2019年杨浦区高三二模数学答案
杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷评分标准 2019.4.
考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. π 2.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--452131 3. 3 4. 4 5. 5 6. 2- 7. ]22,221[ππ+-
8. 32 9. 1- 10. |1|22
λλ-a 11. 5
4
12. 155 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.C 14.A 15.A 16.D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）因为函数tan y x =的定义域为},2
|{Z k k x x ∈+
≠π
π ……2分
所以函数()f x 的定义域为},2
|{Z k k x x ∈+
≠π
π ……6分
（2）x x x
x
x f cos sin 2)cos sin 1()(⋅+
= x x x 2sin 2cos sin 2+= x x 2cos 12sin -+= )4
2sin(21π
-+=x ， ……10分
令2)(=x f ，即2
2)4
2sin(=
-π
x 由),0(π∈x 得，)4
7
,4(4
2πππ
-
∈-x ， ……12分 故4
4
2π
π
=
-
x 或
π43，即4π=x 或2
π
（舍）. ……14分
18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
解：（1）95025101200)5(=⨯-=p ， ……3分
)5(p 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950； ……7分
（2）当102<≤t 时，840)36(603603360)10(6072002++-=----=t
t t t Q ，
1208401260=+⨯≤-
等号成立当且仅当6=t ； ……10分 当2010≤≤t 时，3603840360336012006-=--⨯=t
t Q
2436010
3840
=≤
- 等号成立当且仅当10=t ……13分 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. ……14分
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：
（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为1 棱柱的侧棱长为2 ……4分 故该堑堵的体积为22122
1
=⨯⨯⨯； ……6分
（2）12
1
32221111AA BC AC V V V ABC A C AA B C C AA B ⨯⨯⨯=
==--- 3
431)(31222==+≤
AB BC AC 等号成立的充要条件是2=
=BC AC ； ……8分
以C 为原点，1,,CC CA CB 为坐标轴建系， 则)2,2,0(),2,0,0(),0,0,2(11A C B ，
则)2,2,0(),0,0,2(1==CA ，设面BC A 1的法向量为),,(1c b a n =，
故⎪⎩⎪⎨⎧=+=,
022,02c b a 令1=c ，得)1,2,0(1-=n ， 同理可得，面11BC A 的法向量为)1,0,2(2=n ， ……12分 故1n 与2n 的夹角θ满足：3
1
cos =
θ， 由图可知，所求二面角为锐角，故所求为3
1arccos ……14分
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：（1）解法一：不妨假设C 在第一象限，令)2
0)(sin 3,cos 2(π
ααα<
<C ，
则)2sin(34sin 32cos 22απααπ=⋅⋅=S ，
……2分 由)0(2πα，∈，得]34,0(π∈S ； ……4分
解法二：不妨假设()00,C x y 在第一象限，则22
00
143
x y += ……1分
有
1≥ 所以
00x y ≤3分
004S x y π=≤ 得]34,0(π∈S ； ……4分
（2）解法一：直线l 的方程为)1(-=-x k m y ，代入0124322=-+y x ，
012)(4)(8)34(222=--+-++k m x k m k x k ，
……6分 0]3)(4[48]12)(4)[34(4)(64222222>+--=--+--=∆k m k k m k k m k ，
即03)(422>+--k m k ， ……7分 又M 为中点，故134)(42=+--
k k m k ，得k
m 43
-=，0<k ， ……8分
代入03)(422>+--k m k 得，0)34)(12)(12(2>++-k k k ，
而0)34)(12(2<+-k k ，故012<+k ，即2
1
-<k ……9分 解法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，
则，22221122
1,14343x y x y +=+=两式相减整理得
12121212
34y y x x x x y y -+=--+ 即12
12
34x x k y y +=-
+
由题意得
12
1,2x x +=12
,2
y y m += 于是3
4k m
=-
……6分 中点()1,M m 在椭圆内部，则22
1143
m +< 解得302m <<（要说明理由，
否则扣2分） 故1
2
k <-
……9分 （3）当00x =时， 1221EF RF EF RF ⋅=⋅，
所以，存在实数满足条件，则1λ=； ……10分 直线ER 的方程为
0)(4
)(30000=---y y x
x x y ， 则)0,4
(
x R ， ……12分 故2
02
020
2
0202
021222
22
12)4
11()411()1()1(||||||||x x y x y x RF EF RF EF +-⨯+-++=⋅⋅=λ ……14分 1)4()4()4()4()4()4(4
33)1(433)1(2
0202020202020202
20=+-⨯-+=+-⨯-+--++=x x x x x x x x x x 所以，1=λ。
……16分 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）
解：（1）m a +=
8
1
2， ……2分 由212a a m +=得，m m ++
=8
1
12， 所以8
9=
m ； ……4分
（2）2
18
1n n a a =
+， 显然，0>n a 恒成立 ……5分 所以，n n n a a a 22
2
12log 38
1log log +-==+， 即)log 3(2log 3212n n a a +-=+-+， ……7分 所以，1121
223)log 3(2
log 3--⨯-=+-=+-n n n a a ， ……8分
整理得，1
2332-⨯-=n n a ； ……9分
（3）2)2()4(8
1
81221-≥-+-=+-=
-+m m a m a a a a n n n n n ……11分 故)2)(1()()()(1112211--+≥+-++-+-=---m n a a a a a a a a a n n n n n Λ， 当2>m 时，令4)2)(1(1≥--+m n a ，即12
41
+--≥
m a n ， 则4)2)(1(1≥--+≥m n a a n ，与已知矛盾； ……13分 所以，2≤m 。
