统计推断
名词解释统计推断
统计推断（Statistical inference）是指根据样本数据对总体特征进行推断或估计
的过程。
在统计学中，我们通常无法获得整个总体的数据，而只能通过收集样本数据来了解总体的特征。
统计推断的目标是利用样本数据推断总体的参数值、进行假设检验或构建置信区间等。
统计推断主要涉及两个方面：参数估计和假设检验。
1. 参数估计：通过样本数据估计总体参数的数值。
参数可以是总体均值、方差、比例等。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
- 点估计：通过样本数据得到一个具体的数值作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
- 区间估计：给出一个区间范围，估计总体参数落在该区间内的概率。
常见的区间估计方法包括置信区间的构建。
2. 假设检验：对总体特征做出某种假设，并基于样本数据对该假设进行检验。
假设检验通常涉及一个原假设（null hypothesis）和一个备择假设（alternative hypothesis）。
- 原假设：对总体特征的一个陈述或假设，通常表示为没有效应或没有显著差异等。
- 备择假设：与原假设相反或互补的假设，通常表示为存在效应或存在显著差异等。
在假设检验中，通过计算样本数据的统计量（如均值、比例）与理论分布的
期望值进行比较，来评估原假设的可信性。
常见的假设检验方法包括t检验、F 检验和卡方检验等。
统计推断在科学研究、数据分析和决策制定中起着重要的作用，它帮助我们通过样本数据来了解总体，并对观察到的现象做出推断和判断。
统计学中的统计推断
统计学中的统计推断统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，它在各个领域中都有着广泛的应用。
其中，统计推断是统计学中的一个重要分支，它通过对样本数据进行分析和推断，从而对总体进行估计和判断。
一、统计推断的基本概念统计推断是指通过对样本数据的分析，对总体的特征和参数进行估计和推断。
在统计推断中，我们常常使用抽样方法来获取样本数据，然后根据样本数据来推断总体的特征。
统计推断的基本思想是利用样本数据来推断总体的分布、均值、方差等参数。
二、参数估计参数估计是统计推断的一个重要内容，它通过样本数据来估计总体的参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是通过样本数据来估计总体参数的一个方法。
在点估计中，我们通过样本数据计算出一个数值作为总体参数的估计值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的点估计方法，它通过选择使得观测数据出现的可能性最大的参数值作为估计值。
最大似然估计的核心思想是通过观测数据来推断参数的概率分布。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它通过样本数据的矩来估计总体的参数。
矩估计的核心思想是利用样本数据的矩与总体的矩之间的关系来进行参数估计。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一个方法。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间包含了总体参数的真值的可能范围。
常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是一种常用的区间估计方法，它通过样本数据计算出一个区间，该区间以一定的置信水平包含了总体参数的真值。
置信区间的核心思想是通过样本数据的变异性来推断总体参数的不确定性。
预测区间是另一种常用的区间估计方法，它通过样本数据计算出一个区间，该区间以一定的置信水平包含了未来观测值的可能范围。
预测区间的核心思想是通过样本数据的变异性和总体参数的不确定性来推断未来观测值的不确定性。
三、假设检验假设检验是统计推断的另一个重要内容，它通过样本数据来判断总体的特征是否符合某个假设。
统计推断
χ2分布是连续型变量的分布，每个不同的自由度都有 一个相应的卡方分布曲线，所以其分布是一组曲线。 χ2分布的偏斜度随自由度降低而增大，当自由度 df=1时，曲线以纵轴为渐近线。 随自由度df的增大， χ2分布曲线渐趋左右对称，当 df>30时，卡方分布已接近正态分布。
对于给定的α(0<α<1)，称满足条件 P{χ2 >χα2}=α的点 χα2为χ2分布的上α分位点（右尾 概率）。
(1)零假设是有意义的;
(2)根据零假设可以计算因抽样误差而获得样本结果的概率。
零假设：治疗后的血红蛋白水平没有变化。 假设 接受零假设 否定零假设 克矽平没有疗效 克矽平有疗效
与零假设相对立的假设
HA
备择假设 (alternative hypothesis)
在拒绝H0的情况下，可供选择的假设。
HA:μ >μ HA:μ <μ
第四章
