2013年高考数学总复习 11-2 复数的概念与运算课件 新人教B版
|－ |＝2＋i，则 z 等于( z 3 A．－ ＋i 4 3 C. ＋i 4
解析： z＝2－|－|＋i 知 z 的虚部为 1， z＝a＋i(a 由 z 设 3 ∈R)，则由条件知 a＝2－ a ＋1，∴a＝ ，故选 C. 4
2
答案：C
若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5， －对应点在直线 y＝4x 上，则 z＝________. z 3
解析：由(a＋i)i＝b＋i，得 ai－1＝b＋i， 所以 a＝1，b＝－1.
答案：C
(理)(2011· 安徽宣城调研)已知 i 是虚数单位，复数 z i 满足 ＝2－i，则 z＝( z＋i 1 3 A．－ － i 5 5 1 3 C. － i 5 5 ) 1 3 B．－ ＋ i 5 5 1 3 D. ＋ i 5 5
a＋3i (文)(2010· 广东佛山)若复数 (a∈R， 为虚数单 i 1＋2i 位)是纯虚数，则实数 a 的值为( A．－2 C．－6 B．4 D．6 )
a＋3i a＋3i1－2i a＋6＋3－2ai 解析：∵ ＝ ＝ 为纯 5 1＋2i 1＋2i1－2i
a＋6＝0 虚数，∴ 3－2a≠0
B．第二象限 D．第四象限
2－i 2－i2 4－4i－1 3 4 解析：∵z＝ ＝ ＝ ＝ － i. 5 5 5 5 2＋i 3 4 ∴z 在复平面内对应的点为 ( ，－ )，故选 D. 5 5
答案：D
复数的模
[例 6] (2010· 山东临沂质检)设复数 z 满足关系式 z＋ ) 3 B. －i 4 3 D．－ －i 4
A．x＝－1，y＝1 C．x＝1，y＝1
分析：按复数的乘法运算展开后，由复数相等的条件 列方程组求解．
解析：由(x＋i)(1－i)＝y 得(x＋1)－(x－1)i＝y
x＋1＝y 由复数相等有 x－1＝0 x＝1 ，解得 y＝2
，故选 D.
答案：D
(文)(2011· 湖南文，2)若 a，b∈R，i 为虚数单位， 且(a＋i)i＝b＋i，则( A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 ) B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
，∴a＝－6.
答案：C
2m2－3m－2 (理)当 m 为何实数时，复数 z＝ ＋(m2＋ m2－25 3m－10)i，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
解析：(1)∵2. (2)∵z
m2＋3m－10＝0 是实数，∴ 2 m －25≠0
，∴m＝
m2＋3m－10≠0， 是虚数，∴ 2 m －25≠0，
答案：D
复数的几何意义
[例 5] (2011· 烟台模拟)若 i 为虚数单位， 图中复平面 )
z 内点 Z 表示复数 z，则表示复数 的点是( 1＋i
A．E C．G
B．F D．H
分析：若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z 在复平面内的对 应点为 Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数， 也可描出复数在复平面内的对应点．
2－bi1－i 2－b 2＋b 解析：z＝ ＝ － i， 2 2 1＋i1－i 2－b 2＋b 由 ＝ ，得 b＝0. 2 2
答案：A
7＋ai 若 复 数 z＝ 的 实 部 为 3， 则 z 的 虚 部 为 2－i ________．
7＋ai 7＋ai2＋i 解析：z＝ ＝ 2－i 2－i2＋i 14－a＋2a＋7i ＝ ， 5 14－a 由条件知， ＝3，∴a＝－1， 5 ∴z＝3＋i， ∴z 的虚部为 1.
答案：1
复数的分类
[例 2] (2010· 广东罗湖区调研)若复数(a2－4a＋3)＋ )
(a－1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( A．1 C．1 或 3 B．3 D．－1
a2－4a＋3＝0 解析：由条件知 a－1≠0
，∴a＝3.
