2020杨浦二模数学试卷
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.−66的相反数是()A. −66B. 66C. 166D. −1662.下列计算结果正确的是()A. a3×a4=a12B. a5÷a=a5C. (ab2)3=ab6D. (a3)2=a63.如用一张长方形纸条折成如图所示图形，如果∠1=130°，那么∠2=()A. 20°B. 25°C. 50°D. 65°4.已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 内含5.半径为r的圆的内接正六边形边长为()A. 12r B. √32r C. r D. 2r6.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB//DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是()A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.分解因式：x2−3x=______．8.函数y=1√x+3的自变量x的取值范围是______．9.九张同样的卡片分别写有数字−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，任意抽取一张，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是______．10.数据3000，2998，3002，2999，3001的方差为____．11. 不等式组{2−x >x x +1<−1的解集是______ ． 12. 方程√2x −4=2的根是______．13. 若关于x 的一元二次方程(m −1)x 2−2mx +(m +2)=0有实数根，则m 取值范围是 ．14. 如图，△ABC 中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC于点E ，如果设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示GE ⃗⃗⃗⃗⃗，那么GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．15. 如图在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个三角形ABC ，则三角形ABC 的周长是________(精确到0.001)16. 如图，在平面直角坐标系中，过点M(−3,2)分别作x 轴，y 轴的垂线与反比例函数y =2x 的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为 ．17. 已知正比例函数y =kx(k 是常数，k ≠0)，当−3≤x ≤1时，对应的y 的取值范围是−1≤y ≤13，且y 随x 的减小而减小，则k 的值为______．18. 在▱ABCD 中，AB =5，BC =7，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果将点A 绕着点O 顺时针旋转90°后，点A 恰好落在平行四边形ABCD 的边AD 上，那么AC 的长是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 先化简，再求值：(2a+1−2a+1a 2−1)÷a−1a 2−2a+1，其中a =√3−1．20. 解方程组{x +y =4x 2+xy −2y 2=021. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，C 是AB⏜的中点，AB =8，AC =2√5，求⊙O 半径的长．22.为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区组织本区900名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区A学校参考教师的考试成绩绘制成如下统计图和统计表(满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分)分数人数85.5以下1085.5以上3596.5以上8(1)求A学校参加本次考试的教师人数；(2)若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；(3)求A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比．23.已知，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且AB=BE=DF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若正方形的边长为2，求菱形AECF的面积．24.在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y=mx2−2x+n(m、n是常数)经过点A(−2,3)、B(−3,0)，与y轴的交点为点C．(1)求此抛物线的表达式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．25.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若tanA=1，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在(2)的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案与解析】1.答案：B解析：解：−66的相反数是66．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：D解析：解：A、a3×a4=a7，故本选项错误；B、a5÷a=a4，故本选项错误；C、(ab2)3=a3b6，故本选项错误；D、正确；故选：D．根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，即可解答．本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方．3.答案：D解析：本题主要考查平行线的性质，折叠问题，掌握平行线的性质是解题的关键，由折叠的性质和平行线的性质可知∠1=∠3+∠2，可得出答案．解：如图，由折叠的性质可知∠2=∠3，∵纸条的对边平行，∴∠1=∠3+∠2=130°，∴∠2=65°．故选D．4.答案：D解析：本题考查了圆和圆的位置关系.两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，：当两圆外离⇔d>R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R−r<d<R+r(R≥r)；两圆内切⇔d=R−r(R>r)；两圆内含⇔d<R−r(R>r)．先计算两圆的半径之差，然后根据圆和圆的位置关系的判定方法可确定这两圆的位置关系．解：∵5−3=2>1，即圆心距小于两半径之差，∴这两圆内含．故选D．5.答案：C解析：解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB=OA=r．故选：C．画出圆O的内接正六边形ABCDEF，连接OA，OB，得到正三角形AOB，可以求出AB的长．本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到正三角形AOB，就可以求出正六边形的边长．6.答案：C解析：此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．