……14分 (另解：当2>m 时，注意到n →+∞时, (2)(1)m n --→+∞
因此,存在充分大的n ，使得1(2)(1)4m n +-->，即4n a >，与已知矛盾） 若2=m ，则28
12
1+=
+n n a a ，下用数学归纳法证明40<<n a 。
1=n 时，显然成立，
假设40<<k a ，则4248
1
281221=+⨯<+=
+k k a a ，而01>+k a 显然成立。
故对所有正整数n ，都有4<n a 。
……16分 所以，m 的最大值为2. ……18分
（其他解法，可根据标准酌情给分）。
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
2019-2020学年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)(有答案)
上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题函数「（工）=运2的定义域是X - 1- 1-^2+3+* -4nIlin---- , : nfg n +14 .若向量W ，尼满足|al=lt lb |=2且二与石的夹角为彳，则|W+E 1=.I5 .若复数z 1=3+4i , z 2=1 - 2i ,其中i 是虚数单位，则复数 —~—十1］的虚部为 _________1 2 6 .在（工一的展开式中，常数项是 .（用数字作答）7 .已知△ ABC 的内角A B C 所对应边的长度分别为8 .已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且满足： a i a y =4,则数列｛log 2a n ｝的前7项之和为 9 .在极坐标系中曲线 C: p=2cos 。
上的点到（1,兀）距离的最大值为10 .袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为 1至5,从袋中随机抽取 3只，若以E 表示取到球中的最大号码，则E 的数学期望是.211 .已知双曲线 宣一二1的右焦点为F,过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点巳* 4 1- t …一一 r IllJM 在直线PF 上，且满足OM ，FF=0,则 一 = ___________ .llP^I12 .现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）13 .若关于x 的方程（4x+j~） - |5x - -|=m 在（0, +°0）内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为 14 .课本中介绍了应用祖咂原理推导棱锥体积公式的做法.祖附I 原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖咂原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个 以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖附I 原理（图1）,即2.已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组的解为3. 计算 a 、 b 、 c,若,则角C 的大小是可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为r 2 2三-+匚二1将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2）,其体积等于_______ . q 2515.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0, +8）上递增的是（）、选择题A. y=2|x|B. y=lnxC. 可D. y=x416.已知直线l的倾斜角为“，斜率为k,则“ @＜匚"”是“ k＜收的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件17.设x, y, z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A.」斗丹B ^/^-五百477运-«C.匠一田+——>2D. |x - y| w |x — z|+|y - z| z -r18.已知命题：“若a, b为异面直线，平面a过直线a且与直线b平行，则直线b与平面a的距离等于异面直线a, b之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a, b为异面直线，且它们之间的距离为d,则空间中与a, b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A. 0条B. 1条C.多于1条，但为有限条D.无数多条三、解答题19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC- A1B1G中，4, D是棱AA上的动点.(1)证明：DCLBC;（2）求三棱锥C- BDC的体积.20 .某菜农有两段总长度为 20米的篱笆PA 及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM ON 围成一个如图所示的四边形菜园 OAPB (假设OM ON 这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10 (米)，ZA0P=Z ,/ OAP=/ OBP 设/ OAP=,四边形 OAPBB 勺面积为S. (1)将S 表示为0的函数，并写出自变量 0的取值范围； (2)求出S 的最大值，并指出此时所对应0的值.21 .已知函数 f(K)=aK+log 2(2X+1),其中 aC R.(1)根据a 的不同取值，讨论f (x)的奇偶性，并说明理由；(2)已知a>0,函数f (x)的反函数为 ｛1(x),若函数y=f (x) +｛1 (x)在区间［1 , 2］上的最小值为 1+log 23,求函数f (x)在区间［1 , 2］上的最大值.2222 .已知椭圆cJ+yiOAb)。
杨浦区高三二模数学答案
2019年杨浦区高三二模数学答案杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷评分标准2019.4.考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将查对后的条形码贴在指定地点上.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有2题，满分54分，第题每题 4分，第～12 题每题分）17考生应在答题纸的相应地点直接填写结果.321.2.543.34.5.56.7.[1 2]. 29. 110.2a11.412.155|1 |2235二、选择题（此题共有题，满分20分，每题 5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应地点，将代表正确选项的小方格涂黑13.C14.A15.A16.D三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分）解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必要的步骤.17（此1分小题分小8分题满分4，第满分，第题满分）.