答案：B
点评： 掌握复数分类的充要性是解此类题的关键. 复 数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相 互转化，为解决实际问题提供了一条重要思路. 要准确理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记 复数 z＝a＋bi(a， b∈R)为纯虚数的一个必要条件是 b≠0. 计算中分母不为零也不可忽视．
三、复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫 做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原 点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数 0，建立 复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以 原点 O 为起点，复数 z 在复平面内的对应点 Z 为终点的 → → 向量OZ，与复数 z 一一对应，OZ的模叫做复数 z 的模．
3．复数的分类 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)中， z 是实数⇔ b＝0 ，
a＝0 b≠0
z 是虚数⇔ b≠0
z 是纯虚数⇔
4．a＋bi 与 a－bi(a，b∈R)互为共轭复数
二、复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c 且 b＝d. 特别 a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0 且 b＝0.
一、方程思想 解决复数问题，常常要设出复数的代数形式，或设 出方程的实根，利用复数相等的条件转化为实数的方程 求解．
二、解题技巧 复数的四则运算中，加、减法相当于 “合并同类 项”，乘法相当于“多项式乘以多项式”，除法采用的 手法是“分母实数化”——即分子、分母同乘以分母的 共轭复数．类似于“分母有理化”方法、可类比记忆
四、运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． 1．z1± 2＝(a± z c)＋(b± d)i； 2．z1·2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； z z1 ac＋bd bc－ad 3. ＝ 2 ＋ i. z2 c ＋d2 c2＋d2
误区警示 1．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是 a、b、c、d∈R. 因此，解决复数相等问题，一定要把复 数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件 化复数问题为实数问题． 2．两复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等 与不相等关系． 3．注意虚数与纯虚数的区别．
∴m≠2,5，－5.
2m2－3m－2 ＝0， 2 (3)∵z 是纯虚数，∴ m －25 m2＋3m－10≠0， 1 ∴m＝－ . 2
复数相等的条件
[例 3] (2010· 江西理)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数 x， y 分别为( ) B．x＝－1，y＝2 D．x＝1，y＝2
2＋i 2i－1 1 解析：依题意： ＝ ＝－ ＝i， i 1－2i 1－2i· i ∴其共轭复数为－i，选 C.
答案：C
(2011· 东北三校联考)复数(3i－1)i 的共轭复数是 ( ) A．3－i C．－3－i B．3＋i D．－3＋i
解析：∵z＝(3i－1)i＝－3－i， ∴－ ＝－3＋i，故选 D. z
第 二 节
复数的概念与运算
重点难点 重点：(1)复数的有关概念． (2)复数代数形式的四则运算法则． 难点：复数的分类、几何意义及除法运算．
知识归纳 一、复数的概念 1．虚数单位 i：(1)i2＝－1；(2)i 和实数在一起，服 从实数的运算律． 2．代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中 a 叫实部，b 叫虚部．
i2＋i i 1 3 解析：由题意得，z＝ －i＝ －i＝－ － i. 5 5 5 2－i
答案：A
共轭复数
2＋i [例 4] (2011· 新课标全国理， 1)复数 的共轭复数 1－2i 是( ) 3 A．－ i 5 3 B. i 5 C．－i D．i
分析：通过运算把复数写成 a＋bi(a、b∈R 的形式)， 则其共轭复数为 a－bi.
解析：∵点 Z(3,1)对应的复数为 z， 3＋i 3＋i1－i 4－2i z ∴z＝3＋i， ＝ ＝ ＝ ＝2－i， 2 1＋i 1＋i 1＋i1－i 该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即 H 点．
答案：D
2－i (2011· 山东理， 2)复数 z＝ (i 为虚数单位)在复平 2＋i 面内对应的点所在象限为( A．第一象限 C．第三象限 )
[答案] C
[解析] 由 m2－3m－4＝0 得 m＝4 或－1，故选 C. [点评] 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和 z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材 104 页 的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
(理)若 a、b∈R，则复数(a2＋6a＋10)＋(－b2－4b－ 5)i 对应的点在( A．第一象限 C．第三象限 ) B．第二象限 D．第四象限
二、填空题 3．复数 z1＝2－i，z2＝4＋3i 在复平面内的对应点分 别为 A、B，线段 AB 的中点为 P，则点 P 对应复数的共 轭复数为________．
[答案] 3－i
[解析] 由条件知 A(2，－1)，B(4,3)，∴线段 AB 的 中点 P(3,1)，对应复数 z＝3＋i，其共轭复数－ ＝3－i. z
解析：设－＝3t＋4ti(t∈R)， z 则 z＝3t－4ti， ∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25， ∴t2＝1， ∵z 的对应点在第二象限，∴t<0， ∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
答案：－3＋4i
一、选择题 1． (文)若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i 表示的点 在虚轴上，则实数 m 的值是( A．－1 C．－1 和 4 ) B．4 D．－1 和 6
[答案] D
[解析]
a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋1>0，
－b2－4b－5＝－(b＋2)2－1<0.
