第六章变量之间的关系
培养孩子耐性的有效三秘诀
第六章变量之间的关系1．小车下滑的时间海原县关桥中学马俊一、学生起点分析学生的知识技能基础：本节课是学生在七年级上册教材中学习了探索规律，从统计图中获取信息的基础上，通过表格形式来理解变量、自变量、因变量这些概念。
我们生活在变化的世界中，变量与变量的关系，在生活生产中无处不在，通过对实际问题的理解，在表格信息中发现两个变化的量，通过了解哪一个是主动变化的，哪一个是随着变化的，来识别自变量和因变量，这对今后学习函数知识是非常重要的。
学生的活动经验基础：在以前的学习中，学生已经经历了分组学习、互相探讨、合作交流等形式可以解决一些实际问题，因此具备了合作学习的能力。
二、教学任务分析在学生现有的知识基础上，本节的教学及学习任务是鼓励学生充分地从表格中获取信息，运用自己的语言进行描述，并与同伴进行交流，提高学生合作交流的意识。
通过对表格的观察，进一步体会变量之间的关系，来明确自变量与因变量，并发展学生通过资料分析进行预测的能力。
为此本节课的教学目标如下：1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。
2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
3．能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。
三、教学设计分析本节课设计了七个教学环节:情境引入、分组实验、合作探究、概念介绍、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节情境引入活动内容:我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中经常发生变化的事物。
如:随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了……活动目的:通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化，培养学生善于观察的能力。
实际教学效果:大部分学生能够举出例子。
从学生熟悉的事例入手,提高了他们的学习热情,培养了他们的学习兴趣,并能深刻体会到数学来源于生活。
精华版七年级下册第六章 变量之间的关系知识点汇总(超强总结)
七年级下册知识点总结第六章变量之间的关系一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
第六章《变量的关系》测试题
咸阳道北铁中七年级数学学科导学案课题：第六章《变量的关系》测试题 主备人:刘晓东各备课组长签字： 教务处评定： 姓名 班级一、选择题(每小题3分，共30分)1.下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）从表中获取的的信息错误的是（ ）A.人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量B.1969～1979年10年间人口增长最快C.若按1949～1999这50年的增长平均值预测，我国2009年人口总数为14亿D.从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐加大2.甲、乙二人在一次赛跑中，路程s （米）与时间t(分)误的是（ ）A.这是一次100米赛跑B.甲比乙先到达终点C.乙跑完全程需12.5秒D.甲的速度为8米/秒 3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。
当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S 1、S 2分别表示 乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）4.星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t （分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A.从家出发，到了一个公共阅读报栏， 看了一会儿报，就回家了.B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了. C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18分钟后才开始返回. 5. 一辆汽车以平均速度60千米/时的速度在公路上行驶，则它所走的路程s （千米）与所用的时间t （时）的关系表达式为（ ）A. s=60tB.s=t 60 C. s=60t D. s=60t 6.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是（ ） A、沙漠 B 、体温 C 、时间 D 、骆驼 7、长方形的周长为24cm ，其中一边为x （其中0 x ），面积为y 2cm ，则这样的长方形中y 与x 的关系可以写为（ ）A 、y=2x B 、y=12x 2C 、y=(12-x)·xD 、y=2·x ·(12-x)8、地表以下的岩层温度y 随着所处深度x 的变化而变化，在某个地点y 与x 的关系可以由公式y=35x+20来表示，则y 随x 的增大而（ ）A 、增大B 、减小C 、不变D 、以上答案都不对 9、变量x 与y 之间的关系是y=21 x 2-1，当自变量x=2时，因变量y 的值是（ ） A ． ―2 B ． ―1 C ． 1 D ． 210、如图，若输入x 的值为－5，则输出的结果（ ） A ． ―6 B ． ―5C ． 5D ． 6二 耐心填一填：（共36分）11．表示变量之间的关系常常用 三种方法。
第6章 相关与回归分析习题解答
第六章 相关与回归分析思考与练习一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。
答：错。
应是相关关系。
单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。
2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。
答：.错。
相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。
3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。
