况，在其试验结果图上 能划分出层流区，过渡区、紊流光滑区、紊流过渡粗糙区，紊 流粗糙区。紊流粗糙区通常也叫做‘阻力平方区’。
ro gJ 2 2 gJ 4 1 4 gJ 4 Q (ro r )2 rdr (ro ro ) d 0 4v 4v 2 128v
上式为哈根——泊肃叶定律：圆管均匀层流的流量Q与管径d 的四次方成比例。 3、断面平均流速： V
Q gJ 2 1 ro umax A 8 2
1 1 1 1 1 , , , , 及 30 61 .2 120 252 507 1
1 1 1 1 1 1 , , , , 及 30 61 .2 120 252 507 10
层流时,
64 Re
f (Re)
1 1 1 1 1 1 , , , , 及 30 61.2 120 252 507 1014
1 u u x x dt 0 T0
2、紊流的切应力 由相邻两流层间时均流速相对运动
所产生的粘滞切应力
紊流产生附加切应力
du l t v Re
t v Re 2
纯粹由脉动流速所产生 的附加切应力
dy ( du 2 ) dy
普朗特 混合长 Re 与 du 有关，根据质点脉动引起动量交换（传递），又称为动量传递理论 dy 理论
水力学第四章
第四章思考题：4-1： N・S方程的物理意义是什么？适用条件是什么？物理意义：N・S方程的精确解虽然不多，但能揭示实际液体流动的本质特征，同吋也作为检验和校核其他近似方程的依据，探讨复杂问题和新的理论问题的参考点和出发点。
适用条件：不可压缩均质实际液体流动。
4-2何为有势流?有势流与有旋流有何区别？答:从静止开始的理想液体的运动是有势流.有势流无自身旋转，不存在使其运动的力矩.4—3有势流的特点是什么？研究平面势流有何意义？有势流是无旋流，旋转角速度为零。
研究平面势流可以简化水力学模型，使问题变得简单且于实际问题相符，通过研究平面势流可以为我们分析复杂的水力学问题。
44流速势函数存在的充分必要条件是流动无旋，即竺=竺时存在势函数，存OV CX■<在势函数吋无旋。
流函数存在的充分必要条件是平面不可压缩液体的连续性方程，即就是寥+经存在流函数。
ex cy4—5何为流网，其特征是什么？绘制流网的原理是什么？流网：等势线（流速势函数的等值线）和流线（流函数的等值线）相互正交所形成的网格流网特征:（1）流网是正交网格（2）流网中的每一网格边长之比，等于流速势函数与流函数增值之比。
（3）流网中的每个网格均为曲线正方形原理:自由表面是一条流线，而等势线垂直于流线。
根据入流断面何处流断面的已知条件来确定断面上流线的位置。
46利用流网可以进行哪些水力计算?如何计算?解:可以计算速度和压强。
计算如下：流场中任意相邻之间的单宽流量Aq是一常数。
在流场中任取1、2两点，设流速为J, u2,两端面处流线间距为Ami,A m则Aq=U lAml=U2A m2,在流网中，各点处网格的Am值可以直接量出来,根据上式就可以得出速度的相对变化关系。
如果流畅中某点速度已知，就可以其他各点的速度。
当两点位置高度21和72为已知，速度J, u2已通过流亡求出吋，则两点的压 强差为2 2Pl P 2 U 2 U 1pg.pg=z 2-z i +2g -2g如果流畅中某一点压强已知，则其他个点压强均可求得4.7利用流网计算平面势流的依据是什么？（参考4.6的解释）4-8流网的形状与哪些因素有关？网格的疏密取决于什么因素?答:流网由等势线和流线构成,流网的形状与流函数q ）（x,y ）和流速势函数叭x,y ） 有关；由人q=A V =常数，AqpA 〃产常数，得两条流线的间距愈大，则速度愈小， 若间距愈小，则速度愈大。
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第四章 思考题:4-1：N-S 方程的物理意义是什么？适用条件是什么？物理意义：N-S 方程的精确解虽然不多，但能揭示实际液体流动的本质特征，同时也作为检验和校核其他近似方程的依据，探讨复杂问题和新的理论问题的参考点和出发点。
适用条件：不可压缩均质实际液体流动。
4-2 何为有势流?有势流与有旋流有何区别?答:从静止开始的理想液体的运动是有势流. 有势流无自身旋转,不存在使其运动的力矩.4—3 有势流的特点是什么？研究平面势流有何意义？有势流是无旋流，旋转角速度为零。
研究平面势流可以简化水力学模型，使问题变得简单且于实际问题相符，通过研究平面势流可以为我们分析复杂的水力学问题。
4-4.流速势函数存在的充分必要条件是流动无旋，即xu y u yx ∂∂=∂∂时存在势函数，存在势函数时无旋。
流函数存在的充分必要条件是平面不可压缩液体的连续性方程，即就是0=∂∂+∂∂yu x u yx存在流函数。