解：A、①AB//DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；故选：C．7.答案：x(x−3)解析：解：原式=x(x−3)，故答案为：x(x−3)此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．8.答案：x>−3解析：解：根据题意得，x+3>0，解得x>−3．故答案为：x>−3．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．9.答案：13解析：解：∵数的总个数有9个，绝对值小于2的数有−1，0，1共3个，∴任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是39=13；故答案为：13．让绝对值小于2的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．10.答案：2解析：解：x −=15×(3000+2998+3002+2999+3001)=3000，S 2=15×[(3000−3000)2+(3000−2998)2+(3000−3002)2+(3000−2999)2+(3000−3001)2]=15×10=2；故答案为：2．先求出平均数，再根据方差的计算公式进行计算即可．本题考查平均数、方差，属于基础题． 11.答案：x <−2解析：解：{2−x >x①x +1<−1②，由①得，x <1，由②得，x <−2， 故不等式组的解集为：x <−2．故答案为：x <−2．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12.答案：4解析：解：两边平方得到：2x −4=4，解得x =4，经检验：x =4是原方程的解，故答案为4．把无理方程转化为整式方程即可解决问题．本题考查无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．13.答案：m ≤2且m ≠1解析：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 的关系是解答此题的关键．先根据一元二次方程的定义及根的判别式得出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围即可． 解：∵关于x 的一元二次方程(m −1)x 2−2mx +(m +2)=0有实数根， ∴{m −1≠0△=(−2m)2−4(m −1)(m +2)≥0， 解得m ≤2且m ≠1． 故答案为：m ≤2且m ≠1． 14.答案：13b ⃗ −13a ⃗解析：解：连接AG ，延长AG 交BC 于F ．∵G 是△ABC 的重心，DE//BC ， ∴BF =CF ，AD AB=AE AC=AG AF=23，∵DG BF =AD AB ，GECF =AEAC ， ∴DGBF =GECF ， ∵BF =CF ， ∴DG =GE ，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ̂， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ −23a ⃗ ， ∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −13a ⃗ ，故答案为13b ⃗−13a ⃗ ． 连接AG ，延长AG 交BC 于F.首先证明DG =GE ，再利用三角形法则求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.答案：8.606解析：本题主要考查的是勾股定理和三角形的周长的有关知识，由题意先利用勾股定理求出AB，然后利用三角形的周长公式进行求解即可．解：由题意得AC=2，BC=3，∴AB=√22+32=√13，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=2+3+√13≈8.606．故答案为8.606．16.答案：8解析：本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，反比例函数图像上的点的坐标特征，关键是设点A的坐标为(a,b)，点B的坐标为(c,d)，根据反比例函数y=2x的图象过A，B两点，所以ab=2，cd=2，进而得到S△AOC=12|ab|=1，S△BOD=12|cd|=1，S矩形MCOD=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD，即可解答．解：如图所示：设点A的坐标为(a,b)，点B的坐标为(c,d)，∵反比例函数y=2x的图象过A，B两点，∴ab=2，cd=2，∴S△AOC=12|ab|=1，S△BOD=12|cd|=1，∵点M(−3,2)，∴S=3×2=6，矩形MCOD∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD=1+1+6=8，故答案为：8．17.答案：13解析：此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质来分析．由一次函数的性质，进行运算求解．解：易知k>0时，y随x的减少而减少，∴当x=−3时，y=−1，代入正比例函数y=kx得：−1=−3k，解得k=13．故答案为：1318.答案：4√2或3√2解析：解：如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，∵将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，∴△AOA′是等腰直角三角形，∴△AA′C是等腰直角三角形，设AA′=x，则CF=x，DF=7−x，在Rt△CDF中，x2+(7−x)2=52，解得x1=4，x2=3，在Rt△CFA中，AC=4√2或3√2．故答案为：4√2或3√2．如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，根据旋转的性质可得△AOA′是等腰直角三角形，△AA′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可求AA′，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．考查了旋转的性质，平行四边形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．19.答案：解：原式=[2a−2(a+1)(a−1)−2a+1(a+1)(a−1)]÷a−1(a−1)2=−3(a +1)(a −1)⋅(a −1)=−3a+1，当a =√3−1时， 原式=−3√3−1+1=−√3．解析：先把分式化简后，再把a 的值代入求出分式的值． 本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．20.答案：解：{x +y =4 ①x 2+xy −2y 2=0 ②由②得(x +2y)(x −y)=0 所以x +2y =0或x −y =0原方程组化为{x +y =4x +2y =0或{x +y =4x −y =0，所以原方程组的解为{x 1=8y 1=−4，{x 2=2y 2=2．解析：先对②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．21.答案：解：如图，连接OA ，连接OC 交AB 于D.设⊙O 的半径为r ．∵AC⏜=BC ⏜， ∴OC ⊥AB ，∴AD =DB =12AB =4，在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=2， 在Rt △ADO 中，∵OA 2=AD 2+OD 2，∴r2=(r−2)2+16，解得r=5．∴⊙O的半径为5．解析：如图，连接OA，连接OC交AB于D.