中考数学二次函数考点分析
二次函数作为中考重点考查内容的原因分析及教学反思
二次函数作为中考重点考查内容的原因分析及教学反思在中考数学考试中，二次函数作为一个重点考查内容，具有重要的原因和意义。
本文将分析二次函数作为中考重点考查内容的原因，并对教学进行反思，以期提高学生的学习效果和应试能力。
一、二次函数的重要性及应用背景1. 与实际问题紧密相关二次函数在实际世界中有着广泛的应用，例如物体的抛射运动、抛物线的轨迹等等。
掌握二次函数的概念和性质，对于学生理解和应用数学知识到实际问题解决中起到了关键作用。
2. 发展数学思维二次函数作为高中数学的重要内容，涉及到函数的图像、变化趋势、极值点等概念和计算方法。
通过学习二次函数，学生可以培养和发展数学思维，提高逻辑推理和问题解决能力。
3. 培养创新能力二次函数作为重点考查内容，考察学生在解决实际问题时的创新能力。
通过解析几何、图像分析等方法，学生需要将数学理论与实际问题相结合，从而培养学生的创新思维和动手能力。
二、教学反思及改进措施1. 提高教学方法的多样性二次函数教学要注重培养学生的兴趣和主动参与，可以通过多媒体展示、实例分析等方式，加深学生对概念和性质的理解。
同时，可以增加小组合作学习的环节，让学生相互讨论、解决问题，提高教学的互动性和趣味性。
2. 引导学生理解与应用的结合针对二次函数的应用背景，教师应引导学生从实际中找到数学概念的具体应用，并培养学生解决实际问题的能力。
可以通过案例分析和实际模拟等方式，让学生将数学知识灵活运用到实际中，加深对知识的理解和记忆。
3. 针对性强化习题训练为了提高学生的应试能力，教师应及时纠正学生的错误并针对性地强化训练。
可以结合历年真题或模拟试题，针对性地组织习题训练，让学生熟悉考试题型和解题技巧，提高解题速度和准确度。
4. 增加拓展性教学在学生掌握基础知识之后，可以适当增加一些拓展性的教学和学习内容。
例如，介绍更高阶的多项式函数、不等式、函数的复合等内容，拓宽学生的数学视野，提高学生的学习兴趣和思维能力。
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零．二次函数的定义域是全体a≠，而b c实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：=+的性质：y ax c结论：上加下减。
总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。
总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：总结：1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。
请将2y ax bx c =++配成()2y a x h k =-+。
总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)222-32一．选择题1．二次函数522+-=x x y 的值域是（ ）Ａ．)4∞+， ［ Ｂ．),4(∞+ Ｃ．(4， ∞-］ Ｄ．)4,( -∞2．如果二次函数452++=mx x y 在区间)1,(--∞上是减函数，在区间),1[+∞-上是增函数，则=m （ ）Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-103．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不相等的实数根，则m 的聚值范围是（ ） Ａ．),6()2,(+∞⋃--∞ Ｂ．)6,2(- Ｃ．)6,2[- 0 Ｄ．}6,2{- 4．函数3212-+=x x y 的最小值是（ ） Ａ．-3. Ｂ．.213- Ｃ．3 Ｄ．.2135．函数2422---=x x y 具有性质（ ）Ａ．开口方向向上，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0）Ｂ．开口方向向上，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） Ｃ．开口方向向下，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） 6．下列命题正确的是（ ）Ａ．函数3622--=x x y 的最小值是23 Ｂ．函数3622---=x x y 的最小值是415 Ｃ．函数342+--=x x y 的最小值为7 Ｄ．函数342+--=x x y 的最大值为77．函数（1）3422-+=x x y ；（2）3422++=x x y ；（3）3632---=x x y ；（4）3632-+-=x x y 中，对称轴是直线1=x 的是（ ） Ａ．（1）与（2） Ｂ．（2）与（3） Ｃ．（1）与（3） Ｄ．（2）与（4） 8．对于二次函数x x y 822+-=，下列结论正确的是（ ）Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值89．如果函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对于任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么下列选项中正确的是（ ）Ａ．)4()1()2(f f f <-< Ｂ．)4()2()1(f f f <<- Ｃ．)1()4()2(-<<f f f Ｄ．)1()2()4(-<<f f f 10．若二次函数1422+-=x x a y 有最小值，则实数a ＝（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2± Ｄ．2±二．填空1．若函数12)(2-+=x x x f ，则)(x f 的对称轴是直线2．若函数322++=bx x y 在区间]2,(-∞上是减函数，在区间],2(+∞是增函数，则=b 3．函数9322--=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 、 4．已知6692+-=x x y ，则y 有最 值为 5．已知12842++-=x x y ，则y 有最 值为 三．解答题1．已知二次函数342-+-=x x y ，（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x 为何值时0=y ；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。
中考数学二次函数基础知识
中考数学二次函数基础知识
二次函数
正比例函数是：y=kx(k≠0) 两个数的商是常数(x/y=k,k≠0)一次函数是：y=kx+b(k≠0)
反比例函数： 两个数的积是常数(xy=k,k≠0)二次函数：y=ax 2+bx+c
1、二次函数y=ax 2+bx+c 一些基本概念①
二次函数是一条关于 x=- 对称的抛物线。
此抛物线有三大特征：有开口方向，有对称轴，有顶点。
考点一、 二次函数的概念
a
b
2
考点五、二次函数的解析式的几种应用例1
例2例3
解法1用一般式方法，由于顶点D点的横坐标为-1，所以是以 x=- = -1为对称轴的
解法2知道顶点和交点就可利用顶点式方法：再把BC点代入
a
b
2
解法
知道和x轴的两个交点，可直接用交点式方法：
3
解析：由于抛物线是以D为顶点（-1，？）为对称轴的，又和x轴交于两点AB,因为B点坐标是（-3，0），就可推出A的坐标是（1，0）
例4知道最值和对称轴，可直接用顶点法。
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
中考数学必考考点专题12二次函数含解析
专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