统计推断(statistical inference)
统计推断
概念
由一个样本或一糸列样本所得的结果来推 断总体的特征。
假设检验
参数估计
统计推断的任务
分析误差产生的原因 确定差异的性质 排除误差干扰 对总体特征做出正确判断
例：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数0＝126(mg/L)，
2 ＝240 (mg/L)2的正态分布。现用克矽平对6位矽肺病患者进 行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量x =136(mg/L)。
步骤 提出假设 确定显著水平（） 选定检验方法，计算检验统计量
作出推断结论
不同的自由度，t分布有不同的曲线。 相同的df，t值越大，概率P越小。
相同t值，双尾概率P为单尾P的两倍。 df增大，t分布接近正态分布。
统计推断的基本概念
统计推断的基本概念统计学是一门研究收集、分析、解释和展示数据的科学。
在统计学中，统计推断是一种重要的技术，用于从样本数据中推断总体的特征。
在本文中，我们将介绍统计推断的基本概念，并探讨它的应用和重要性。
什么是统计推断统计推断是通过对样本数据的分析和解释，作出关于总体特征的推断。
总体是指我们感兴趣的整体群体，而样本是从总体中抽取出来的一部分。
通过分析样本数据，我们可以推断总体的特征，并对其进行估计和推测。
统计推断的步骤统计推断通常包括以下几个步骤：1. 制定假设在进行统计推断之前，我们需要制定一个或多个假设。
假设是对总体特征的猜测或假设，可以分为零假设和备择假设。
零假设通常表示不会有显著差异或效应，而备择假设则表示存在显著差异或效应。
2. 收集样本数据收集样本数据是进行统计推断的基础。
样本应该具有代表性，并且大小应根据总体大小、可用资源和所需要的精确度来确定。
3. 数据分析在收集样本数据后，我们需要对数据进行分析。
这可能包括描述性统计分析（如平均值、标准差等）和推断性统计分析（如置信区间、假设检验等）。
4. 做出推断根据数据分析的结果，我们可以做出关于总体特征的推断。
这可能涉及到比较样本统计量与总体参数、计算置信区间等。
5. 验证结果最后，我们需要验证我们的推断结果是否可靠。
这可以通过进一步收集数据、重复实验等方法来实现。
统计推断的应用统计推断在各个领域都有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：医学研究在医学研究中，统计推断可以帮助研究人员判断某种治疗方法是否有效，比较不同药物的效果等。
通过对随机分配的病例进行观察和分析，可以得出对人群整体有效的结论。
市场调查市场调查中，统计推断可以帮助企业了解目标市场的需求、消费者行为等。
通过对抽样调查数据进行分析，可以为企业决策提供依据。
社会科学研究在社会科学研究中，统计推断可以帮助研究人员了解社会现象、人群行为等。
通过对社会调查数据进行分析和比较，可以得出对整个人群适用的结论。
统计推断
0。
u
x
X
7.65 7.25 2.532 0.158
0.05 1.96 (4) 推断：u分布中，当 =0.05时， 。实 得 u 1.96, P 0.05 ，故可在0.05显著水平 上否定H0，接受HA，认为新育苗方法的一月 龄体长与常规方法有显著差异。
x1 x 2 u sx1 x 2
例3.某杂交黑麦从播种到开花的天数的标 准差为6.9天，现在相同试验条件下采取 两种方法取样调查，A法调查400株，得 出从播种到开花的平均天数为69.5天；B 法调查200株，得出从播种到开花的平 均天数为70.3天，试比较两种调查方法 所得黑麦从播种到开花的天数有无显著 差别。
1 2
x1 x 2
2 12 2 2
n1
n2
1 1 x1 x2 n1 n2 n1 n2 n
x x
1 2
2 12 2
n
2 n
2 12 2 2 , n1 n2 n
x x
1 2
x x u值的计算公式： 假设H0: 1 2 ， u x1 x 2 x x
例1.某鱼场按常规方法所育鲢鱼苗一月龄 的平均体长为7.25cm,标准差为1.58cm， 为提高鱼苗质量，现采用一新方法进行 育苗，一月龄时随机抽取100尾进行测 量，测得其平均体长为7.65cm，试问新 育苗方法与常规方法有误显著差异？
这里 1.58 ， 2 为已知，故采用u检验，又新育苗 方法的鱼苗体长可能高于常规方法，也可能低 于常规方法，故进行双侧检验（双尾检验）， 检验步骤： 0 7.25cm ，即新育苗方法与 （1）假设H0： 常规方法所育鱼苗一月龄体长相同。对HA：
统计推断方法
统计推断方法统计推断是一种通过对样本数据进行分析和计算，从而得出对总体特征或者总体参数的推断的方法。
统计推断方法在各个领域都有广泛的应用，如医学研究、社会科学、市场调查等。
本文将介绍统计推断方法的基本概念、常见的统计推断方法以及其应用。
一、统计推断方法的基本概念统计推断方法通过对样本数据的研究，对总体的未知特征或者参数进行推断。
在进行统计推断时，需要明确总体和样本的概念。