设⊙O的半径为r.在Rt△ADC中，求出CD，在Rt△ADC 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.答案：解：(1)由表格中数据可得：85.5以下10人，85.5以上35人，则A学校参加本次考试的教师人数为45人；(2)由表格中85.5以下10人，85.5−90.5之间有：15人；×900=500(人)；故计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数为：10+1545(3)由表格中96.5以上8人，95.5−100.5之间有：9人，则96分的有1人，可得90.5−95.5之间有：35−15−9=11(人)，×则A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比为：15+1+1145 100%=60%．解析：(1)利用表格中数据分布即可得出A学校参加本次考试的教师人数；(2)利用A学校参加本次考试的教师人数与成绩在90.5分以下的人数，即可估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；(3)利用表格中数据可得A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比．此题主要考查了频数分布直方图以及利用样本估计总体和统计表，正确获取正确信息是解题关键．23.答案：解：(1)证明：连结AC，交BD于点O．∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA =OC ，OB =OD ． 又∵BE =DF ，∴BE −BO =DF −DO 即OE =OF ． ∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵AC ⊥EF ， ∴四边形AFCE 是菱形． (2)∵AB =AD =2，∴由勾股定理可知AC =BD =2√2， ∴BF =2√2−2． ∴EF =4−2√2，∴菱形的面积=12EF ⋅AC =12×(4−2√2)×2√2=4√2−4．解析：(1)连结AC ，交BD 于点O ，依据正方形的性质可得到AC ⊥EF ，然后再证明OE =OF ，从而可得到四边形AFCE 为平行四边形，于是可证明它是一个菱形；(2)先求得BF 的长，然后可得到OF 的长，进而可得到EF 的长，依据依据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解即可．本题主要考查的是菱形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握正方形性质、菱形的判定定理是解题的关键．24.答案：解：(1)依题意得：{4m +4+n =39m +6+n =0，解得：{m =−1n =3，∴抛物线的表达式是y =−x 2−2x +3；(2)∵抛物线y =−x 2−2x +3与y 轴交点为点C ， ∴点C 的坐标是(0,3)，又点B 的坐标是(−3,0)， ∴OC =OB =3，∠CBO =45°， ∴∠DBO =30°或60°．在直角△BOD 中，DO =BO ⋅tan∠DBO ， ∴DO =√3或3√3， ∴CD =3−√3或3√3−3；(3)由抛物线y =−x 2−2x +3得：对称轴是直线x =−1， 根据题意：设P(−1,t)，又点C 的坐标是(0,3)，点B 的坐标是(−3,0)，∴BC 2=18，PB 2=(−1+3)2+t 2=4+t 2，PC 2=(−1)2+(t −3)2=t 2−6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2−6t +10，解之得：t =−2， ②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2−6t +10=4+t 2，解之得：t =4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2−6t +10=18，解之得：t 1=3+√172，t 2=3−√172．综上所述P 的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+√172)或(−1,3−√172)．解析：本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点． (1)将点A 和点B 坐标代入解析式求解可得；(2)先求出点C 坐标，从而得出OC =OB =3，∠CBO =45°，据此知∠DBO =30°或60°，依据DO =BO ⋅tan∠DBO 求出得DO =√3或3√3，从而得出答案；(3)设P(−1,t)，知BC 2=18，PB 2=4+t 2，PC 2=t 2−6t +10，再分点B 、点C 和点P 为直角顶点三种情况分别求解可得．25.答案：(1)证明：连结OD ，如图，∵EF =ED ， ∴∠EFD =∠EDF ， ∵∠EFD =∠CFO ， ∴∠CFO =∠EDF ， ∵OC ⊥OF ，∴∠OCF+∠CFO=90°，∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，∵OA=OD ∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DEAE =BEDE=BDAD，∵Rt△ABD中，tanA=BDAD =12∴DEAE=BEDE=12∴AE=2DE，DE=2BE∴AE=4BE∴AB=3BE；(3)设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x∵OF=1，∴OE=1+2x在Rt△ODE中，由勾股定理可得：(32x)2+(2x)2=(1+2x)2，∴x=−2(舍)或x=2，9∴圆O的半径为3．解析：(1)先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；(2)先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定(3)设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32理即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解本题的关键．。
2020届上海杨浦区高三二模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海杨浦区高三二模数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞答案：B把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0． 解：原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ． 点评：本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．2．设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 答案：B根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 解：充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．. 点评：本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．3．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅u u u r u u u r u u u u r.