2＋i 2．(2011· 潍坊模拟)i 是虚数单位，若 ＝a＋bi(a， 1＋i b∈R)，则 a＋b 的值是( A．0 C．1 ) 1 B. 2 D．2
[答案] C
2＋i 2＋i1－i 3－i [解析] ∵a＋bi＝ ＝ ＝ ，a，b∈ 2 1＋i 1＋i1－i R， 3 1 ∴a＝ ，b＝－ ，∴a＋b＝1. 2 2
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3.1.2复数的概念课件人教新课标B版2
a bi c di a c,b d
a bi 0 a b 0
两个虚数只能说相等或不相等，而不能比较大小
例题讲授
例3:已知 (2x 1) i y (3 y)i，其中 x R, y R，
求 x与y 。
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5 , y 4
认（公元前4世纪）是
数学发展史上的一个 毕达哥拉斯(约公元前
里程碑.
560——480年）
从社会生活来看为了满足生活和生 产实践的需要，数的概念在不断地 发展.
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
复数的起源
卡尔丹
笛卡尔
欧拉
高斯
Cardano 意大利
Descartes 法国
Euler 瑞士
满足 2
虚数单位 i
引入一个新数 i， i叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于 -1， 即 i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. （其中i是虚数单位）.
全体复数所成的集合叫做复数集,用C表示
C {a bi |aa,bR,bRR}
人教B版选修2-2 第三章第一节
3.1.1数系的扩充和 复数的概念
数系的扩充
自然数 整数
有理数 实数
RQZ N
自然数
自然数是“数”出来的，其历史最早可 以追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 第一给出了负数的
Gauss 德国
a bi 0 a b 0
两个虚数只能说相等或不相等，而不能比较大小
例题讲授
例3:已知 (2x 1) i y (3 y)i，其中 x R, y R，
求 x与y 。
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5 , y 4
认（公元前4世纪）是
数学发展史上的一个 毕达哥拉斯(约公元前
里程碑.
560——480年）
从社会生活来看为了满足生活和生 产实践的需要，数的概念在不断地 发展.
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
复数的起源
卡尔丹
笛卡尔
欧拉
高斯
Cardano 意大利
Descartes 法国
Euler 瑞士
满足 2
虚数单位 i
引入一个新数 i， i叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于 -1， 即 i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. （其中i是虚数单位）.
全体复数所成的集合叫做复数集,用C表示
C {a bi |aa,bR,bRR}
人教B版选修2-2 第三章第一节
3.1.1数系的扩充和 复数的概念
数系的扩充
自然数 整数
有理数 实数
RQZ N
自然数
自然数是“数”出来的，其历史最早可 以追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 第一给出了负数的
Gauss 德国
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
2013届高考数学(理)一轮复习课件复数-复数的概念及运算(人教A版)
z1，z2∈C还成立吗？
提示：(1)假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－ z2＝3>0.
但z1>z2无意义，因为虚数无大小概念． (2)不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足z21＋z22＝0. 但z1≠0，z2≠0.
归纳拓展：(1)in的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1， i4n＋3＝－i，n∈Z.
