数轴中的数形结合思想
七年级数学思维探究(1)数形结合话数轴(含答案)
七年级数学思维探究数与代数刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”． 1．数形结合话数轴 解读课标1．数形结合话数轴数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题例1（1）已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是_________．（2）已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________． 试一试 对于（1），赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系．例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点试一试从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小．试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较a 与b 的大小．例4 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第一步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．DCBA试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、…、100K 点所表示的数用x 的式子表示．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A 、B 两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A 、B 两点所对应的数分别为8-，20； （2）C 点对应的数为22-； （3）AM t =，202102tOP t +==+（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）．那么在线段AB上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解：原图B A 78348123814181BA对折后拉长后对折后拉长后故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪 知识技能广场1．数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对应的数是______．2．电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_________站台”．3．已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是_______．4．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周123858()1434()1878()0(1)38418121878()1434()3858()0(1)34121120141434()1878,38,58()01,12()1401201,12()1878,38,58()1434()121M109-1-2上数字1所对应的位置，这个整数是________（用含n 的代数式表示）．5．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（）A ．0a b +>B ．0ab >C ．0a b +<D ．0a b ->6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处，小明以书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x <<8．在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）A ． 1998B ．1999C ．2000D ．20019．一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 10．已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 思维方法天地11．在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是______． 12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______． 13．数形相伴 （1）如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-，2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）．1ba 210-1-2x-3.6A B 043215-3-2-1（2）若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为AB a b =-，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在________．14．点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为''A B ，且线段''A B 的中点对应的数是3，则点'A 对应的数是_______，点A 移动的距离是________．15．点1A 、2A 、3A 、…、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）A ．2008，2009-B ．2008-，2009C ．1004，1005-D ．1004，1004- 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点17．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b -18．不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）A ．在A 、C 点右边B ．在A 、C 点左边 C ．在A 、C 点之间D ．以上均有可能19．在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？20．已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位／秒． （1）问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位／秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 应用探究乐园 21．操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的DCBAcb a点向右平移1个单位，得到点P 的对应点'P ．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段''A B ，其中，点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．如图所示，若点A 表示的数是3-，则点'A 表示的数是_______；若点'B 表示的数是2，则点B 表示的数是________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点'E 与点E 重合，则点E 表示的数是__________．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动，已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如44x =，55x =，64x =），求2011x 所对应的数．