答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。
4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。
答：错。
两者是精确的函数关系。
5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。
答：对。
6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。
答：对。
因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。
二、选择题1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、da.正相关；b. 不相关；c. 完全相关；d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：aa. 10≤≤R ；b.11≤≤-R ；c.1≤≤∞-R ；d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、da.22R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102≤≤R ；d.比2R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、da 样本容量；b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差c 自变量预测误差；d 随机误差项的方差三、问答题1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。
然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。
第六章-相关与回归
间相关程度的比较。
（2）1≤r≤1，0≤|r|≤1。 |r|越接近于1，说明两变量的相关程度越强； |r|越接近于0，两变量的相关程度越差。
（3）r=0表示x与y无相关， r＜0表示负相关， r＞0表示正相关， |r|=1为完全相关。
二、样本相关系数的计算
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
前面已经指出，要研究两种变量间的关系，最简单的方 法是把一系列观测数据在坐标中用散点图表示，如果散点 大致分布在一条直线附件，就可以判断两者为直线回归关 系。这种关系可用直线回归方程表示。则总体直线回归方 程为：
yi xi i （i=1，2，…，n） i服 N 0 从 ，2，且相互独
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是平行关系，是研究变量间关系的强弱程度，此
时我们不关心在它们之间是谁影响了谁，谁是因，谁是果， 变量间的地位是平等的。如黄牛的体长和胸围之间的关系， 猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
另一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几 个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、 饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影 响。
N 1N 1 (XX X)Y ( Y Y)
(XX)Y (Y) (XX)2 (YY)2
r SP xy
xy(x)n(y)
SSxSSy
x2(nx)2y2(ny)2
其中：
SPxy— 变量x和变量y的离均差乘积和简称乘积和 SSx — 变量x 的离均差平方和 SSy — 变量y 的离均差平方和
相关系数r 的特点:
变量。
例如，进行药物疗效试验 时，应用不同的剂量 （x），分析疗效（y）如 何受到药物剂量的影响及 其变化规律。这里规定的
6.1第六章回归分析
变量之间的联系
确定型的关系：指某一个或某几个现象的变动必然会 引起另一个现象确定的变动，他们之间的关系可以使 用数学函数式确切地表达出来，即y=f(x)。当知道x的 数值时，就可以计算出确切的y值来。如圆的周长与 半径的关系：周长=2πr。 非确定关系：例如，在发育阶段，随年龄的增长，人 的身高会增加。但不能根据年龄找到确定的身高，即 不能得出11岁儿童身高一定就是1米40公分。年龄与 身高的关系不能用一般的函数关系来表达。研究变量 之间既存在又不确定的相互关系及其密切程度的分析 称为相关分析。
（3）方差齐性检验
方差齐性是指残差的分布是常数，与预测变量或 因变量无关。即残差应随机的分布在一条穿过0点 的水平直线的两侧。在实际应用中，一般是绘制 因变量预测值与学生残差（或标准化残差）的散 点图。在线性回归Plots对话框中的源变量表中,选 择SRESID或ZRESID（学生氏残差或标准化残差） 做Y轴；选择ZPRED（标准化预测值）做X轴就 可以在执行后的输出信息中显示检验方差齐性的 散点图。
要认真检查数据的合理性。
2、选择自变量和因变量
3、选择回归分析方法
Enter选项，强行进入 法，即所选择的自变量 全部进人回归模型，该
选项是默认方式。
Remove选项，消去法， 建立的回归方程时，根
据设定的条件剔除部分
自变量。
选择回归分析方法
Forward选项，向前选择 法，根据在option对话框中 所设定的判据，从无自变 量开始。在拟合过程中， 对被选择的自变量进行方 差分析，每次加入一个F值 最大的变量，直至所有符 合判据的变量都进入模型 为止。第一个引入归模型 的变量应该与因变量间相 关系数绝对值最大。
得到它们的均方。
初一下册 第6章 变量之间的关系
初一下册第六章复习（回忆）一、变量变数或变量，是指没有固定的值，可以改变的数。
变量以非数字的符号来表达，一般用英文或拉丁字母表示变量。
与变量对立的即是常量，常量也称作常数。
按照变量之间的时间因果等关系，可以将变量分为自变量和因变量。
在这里，为了能够更好理解这两个基本概念的联系与区别，我们通过两个角度来叙述。
（一）实践中的变量变量是指在实验中可以变化的因素。
在实验中，由实验者操纵和调控的变量叫做自变量。
例如，在探究光照强度对光合速率影响的实验中，人为控制和调节光照强度，则光照强度就是自变量。
实验中由于实验变量而引起实验对象的变化和结果叫做因变量。