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（ ） A ．逐渐变大 B ．逐渐变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大答案：B设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结论． 解：设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ， 2221222()()()s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u u r2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小， 故选：B. 点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础． 4．设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,n n n a a a ++⋅L 的乘积是定值(1,2,3,,2010)n =L .①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1. 命题的真假情况为（ ） A ．①和②都是真命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．②是真命题，①是假命题 D ．①和②都是假命题答案：D先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论． 解：设110n n n a a a k ++⋅=L ；则1211n n n a a a k +++⋅=L ，也就是11n n a a +=，即{}n a 是以11为周期的数列.而2020111837=⨯+.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个. 若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个.若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个. 故选：D ． 点评：本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．二、填空题5．设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,,3,5}B =，则A B =I _______. 答案：{1,3}. 根据交集定义计算． 解：由题意A B =I {1,3}． 故答案为：{1,3}． 点评：本题考查交集的运算，属于简单题．6．行列式120235580=_______. 答案：10根据行列式定义直接计算． 解：120352523512(040)2(025)108050580=⨯-⨯=--⨯-=． 故答案为：10． 点评：本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题． 7．函数23cos 1y x =+的最小正周期为_______. 答案：π用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期． 解：21cos 2353cos 131cos 2222x y x x +=+=⨯+=+，故周期22T ππ==. 故答案为：π． 点评：本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题． 8．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =__________． 答案：2i -.在等式()1243i z i +=+两边同时除以12i +，再利用复数的除法法则可得出复数z . 解：()1243i z i +=+Q ，()()()()24312434836105212121255i i i i i i iz i i i i +-+-+--∴=====-++-，故答案为2i -. 点评：本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z 的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.9．若{}n a 是无穷等比数列，首项111,33a q ==，则{}n a 的各项的和S =_______. 答案：12. 直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算． 解：1131213S ==-．故答案为：12． 点评：本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键． 10．在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_______. 答案：47根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方法数，然后可计算出概率．解：由题意11 3427124217C CPC⋅===.故答案为：47．点评：本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件的个数．11．实数,x y满足约束条件3423x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y=+的最大值为_______.答案：2作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解．解：作出可行域，如图四边形OABC内部（含边界），联立2334x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，即点()1,1B，作直线:0l x y+=，平移直线l，当l过点()1,1B时，直线f x y=+在x轴上的截距最大，此时f x y=+取得最大值max112f=+=.故答案为：2.点评：本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．12．已知曲线1C的参数方程为212x ty t=-⎧⎨=+⎩，曲线2C的参数方程为155xyθθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为_______.答案：5把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长． 解：消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5C x y C x y -+=++=，曲线2C 是圆，圆心为2(1,0)C -，半径为r =d ==5==.故答案为：5． 点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长． 13．数列{}n a 满足111,32n n a a a n +=+=+对任意*n N ∈恒成立，则2020a =_______.答案：3031由已知再写出1235n n a a n +++=+，两式相减可得数列{}n a 的偶数项成等差数列，求出2a 后，由等差数列的通项公式可得2020a ．解：由1123235n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减得23n n a a +-=.而2514a =-=， ∴2020210094100933031a a d =+=+⨯=. 故答案为：3031． 点评：本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用1n +代n ）后两式相减． 