数学一年级第五章第一节三角函数角的概念推
数学人教A版(2019)必修第一册5-2-1 三角函数的概念
11
3
sin
71
6
tan
19
3
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan
36 3
1 1 3 1 3 22
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
问题2 三角函数符号与公式
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
探
（弧度制）
三角函数
定义域
究
sin
3
的终边与单位圆的交点坐标为
(1 , 3) 22
，
所以 sin 5 3 cos5 1 tan 5 3
y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
7
1
6
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin ,
6
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
【例2】如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
小学数学重点认识三角函数和三角关系的概念
小学数学重点认识三角函数和三角关系的概念在小学数学学习中，三角函数和三角关系是重要的概念。
通过学习这些概念，学生可以更好地理解和解决与角度、边长以及图形相关的问题。
本文将详细介绍小学数学中三角函数和三角关系的定义和应用。
一、认识三角函数三角函数是描述角度与边长之间关系的一类函数。
在小学数学中，最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，用于描述角度与三角形的对边与斜边之间的比值关系。
在一个直角三角形中，角A的正弦值等于对边a与斜边h之间的比值，表示为sinA=a/h。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，用于描述角度与三角形的邻边与斜边之间的比值关系。
在同一个直角三角形中，角A的余弦值等于邻边b与斜边h之间的比值，表示为cosA=b/h。
3. 正切函数（tan）正切函数同样是一个周期函数，用于描述角度与三角形的对边与邻边之间的比值关系。
在直角三角形中，角A的正切值等于对边a与邻边b之间的比值，表示为tanA=a/b。
二、认识三角关系三角关系是指角度和线段之间的数学关系。
在小学数学中，最常见的三角关系有勾股定理和正弦定理、余弦定理。
1. 勾股定理勾股定理用于描述直角三角形中的线段关系。
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理成立，即a² + b² = c²。
2. 正弦定理正弦定理用于描述任意三角形中的线段关系。
假设三角形的三个内角为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有正弦定理成立，即a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 余弦定理余弦定理也用于描述任意三角形中的线段关系。
设三角形的三个内角为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有余弦定理成立，即c² = a² + b² - 2ab*cosC。
三、三角函数和三角关系的应用三角函数和三角关系在实际生活及其他学科中有着广泛的应用。
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
第5章+第1讲+任意角和弧度制及任意角的三角函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
2．(多选)(2021·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是( ) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若 α 是第二象限角，则α2是第一或第三象限角
答案
解析 对于 A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是－60°，故错误； 对于 B，钝角大于锐角，显然正确；对于 C，若三角形的内角为 90°，是终 边在 y 轴正半轴上的角，故错误；对于 D，因为 α 是第二象限角，所以 2kπ ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，所以 kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k∈Z，α2是第一或第三象限角， 故正确．故选 BD.
解
弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，记住下列公式 ①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，α 是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任 意两个量．
3.(多选)(2021·青岛模拟)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法正确的有( )
答案 2 解析 由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为 2r，故弧长为 2 r 的弧所对的圆心角为 2.
解析 答案
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 角的概念及表示
例 1 (1)(2021·赤峰模拟)若角 α 的终边与 240°角的终边相同，则α2的终
边所在象限是( )
A．第二或第四象限
B．第二或第三象限
半轴重合，终边经过点 P(－1，2)，则 sinα－cosα＋tanα＝________.
3 5－10
答案
5
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高一数学三角函数知识点讲解
高一数学三角函数知识点讲解在高一数学的学习中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅在数学领域中有着广泛的应用，还为后续学习物理等学科打下了坚实的基础。
下面，我们就来详细地讲解一下高一数学中三角函数的相关知识。
一、角的概念的推广在初中，我们对角的认识主要局限在 0°到 360°之间。
但在高中，为了更全面地研究角，我们将角的概念进行了推广。
正角：按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。
角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限就称这个角是第几象限角。
如果终边落在坐标轴上，就称这个角不属于任何象限。
二、弧度制角度制是用度（°）作为度量单位来度量角的大小。
而弧度制则是以“弧度”为单位来度量角的大小。
如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l，那么角α的弧度数的绝对值是｜α| ＝ l ／ r 。
弧度与角度的换算：180°＝π 弧度，1°＝π ／ 180 弧度，1 弧度＝（180 ／π）°。
在弧度制下，扇形的弧长公式为 l ＝｜α| r ，扇形的面积公式为 S ＝ 1/2 ｜α| r² 。
三、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝√（x²＋y²) ，那么正弦函数：sinα ＝ y ／ r余弦函数：cosα ＝ x ／ r正切函数：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0）三角函数值在各象限的符号：第一象限：正弦、余弦、正切都是正的；第二象限：正弦是正的，余弦、正切是负的；第三象限：正切是正的，正弦、余弦是负的；第四象限：余弦是正的，正弦、正切是负的。