B'A -1-2-3-412341．数形结合话数轴 问题解决例1 （1）b a a b <-<<- （2）4或2或2-或4- 例2 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-．例3 当点B 在原点的右边时，0b a <<，则a b >；当点A 在原点的左边时，0b a <<，则a b <；当点A 、B 分别在原点的右、左两侧时，0b a <<，这时无法比较a 与b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，0b a <=，则b a >；当点B 正好在原点位置时，0b a =<，则a b >．例4 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则1K 、2K 、…、100K 点所表示的有理数分别为1x -，12x -+，123x -+-，…，123499100x -+-+-+，由题意得12349910019.94x -+-+-+=． 数学冲浪1．5-或1 2．113- 3．3或7-4．（1）2；（2）31n + 5．A 6．A 7．C 8．C 9．12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．12 11．115-AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．6-13．（1）如图所示，点C 、D 两点即为所求． （2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．74；194 AB 长为()15322⎛⎫---= ⎪⎝⎭，'A 对应数为1573224-⨯=，点A 移动的距离为()719344--=． 15．C 16．C 17．C 18．C19． 24与40 20．（1）设x 秒后甲到A 、B 、C 距离和为40 ()102414---= ()101020--=．①当甲在A 、B 之间时 ()()41441442040x x x +-+-+=，得2x =． ②当甲在B 、C 之间时 ()()44142041440x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇()()461024x +=-- 1034x = 3.4x =．24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=+-⨯-，解得7x =． ∴()102661062106944x x -⨯-=-+=-⨯=-．D C B A 4321-1-2-3②设甲向C走5秒后掉头返回y秒与乙相遇2445410566y y-+⨯-=-⨯-，解得8y=-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇．21．0；3；32．设E点表示的数为x，则'E点表示的数为113x+，由113x x=+得32x=．22．因201182513=⨯+，22513505⨯+=，故2011x所对应的数为505．。
利用数轴感悟数形结合思想-精选文档
利用数轴感悟数形结合思想数学是思维的体操，学习数学可以使你思考问题时更合乎逻辑，更有条理，更严密精确，更深入简洁，更善于创新……数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法.数形结合是中学数学中一种重要的思想方法.“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是数学家华罗庚对数形结合思想的深刻、透彻的阐释.具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题借助于“形”去观察，或将“形”的问题借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想.因此，我们数学教师在教学过程中既要注重基础知识的教学，更要以学生为本，不断向学生渗透有关数学思想，关注学生的发展.数轴是初中数学中非常重要的概念和工具,是初中数学中最早体现“数形结合”思想的典型范例.在数学教学中恰当地运用数轴,不论是让学生透彻地理解概念,还是培养学生正确而迅速地解决问题的能力,都有不可替代的作用.下面是本人利用数轴感悟数形结合思想的几点做法与体会.一、数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图1.图 1原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可.数轴在初中数学中的运用是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它的建立不仅使最简单的形（数轴上的点）与实数间建立了一一对应关系，还揭示了数形间的内在联系，使实数的很多性质可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，将负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较、实数的相关概念、不等式(组)的解集等知识的“数”和“形”有机地融合在一起，学生可以结合图形进行直观分析，以数和形为纽带，解决问题.二、利用数轴理解相反数，感悟数形结合思想像+2和-2，-3和3这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0.在数轴上，表示相反数（除零外）的两个点分别在原点的两边，并且到原点的距离相等，这两个点关于原点对称.通过数轴我们可以用数形结合的思想更加直观地理解相反数的概念.如图2，a的相反数是-a.图 2三、利用数轴定义绝对值，感悟数形结合思想在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.如：在数轴上表示数3的点与原点的距离为3，所以3的绝对值是3，即|3|=3.又如在数轴上表示数-3的点与原点的距离也为3，所以-3的绝对值也是3，即|-3|=3.由于表示距离的数是非负数，所以a的绝对值是一个非负数，|a|≥0.领会了绝对值的几何定义，理解它的代数意义就容易了：正数的绝对值是它本身(当a>0时，|a|=a)；负数的绝对值是它的相反数(当a-2b.七、用数轴估算实数，感悟数形结合思想例4 如图8，数轴上点P表示的数可能是().图 8A.-3B.-7C.-3.2D.-10分析由数轴可知点P表示的数在-3和-2之间，即点P在-9和-4之间.因为-90，c0，|a|=|b|，所以a与b互为相反数，得a+b=0.所以，原式=-a+|0|-(a-c)-2(-c)=-a+0-a+c+2c=3c-2a.本题利用数轴从“形”想“数”，需充分挖掘图像中隐含的信息，考查了实数的化简求值问题，在计算时要灵活运用a2=|a|.总之，数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，教师在有关知识的教学过程中应充分利用数轴，注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结,让学生体会“数”与“形”的密切联系，感悟数形结合在解题中的应用，从而加深对所学知识的理解和掌握.通过应用数形结合思想解决问题，能使复杂问题简单化、抽象问题具体化，提高学生的解题能力，增强学好数学的自信心.【。
数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究
数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究一、本文概述随着教育改革的深入和素质教育的推进，小学数学教学也在不断探索和创新教学方法。
数形结合思想作为一种重要的数学思想方法，已经在小学数学教学中得到了广泛的应用。