14．设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =_______.答案：10根据二项式定理确定(2n 的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与(2)n x +展开式中奇数项系数相等，这样可在(2)n x +的展开式中用赋值法求得奇数项系数和． 解：12r n rr r n T C -+=，有理项为奇数项，即0220222n n n n n n C C C -+++L ，也就是(2)n x +的奇数项，设2012(2)+=++++L n n n x a a x a x a x ，并记()(2)nf x x =+，则012(1)n f a a a a =++++L ，012(1)(1)n n f a a a a -=-+++-L ，∴02(1)(1)312952522n nf f a a +-+++===L ，∴10n =．故答案为：10．. 点评：本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成()(2)nf x x =+的系数是解题关键．15．设a b c r rr、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r ，则a b ⋅rr 的值为_______.利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r 可设a b k ⋅=r r ，设,a b r r 的夹角为θ，则,b c r r 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅r r r r，建立θ方程关系求解即可.解：():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r ，设a b k ⋅=r r ，则,2b c k a c k ⋅=⋅=r r r r ， a b c r r r、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b r r 的夹角为θ，则,b c rr 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=r r r r，22cos 2cos 10θθ--=，解得cos θ=cos θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==r r .故答案为：13-． 点评：本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题. 16．已知抛物线1Γ和2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程为0x =和5120x y +=.设两抛物线交于A B 、两点，则直线AB 的方程为_______. 答案：23y x =根据抛物线定义写出两抛物线方程（平方），相减后可得,A B 两点坐标满足的方程，化简此方程（根据,A B 两点在两准线的位置确定正负）可得直线AB 方程． 解：按抛物线定义有222222122(512):(2)(1);:(2)(1)13x y x y x x y +Γ-+-=Γ-+-=，两方程相减即得222(512)13x y x +=，而,A B 位于0x =的右侧和5120x y +=的上侧， 故51213x y x +=，即23y x =.故答案为：23y x =．点评：本题考查抛物线的定义，考查两曲线公共弦所在直线方程．本题中掌握抛物线的定义和直线方程的定义是解题关键．三、解答题17．如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小 答案：（1）83π（2）3arccos 4 （1）由圆锥性质知4PB =，然后计算出高PO 后可得体积；（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角． 解：（1）由题可得4,23PB OP ==，故体积21183223333V S h ππ=⋅⋅=⋅⨯⨯=. （2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,1,3),(2,0,0),(0,0,23)M A P ，所以(0,1,3),(2,0,23)OM AP ==-u u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则||63cos 244||||OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r ，故所成角为3arccos 4.点评：本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角．掌握圆锥的性质是解题关键．18．已知三角形ABC 中，三个内角、、A B C 的对应边分别为a b c 、、，且5,7a b ==.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.答案：（1）8c =（2）（1）用余弦定理后解方程可求得c ；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积． 解：（1）由余弦定理可得22222cos 492558b a c ac B c c c =+-⇒=+-⇒=. （2）由题意可得2222cos CA CM AM CM AM AMC =+-⋅∠，2222cos CB CM BM CM BM BMC =+-⋅∠，又AM BM =，AMC BMC π∠+∠=，∴()22222CA CB CM AM +=+，即()2492529AM +=+，∴AM =∴2c AM ==，由222492511219cos sin 27035a b c C C ab +-+-===-⇒=∴11sin 5722ABC S ab C ==⨯⨯=V 点评：本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论()22222CA CB CM AM+=+成立（其中M 是AB 中点）． 19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-； 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数2I ，比较它们的大小可得结论； （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，得1 1.080.46n n I I +=-，凑配出数列23{}4n I -是等比数列，求得通项n I ，由1n I <可解得n 的最小值． 解：（1）由题意可知，使用策略A 时，211.020.2I I =-；使用策略B 时，211.080.46I I =- 令()111131.020.20 1.080.4603I I I --->⇒<，即当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略B 第二周严重程度更小；当1133I =时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当113,83I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略A 第二周严重程度更小. （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，即1123231.080.46, 1.0844n n n n I I I I ++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以数列234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以114-为首项，1.08为公比的等比数列，所以12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，令1n I <，可得9n ≥，所以虫害最快在第9周解除.