二次函数(最全的中考数学二次函数知识点总结)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法➢ 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；➢ 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ➢ 二次函数2ax y =的性质✧ 二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ ✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.➢a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.➢ 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . ➢ 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 ➢ 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小．➢ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：➢ 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式➢ 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ➢ 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.➢ 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点➢y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.➢ 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a cx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．➢ 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-➢ 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移➢ 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： ➢【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
2.二次函数的系数a与开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3. 二次函数的零点：二次函数的零点即函数的解，即满足方程y=ax²+bx+c=0的x的值。
4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点（a>0，开口向上）或最高点（a<0，开口向下）。
二、图像与性质1. 平移变换：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将函数向左平移h个单位，记作y=a(x-h)²+bx+c；向上平移k个单位，记作y=a(x-h)²+bx+(c+k)。
2. 对称轴：对于二次函数y=a(x-h)²+bx+c，其对称轴为x=h。
3.最值：当二次函数开口向上时，最小值等于顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，最大值等于顶点的纵坐标。
4.单调性：若a>0，则二次函数是单调递增的；若a<0，则二次函数是单调递减的。
1. 因式分解：二次函数可以通过因式分解的方法求解，对于形如y=x²+bx+c的二次函数，可以通过找到满足(x+p)(x+q)=0的p和q来求解。
2. 二次方程的解与二次函数的零点：对于二次函数y=ax²+bx+c，当y=0时，可以得到ax²+bx+c=0，即二次方程。
所以二次函数的零点就是二次方程的根。
3.二次函数与坐标变换：二次函数可以通过坐标变换的方法进行图像的绘制与分析。
根据函数中的系数和平移变化，我们可以找到相关的坐标点，进而绘制出图像。
四、易错点1.没有注意二次函数系数与开口方向之间的关系，导致图像的绘制错误。
2.对于二次函数的平移变换不够熟练，不能正确确定平移的方向和单位。
3.没有理解二次函数的最值和单调性，导致在题目中的应用出现错误。
中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版)
二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。
【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质； 二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。
考点一：二次函数的概念及三种解析式概念 形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝【答案】C【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意；故选：C ．考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2.1） B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣＝﹣＝2.y ＝＝＝1.二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ．3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大 当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-． 当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值D．顶点坐标是（1.2）【答案】D【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上.故A错误；当x＝1时.函数有最小值2.故B错误；对称轴为直线x＝1.故C错误；顶点坐标为（1.2）.故D正确．故选：D．4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中.一次函数y＝ax与二次函数y ＝ax2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：选项A.直线下降a＜0.抛物线开口向上.a＞0.不符合题意．选项B.直线下降.a＜0.抛物线开口向下a＜0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.不符合题意．选项C.直线上升.a＞0.抛物线开口向上a＞0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.符合题意．选项D.直线上升.a＞0.抛物线开口向下a＜0.不符合题意．故选：C．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3【答案】C【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m.∴抛物线的开口向下.对称轴是直线x＝﹣1.∴当x＞﹣1时.y随x的增大而减小.∵（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点.∴点（﹣3.y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1.y3）.∵1＜5.∴y1＝y2＞y3.故选：C6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k.因为a＝﹣1＜0.所以抛物线开口向下.所以当x＞k时.y的值随x值的增大而减小.而x＞2时.y的值随x值的增大而减小.所以k≤2．故选：B．考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤常数项系数c决定抛物线与y 轴的交点的位置⑴ 当0c >时.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方⑵ 当0c =时.抛物线与y 轴的交点为坐标原点⑶ 当0c <时.抛物线与y 轴的交点在x 轴下方ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点 决定抛物线与x 轴的交点个数关系式 实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负【答案】C【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b.将（﹣1.0）.（1.1）代入y＝kx+b得.∴y＝x+.如图.当抛物线与线段AB相切时.令x+＝x2+c.整理得x2﹣x﹣+c＝0.∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0.解得c＝.c减小.抛物线向下移动.当抛物线经过点A（﹣1.0）时.将（﹣1.0）代入y＝x2+c得0＝1+c.解得c＝﹣1.∴﹣1≤c≤满足题意．故选：C．