例如，在探究光照强度对光合速率影响的实验中，由于光照强度不同，使得实验对象的光合速率有所变化，这个光合速率的变化就叫做因变量。
再如，我们可以分析人体这个系统中，呼吸对于维持生命的影响，那么呼吸就是自变量，而生命维持的状态被认为是因变量。
系统和模型可以是一个二元函数这么简单，也可以是整个社会这样复杂。
（二）抽象出的变量在函数关系式中，某特定的数会随一个（或几个）变动的数的变动而变动，就称为因变量。
如：Y=f(X)。
此式表示为：Y随X的变化而变化。
Y是因变量，X是自变量。
各种函数举例：①一次函数：一般式是y=kx+b(k≠0)，其中x为自变量，y为因变量，k为系数，b为常数项（常数项即为恒定不变的数值）。
②反比例函数：一般式是y=k/x，其中x为自变量，y为因变量，k为比例系数。
③二次函数：y=ax^2;+bx+c(a≠0)，其中x为自变量，y为因变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
（三）自变量与因变量区别与联系①自变量与因变量之间存在因果关系。
我们知道，变化的量称为自变量，由变化的量而引起的另一个量的变化，那么这一个量叫因变量。
很显然，这是一个由“因”导致“果”的过程，自变量是“因”，因变量是“果”。
我们在某些物理、化学、生物或心理等实验中，为了研究某种因素对实验对象的某种性质产生何种影响，以及随着该因素量或质的变化，这种影响程度将如何改变。
统计学第六章 研究变量的关系：相关与回归
• 例：
第三节 简单线性回归：推断
• 前两节从数据分析的角度对数据之间关系 的模式进行搜寻，如果将可观察的数据作 为总体的一个样本，搜寻到的模式就是总 体变量关系的一种估计，由此需要统计推 断方法来估计与检验此种关系。 • 推断问题开始于对总体模型的假定，本节 仅限于一个解释变量与一个响应变量线性 关系的研究，这被称为简单线性回归或一 元线性回归。
• 最小二乘回归特点：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 可决系数R-squared： 表示在响应变量的总变动中能被回归方程解 释的百分比，用来描述直线关系的强度。 在一元线性回归中，其值等于相关系数的 平方。
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 残差（residuals）：
回归线是解释变量与响应变量之间线性关系整体模 式的数学模型，研究与整体模式的偏差也是很重 要的。
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
残差图：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 回归中的异常观测点和有影响的观测点
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 小心使用相关与回归方法：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
• 例：
第二节 数值型数据之间关系研究：相关与回归
第一节 分类数据之间关系研究：列联表
模型2：检验独立性
Model for Examining Independence in Two-Way Tables Select an SRS of size n from a population. Measure two categorical variables for each individual. The null hypothesis is that the row and column variables are independent. The alternative hypothesis is that the row and column variables are dependent. CASE7.2
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七年级数学下册（北师大版）达标检测题七
第六章
变量之间的关系
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到 0.01亿）
时间（年）
1949 1959 1969 1979 1989 1999 人口（亿）
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
从表中获取的的信息错误的是（
）
A. 人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量
B. 1969〜1979年10年间人口增长最快
C. 若按1949〜1999这50年的增长平均值预测，我国 2019年人口总数为14亿
D. 从1949〜1999这50年人口增长的速度逐渐加大
2. 某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时，主要依据的是下面表格的数据：
鸡的质量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间（分）
40
60
80 100 120
140
160
180
设鸡的质量为千克，烤制时间为分，则当千克时，（ ）
A.140
B. 138
C. 148
D. 160
3.
报载：我省人均耕
地已从 1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩.平均每年约减少 0.04亩，若不采取措施，继续按此
速度减下去，若干年后我省将无地可耕 .无地可耕的情
况最早会发生在（
）年
A.2022
B. 2023
C.2024
D. 2025
4. 在关系式y=3x+5中，下列说法：①x 是自变量，y 是因变量；②x 的数值可以任意选择；
③y 是变量，它的值与 x 的值无关；④用关系式表示的，不能用图像表示；⑤ y 与x 的关 系还可以用列表和图像法表示，其中说法正确的是（ ）
A.①②③
B.①②④
5. 如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，
的关系可表示为（ ）
人
2 A.y= x
3
C.①②⑤
D.①④⑤
那么圆珠笔的售价
y （元）与圆珠笔的支数 x 之间
B. .y=
6. 甲、乙二人在一次赛跑中，路程
出，下列结论错误的是（
A.这是一次100米赛跑
B.
C.乙跑完全程需12.5秒
D.
7. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事： 爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。
3 x
2
s （米）与时间 ）
甲比乙先到达终点 甲的速度为8米/秒 领先的兔
子看着缓慢 当它醒来时，发现乌龟
C.y=12x
D.y=18x
t （分）的关系如图所示，从图中可以看
快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）
8.如图，某产品的生产流水线每小时可生产100件产品•生产前没有产品积压. 生产3小
时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量（y）是时间（t ）的函数,
那么，这个函数的大致图象只能是（）
•
9.星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离F面
描述符合小红散步情景的是
与散步所用的时间t （分）之间的关系，依据图象，
A. 从家出发，到了一个公共阅读报栏，
看了一会儿报，就回家了•
B. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一
会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了
C. 从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D. 从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，
18分钟后才开始返回•
S （米）
（）
s
（米）
200
100
500
400
300
2 4 6 8 10 12 14 16 18 t （分）
S （千米）与10. 一辆汽车以平均速度60千米/时的速度在公路上行驶，则它所走的路程所用的时
间t （时）的关系表达式为（
A. S = 60 t
B. S =
60
t
二.填空题：（每小题5分，共30分）
11. .A、B两地相距500千米，一辆汽车以
C.
t S =
60 D.
50千米/时的速度由A地驶向B地.汽车距B地在
这个变化过程中，自变量
的距离y（千米）与行驶时间t（之间）的关系式为
是_____ ，因变量是_______ .
12某人用新充值的50元IC卡打长途电话，按通话时间3分钟内收2.4元，超过1分钟加
收一元钱的方式缴纳话费.若通话时间为t分钟（t大于等于3分钟），那么电话费用w可
以表示为________ ;当通话时间达到10分钟时，卡中所剩话费从50元减少到 _________________ 元.
13.下表是春汛期间某条河流在一天中涨水情况记录表格：
时间/时04812162024超警戒水位/米+0.2+0.25+0.35+0.5+0.7+0.9+1.0
上升到；
—水位上升最快•
⑴时间从0时变化到24时，超警戒水位从⑵借
助表格可知，时间从___________________ 到.
14、
一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了
、击宀 n 速度
一段时间后，汽车到达下一个车站，乘客上、下车后汽车开始加速一 段时间后又开始匀速行驶，试将这一过程中汽车的速度与时间的关系 在右边用一幅图近似地刻画出来
15、 1〜6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重
y （克）和月龄
时间
x （月）间的关系可以用y=a+700x ，其中a 是婴儿出生时体重.一个婴儿出
生关系:
月龄/月
1
2
3
4
5
6
体重/月
16
之间的关系如图，请根据图像填
空: .⑻中途加油 升.42丰Q/升 小时• 36
230公里，机动车每小时走
4030 公里，油箱中的油能否使机动车到达目的地？答： 三、解答题（共50分）
17、（8分）将下列各情境的序号写在相符合的图象下面 ⑴足球守
门员大脚开出去的球（高度与时间的关系） ⑵一杯越晾越凉的水（速度与时间的
关系）
18、一年中，每天日照（从日出到日落）的时间是不同的，下图表示了某地区从 1998年1
中余油量Q （升）与行驶时间t （时）
⑴机动车辆行驶了 ______ 小时后加油 ⑵加油后油箱中的油最多可行驶 ⑶如果加油站距目的地还有
24
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 t/ 时
18 12
• 6
•
月1日到1998年12月26日的日照时间
⑴右图描述是哪两个变量之间的关系？其中自
变量是什么？因变量是什么？
⑵哪天的日照时间最短？这一天的日照时间约
是多少？
⑶哪天的日照时间最长？这一天的日照时间约
是多少？
⑷大约在什么时间段内，日照时间在增加？在
什么时间段内，日照时间在减少？⑸说一说该
地一年中日照时间是怎样随时间而变化的.
（12分）
一年之中第几天
19、（9分）图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外
所走的路程与时间的变化图•根据图回答问题：
⑴9时，10时30分，12时所走的
路程分别是多少？
⑵他休息了多长时间？
⑶他从休息后直至到达目的地这段
时间的平均速度是多少？
所挂物体的质量/千克012345678弹簧的长度/cm1212.51313.51414.51515.516
⑵如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？写出y与x的关系式.
⑶如果此时弹簧最大挂重量为25千克，你能预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少？
21、（12分）南宁市某中学环保兴趣小组对南湖清除淤泥工程进行调查，并从《南宁晚报》中收集到下列数据：
南湖面积（单位：米2）淤泥平均厚度（单位：米）每天清淤泥量（单位：米3）160万0.70.6万
⑴请你按体积=面积X高来估算，南湖的淤泥量大约有多少万立方米？⑵设清除淤泥x天后，剩余的淤泥量为y （万米3），求y与x的关系式.
⑶为了使南湖的生物链不遭破坏，仍需保留一定量的淤泥•若需保留的淤泥量约为22万
米3,求清除淤泥所需天数•。