本文将探讨数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究，旨在通过分析数形结合思想在小学数学教学中的作用，为小学三年级数学教学提供更为科学、有效的教学方法和手段。
数形结合思想是指将数学中的数与形相互结合，通过直观的图形来帮助学生理解和掌握数学概念、定理和解题方法。
在小学数学教学中，数形结合思想的应用不仅可以帮助学生更好地理解数学概念和定理，还可以提高学生的数学思维能力，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
本文将从以下几个方面对数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用进行研究：介绍数形结合思想的基本概念和特点；分析数形结合思想在小学三年级数学教学中的重要作用；接着，探讨数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用方法和策略；通过实证研究，评估数形结合思想在小学三年级数学教学中的实际效果，并提出相应的建议和改进措施。
通过对数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究，希望能够为小学数学教师提供更为科学、有效的教学方法和手段，帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高学生的数学素养和综合素质。
二、数形结合思想的理论基础数形结合思想作为一种重要的数学教学方法论，其理论基础源于数学学科的本质属性和儿童的认知发展规律。
数形结合，即将数学中的数量关系和空间形式结合起来，以图形的直观性辅助理解数量的抽象性，或者通过数量的精确性来揭示图形的性质。
这种思想在小学三年级数学教学中具有广泛的应用价值。
从数学学科的角度来看，数形结合思想是数学学科本身的内在要求。
数学是研究数量关系和空间形式的科学，数量与图形是数学的两个基本要素。
在数学的发展过程中，数与形常常是相互渗透、相互转化的。
数形结合思想正是基于这种数与形之间的相互关系，通过数与形的相互转换来揭示数学问题的本质。
数形结合思想
汽车提前10分钟到达工厂，其少走的路程为；两倍的车站 到A的距离。即从车站到A汽车用时5分钟。张工程师用时 50分钟。 汽车速度是步行速度的10倍。
二、关系图 关系的图示法很多，研究对象可以用点（或方 框或圆圈）表示，对象间的关系户则用连接两者 的线段表示，线段可以添加箭头或标注。 例3 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象 棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经 赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘， 问小强已经赛了多少盘？ 乙 甲 分析： 丙 将五个人看成五个 “点”，两人比赛过， 丁 小强 就用线条连接相应的两 点。
三、树形图 例5 已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K 代表十个互不相同的大于0的数，要使下列等 式都成产，A最小是什么数？
B+C=A ； G+H=D ；
D+E=B ； E+F=C ； H+I=E ； I+K=F 。
分析：将这十个数字的 关系用树形图表示。
四、矩形图
如果一道题涉及的是两种数量以及它们的乘 积（速度、时间和路程），则可用矩形的长和 宽表示这两种量，而用矩形的面积表示它们的 积。 因此，能借助几个矩形的长、宽和面积之间 的关系进行推理或计算。
第十四章 数形结合思想
数形结合思想 就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分 析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间 形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决 数学问题的思想。 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来， 关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问 题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，包含“以 形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为 两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的 联系, 在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转 化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存 在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的， 使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图， 这是基本的、自然的手段。如一年级认数时数轴与对应点 之间的关系.
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
数轴上的数形结合
数轴上的数形结合《数轴上的数形结合》嘿，同学们！你们知道吗？在数学的世界里，有一个超级神奇的东西，那就是数轴！有一次上数学课，老师在黑板上画了一条长长的线，然后在线上标了几个数字，告诉我们这就是数轴。
我当时心里就犯嘀咕：“这有啥神奇的呀？不就是一条带数字的线嘛！”可是，随着老师的讲解，我发现自己大错特错啦！老师说：“同学们，想象一下，数轴就像是一个神奇的跑道，数字们在上面赛跑。
正数就像向前冲的运动员，跑得又快又远；负数呢，就像是倒着跑的，越跑离起点越远。
”这比喻，一下子让我觉得数轴有趣多了！老师还在数轴上标出了几个点，然后问我们：“如果这个点代表5，那距离它3 个单位长度的点是多少呢？”同学们都开始叽叽喳喳地讨论起来。
小明说：“那肯定是8 呀！”小红马上反驳道：“不对不对，还有可能是2 呢！”我在心里默默想：“哎呀，他们说得好像都有道理，到底是多少呢？”老师笑着说：“大家说得都对，距离5 三个单位长度的点，既可能是8，也可能是2。
这就是数轴的魅力呀！”后来，老师又出了一道题：“在数轴上，A 点表示-2，B 点表示4，那么A、B 两点之间的距离是多少？”这可把我难住了，我瞪大眼睛看着数轴，脑子却像一团乱麻。
同桌拍拍我的肩膀说：“别着急，你看，4 - （-2）不就等于6 嘛，这就是距离呀！”我恍然大悟：“原来是这样啊！”通过这一次次的学习和讨论，我越来越觉得数轴就像一个藏着无数秘密的宝藏图。
每一个点都像是一个神秘的符号，等待着我们去解读它的含义。
数轴不就像我们的人生道路吗？正数是顺境，负数是逆境。
有时候我们顺风顺水，一路向前；有时候又会遭遇挫折，仿佛在倒退。
但不管怎样，我们都在这条“数轴人生”上努力前行，不是吗？总之，数轴上的数形结合可真是太有趣、太有用啦！它让我看到了数学的奇妙，也让我更加喜欢探索数学的世界！。
苏教版初一数学数轴中的数形结合思想