解：（1）由于函数ytanx的定义域为{x|x k,kZ}2分2所以函数f x 的定义域为{x|xk,kZ}6分（2）f(x)(1sinx)2sinxcosxcosx2sinxcosx2sin2xsin2x1cos2x12sin(2x)，10分4令f(x)2，即sin(2x)22由x(0,)得，2x7)，12分44故2x或3，即x或（舍）.14分4441/612019年杨浦区高三二模数学答案18.（此题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）p(5)12001025950，3分p(5)的实质意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950；7分（2）当2t10时，Q720060(10t)2336036060(t36)840，t t-6012840120等号建立当且仅当t6；10分当10t20时，Q6120033603603840360t t3840-3602410等号建立当且仅当t113分故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净利润最大，最大净利润为120元.14分19.（此题满分14分，第小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为1棱柱的侧24分棱长为故该堑堵的体积为1222；6分2（2）V BAACC2V BAAC2V A21ABC ACBCAA11111321(AC 2BC2)1AB2433等号建立的充要条件是AC BC2；8分以C为原点，CB,CA,CC1为坐标轴建系，则B(2,0,0),C1(0,0,2),A1(0,2,2)，2/622019年杨浦区高三二模数学答案则CB(2,0,0),CA 1 (0,2,2)，设面A 1BC 的法向量为n 1 (a,b,c)，2a 0,令c1，得n 1 (0,2,1)，故2c2b0,同理可得，面 A 1BC 1的法向量为n 2(2,0,1)，12分故n 1与n 2的夹角知足：cos1，3由图可知，所求二面角为锐角，故所求为arccos 114分320.（此题满分 16分，第1小题满分 4分，第2小题满分 5分，第3小题满分 7分）解：（1 ）解法一：不如假定C 在第一象限，令C(2cos,3sin)(0)，2则S2cos23sin3s in(2 )，2分由2(0，)，得S(0,43 ]；4分解法二：不如假定 Cx 0,y 0在第一象限，则x02y0211分43有12x02y02所以x0y033分43S 4x0y04得S(0,43]；4分（2）解法一：直线l的方程为y mk(x1)，代入3x24y2120，( 4k23)x28k(mk)x4(mk)2120，6分64k2(mk)24(4k23)[4(mk)212]48[4k2(mk)23]0，即4k2(mk)230，7分又M为中点，故4k(mk)1，得m3，4k3，k8分4k代入4k2(mk)20得，(2k1)(2k1)(4k23)，3/632019年杨浦区高三二模数学答案而(2k1)(4k23)，故2k0，即k19分2解法二：设P x1,y1,Qx2,y2，22y123x1x2则，x1y11,x221两式相减整理得x124y1y2 343即k3x1x24y1y2x1x21,y1y2m,由题意得22于是k36分4m中点M12m21解得0m（要说明原因，不然扣2分）1,m在椭圆内部，则34故k 19分2（3）当x 0 0时，EF 1RF 2EF 2RF 1 ，所以，存在实数知足条件， 则1；10分直线ER 的方程为y0(x x0) x0(y y 0)0，3则R(x0,0)，12分|EF 1|2|RF 2|2(x 01)2y 02 (1 1x0)2414分故|EF 2|2|RF 1|2(x 01)2y02(1 1x0)4(x 01)233x 02(4x 0)2(4x 0)2(4x 0)4 132(4x 0)2(4x 0)2 (4x 0)2(x 0 1)34x所以，1。
2019届杨浦区高三数学二模(2019.4.8)
x 的最小正周期是
．
x = cos2x T = 2 = ．
2
．
x − 3y + 1 = 0, 2．方程组 的增广矩阵为 2x + 5y − 4 = 0
【答案】
1 −3 −1 2 5 4 x − 3y + 1 = 0 x − 3y = −1 1 −3 −1 【解析】 ，∴增广矩阵是 ． 2x + 5y − 4 = 0 2x + 5y = 4 2 5 4
杨浦区 2018 学年第二学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
1．函数 f ( x ) = 1 − 2sin 2 x 的最小正周期是 ． 2019.4 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
x − 3y + 1 = 0, 2．方程组 的增广矩阵为 ． 2x + 5y − 4 = 0 3．若幂函数 f ( x ) = x k 的图像过点 ( 4, 2 ) ，则 f ( 9 ) =
P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．该圆的半径为
．
11．若 △ABC 的内角 A, B, C ，其中 G 为 △ABC 的重心，且 GA GB = 0 ，则 cos C 的最小 值为 ． 12．定义城为集合 1, 2,3, ,12 上的函数 f ( x ) 满足： ① f (1) = 1 ；② f ( x + 1) − f ( x ) = 1( x = 1, 2, 不同函数 f ( x ) 的个数为 ．
k
3．若幂函数 f ( x ) = x 的图像过点 ( 4, 2 ) ，则 f ( 9 ) = 【答案】 3 1 1 【解析】由题意得 4k = 2 k = f ( 9 ) = 9 2 = 3 ． 2 4．若 (1 + 3x ) 的二项展开式中 x 2 项的系数是 54 ，则 n =
2019-2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷(文科)(有答案)
上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．函数的定义域是______．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．3．计算=______．4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______．8．已知等比数列{an }的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为______．9．已知变量x，y满足，则2x+3y的最大值为______．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为______．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．已知函数，其中a ∈R ．（1）当a=﹣时，求证：函数f （x ）是偶函数；（2）已知a ＞0，函数f （x ）的反函数为f ﹣1（x ），若函数y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上的最小值为1+log 23，求函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值． 22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a= 2 ．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．3．计算= ．【考点】数列的极限．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：4．