总体是指研究对象的全体，它是统计推断的目标。
例如，如果我们要推断某地区成年人的平均身高，那么该地区的所有成年人就是总体。
样本是从总体中取出的一部分个体或观察值，它是对总体的一种代表。
样本是通过随机抽样方法得到的，以保证样本具有代表性。
在进行统计推断时，我们通常关心的是总体的某个参数，如总体的均值、方差、比例等。
通过对样本数据进行分析和计算，我们可以得到总体参数的估计值，并对其进行推断。
二、常见的统计推断方法1. 点估计点估计是通过样本数据计算出总体参数的估计值，常用的点估计方法有样本均值估计、样本比例估计、样本方差估计等。
样本均值估计是通过计算样本的平均值来估计总体的均值。
样本比例估计是通过计算样本中具有某种特征的个体所占比例来估计总体中具有该特征的个体所占比例。
样本方差估计是通过计算样本数据的方差来估计总体的方差。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据计算出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率较大。
常用的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是通过样本数据计算出一个区间，该区间含有总体参数的真值的概率较大。
例如，我们可以通过样本数据计算出一个置信区间，可以以较大的概率认为总体均值在该区间内。
置信区间通常用于估计总体参数的范围。
预测区间估计是通过样本数据计算出一个区间，该区间含有下一个观察值的概率较大。
预测区间通常用于预测未来观察值的范围。
3. 假设检验假设检验用于检验总体参数的假设是否成立。
在进行假设检验时，我们首先要建立原假设和备择假设。
生物统计学第三章 统计推断
② 6SQ统计插件 统计插件
②弹出菜单后，置信水平 置信水平默认为95%，即 置信水平 α=0.05，如果改成99%，则α=0.01。在假设 假设 均值后面填入500，总体标准偏差 总体标准偏差填入8。 均值 总体标准偏差 输入选项下面选择样本统计量未知 检验 样本统计量未知，检验 输入选项 样本统计量未知 选项下面选择1、不等于（双尾）： 选项 、不等于（双尾）
1. 假设检验
1.1 假设检验的基本步骤
（1）对样本所属总体提出零假设H0和备择假设HA； （2）确定检验的显著水平α； （3）在假定H0正确的前提下，计算样本的统计数或相 应的概率值p； （4）如果p>α，接受零假设H0，认为无显著差异； 如果p<α，接受备择假设HA，认为有显著差异。
1. 假设检验
① Minitab
点击确定 确定返回上级对话框，再点击确定 确定，就可以得到结 确定 确定 果：
结果表明，Z值（即u值）为2.53，p=0.011<0.05，否定零 假设H0，接受备择假设HA，认为与常规方法相比，新育 苗方法下鱼苗体长有显著差异。
② 6SQ统计插件 统计插件
选择菜单6SQ统计 估计和假设检验 单样本 检验 统计→估计和假设检验 单样本Z检验 统计 估计和假设检验→单样本 检验：
① Minitab
在工作表中输入数据：
① Minitab
选择菜单统计 基本统计量 单样本 统计→基本统计量 单样本Z： 统计 基本统计量→单样本
① Minitab
弹出菜单后，将在罐头重 罐头重(g)选择到样本所 罐头重 样本所 在列，在标准差 标准差填入8，将进行假设检验 进行假设检验前 在列 标准差 进行假设检验 面的□中√，假设均值 假设均值后面填入500： 假设均值
统计推断的内容概要
弯曲点
标
准
误 差
Sx = 平均的标准误差
Sx = 样本的标准偏差
n = 样本大小
0
10
20
30
标准误差在样本大小为5,6时趋于稳定,样本大小为30时趋于平行.一般样本大 小应为5以上,为了得到更精确的平均推断值，样本大小应为30以上.
3. 区间推断
区间推断与点推断相比是引用误差概念的统计推断法,推断出总体特征 值
n=2时的理论分布
举例（连续型数据）
洗衣机传动装置的总高度将影响制动性能。项目Y是总高度，目标值
=5.394，加工这种部件时所使用的固定架共有8个。
您想了解什么？
使用第三个固定架生产出的部件的平均 高度与目标值是否一致？
分析步骤：
1. 将数据绘制成图
2. 使用置信区间来确定所观测到的差异是
否真实。
但是点推断值中没有误差的概念。
即，无法知道样本中求出的推断值是否接近总体的真值。
■ 区间推断: 推断总体可能包括的期望区间
例）置信区间，置信水平
区间推断是完善点推断的短处，在点推断值上包括误差概念
。
是否还记得基础统计学中讲到总体和样本的
知识？
Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics
样本
信息分析
措施及行动
对事件的 结论
因此我们要注意的是：观察样本并非为得到样本的信息，其目的在于通过样本分析， 得到总体的信息，并对总体下恰当结论，采取相应措施。
点推断与区间推断
当我们不知道的总体的特征值，我们可以利用样本推断总体的方法有两 种.