四、同角三角函数的基本关系平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα ／cosα （cosα ≠ 0）五、诱导公式诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。
高一数学人必修件第五章三角函数的概念
利用诱导公式可以简化三角函数的计算和证明过程，例如求$sin 15^circ$的值，可以利用诱导公式将其转化为 $sin(45^circ - 30^circ)$，然后利用两角差的正弦公式进行计算。
03
三角函数的图像与性质
正弦函数、余弦函数的图像与性质
正弦函数y=sinx的图像
是一个周期函数，周期为2π，图像呈现波浪形，振幅为1，在y轴上方和下方各有一个最 高点和一个最低点。
$1 + tan^2alpha = sec^2alpha$
商数关系
01
02
03
$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$
$cotalpha = frac{cosalpha}{sinalpha}$
$secalpha = frac{1}{cosalpha}$
04
$cscalpha = frac{1}{sinalpha}$
除了正弦、余弦、正切函数外，还有余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)等其 他的三角函数。
三角函数在各象限的性质
第一象限内，正弦、余弦、正切函数的值均为正；第 二象限内，正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负 ；第三象限内，正弦、余弦函数值为负，正切函数值 为正；第四象限内，余弦函数值为正，正弦、正切函 数值为负。
三角函数在平面几何中的应用
在平面几何中，三角函数可以用来求解角度、边 长等问题，如利用正弦定理、余弦定理等。
3
三角函数在立体几何中的应用
在立体几何中，三角函数可以用来求解空间角、 二面角等问题，以及计算一些特殊几何体的表面 积和体积。
三角函数在物理中的应用
三角函数在力学中的应用
角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
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由OA旋转到OB位置时，就形成一个角
；
在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成
了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就
形成大于 的角．
如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针
方向旋转，形成与上述方向 的角．
3
角 的 推 广
归纳
创设情景 兴趣导入
通过上面的两个实例，发现仅用0°-360°范 围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际 问题，需要对角的概念进行推广．
表示
用角的顶点与边的字母表示角 ∠AOB或∠O 用小写希腊字母α、β、γ、……来表示角.
6
角 的 推 广
动脑思考 探索新知
将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴， 此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.
终边在坐标轴上的角叫做界限角.
自己作图表示一下吧．
7
运用知识 强化练习
第5章 三角函数 5.1角的概念推广
1
问题
创设情景 兴趣导入
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上， 小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一 圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈． 那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢 ？
2
创设情景 兴趣导入
问题
动画演示
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向
4
动脑思考 探索新知
角 的 推 广
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或 顺时针）方向旋转到另一位置OB 就形成角α．
旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB 叫做角α的终边，端点O 叫做角α的顶点．
动画演示
5
角 的 推 广
动脑思考 探索新知
类型
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角； 当射线没有作任何旋转时，所形成的角叫做零角．
15
角 的 推 广
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
16
角 的 推 广
布置作业 继续探究
阅读
书面
教材章节5.1
学习与训练5.1
实践
生活中角的概念 的推广实例
17
试验
9
问题引导 动手探究 在直角坐标系中作出390°、－330°和30°角， 这三个角的终边有何关系？
动画演示
10
问题引导 动手探究
390°=30°+1×360° -330°=30°+（-1）×360° 390°、－330°与30°角之差都是
360°角的整数倍数， 它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的 终边位置后，分别继续按逆时针或顺时 针方向再旋转一周所形成的角．
练习5.1.1
在直角坐标系中分别作出下列各角，
并指出它们是第几象限的角：
⑴ 60°；
⑵ －210°；
⑶ 225°； ⑷ －300°.
动画演示
8
问题引导 动手探究 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的 位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照 顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转 到OB的位置时所形成角的特征．
集合 S { k3 6 0,k Z }
选取k，使得角在要求范围内.
13
角 的 推 广
巩固知识 典型例题
例2 写出终边在y轴上的角的集合．
解 终边在 y 轴上的角的集合是
S ｛ ︱ n 180 90 , n Z ｝．
当 n 取偶数时，角的终边在 y 轴正半轴上； 当 n 取奇数时，角的终边在 y 轴负半轴上．
与30°角终边相同的角还有哪些？
11
动脑思考 探索新知
角
的 推 广
一般的，与角α终边相同的角（包括角α在内），都可以表 示为 α +k·360°(k∈Z)的形式．
与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
S { k3 6 0,k Z }
动画演示
12
பைடு நூலகம்
角 的 推 广
巩固知识 典型例题
例1 写出与下列各角终边相同的角的集合S, 并写出S中在-360°～720°范围内的角： ⑴ 60°； ⑵ －114°26′．
14
角 的 推 广
应用知识 强化练习
练习5.1.2
1.在 0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角， 并指出它们是哪个象限的角：
⑴ 405°；⑵ 165°；⑶ 1563°；⑷ 5421°．
2.写出与下列各角终边相同的角的集合， 并且把集合中在－360°～360°之间的角写出来：
⑴ 45°；⑵ －55°；⑶ －220°45′；⑷ 1330°．