浙江高考理科数学试题及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷

数学（理科）

本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷（共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+（B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·（B ）

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：

k n k k

n n p p C k P --=)1()(

球的表面积公式 S=42

R π

其中R 表示球的半径

求的体积公式V=334R π

其中R 表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 （1）已知a 是实数，

i

i

a +-1是春虚数，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2

（2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则（A ()()=A C B B C A u u （A ）? （B ）{}0|≤χχ

（C ）{}1|->χχ （D ）{}10|-≤>χχχ或 （3）已知a ，b 都是实数，那么“2

2

b a >”是“a >b ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4

x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274

（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+

=x x y 的图象和直线2

1=y 的交点个数是

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

（6）已知{}n a 是等比数列，4

1

252=

=a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）

332（n --41） （D ）3

32（n

--21） （7）若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率

是

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （8）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （A ）

21 （B ）2 （C ）2

1

- （D ）2- （9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-?-c b c a ,则

c 的最大值是

（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）

2

2

（10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是

（A ）圆 （B ）椭圆

（C ）一条直线 （D ）两条平行直线

2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷

数学（理科）

第Ⅱ卷（共100分）

注意事项：

1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2

a ），C （3，3

a ）共线，则

a =________。

（12）已知21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB =______________。

（13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若

(

)

C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。

（14）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥

平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于___________。

（15）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________。

（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶

性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。

（17）若0,0≥≥b a ，且当??

?

??≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，

b ）所形成的平面区域的面积等于____________。

三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （18）（本题14分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，

90,AD=3,EF=2。

BE//CF，∠BCF=∠CEF=?

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60？

?

（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸

出1个球，得到黑球的概率是5

2

；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

9

7。 （Ⅰ）若袋中共有10个球，

（i ）求白球的个数；

（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望

ξE 。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于

10

7

。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

（20）（本题15分）已知曲线C 是到点P （8

3

,21-

）和到直线8

5

-

=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在 上）的动点；

A 、

B 在 上，x MB MA ⊥⊥, 轴（如图）。 （Ⅰ）求曲线

C 的方程；

（Ⅱ）求出直线 的方程，使得

QA

QB

2

为常数。

（21）（本题15分）已知a 是实数，函数)()(a x x x -=

?。

（Ⅰ）求函数)(x ?的单调区间；

（Ⅱ）设)(a g 为)(x ?在区间[]2,0上的最小值。

（i ）写出)(a g 的表达式；

（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。

（22）（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12

12

1?++∈=-+N n a a a n n n ．记

n n a a a S +++= 21．)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

．

求证：当?

∈N n 时， （Ⅰ）1+

（Ⅱ）2->n S n ； （Ⅲ）3

2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷

数学（理科）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11．12+ 12．8 13．

33 14． 9π2

15．1 16．40 17．1 三、解答题

18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：

（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，

所以AD EG

∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．

因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．

所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角． 在Rt EFG △中，因为3EG AD ==，2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =．

又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．

于是33

sin 2

BH BE BEH =∠=．

因为tan AB BH AHB =∠，

所以当AB 为9

2

时，二面角A EF C --的大小为60．

方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间

D

A B E

F

C

H

G D

A B

E

F

C

y

z x

直角坐标系C xyz -．

设AB a BE b CF c ===，，，

则(000)C ，，，(30)A a ，，，(300)B ，，，(30)E b ，，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，

，(300)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．

因为CB ⊥平面DCF ，

所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：因为(30)EF c b =--，，，(30)CE b =，，

， 所以0EF CE =，||2EF =，从而

2

3()03()2b c b c b -+-=???+-=??，

，

解得34b c ==，．

所以(330)E ，，，(040)F ，，．

设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，

解得33

(13)n a

=，，

． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，

，， 所以2||331|cos |2

||||427BA n a n BA BA n a a <>===+，，

得到92

a =

． 所以当AB 为

9

2

时，二面角A EF C --的大小为60． 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个

数为x ，则2102107()19

x

C P A C -=-=，

得到5x =． 故白球有5个．

（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是

ξ 0 1 2 3

P

112 512 512 112

ξ的数学期望

155130123121212122

E ξ=

?+?+?+?=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得2

5

y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故

112

y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则

23()551y

P B n =

+?

- 231755210+?=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于

25n ，红球的个数少于5

n ． 故袋中红球个数最少．

20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则

22

13||28NP x y ?

???=++- ? ?????，

N 到直线5

8

y =-的距离为58y +．

由题设得22

135288x y y ?

???++-=+ ? ??

???．

化简，得曲线C 的方程为2

1()2

y x x =+． （Ⅱ）解法一：

设22x x M x ??+ ???

，，直线:l y kx k =+，则

()B x kx k +，，从而2

||1|1|QB k x =++．

A

B O

Q y x

l M

在Rt QMA △中，因为

22

2

||(1)14x QM x ??

=++ ??

?，

2

2

22

(1)2||1x x k MA k

?

?+- ?

??=+． 所以22

2

2

2

2

(1)||||||(2)4(1)

x QA QM MA kx k +=-=++ . 2

|1||2|||21x kx QA k

++=

+，

222||2(1)11

2||||QB k k x QA k x k

+++=+．

当2k =时，

2

||55||

QB QA =， 从而所求直线l 方程为220x y -+=．

解法二：设22x x M x ??

+ ???

，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而

2||1|1|QB k x =++．

过Q (1

0)-，垂直于l 的直线11

:(1)l y x k

=-+． 因为||||QA MH =，所以2

|1||2|||21x kx QA k

++=

+，

222

||2(1)11

2||||

QB k k

x QA k x k

+++=+． 当2k =时，

2

||55||

QB QA =， 从而所求直线l 方程为220x y -+=．

21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综

A

B O

Q y

x

l M H

l 1

合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分． （Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，，

3()22x a x a

f x x x x

--'=+

=（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，

()f x 有单调递增区间[0)+∞，．

若0a >，令()0f x '=，得3

a

x =， 当03

a

x <<时，()0f x '<， 当3

a

x >

时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ??????，，单调递增区间3a ??

+∞ ???

，

． （Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增， 所以()(0)0g a f ==．

若06a <<，()f x 在03a ??????，上单调递减，在23a ?? ???

，

上单调递增， 所以2()333a a a g a f ??

==-

?

??

． 若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减， 所以()(2)2(2)g a f a ==

-．

综上所述，002()0633

2(2)6a a a

g a a a a ??

?=-<

，≤，，，

，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤． 若0a ≤，无解．

若06a <<，解得36a <≤． 若6a ≥，解得6232a +≤≤．

故a 的取值范围为3232a +≤≤．

22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当1n =时，因为2a 是方程2

10x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*

()n k k =∈N 时，1k k a a +<，

因为221k k a a +-22

2211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-

2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．

即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．

根据①和②，可知1n n a a +<对任何*

n ∈N 都成立．

（Ⅱ）证明：由22

111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得2

2231()(1)n n a a a a n a +++

+--=．

因为10a =，所以2

1n n S n a =--．

由1n n a a +<及22

11121n n n a a a ++=+-<得1n a <，

所以2n S n >-．

（Ⅲ）证明：由22

1112k k k k a a a a +++=+≥，得

111

(2313)12k k k

a k n n a a ++=-+≤，，，，≥

所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)

2n n n a a a a a a -+++≤

≥，

于是

2222

23221

1

(3)(1)(1)

(1)

2()22

n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤

≥， 故当3n ≥时，2

111132

2n n T -<++++

<，

又因为123T T T <<，

T ．所以3

n