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点估计和区间估计
• 点估计(point estimation)就是用估计量的实 现值来近似相应的总体参数。 • 区间估计(interval estimation) 是包括估计 量在内（有时是以估计量为中心）的一个 区间；被认为很可能包含总体参数。 • 点估计给出一个数字，用起来很方便；而 区间估计给出一个区间，说起来留有余地； 不象点估计那么绝对。 • 无偏估计(大样本性质)
总体比例（Bernoulli试验成功概率）之差 p1 -p2的区间估计 （大样本、大总体）
ˆ ˆ ( p1 p2 ) z / 2 ˆ ˆ ˆ ˆ p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
例5.4 在两个地区对于某商品认可与否的调查结果显示，第一个地 区被调查的950人中有423人认可，而在第二个地区的被调查的1102 人中只有215人认可。求这两个总体比例之差p1 -p2的95%置信区间。 得到（0.211，0.289）
区间估计
• 注意置信区间的论述是由区间和置信 度两部分组成。 • 置信区间是对参数给出的一个范围 • 置信度为其可信程度(大样本意义) • 有些新闻媒体报道一些调查结果只给 出百分比和误差（即置信区间），比 如 “收视率为53%±3%”; 不给出置信 度，也不给出被调查的人数 • 这是不负责的表现。
总体标准差已知
, x z / 2 x z / 2 n n
总体标准差未知
s s , x t / 2 x t / 2 n n
区间估计的例子（1）
例5.1 （数据：noodle.txt, noodle.sav, noodle.sas7bdat）某 厂家生产的挂面包装上写明“净含量450克”。在用天平 称量了商场中的48包挂面之后，得到样本量为48的关于挂 面重量（单位：克）的一个样本(我们假定，挂面重量所 代表的总体分布服从正态分布。 )：
结从 论数 的据 过得 程到 对 现 实 世 界 的
统 计 推 断
估计
• 总体代表我们所关心的那部分世界。 • 而在利用样本中的信息来对总体进行推断 之前人们往往对代表总体的变量假定了分 布族。(描述数据时不用假定) • 比如假定人们的身高属于正态分布族；在 抽样调查时假定了二项分布族等等(这些假 定可能有风险!)。 • 这些模型基本上是根据“经验”来假定的， 仅仅是对现实世界的一个近似。
假设检验的过程和逻辑
• 根据零假设（不是备选假设！），我们可 以得到该检验统计量的分布； • 然后再看这个统计量的数据实现值 （realization）属不属于小概率事件。也就 是说把数据代入检验统计量，看其值是否 落入零假设下的小概率范畴 • 如果的确是小概率事件，那么我们就有可 能拒绝零假设，否则我们说没有足够证据 拒绝零假设。
Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Eq uality of Means 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper 2.07327 2.07304 7.84673 7.84696
SPSS
Descriptives（ 述 计 ） 描 统 量 结 变 果 量 weight 统 量 计 Mean（ 本 数 样 均 ） 95% Confidence Interval for Mean （ 体 数 95%可 区 ） 总 均 的 信 间 Median（ 位 ） 中 数 Variance（ 差 方 ） Std. Deviation（ 准 ） 标 差 Minimum（ 小 ） 最 值 Maximum（ 大 ） 最 值 Range（ 差 极 ） Interquartile Range（ 分 数 差 四 位 极 ） Lower Bound（ 限 下 ） Upper Bound（ 限 上 ） 统 量 计 值 449.0104 447.4124 450.6084 448.9500 30.287 5.50339 439.60 461.10 21.50 8.18 标 误 准 差 .79435
总体比例（Bernoulli试验成功概率）p的 区间估计 （大总体、大样本）
ˆ p z / 2
ˆ ˆ p (1 p) , n
ˆ p z / 2
ˆ ˆ p (1 p) n
例5.3 在一个大都市中对1341人的随机调查结果显示，有934个人 支持限制小轿车的政策。假定该样本为简单随机样本，希望找出 总体中支持限制小轿车的人的比例的点估计及其置信度为95%的 置信区间。 n=1341;x=934 CI1=function(n,x,alpha){p=x/n;za=qnorm(alpha/2,low=F) a=sqrt(p*(1-p)/n);b=za*a;L1=p-b;L2=p+b;list(1-alpha,L1,L2)} CI1(n,x,.05) 得到(0.672, 0.721)