数轴中的数形结合思想【链接方法】数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想──数形结合思想.华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：1.运用数轴直观地表示有理数(rational number)；2.运用数轴形象地解释相反数(opposite number)；3.运用数轴准确地比较有理数的大小；4.运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题.【挑战例题】【例1】(1) (第17届江苏省竞赛题)数轴上有A 、B 两点,如果点A 对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,•那么点B 对应的数是________.(2) (第15届江苏省竞赛题)在数轴上,点A 、B 分别表示-13和15,则线段AB 的中点所表示的数是________.【例2】(第12届“希望杯”邀请赛试题)如图,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C•所表示的数最接近的整数是( ). F E D C AA.-1B.0C.1D.2【例3】比较a 与1a的大小.【例4】(1)工作流水线上顺次排列5个工作台A 、B 、C 、D 、E ，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？(2)如果工作台由5个改为6个,那么工具箱应如何放置能使6•个操作机器的人取工具所走的路程之和最短?(3)当流水线上有n 个工作台时,怎样放置工具箱最适宜?【提升能力】1. (2003年河南省竞赛题)如图,A 、B 、C 、D 、E 为数轴上的五个点,且AB=BC=CD=DE,则图中与P•点表示的数比较接近的一个数是( ).A.-1B.1C.3D.52.（2013年山东省菏泽市中考题）如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别是a 、b 、c ，其中AB=BC ，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点B 与点C 之间或点C 的右边3. (第15届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a,b,c,d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是( ).A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点4. (第18届江苏省竞赛题)数a 、b 、c 、d 所对应的点A 、B 、C 、D 在数轴上的位置如图所示,那么a+c 与b+d 的大小关系是( ).A.a+c<b+dB.a+c=b+dC.a+c>b+dD.不确定的 D C B A O（第3题） （第4题）5．（2007年江苏省镇江市中考题）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①33=x ；②15=x ；③108104x x <；④20082007x x <．其中，正确的结论的序号是（ ）A ．①、③B ．②、③C ．①、②、③D ．①、②、④6.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3,则a-3=________.7.a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则1a b -、1c b -、1a c-中最大的是________. c a b 0 （第7题） （第8题）8.如图,工作流程线上A 、B 、C 、D 处各有1名工人,且AB=BC=CD=1,现在工作流程线上 安放一个工具箱,使4个人到工具箱的距离之和为最短,•则工具箱的安放位置是__________.9. 已知a 、b 为有理数，且a >0，0<b ，0<+b a ，将四个数a ，b ，a -，b -按由小到大的顺序排列是________________________．10. (山东省竞赛题)已知数轴上表示负有理数m 的点是点M,那么在数轴上与点M 相距│m │个单位的点中,与原点距离较远的点对应的数是________.11．（2005年江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该 圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上的数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．（1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =______；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周为正整数）n n (圈后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是______（用含n 的代数式表示）．12. (北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和.310513.已知两数a、b,如果a比b大,试判断│a│与│b│的大小.14.电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4…,•按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94,•试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数.15.动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．。
数形结合思想与数轴
数形结合思想与数轴一、利用数轴解决交、并、补混合运算问题【例1】 集合A ＝{x |x ＜5}，B ＝{x |x ＞0}，C ＝{x |x ≥10}，则A ∩B ，B ∪C ，A ∩B ∩C 分别是什么？ 分析：解决此类问题应先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．【针对性练习1】已知全集U ＝R ，A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，求：(1)∁U A ，∁U B ；(2)(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∩B )，由此你发现了什么结论？(3)(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∪B )，由此你发现了什么结论？ 分析：根据补集的含义，提示学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．二、已知集合关系利用数轴求参数的范围【例2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围． 分析：由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，则有B ＝∅或B ≠∅，因此对集合B 分类讨论．【针对性练习1】已知集合}3{+≤≤=a x a x A ,1{-<=x x B 或}5>x 。
（1）若∅=B A ，求实数a 的取值范围；（2）若B B A = ，求实数a 的取值范围。
【针对性练习2】已知集合A={y|y>a 2+1或y<a},B={y|2≤y≤4}，若A∩B≠φ，则实数a 的取值范围为_____.【针对性练习3】已知集合12{-<<-=x x A 或}0>x ，}{b x a x B ≤≤=，满足}20{≤<=x x B A ， {}|2A B x x =>-，求a b ，的值．。
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数轴中的数形结合思想 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第1讲数轴中的数形结合思想
【链接方法】
数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想──数形结合思想.华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：
1.运用数轴直观地表示有理数(rationalnumber)；
2.运用数轴形象地解释相反数(oppositenumber)；
3.运用数轴准确地比较有理数的大小；
4.运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题.