R}，N＝{x||x－
1 i
|<
2 ，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N＝
() A．(0，1)
B．(0，1]
C．[0，1)
D．[0，1]
答案：C 解析：M＝{y|y＝|cos2x|x∈R}， ∴M＝{y|0≤y≤1}， N＝{x||x＋i|< 2}＝{x|－1<x<1}， ∴M∩N＝{x|0≤x<1}．
[解析] ∵12＋－aii＝（1＋ai）5（2＋i）＝2－a＋（52a＋1）i， ∴12＋－aii＝2－5 a＋2a5＋1i， ∴22－a5＋5a＝1≠00，∴a＝2.
[答案] A
[规律总结] 有关复数的概念问题，一般涉及到复 数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数 等，解决时，一定先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形 式，以确定其实部和虚部．
第3课时 复数的概念及运算
考纲下载 1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．理 解复数相等的充要条件． 2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数形式的加法、 减法、乘法、除法运算． 3．了解从实数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
请注意！ 对于复数的考查越来越简单，一般只有一个选择题，以代 数形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，代数形式 的运算技巧，复数的几何意义，复数模的最值，复平面内点的 轨迹等．
人教B版选修2-2高中数学3.1.2《复数的概念》ppt课件(2)
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
8
谢谢欣赏！
2019/8/10
最新中小学教学课件
9
一一对应
一一对应
平面向量 OZ
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义:
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
x
z a bi的共轭复数用z表示且z a bi
| z || z | a2 b2
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
x2 y2 25
y 5
5
Oபைடு நூலகம்
x
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
满足3<|z|<5(z∈C)
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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一一对应
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平面向量 OZ
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义:
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
x
z a bi的共轭复数用z表示且z a bi
| z || z | a2 b2
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
x2 y2 25
y 5
5
Oபைடு நூலகம்
x
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
满足3<|z|<5(z∈C)
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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
《复数的概念》示范教学课件人教新课标B版
m 1 ①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
mm 2
③要使z为纯虚数，需满足
＝0，且m2＋2m－3≠0
m 1
解得m＝0或m＝－2．
初步应用
例3 （1）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值； （2）关于x的方程3x2－ a x －1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值． 2
A．0
B．1
C．2
D．3
（2）已知复数z＝a2－（2－b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是 a＝________，b＝________．
（3）下列命题正确的是__________（填序号）．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
复数的概念
问题导入
问题1 类似x2＝－1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的 数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？
【想一想】是否可以引入一个新的单位使得类似x2＝－1的方程有解？
新知探究
问题2 规定i的平方等于－1，即i2＝－1，称i为虚数单位。（1）你认为可以怎样表示2 与i的和？又该怎样表示3减去i？（2）你认为5与i的乘积可以怎样表示？这个数具有什 么性质？
（3）①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式， 因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
初步应用
例2 已知m∈R，复数z＝ mm 2 ＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，
m 1 ①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
解答： （1）对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立， 如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题； 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题； 对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
mm 2
③要使z为纯虚数，需满足
＝0，且m2＋2m－3≠0
m 1
解得m＝0或m＝－2．
初步应用
例3 （1）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值； （2）关于x的方程3x2－ a x －1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值． 2
A．0
B．1
C．2
D．3
（2）已知复数z＝a2－（2－b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是 a＝________，b＝________．
（3）下列命题正确的是__________（填序号）．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
复数的概念
问题导入
问题1 类似x2＝－1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的 数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？
【想一想】是否可以引入一个新的单位使得类似x2＝－1的方程有解？
新知探究
问题2 规定i的平方等于－1，即i2＝－1，称i为虚数单位。（1）你认为可以怎样表示2 与i的和？又该怎样表示3减去i？（2）你认为5与i的乘积可以怎样表示？这个数具有什 么性质？
（3）①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式， 因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
初步应用
例2 已知m∈R，复数z＝ mm 2 ＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，
m 1 ①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
解答： （1）对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立， 如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题； 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题； 对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
高考数学复数的概念及运算课件
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_.)i
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋___b_c). i
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a＋bi c＋di
＝
a＋bic－di c＋dic－di
11．4 复数的概念及运算
考点梳理
一、复数的有关概念
1．复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的
_实__部___和__虚__部__.若__b_＝__0_，则 a＋bi 为实数，若_b_≠__0__，则 a＋
bi 为虚数，若_a_＝__0__且__b_≠__0_，则 a＋bi 为纯虚数．
4．a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i|＝2，则 a＝(
)
A．2 B. 3
C. 2 D．1
解析：由已知|a＋i i|＝2 得|a＋i i|＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2， 所以 1＋a2＝2，∵a＞0，∴a＝ 3.