4—5何为流网，其特征是什么？绘制流网的原理是什么 ？流网：等势线（流速势函数的等值线）和流线（流函数的等值线）相互正交所形成的网格 流网特征：（1）流网是正交网格（2）流网中的每一网格边长之比，等于流速势函数与流函数增值之比。
（3）流网中的每个网格均为曲线正方形 原理:自由表面是一条流线，而等势线垂直于流线。
根据入流断面何处流断面的已知条件来确定断面上 流线的位置。
4-6.利用流网可以进行哪些水力计算?如何计算？解:可以计算速度和压强。
计算如下：流场中任意相邻之间的单宽流量∆q 是一常数。
在流场中任取1、2两点，设流速为，，两端面处流线间距为∆m1，∆。
则∆q=∆m1=∆，在流网中，各点处网格的∆m 值可以直接量出来，根据上式就可以得出速度的相对变化关系。
如果流畅中某点速度已知，就可以其他各点的速度。
流畅中的压强分布，可应用能量方程求得。
z1++=++当两点位置高度z1和为已知，速度，u2已通过流亡求出时，则两点的压强差为-=-+-如果流畅中某一点压强已知，则其他个点压强均可求得4.7利用流网计算平面势流的依据是什么？（参考4.6的解释）4-8流网的形状与哪些因素有关？网格的疏密取决于什么因素？答：流网由等势线和流线构成，流网的形状与流函数φ（x,y）和流速势函数ψ(x,y)有关；由∆q=∆ψ=常数，∆q=u1∆m1=常数，得两条流线的间距愈大，则速度愈小，若间距愈小，则速度愈大。
4-9 流函数与流速势函数之间各有哪些性质？两者之间有何联系？答：流函数的性质： 1）同一条流线上各点的流函数为常数。
2）平面势流的流函数是一个调和函数。
3）两流线之间的单宽流量等于该两条流线的流函数值之差。
流速势函数的性质：流速势函数是调和函数。
联系：在平面势流中流函数与流速势函数为共轭调和函数。
4-10流速势函数φ的增值方向与速度方向一致，即就是φ沿着流速u的方向增大；流函数ϕ的增值方向垂直于流速方向，即就是沿着等势线增大。
4-11理想液体运动微分方程式的伯努利方程的运用条件是什么？解：应用时必须满足以下条件1液体是不可压缩均质的理想液体，密度ρ为常数。
2作用于液体上的质量力是有势的。
3液体运动是恒定流。
4 dx dy dz行列式ωx ωy ωz = 0ux uy uz根据行列式的性质，满足下列条件之一都能使该行列式的值为零，即1)ωx = ωy = ωz=0,为有势流2)ux = uy = uz =0，为静止液体3)dx/ωx = dy/ωy = dz/ωz=C,这是涡线微分方程。
4)dx/ux = dy/uy = dz/uz=C，这是流线微分方程。
5)ux/ωx =uy /ωy = uz /ωz=C，为螺旋流。
4-12-S方程中的动水压强p与坐标轴的选取是否有关？答：无关4-13为什么说N-S方程是液体运动最基本的方程之一？目前它在水力学中的应用如何？答：如果液体为理想液体，此方程为理想液体运动微分方程；如果是静止液体，此方程为液体的平衡微分方程。
所以，N-S方程是研究液体运动最基本的方程之一。
N-S方程式是阶非线性非齐次的偏微分方程，求其普遍解在数学上是很困难的，仅对某些简单的问题才能求得解析解，但是，随着进算计的广泛应用和数值计算技术的发展，对于许多工程实际问题已能够求的其近似解。
4-15．能量方程式各项的意义是什么？应用中应注意哪些问题？解析：（1）意义①理想在液体能量方程：++=++因为在上式中，过水断面1-1和断面2-2是任取的，所以可将上式推广到元流的任意过水断面，即：zg++=常数1.物理意义：zg代表位能；代表压能；是单位液体所具有的动能。
所以（zg++）就代表单位质量液体所具有的总机械能，通常用E来表示。
2.几何意义：z代表位置水头，代表压强水头，为速度水头，(z+ +)则表示总水头。
②实际液体元流的能量方程++=+++1.物理意义：元流各过水断面上单位质量液体所具有的总机械能沿流程减少，部分机械能转化为热能或声能而损失；同时也表示了各项能量之间沿流程可以相互转化关系。
2.在水力学中习惯上称为水头损失。
（2）注意：①是不是理想液体，若是，用理想在液体能量方程；若不是，用实际液体元流的能量方程②,是同一基准面。
③提到压强，若为相对压强，式子左右都为相对压强；若为绝对压强，式子左右都为绝对压强。
4-16．何为总水头线和测压管水头线？水头坐标为何取垂直向上？解析：（1）测压管水头线是沿水流方向各个测点的测压管液面的连线，它反应的是流体的势能，测压管水头线可能下降，也可能上升（当径管沿流向增大时），因为径管增大时流速减小，动能减小而压能增大，如果压能的增大大于水头损失时，水流的势能就增大，测压管水头就上升。
水头总线是沿着测压管水头线的基线上再加上流速水头，它反应的是流体的总能量，由于沿流向总是有水头损失，所以总水头线沿程只能下降，不能上升。