【挑战例题】
【例1】(1)(第17届江苏省竞赛题)数轴上有A、B两点,如果点A对应的数是-2,且A、B两点的距离为3,•那么点B对应的数是________.
(2)(第15届江苏省竞赛题)在数轴上,点A、B分别表示-1
3
和
1
5
,则线
段AB的中点所表示的数是________.
【例2】(第12届“希望杯”邀请赛试题)如图,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C•所表示的数最接近的整数是().
【例3】比较a与1
a
的大小.
【例4】(1)工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短
(2)如果工作台由5个改为6个,那么工具箱应如何放置能使6•个操作机器的人取工具所走的路程之和最短
(3)当流水线上有n个工作台时,怎样放置工具箱最适宜
【提升能力】
1.(2003年河南省竞赛题)如图,A、B、C、D、E为数轴上的五个点,且
AB=BC=CD=DE,则图中与P•点表示的数比较接近的一个数是().
（2013年山东省菏泽市中考题）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（）
A．点A的左边B．点A与点B之间
C．点B与点C之间D．点B与点C之间或点C的右边
3.(第15届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别是整数a,b,c,d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是().
点点点点
4.(第18届江苏省竞赛题)数a、b、c、d所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示,那么a+c与b+d的大小关系是().
+c<b++c=b++c>b+dD.不确定的
（第3题）（第4题）
5．（2007年江苏省镇江市中考题）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所
对应的数，给出下列结论：①33=x ；②15=x ；③108104x x <；④
20082007x x <．其中，正确的结论的序号是（）
A ．①、③
B ．②、③
C ．①、②、③
D ．①、②、④
6.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3,则a-3=________.
、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则
1a b -、1c b -、1a c -中最大的是________.
（第7题）（第8题）
8.如图,工作流程线上A 、B 、C 、D 处各有1名工人,且AB=BC=CD=1,现在工作流程线上
安放一个工具箱,使4个人到工具箱的距离之和为最短,•则工具箱的安放位置是__________.
9.已知a 、b 为有理数，且a >0，0<b ，0<+b a ，将四个数a ，b ，a -，b -按由小到大的顺序排列是________________________．
10.(山东省竞赛题)已知数轴上表示负有理数m 的点是点M,那么在数轴上与点M 相距│m │个单位的点中,与原点距离较远的点对应的数是________.
11．（2005年江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该
圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上的数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所
对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =______；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周为正整数）n n (圈后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是______（用含n 的代数式表示）．
12.(北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1,点A
与原点O 的距离为3,求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和.
13.已知两数a 、b,如果a 比b 大,试判断│a │与│b │的大小.
14.电子跳蚤落在数轴上的某点K 0,第一步从K 0向左跳1个单位到K 1,第二步由K 1向右跳
2个单位到K 2,第三步由K 2向左跳3个单位到K 3,第四步由K 3向右跳4个单位到K 4…,•按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是,•试求电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数.
15.动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正
方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A 、B 的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）
（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动3
秒时的位
置；
（2）若A 、B 两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处
在两个动
点正中间；
（3）在（2）中A 、B 两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C 同时从B
点位置出
发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往
返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那
么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．。