点评：本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式1(1,0)n n a pa q p +=+≠求通项公式的方法是解题基础．20．已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r，求证：λμ+为定值.答案：（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析；（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ； （2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅u u u u r u u u r可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=u u u u r u u u u r可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论． 解：（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412k k k -=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++u u u u r u u u r122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r 得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.点评：本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解． 21．已知()21x mf x mx +=++，其中m 是实常数.（1）若118f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，求m 的取值范围； （2）若0m >，求证：函数()f x 的零点有且仅有一个；（3）若0m >，设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若1234,,,a a a a 是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中，求证：()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+.答案：（1）(0,2(2)⋃+∞（2）证明见解析；（3）证明见解析； （1）直接解不等式1()18f m>即可； （2）说明函数是增函数，然后由(0)0f >，2()0f m m--<可得结论； （3）首先不等式变形：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-，即()()()()11113311f a d f a f a d f a ----+-<+-，而31a a >，问题转化为证明1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数，即设12t t <，证明()()()()111111220f t d f t f t d f t ----+--+->，利用反函数定义，设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得1212,,,u u n n 之间的大小关系，得()()()()()()111111221212f t d f t f t d f t u u n n ----+--+-=---.作两个差12()()f u f u -，12()()f n f n -，并相减得()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---，若()()12120u u n n ---≤，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有()()12120u u n n --->，证得结论．解：（1）112218m m f m +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以1216m m +>，14m m +>，易知0m >，所以2410m m -+>，所以(0,2(2)m ∈⋃+∞.（2）函数()f x 为增函数，且222(0)210,21mmf f m m m -⎛⎫=+>--=-- ⎪⎝⎭，由于2222212100mmm f m m --⎛⎫<⇒--<⇒--< ⎪⎝⎭.故在2,0m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上必存在0x ，使()00f x =.又()f x 为增函数，所以函数()f x 的零点有且仅有一个.（3）即证：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-.()()()()11113311f a d f a f a d f a ----⇔+-<+-，而31a a >，所以只需证1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数.设12t t <，即证()()()()11111122f t d f t f t d f t ----+--+-※大于0设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得12121122,,,u u n n u n u n >><<. ()()1212u u n n =---※.而()()121112212121u mu mf u mu t d f u mu t ++⎧=++=+⎪⎨=++=⎪⎩， 两式相减得()121222mn m u m u u d ++-+-=，()()21212221u m u u m u u d +--+-=①同理()()21212221n mn n m n n d +--+-=②，①-②得：()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---.若()()12120u u n n ---≤，则上式左侧0<，右侧0≥矛盾，故※0>.证毕. 点评：本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．。
2020 杨浦 高三二模