若向量，满足且与的夹角为，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．6．在的展开式中，常数项是15 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】二阶行列式的定义．【分析】由二阶行列式性质得a 2+b 2﹣c 2=ab ，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C 的大小． 【解答】解：∵△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，，∴a 2﹣c 2=﹣b 2+ab ，即a 2+b 2﹣c 2=ab ， ∴cosC===， ∵C 是△ABC 的内角，∴C=．故答案为：．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为 7 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出． 【解答】解：由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4=4，∴数列{log 2a n }的前7项和=log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 7=log 2（a 1a 2…a 7）=log 227=7， 故答案为：7．9．已知变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为 14 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （1，4），令z=2x+3y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×4=14．故答案为：14．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是6．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出底面正六边形对边之间的距离即为左视图矩形的底边长，左视图矩形的高为棱柱的侧棱长．【解答】解：设正六棱柱的底面为六边形ABCDEF，连结AC，则AB=AC=2，∠ABC=120°，∴AC=2．∴正六棱柱侧视图的面积为2×3=6．故答案为6．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54 ．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为（6，10）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥1时，4x﹣≥0，∵方程，∴5x+﹣4x+=m，即x+=m；∵x+≥6；∴当m＜6时，方程x+=m无解；当m=6时，方程x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程x+=m在（1，+∞）上有两个解；当m=10时，方程x+=m的解为1，9；当x＜1时，4x﹣＜0，∵方程，∴5x++4x﹣=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．故答案为：（6，10）．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】基本不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】取与n条平行线垂直的平面α，则n条直线在平面α内的投影为n个点，将直线问题转化为平面内的点的问题解决．【解答】解：取平面α，使得两两平行的n条直线与平面α垂直，则n条直线在平面α内的投影为n个点，且这n个点之间的距离两两相等．∴n的最大值为3．此时n个投影点组成一个正三角形．故选：B．三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ACC 1A 1，进一步得到BC ⊥DC 1；（2）利用等积法，把三棱锥C ﹣BDC 1的体积转化为三棱锥B ﹣CDC 1的体积求解． 【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， ∴CC 1⊥底面ABC ，又CC 1⊂面ACC 1A 1，∴面ACC 1A 1⊥底面ABC ，而面ACC 1A 1∩底面ABC=AC ， 由△ABC 为Rt △，且AC=BC ，得BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴BC ⊥DC 1；（2）解：由（1）知，BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵，∴AA 1=2， 则∴=．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．1+log2【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣时，，定义域为R，====f（x），∴函数f （x ）是偶函数．（2）∵函数f （x ）与f ﹣1（x ）单调性相同， ∴当a ＞0时，函数f （x ）为增函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上为增函数，则函数的最小值为当x=1时，y=f （1）+f ﹣1（1）=1+log 23， 即a+log 23+f ﹣1（1）=1+log 23，则f ﹣1（1）=1﹣a ， 即f （1﹣a ）=1，则a （1﹣a ）+log 2（21﹣a +1）=1， 得a=1，此时f （x ）=x+log 2（2x +1）在[1，2]上是增函数， 则函数的最大值为f （2）=2+log 2（22+1）=2+log 25．22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）数列{a n }满足：a 1=2，，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．可得b 1=2．当n ≥2时，b n ==2n ．利用等比数列的前n 项和公式可得S n ． （3）由c n =﹣=﹣．利用等比数列的前n 项和公式、“裂项求和”方法可得数列{c n }的前n 项和为T n ．再利用其单调性即可得出． 【解答】（1）证明：数列{a n }满足：a 1=2，，∴﹣=1，∴数列为等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n ﹣1）=n+1，∴a n =n （n+1）．（2）解：数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．∴b 1==2．当n ≥2时，b n ====2n ．（n=1时也成立）．∴数列{b n }的前n 项和S n ==2n+1﹣2．（3）解：，c n ==﹣=﹣．∴数列{c n }的前n 项和为T n =﹣=﹣．T n+1﹣T n =﹣=﹣=，可知：n=1，2，3时，T n+1＞T n ； n ≥4时，T n+1＜T n ．∴T 1＜T 2＜T 3＜T 4＞T 5＞T 6…， ∴T 4为最大值．∴取正整数k=4，使得对任意n ∈N *，均有T 4≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2），设M （x m ，y m ），求出，=﹣，由点M 在椭圆C 上，能求出直线l 的方程．