（2）为了直观反应总流沿流程各种能量的变化规律及相互关系，可以把能量方程沿流程用几何线段图形来表示。
以0-0为基准面，以水头为纵坐标，按一定比例尺沿流程将各过水断面的z.及分别绘于图上，而且每个过水断面上的z.及是从基准面画起垂直向上依次连接的，所以水头坐标取垂直向上。
4-17 是什么？有何物理意义？答：水力坡度的意义：水力坡度表明了实际液体沿元流单位流程上的水头损失，水力坡度也就是总水头线坡度。
物理意义：它是单位重量液体沿流程单位长度上的机械能损失。
4-18 如何确定水流运动方向，试用基本方程式说明。
解：假定有1-1,2-2两个断面，则可分别写出断面1-1和断面2-2的伯努利方程：H1=Z1+P1/pg+a1V1V1/2gH2=Z2+P2/pg+a2V2V2/2g当H1>H2时，说明断面1-1的总机械能高于断面2-2的总机械能，所以水流是从断面1-1流向断面2-2。
反之，亦然。
4-19恒定总流能量方程∑F=ρQ（β），∑F中包括哪些力？动水压强必须采用相对压强表示吗？答：合外力包括表面力和质量力，动水压强不一定必须采用相对压强表示。
20. 单位质量水体的总机械能为zg+p/ρ+u2/2断面总机械能为ρQ (zg+p/ρ+u2/2)习题4-1 某管道如图所示，已知过水断面上流速分布为u=c【1-（r/r0)2】，u m ax为管轴线处的最大流速，r0为圆管半径，u是距管轴线r点处的流速。
若已知r0=3cm，u m ax=0.15m/s。
试求：（1）通过管道的流量Q；（2）断面平均流速v。
解：（1）dQ=udA=um ax[1-(r/r0)2]π.2rdrQ=⎰r0u m ax[1-(r/r0)2]π.2rdr=2πu m ax⎰r(r-r3/r02)dr rR0um axQ=2.12×104 m3/s（2）v=Q/A=0.075m/s4-2有一个坡非常都的渠道如图4-35所示，设水速为恒定的均匀流，A点距水面的垂直水深为3.5M。
以通过A点的水平面为基准面，试求A点的位置水头，并以通过B点的水平面为基准面标注图上。
解：以A点水平面为基准面，得Z=0P/ρg=ρgh cos30°cos30°/ρg=2.625m此时测压管水头为Z+P/ρg=2.625m以B点的水平面为基准面时，Z=3.5m4-3 有一倾斜放置的渐粗管如图4-36所示，A-A与B-B两个过水断面形心点的高差为1.0m，A-A断面管径d=150mm，形心点压强P A=68.5KN/m2。
B-B断面管径d B=300mm，形心点压强P B=58kn/m2,断面平均流速V B=1.5m/s,试求：（1）管中水流的方向。
（2）两端面之间的能量损失。
（3）通过管道的流量。
解：（1）H A =Z A +［(P A /g)+(/2g)］nV B A B=V A A A得V A=6m/sH A=8.83JH B=E B+(P B/+/2g)=7.03JH A>H B所以水流从A-A断面流向B-B断面（2）h Wa-b=H A-H B=1.8J（3）Q=V B A B=［1.5］=0.106/s4-4. 有一管路突然缩小的流段，如图4-7所示。
由侧压管断面1-1的压强水头，已知过水断面1-1、断面2-2的面积积分分别为=0.03，，形心点位置高度,=2.0m,管中通过的流量，两端面间水头损失。
试求断面2-2的压强水头及测压12120 0图4-37管水头，并标注在图上。
解：从断面1-1到断面2-2，根据连续性方程，有即①根据伯努利方程，有②③取修正系数④又⑤联立①②③④⑤式，得4-5 某矩形断面平底渠道，如图所示.宽度B=2.7米，河床在某处抬高△z=0.3m，若抬高前的水深H=2.0m，抬高后水面跌落△h=0.2m，不计水头损失，求渠道中通过的H图4-38流量Q。
解：取1-1断面和2-2断面:①所以，②将②代入①中，得Q=4-6水轮机的锥形尾水管，如图4-39所示。
已知断面A—A的直径D1=600mm，断面平均流速V1=5,。
出口断面的直径D2=900mm，由A到B的水头损失HW=0.2V1*V1/2g。
试求当z=5m时，断面A-A的真空度。
解：由连续性方程v1A1=V2A2，得V2=V1*A1.得V2=2.2m/s,由能量方程得Pa=0-6m-1.03m+1m+0.26m=-5.77m则pa=9800* -5.77=-56546n/(m*m)则A点的真空度P=-pa=56546 n/(m*m)4-7某虹吸管从水池取水,如所示.已知虹吸管直径d=150mm，出口在大气中。
水池面积很大且水位保持不变，其余尺寸如图所示，不计能量损失。
试求：通过虹吸管的流量Q，（2）途中A,B，C各点地动水压强。
（3）如果考虑能量损失，定性分析流量Q如何变化.解：在水面和液体出口处列伯努利方程，取C点所在水平面为基准面。