图形的分割与拼接

本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．例题精讲令狐采学图形的分割与拼接将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．板块一图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)：⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为⑵ 过点任作一条直线，直线将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．→【解析】⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．【例 4】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．【解析】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，边长正好为3，所以边分成两段，找到的三等分点，现在，，，，所以还要找到的中点，连接，就把梯形分成完全相同的两部分．如右上图．【例 5】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形水池的中心A．过O、A画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．【例 6】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？【解析】先把图形分成相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．【例 7】下图是一个的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】分成的两块每块有(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有(个)小格，所以分成的两块每块有(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例 8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．【例 9】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图．【例 10】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【解析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是??与，【解析】，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．【例 11】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？【解析】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．答案不唯一．【例 12】(第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”个字．【解析】如下图所示：答案不唯一．【例 13】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？【解析】看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由??个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉．??现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列??种可能出现的情况：【例 14】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学O学而思奥数数奥思而学→O学而思奥数数奥思而学图 1图2【解析】图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转、、、、便得到其他三块，如右上图．【例 15】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转、、就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位．即每一块都由9个小正方格组成．另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑．①将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”．按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”．②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线．并将这些截线绕中心点旋转、、得到另外三段截线．如下图．利用它们设想出划分线．③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号(横线阴影)，如图．对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“”．每一块都有9个方格组成，不能断开．下图是分解了的分块过程示意图．④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“【例 16】正三角形【解析】采用分割法，过、、分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【巩固】正方形的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：(平方米)．【巩固】正六边形的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：(平方米)【例 17】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由个边长为厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是厘米．⑶ 分割后个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．【分析】⑴ 因为总共有个小正方形，所以分成个大小形状相同的图形后每个图形应该有(个)小正方形，如图．⑵ 每个小图形的周长为厘米．⑶ 个小图形的周长和：(厘米)，原图形的周长：(厘米)，所以相差(厘米)．【例 18】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 19】(《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【解析】分割的方法不唯一，如右图所示．板块二图形的拼合【例 20】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例 21】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 22】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：→→→ 【例 23】 有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【解析】 利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成． 1111＇1＇1＇→2222＇2＇2＇1111＇1＇1＇→3＇3＇3＇3332222＇2＇2＇1111＇1＇1＇【例 24】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：()()()已有型板30块，要购买、两种型号板若干，拼成正方形10个，型板每块价格5元，型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买、两种板要花多少元？【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有30个型板最好能用上，而价格较贵的型板尽可能少用，因为型与型的面积都为3，所以在拼成的的正方形中，除了型外，余下的面积应能被3整除．有或能被3整除知，只能用4块型板或1块型板，考虑尽可能多地使用型板，有如下图1、图2 的拼法：图1 图2图1的拼法要花(元)，图2的拼法要花(元)，因为只有30块型板，所以在10快的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：(元)【例 25】试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．【解析】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三图形的剪拼【例 26】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例 27】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边长和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右图．【例 28】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】总共有36块小正方形，所以最后拼成的大正方形边长有6个单位，具体切拼方法如下：【例 29】试将一个的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】已知长方形格数个??，所以正方形的边长应为??个格，因此可以把长方形上半部分成??个格、??个格，下半部分成??个格、??个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为??个格的正方形，如右下图．【巩固】长方形的长和宽各是??厘米和??厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．【解析】已知长方形面积【解析】为长，现在要把△补到△的位置上，这就要求这两个三角形完全一样，显然，只要取、分别为、的中点即可．所以首先连接的中点和的中点，将△沿剪开，再按顺时针方向旋转180°即可．如下图所示．【例 30】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．【解析】方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图．方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图．方法一：方法二：【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．方法一：方法二：【解析】方法一：考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形，两个完全相同的三角形即可拼成一个大的三角形，如左上图所示．方法二：连接矩形一个角与一边中点的连线，将分割出的三角形沿中点处旋转180°即可，如右上图所示．【巩固】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．方法一：方法二：【解析】将例题逆推即可．【例 31】把一个正方形分成??块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等．【解析】连接正方形的对角线，把正方形分成了??个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成??个小等腰直角三角形和??个等腰梯形．如图⑴所示??，出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了如图⑵、⑶所示??．⑴⑵⑶【例 32】有一块长??米、宽??米的长方形地毯，现在要把它移到长??米、宽??米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？【解析】地毯的面积为平方米，新房间的面积为平方米，两者虽然长、宽不相等，但面积相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米，我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动2米，即得右下图．【例 33】如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．。