（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3），使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：的焦距为，∴c=，∵右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a 2=b 2+c 2=4， ∴椭圆C 的方程为．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2）， 其中y 1，y 2满足：，y 1+y 2=0，设M （x m ，y m ）， ∵（其中O 为坐标原点），∴，=﹣，∵点M 在椭圆C 上，∴，∴49t 2+4﹣t 2=100，∴t=， ∴直线l 的方程为x=或x=﹣． 证明：（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3）， 使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，∵直线PQ 具有性质H ，∴在椭圆C 上存在点M ，使得：，设M （x m ，y m ），则，y m =，∵点M 在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理： =0，②，，③1）若x 1，x 2，x 3中至少一个为0，不妨设x 1=0，则y 1≠0，由①③得y 2=y 3=0，即Q ，R 为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾． 2）若x 1，x 2，x 3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．。
上海市杨浦区2019年高三高考二模数学试题及答案解析(PDF版)
7 ． I 为 △ABC 内部的一点， 8
且 aIA + bIB + cIC = 0 ， 若 AI = xAB + yAC ， 则 x + y 的最大值为…………………… （ ） 5 1 5 4 （A） （B） （C） （D） 4 2 6 5 三、解答题： （本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤． 17． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知函数 f (x) = (1 + tan x) sin 2x ． （1）求 f (x) 的定义域； （2）求函数 F(x) = f (x) − 2 在区间 (0, ) 内的零点．
， Sn 是前 n 次挖去的所有三角形的面积之和， A2 是第 2 次挖去的三个小三角形面积之和） 则 lim Sn = ………………………………………………………………………………… （
n →
）
（A）
3 4
（B）
3 3
（C）
3 2
（D）
1 2
16． 已知 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， 且 cos A =
arcsin x 2x 的值域是 −1 1
−1
( x ) ，则 f ( −1) =
．
8．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 8 = 3 + 5 ．在不超过 13 的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 ． 9．若定义域为 ( −,0 )
( 0, + ) 的函数 f ( x ) =
18． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利．已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足： 2 ≤ t ≤ 20 ， t N ．经测算，地铁载客量 p(t) 与发车时间间隔 t 满
(完整版)2019年杨浦区高三二模数学答案.doc
杨浦区 2018 学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准2019.4.考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2. 本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 ．一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 ～ 6 题每题 4 分，第 ～ 12 题每题 5 分）1 7考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.13121.2.543. 34.4 5. 56.27. [1,2]8. 29. 110. 2a11.412. 155|12|2 2235二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.C14.A15.A16.D三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.解：（ 1）因为函数 ytan x 的定义域为 { x | x k, k Z} 2 分2所以函数 fx 的定义域为 { x | x k, k Z}6 分2（2 ） f ( x)(1 sin x ) 2sin x cosxcos x2 sin x cos x 2 sin 2 xsin 2x 1 cos 2x12 sin(2x) ，10 分4令 f (x)2，即 sin(2x)24 2由 x (0,) 得， 2x4(, 7 ) ，12 分4 4故 2x或 3 ，即 x或（舍） .14 分424 44118.（本题满分14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）解：（ 1）p(5) 1200 10 25 950 ， 3 分p(5) 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为 5 分钟时，地铁载客量为950；7 分（2）当2 t 10时，Q 7200 60(10 t )2 3360 36060(t 36) 840 ，t t-60 12 840 120等号成立当且仅当 t 6 ；10 分当 10 t 20 时，Q 6 1200 3360 360 3840 360t t3840- 360 2410等号成立当且仅当 t 10 13 分故当发车时间间隔为 6 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120 元.14 分19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第2 小题满分8 分）解：（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为 1棱柱的侧棱长为 2 4 分故该堑堵的体积为 1 2 1 2 2 ； 6 分2（2）V B AAC C 2V B AA C 2V A2 1 AC BC AA1 ABC1 1 1 1 3 21(AC2 BC2) 1 AB2 43 3 3等号成立的充要条件是AC BC 2 ；8 分以 C 为原点，CB, CA, CC1为坐标轴建系，则 B( 2,0,0),C1 (0,0,2), A1 (0, 2,2) ，则CB ( 2 ,0,0), CA1(0, 2,2) ，设面A1BC的法向量为n1(a,b, c) ，22a0, 令 c 1，得 n 1(0, 2,1)，故2c 0, 2b同理可得，面 A 1 BC 1 的法向量为 n 2( 2,0,1)，12 分故 n 1 与n 2 的夹角 满足： cos1 ，31由图可知，所求二面角为锐角，故所求为arccos14 分32016 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分） .