8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵0＜﹣＜1.∴b＜0.2a﹣b＞0.①不正确.不符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.②不正确.不符合题意．∵x＝1时.y＜0.∴a+b+c＜0.③正确.符合题意．∵x＝﹣1时.y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确.符合题意．∵x＝2时.y＞0.∴4a+2b+c＞0.⑤正确.符合题意．故选：C1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2【答案】B【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1.故选：B．2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧【答案】C【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3.∴当x＝0时.y＝﹣1.故选项A错误.该函数的对称轴是直线x＝﹣1.当x＜﹣1时.y随x的增大而减小.故选项B错误.图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）.故选项C正确.图象的对称轴在y轴的左侧.故选项D错误.故选：C．3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2.∴二次函数图象开口向下.对称轴为直线x＝﹣1.顶点为（﹣1.0）.∵A（﹣4.4.y1）和B（﹣3.3.y2）.∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|.∴y1＜y2＜0.故选：C．4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5.∴该抛物线的顶点M的坐标为（1.﹣5）.∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1.5）.故选：C．5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1.∴b＝﹣2a＜0.∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.①错误．∵抛物线与x轴有2个交点.∴b2﹣4ac＞0.∴b2＞4ac.②正确．∵b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.由图象可得x＝﹣1时y＞0.∴a+2a+c＝3a+c＞0.③正确．∵c＜0.∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0.∵x＝﹣1时y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确．故选：C．1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.∴可画出上图.∵抛物线对称轴x＝＝1.∴点（0.﹣5）的对称点是（2.﹣5）.∴当x＝2时.y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.∴a﹣1＞0.∴a＞1.故选：B．4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上.∴a＞0.故A错误.∵图象对称轴为直线x＝﹣2.且过B（﹣1.0）.∴A点的坐标为（﹣3.0）.故B错误.D正确.由图象知.当x＜0时.由图象可知y随x的增大先减小后增大.故C错误.故选：D．5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知.a＞0.b＜0.c＝1.对称轴为直线x＝﹣.由直线可知.a ＞0.b＜0.直线经过点（﹣.0）.故本选项符合题意；B、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；C、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；D、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；故选：A．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【解答】解：由图象可知.抛物线开口向下.所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2.所以b＝﹣4a.所以b＞0.故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点.所以b2﹣4ac＞0.故B正确．由图象和对称轴公式可知.抛物线与x轴交于点（5.0）和（﹣1.0）.所以方程ax2+bx+c ＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1.故C正确．由图象可知.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5.故D错误．故选：D．7．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3.解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝.把x＝2代入y＝x+1得y＝3.∴函数最大值为y＝3．故选：C．8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1.0）.B（3.0）代入二次函数y＝ax2+bx+c.可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a.∵该函数图象开口方向向下.∴a＜0.∴b＝﹣2a＞0.c＝﹣3a＞0.∴ac＜0.3a+c＝0.①错误.③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1.∴x＜1时.y随x的增大而增大.x＞1时.y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时.函数取得最大值.即对于任意的m.有a+b+c≥am2+bm+c.∴a+b≥am2+bm.故④正确．综上.正确的个数有2个.故选：B．9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．【答案】（1）y＝+2 （2）6 （3）4【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上.A、B的横坐标分别为﹣2、4.∴A（﹣2.1）.B（4.4）.设直线AB的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中.令x＝0.则y＝2.∴C的坐标为（0.2）.∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点.作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2.此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半.作直线P1P2关于直线AB的对称直线.交抛物线两个交点P3、P4.此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半.所以这样的点P共有4个.故答案为4．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【答案】A【解答】解：A．是二次函数.故本选项符合题意；B．是一次函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；C．是反比例函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式.不是整式.不是二次函数.故本选项不符合题意；故选：A．2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2【答案】D【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1.∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1.∴抛物线顶点为（m.﹣1）.当﹣1≤m≤1时.∵﹣1＞﹣2＞﹣5.∴顶点在线段AB的上方.不符合题意；当m＜﹣1时.若二次函数的图象与线段AB交于点B.则当x＝﹣1时.y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5.解得：m1＝﹣3.m2＝1（舍去）.∴要使二次函数的图象在线段AB的下方.则需要将图象向左平移.∴m＜﹣3.当m＞1时.若二次函数图象与线段AB交于点A.则当x＝1时.y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2.解得：m1＝2.m2＝0（舍去）.∴而要使二次函数始终在线段AB下方.则需要将图象向右平移.∴m＞2.综上所述：m＜﹣3或m＞2．故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵对称轴为直线x＝1.∴b＝﹣2a.∵B（﹣1.0）.∴A（3.0）.∴a﹣b+c＝0.∴c＝﹣3a.∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；①当x＝1时.函数的最大值是a+b+c.故①不正确；②当x＝﹣2时.y＜0.∴4a﹣2b+c＜0.故②不正确；③∵函数与x轴有两个不同的交点.∴Δ＝b2﹣4ac＞0.故③正确；④由图象可知当y＜0时.x＜﹣1或x＞3.故④正确；故选：B．。