假设检验
• 在假设检验中，一般要设立一个原 假设； • 而设立该假设的动机主要是企图利 用人们掌握的反映现实世界的数据 来找出假设和现实的矛盾，从而否 定这个假设。
假设检验
• 在多数统计教科书中（除了理论探讨之 外）,假设检验都是以否定原假设为目标。 • 如否定不了，那就说明证据不足，无法否 定原假设。但这不能说明原假设正确。 • 很多教科书在这个问题上不适当地用“接 受原假设”的说法，犯了明显的低级逻辑 错误。
假设检验的过程和逻辑
• 首先要提出一个原假设，比如某正态 总体的均值等于5（m=5）。这种原假 设也称为零假设（null hypothesis）， 记为H0 • 与此同时必须提出对立假设，比如总 体均值大于5（m>5）。对立假设又称 为备选假设或备择假设（alternative hypothesis）记为记为H1或Ha
区间估计的意义
区间估计的意义
• 这里的区间（72%，78%）是固定 的，而总体比例p也是固定的值。 • 因此只有两种可能：或者该区间包 含总体比例，或者不包含；这当中 没有任何概率可言。 • 至于区间（72%，78%）是否覆盖 真实比例，除非一个不漏地调查所 有的人，否则永远也无法知道。
均值m的区间估计 （正态分布）
Std. Error Difference 6 1.45466
输出表的头两列是检验（见下面一章的检验）是否方差相等，如果 Sig下面的数目（下一章的p值概念）较大（比如大于0.05）则没有 证据认为这两个数据总体的方差不等，则看表的第一行结果，否则 认为方差不等，则看表的第二行结果。这里Sig（p值）等于0.556， 因此看第一行结果。于是，我们得到两个样本均值的差(4.9600)， 另外还给出了两总体均值差的95%置信区间(2.073，7.847)。
F heig ht Equal variances assumed Equal variances not assumed .332
Sig . .566
t 3.410 3.410
df 98 97.386
Sig . (2-tailed) .001 .001
Mean Difference 4.96000 4.96000
估计
• 在假定了总体分布族之后，进一步 对总体的认识就是要在这个分布族 中选择一个适合于我们问题的成员 • 由于分布族成员是由参数确定的， 如果参数能够估计，对总体的具体 分布就知道得差不多了。
估计量是用来估计的统计量
• 我们知道，统计量是样本的不包含 未知参数的函数。样本均值、样本 标准差都是统计量。 • 由于样本是随机的，统计量也是随 机变量。 • 用于估计总体参数的统计量称为估 计量；样本均值和标准差都是总体 均值和标准差的常用估计量。
s s x t / 2 , x t / 2 n n
w=scan("D:/booktj1/data/noodle.txt");hist(w,10)
Histogram of w
14 Frequency 0
435
2
4
6
8
10
12
440
445
450 w
455
460
465
summary(w) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 439.6 444.6 448.9 449.0 452.6 461.1
区间估计的例子（2）
• （a）我们想要分别得到这两个总体均值和标准 差的点估计（即样本均值和样本标准差）和各 自总体均值的95%置信区间。利用height2.sav， SPSS得到：作为两个总体均值估计量的样本均 值分别为170.56和165.60，而样本标准差分别为 6.97857和7.55659；还得到均值的置信区间分别 是(168.5767, 172.5433)及(163.4524, 167.7476)。 （计算机输出很容易明白，这里不显示。） • (b)求两个均值差m1-m2的点估计和95%置信区间。 根据数据height2.sav，利用软件很容易得到下 面结果
区间估计
• 降低置信度可以使置信区间变窄（显 得“精确”），有误导读者之嫌。 • 如果给出被调查的人数，则内行可以 由此推算出置信度，反之亦然。
• 一个有10000个人回答的调查显示，同 意 某 种 观 点 的 人 的 比 例 为 70% （ 有 7000人同意），可以算出总体中同意 该 观 点 的 比 例 的 95% 置 信 区 间 为 （0.691，0.709）； • 另一个调查声称有70%的比例反对该 种观点，还说总体中反对该观点的置 信区间也是(0.691，0.709)。
一个描述性例子
一个描述性例子 • 实际上，第二个调查隐瞒了置信 度（等价于隐瞒了样本量）。 • 如果第二个调查仅仅调查了50个 人，有35个人反对该观点。根据 后面的公式可以算出，第二个调 查的置信区间的置信度仅有11%。