（本题满分 解：（ 1）解法一：不妨假设 C 在第一象限，令C( 2 cos , 3 sin )( 0) ，2则 S 2 2 cos 2 3sin 4 3 sin( 2 ) ，2 分 由 2(0， )，得 S(0,4 3 ] ；4 分解法二：不妨假设C x 0 , y 0 在第一象限，则x 02 y 02 11 分43有 12x 02y 02所以 x 0 y 033 分4 3S 4 x 0 y 0 4 3得 S (0,4 3 ] ； 4 分（2）解法一：直线 l 的方程为 y m k(x1) ，代入 3x 2 4 y 212 0 ，( 4k 2 3) x 2 8k (m k ) x 4(m k) 2 12 0 ，6 分64k 2 ( m k) 2 4( 4k 2 3)[ 4(m k) 2 12] 48[4k 2 ( m k) 2 3] 0 ，即 4k 2 (m k ) 2 3 0 ，7 分 又 M 为中点，故4k( m k)1 ，得 m30 ，4k 23 ， k8 分4k代入 42(m k ) 2 3 0得， (2k 1)(2k 1)(4k 23) 0 ，k而 (2k 1)(4k 2 3) 0 ，故 2k 1 0 ，即 k19 分2解法二：设 P x 1 , y 1 , Q x 2 , y 2 ，x 12y 12 1 ,x 22 y 22y 1 y 23 x 1 x 2则，341 两式相减整理得x 1 x 24 y 1y 24333 x 1 x 2即 k4 y 1y 2由题意得x 1x 2 1 , y 1 y 2 m ,2 2于是 k36 分4m中点 M12 m 21 解得 0 m3 （要说明理由， 否则扣 2 分）1, m 在椭圆内部， 则324故 k19 分2（3）当 x 00 时， EF 1 RF 2 EF 2 RF 1 ，所以，存在实数满足条件， 则1 ；10 分直线 ER 的方程为 y 0( x x 0 ) x 0 ( y y 0 ) 0 ，则 R(x 03 4,0) ，12 分4222(x 0 1) 22(11x 0 )2|EF 1 | |RF 2 |y 0414 分故| EF 2 |2| RF 1 |2(x 0 1) 2y 0212(1 x 0 )4(x 0 1)23 3x 02 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 ) 214( x 0 1)23 2 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 )23x 04所以，1。
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—解析几何及答案
2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题一、 填空题 1、（宝山2）圆22266x y x y +-+=的半径r =__________【答案】4【解析】写出圆的标准方程：22222266(1)(3)4xy x y x y +-+=⇒-++=2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________【答案】28yx =-【解析】设抛物线为22,0ypx p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.【答案】14522=+y x【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则522=+=c b a ，所以，椭圆方程为14522=+y x5、 （崇明7）已知直线:1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为【答案】()1222=+-y x【解析】由圆的参数方程可知()1222=+-y x .7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为【答案】2-【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准 方程为【答案】1212122=-y x【解析】设双曲线的标准方程，为12222=-by a x 。
上海市杨浦区2019-2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学试卷(含答案)
杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．函数12()f x x-= 的定义域为 .2．关于,x y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 .3．已知函数()f x 的反函数12()log -=fx x ，则(1)-=f .4．设R ∈a ，22(1)i --++a a a 为纯虚数（i 为虚数单位），则a = . 5．已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 .6．已知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = .7．椭圆22194x y +=的焦点为12 ,F F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则 12cos F PF ∠= .8．已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1(3)2-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩n n nn a n （*N ∈n ），n S 是数列{}n a 的前n 项和.则lim n n S →+∞= .9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0),(0,1)-A B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅ 的取值范围为 .10．已知六个函数：①21y x=；②c o s y x =；③12y x =；④a r c s i n y x =；⑤1l g ()1xy x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种.11．已知函数1()1f x x=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230+++=f x m f x m 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .12 ．向量集合(){},,R ==∈ 、S a a x y xy ．对于任意,S αβ∈，以及任意()1,0∈λ，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ② 若,S T 都是“C 类集”，则集合{},=+∈∈M a b a S b T 也是“C 类集”；③ 若12A ,A 都是“C 类集”，则1A 2A 也是“C 类集”；④ 若12A ,A 都是“C 类集”，且交集非空，则1A 2A 也是“C 类集”．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数,a b 满足>a b ，则下列不等式中恒成立的是 （ ）()A 22>a b ()B11<a b()C >a b ()D 22>a b 14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象 （ ）()A 向左平移6π个单位 ()B 向右平移6π个单位 ()C 向左平移3π个单位 ()D 向右平移3π个单位15．