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中考数学二次函数考点分析
二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年河北中考热点之一。
学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。
二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。
其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。
利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，如2010年河北中考11题，2009河北中考22题，2007河北中考22题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，如2010年河北中考26题，2008河北中考25题，2006河北中考24题。
考点1：二次函数的有关概念
一般的，形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
例m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？考点2：二次函数的图象性质
（1）抛物线的形状
二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
（2）抛物线的平移
二次函数y=ax?向右平移h个单位，向上平移k个单位后得到新的二次函数y=a(x-h)2+k,进一步化简计算得到二次函数y=ax?+bx+c。
新函数与原来函数形状相同，只是位置不同。
（3）抛物线与坐标轴的交点
抛物线与x轴相交时y＝0，抛物线与y轴相交时x＝0。
（4）抛物线y=ax2+bx+C中a、b、c的作用
a决定当开囗方向，a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
a和b共同决定对称轴。
C决定与y轴交点。
（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值
顶点式：y=a(x-h)2+k顶点坐标（h，k），对称轴x=h, 最大（小）值k。
一般式：y=ax?+bx+c顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。
例1.(2008河北中考9题)如图4，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的
对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂
直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）
例2.（2009河北中考9题）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间
满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
例3.（2010河北中考11题）如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为
A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3）D．（4，3）
例4.（2011河北中考8题）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是（）
A. 1米
B. 5米 C .6米 D .7米
例5.（2009河北中考22题）已知抛物线经过点和点P （t，0），且t ≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
例6.（2011河北中考26题）如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t>0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,-5),D(4,0)
（1）求c，b（用含t的代数式表示）
（2）当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M，N
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=
（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。
考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系
例1.如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t-5t2。
考虑以下问题
（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
例2.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.
根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋.
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?
考点3：求二次函数的解析式
例1.（2007河北中考22题）如图13，已知二次函数的
图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
考点4：二次函数的图象、性质在生活中的应用
例1.（2006河北中考24题）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因
素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．例2.(2008河北中考25题)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部
费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、
乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当
年的最大年利润为35万元．试确定的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．例3.(2010河北中考26题)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润= 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a
为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润= 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内= 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还
是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．。