答案：B
5．若复数 z＝11＋－ii＋m·11－＋ii(i 为虚数单位)为实数，则实数 m ＝________.
3．要记住一些常用的结果，如
i、－12＋
3 2i
的有关性质等
可简化运算步骤提高运算速度．
•失误与防范 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考 虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判 别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程， 用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小． 4．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． 5．z2＜0 在复数范围内有可能成立，例如：当 z＝3i 时 z2＝ －9＜0.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋___b_c). i
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a＋bi c＋di
＝
a＋bic－di c＋dic－di
11．4 复数的概念及运算
考点梳理
一、复数的有关概念
1．复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的
_实__部___和__虚__部__.若__b_＝__0_，则 a＋bi 为实数，若_b_≠__0__，则 a＋
bi 为虚数，若_a_＝__0__且__b_≠__0_，则 a＋bi 为纯虚数．
4．a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i|＝2，则 a＝(
)
A．2 B. 3
C. 2 D．1
解析：由已知|a＋i i|＝2 得|a＋i i|＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2， 所以 1＋a2＝2，∵a＞0，∴a＝ 3.
答案：B
5．若复数 z＝11＋－ii＋m·11－＋ii(i 为虚数单位)为实数，则实数 m ＝________.
3．要记住一些常用的结果，如
i、－12＋
3 2i
的有关性质等
可简化运算步骤提高运算速度．
•失误与防范 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考 虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判 别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程， 用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小． 4．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． 5．z2＜0 在复数范围内有可能成立，例如：当 z＝3i 时 z2＝ －9＜0.
《复数的概念》ppt课件
当 bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时，z 是实数a．
复数
当 b0时，z 叫做虚数．
当a 0 且 b0时，z bi 叫做纯虚数．
复数集C
虚数集I
实
数
集
R
新授课
例1：实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i
是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）
纯虚数？
解：（1）当 m 10 ，即 m 1时，复数z是实数．
（2）当 m 10 ，即 m1时，复数z是虚数．
如图，点Z的横坐标是a， y 纵坐标是b，复数 z=a+bi可用Z〔a，b〕 表示。
Z（a，b）
这个建立了直角坐标
系来表示复数的平面
叫做复平面
O
x
新授课
x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点y，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的 点都表示非纯虚数。
按照这种表示方法，
y
每一个复数，有复平 面内唯一确定的点和
求 x与y.
解：更具复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5, y 4
2
新授课
从复数相等的定义，我们知道，任何一个复数 zabi
，都可以由一个有序的实数对 ( a , b ) 唯一确定，；我
们还知道，有序的实数对 ( a , b ) 与平面直角坐标系中 的点是一一对应的。因此我们可以建立复数集与平面 直角坐标系中的点集之间的一一对应
i4 n 1 ,i4 n 1 i,i4 n 2 1 ,i4 n 3 i
新授课
形如 ab(a i,b R )的数，叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示 .
新高考新教材数学人教B版一轮课件：第五章 第四节 复数 课件(56张)
故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝ 2×|－1＋i|＝ 2× 2＝2.故选D.
必备知识 关键能力 限时规范训练 20
解思
解决复数概念问题的方法及注意事项
反
后 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化 为代数形式z＝a＋bi(a，
b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；
C项，αβ＝|－i|＝1，故C正确； D项，α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故D正确．故选BCD.
必备知识 关键能力 限时规范训练 26
三、应用探究点——复数的几何意义(思维拓展)
[典例剖析]
[例2] (1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝( B )
可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
必备知识 关键能力 限时规范训练 24
方法规律
复数代数形式运算问题的解题策略
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与 复数的加减法
实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一 复数的乘法 类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可 复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 复数的除法 i的幂写成最简形式
∴|z1－z2|＝2 3. 法二：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1
＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝ 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi，∴a＋c＝ 3 ，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2 ＋d2＋2ac＋2bd＝4，