设12、z z 为复数,则下列命题中一定成立的是 ( )()A 如果120->z z ,那么12>z z ()B 如果12||||=z z ,那么12=±z z ()C 如果121>z z ,那么12>z z ()D 如果22120+=z z ,那么120==z z 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()∈⎧=⎨∈⎩A Rx A f x x A ð为A 的特征函数.设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是 （ ）()A 若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤ ()B ()1()=-R A A f x f x ð()C ()()()A B A B f x f x f x =⋅ ()D ()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD .1AB PA ==，AD =,E F 分别为棱,PD PA 的中点.⑴ 求证：B C E F 、、、四点共面； ⑵ 求异面直线PB 与AE 所成的角．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()22xxaf x =+，其中a 为实常数. ⑴ 若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =； ⑵ 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h . ⑴ 判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；⑵ 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A B 、中的哪个道口？通过计算说明．DECA B20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为(,0)t (0>t ).⑴ 若||OA =A 的坐标；⑵ 若AFD ∆为等腰直角三角形，且90∠=︒FAD ，求点D 的坐标；⑶ 弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S -≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .⑴ 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；⑶ 已知21n b n =-（*N n ∈），数列{}n c 是等差数列，122()()n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.12.一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1． (0,)+∞； 2． 211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3． 12； 4. 2； 5.3π； 6. 2； 7. 35； 8. 72；9.[2-+ ； 10. 12； 11. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦； 12. ①②④二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分） 13. D ； 14. A ； 15. C ； 16. D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）连接EF ，因为E F 、分别为PD PA 、的中点. 所以EF ∥AD （2分）又因为BC ∥AD ，可得：EF ∥BC （4分） 所以B C E F 、、、四点共面 （6分） （2）设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ 由,E Q 分别为,DP DB 的中点，可得EQ ∥PB所以AEQ ∠或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角 （8分） 由PA ⊥平面ABCD 可得：,PA AB PA AD ⊥⊥ 因为1AB AP ==，AD =PB =2PD = （10分）12EQ PB == 112AE PD == 112==AQ AC （12分）（给在12的关系上）222111cos24+-+-∠===⋅AE EQ AQAEQAE EQ．arccos(0,)42AEQπ∠=∈异面直线PB与AE所成角的大小为arccos4（14分）说明：第⑵题也可以用空间向量求解⑵【解】：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B，D，(0,0,1)P，1(0,)22E(1,0,1)PB=-，1(0,,)22AE=（12分）PB与AE所成的角θ满足||2cos4||||PB AEPB AEθ⋅==⋅∴异面直线PB与AE所成角的大小为．（14分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由(0)17f a=+=，所以6a=，（2分）方程6252xx+=即2(2)5260x x-⋅+=，可得：22x=或23x=（4分）解得1x=或2log3x=（6分）（2）函数的定义域为R（8分）当1a=时，1()22xxf x=+，对任意R x ∈，均有11()22()22xx x x f x f x ---=+=+= 所以1()22xxf x =+为偶函数； （10分） 当1a =-时，1()22xx f x =-，对任意R x ∈，均有11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-所以1()22xx f x =+为奇函数； （12分）当1a ≠ 且1a ≠-时，()22xx a f x =+，由(1)22a f =+，1(1)22f a -=+55(1)(1)022f f a +-=+≠，33(1)(1)022f f a --=-≠所以()22xx a f x =+为非奇非偶函数。
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则=⋃B A 【答案】{1,3}【解析】,A B 共同元素是1,32. 行列式120235580的值为【答案】10【解析】行列式展开公式展开,得103. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 【答案】π【解析】252cos 231212cos 31cos 32+=++=+=x x x y ππ==∴22T4. 设i 是虚数单位，复数z 满足(12i)43i z +=+，则z = 【答案】i -2【解析】由复数z 满足i z i 34)21(+=+，可得i ii i i i i i z -=-=-+-+=++=25510)21)(21()21)(34(2134 5. 若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 6. 在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女 的概率为 （结果用最简分数表示） 【答案】74 【解析】742112271413===C C C P7. 实数x 、y 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为【答案】37【解析】如图可知，最优解为375332max =⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，，8. 已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为1x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l9. 数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a10. 设*n ∈N ，若(2n 的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案】10=n【解析】第1+r 项为212r rn r nr x C T -+=所以当r 为偶数时为有理项即二项展开式的奇数项系数之和为29525 ()()2121229525nn -++=∴即10=n11. 设a 、b 、c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为【答案】12【解析】由a b b c ⋅=⋅及a c =，可知a 与b 的夹角等于c 与b 的夹角，设这个夹角为θ， ① 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()cos 0,1θ∈时，a 与c 的夹角为2θ， 此时cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，cos 2cos 2c a c a θθ⋅=⋅⋅=，从而2cos 22cos 2cos 2cos 10cos θθθθθ=⇒--=⇒=(均含)； ② 当,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即()cos 1,0θ∈-时，a 与c 的夹角为22πθ-，类似①， 可得()cos 222cos πθθ-=，即cos22cos θθ=，解得1cos 2θ=或1cos 2θ=(舍)；综上，cos a b θ⋅==12. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两 抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为 【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 不等式102x x -≤-的解集为（ ） 【A 】 [1,2] 【B 】 [1,2) 【C 】 (,1][2,)-∞+∞ 【D 】 (,1)(2,)-∞+∞【答案】B【解析】()()021≤--x x 且2≠x 解得选B14. 设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） 【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】举出反例即可比如i 2321--=ω. 15. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()20202022100520,5,0,5,,y x y xs F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B16. 设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++⋅⋅⋅的乘积是定值（1,2,3,,2010n =⋅⋅⋅），命题① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为（ ）【A 】 ①和②都是真命题 【B 】 ①是真命题，②是假命题 【C 】 ②是真命题，①是假命题 【D 】 ①和②都是假命题 【答案】D【解析】令A a a a n n n =⋅⋅⋅++101 则A a a a n n n =⋅⋅⋅+++1121则n n a a =+11，即周期为11=T ；183112020=余数是7； 若一个周期内有两个1，则至少有366个1，①错；若一个周期内有三个1，则有549至552个1，②错；选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条相互垂直的半径，点M 是母线BP 的中点，已知2OA OM ==. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成的角的大小. 【答案】（1）π338（2）3arccos 4【解析】（1）0229024,4223POB PM MB MO PB PO ∠=∴===∴==-=故圆锥的体积21183223333V Sh ππ==⋅⋅=； （2）以O 点为原点，,,OA OB OP 方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则()1(OB+)=0,1,3,(0,0,23)(2,0,0)(2,0,23)2OM OP AP ==-=-， 设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则63cos 244OM AP OM APθ⋅===⨯， 所以异面直线OM 与AP 所成角为3arccos 4.18. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）8=c （2）66 【解析】(1)（解法一）由余弦定理，2222-=2cos ,25-49=58a cb ac B c c c ++=即，在正实数集合中解得（解法二）由正弦定理，sin sin a A B a b A B B b ==<∴<∴为锐角111sin 214sin 8sin bc C B+=∴=⋅=（2）（解法一）设AM MB x ==则由cos CMA cos CMB∠=-∠知222222353702323x x x x +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得x =故22235cos 23x CMB CMB x +-∠==∠=⨯⨯三角形的面积11sin 322S AB CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯= （解法二）设CA=,CB=,a b 则5,7,6a b a b ==+=.因此22236,a b a b ++=,解得19a b ⋅=-. 故19cos 35ACB ∠=-，从而sinACB ∠=因而三角形ABC 的面积1sin 2S CA CB ACB =⋅⋅∠=（解法三）延长CM 至D .使CM MD =,则四边形ABCD 是平行四边形 因而三角形ABC 的面积与三角形BCD 的面积相等而三角形BCD 的三边长分别为5,6,7,根据Heron 公式，其面积为S == 因此三角形ABC 的面积为.19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）见解析（2）第9周解除【解析】（1）111(1.020.20)(1.080.46)0.260.06I I I ---=- 不等式10.260.060I ->,得1133I <因此，当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，用第二种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当113(,8]3I ∈时，用第一种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当1133I =时，两种策略效果相同。