2020 杨浦高三二模一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（3分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5，7}，则A∩B＝．2．（3分）行列式的值为．3．（3分）函数y＝3cos2x+1的最小正周期为．4．（3分）设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．5．（3分）若{a n}是无穷等比数列，首项a1＝，公比q＝，则{a n}各项的和S＝．6．（3分）在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为．（结果用最简分数表示）7．（3分）实数x，y满足约束条件，目标函数f＝x+y的最大值为．8．（3分）已知曲线C1的参数方程为（t是参数），曲线C2的参数方程为（θ是参数），则C1和C2的两个交点之间的距离为．9．（3分）数列{a n}满足a1＝1，且a n+a n+1＝3n+2对任意n∈N*均成立，则a2020＝．10．（3分）设n∈N*，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n＝．11．（3分）设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若（•）：（•）：（•）＝1：1：2，则的值为．12．（3分）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（3分）不等式≤0的解集为（）A．[1，2]B．[1，2）C．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）14．（3分）设z是复数，则“z是虚数”是“z3是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3分）设F1，F2是椭圆的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记，在动点的第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为（）A．逐渐变大B．逐渐变小C．先变大后变小D．先变小后变大16．（3分）设{a n}是2020项的实数数列，{a n}中的每一项都不为零，{a n}中任意连续11项a n，a n+1，…，a n+10的乘积是定值（n＝1，2，3，…2020），命题：①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为（）A．①和②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．②是真命题，①是假命题D．①②都是假命题三. 解答题（本大题共4题，每题5分，共20分）17．如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M是母线BP的中点，已知OA＝OM＝2．（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM与AP所成角的大小．18．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7．（1）若B＝，求c；（2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I n}，{I n}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一；策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足I n+1＝1.02I n﹣0.20；策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足I n+1＝1.08I n﹣0.46；（1）设第一周的虫害指数I1∈[1，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？20．已知双曲线H：x2﹣，经过点D（2，0）的直线l与该双曲线交于M、N两点．（1）若l与x轴垂直，且|MN|＝6，求b的值；（2）b＝，且M、N的横坐标之和为﹣4，证明：∠MON＝90°；（3）设直线l与y轴交于点E，，求证：λ+μ为定值21．f（x）＝2x+m+mx+1，其中m是实常数．（1）若f，求m的取值范围；（2）若m＞0，求证：函数f（x）的零点有且仅有一个；（3）若m＞0，设函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若a1，a2，a3，a4是公差d＞0的等差数列且均在函数f（x）的值域中，求证：f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．参考答案一、填空题1．{1，3}；2．10；3．π；4．2﹣i；5．；6．；7．；8．；9．3031；10．10；11．；12．y＝；二、选择题13．B；14．B；15．B；16．D；三、解答题17.解：（1）如图所示，连接OP，则OP⊥底面OAB．点M是母线BP的中点，∴PB＝2OM＝4．∴OP＝＝＝2．∴该圆锥的体积V＝×π×22×2＝．（2）连接AB，取AB的中点D，连接OD，DM．△P AB中，DM∥P A，DM＝AP＝2．∴∠OMD为异面直线OM与AP所成角或其补角．在等腰直角三角形OAB中，OD＝AB＝．在△OMD中，由余弦定理可得：cos∠OMD＝＝，∴异面直线OM与AP所成角的大小∠OMD＝arccos．18.解：（1）△ABC中，a＝5，b＝7，B＝，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即49＝25+c2﹣2×5×c×cos，整理得c2﹣5c﹣24＝0，解得c＝8或c＝﹣3（不合题意，舍去），所以c＝8；（2）如图所示，点M是边AB的中点，CM＝3，＝（+），所以＝（+2•+），即9＝×（49+2×7×5×cos∠ACB+25），解得cos∠ACB＝﹣，所以sin∠ACB＝＝，△ABC的面积S△ABC＝CA•CB•sin∠ACB＝×7×5×＝6．故答案为：6．19.解：（1）策略A：因为I n+1＝1.02I n﹣0.20，策略B：因为I n+1＝1.08I n﹣0.46当1.02I1﹣0.02＝1.08I1﹣0.46，可得I1＝，当I1＝时，两者相等，当I1∈[1，]时，策略B的I2更小；当I1∈（，8]时，策略A的I2更小；（Ⅱ）I1＝3时，选择策略B，当I n＝0，时则﹣＝（3﹣）•1.08n﹣1，可得＝1.08n﹣1，所以n＝+1≈9所以虫害的危机最快在第9周解除．20.（1）解：由题意可得直线l的方程为x＝2，代入双曲线的方程可得4﹣＝1，解得y＝±b，可设M（2，﹣b），N（2，b），即有|MN|＝2b＝6，解得b＝；（2）证明：由b＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立双曲线的方程可得（2﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣2＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，由x1+x2＝﹣4，即﹣＝﹣4，解得k＝±1，此时x1x2＝﹣6，则•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2），＝2x1x2﹣2（x1+x2）+4＝2×（﹣6）﹣2×（﹣4）+4＝0，可得⊥，即有∠MON＝90°；（3）证明：由题意可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），可得E（0，﹣2k），又点D（2，0），且设M（x1，y1），N（x2，y2），由＝λ，可得（x1，y1+2k）＝λ（2﹣x1，﹣y1），即x1＝λ（2﹣x1），y1+2k＝λ（﹣y1），可得x1＝，y1＝﹣，由M在双曲线上，可得x12﹣＝1，即有（）2﹣＝1，化简可得3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2＝0，由＝μ，可得（x2，y2+2k）＝μ（2﹣x2，﹣y2），同理可得3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2＝0，故λ、μ为方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的两个实根，可得λ+μ＝＝为定值．21.解：（1）依题意，，即，∴，显然m＞0，则m2﹣4m+1＞0，解得或，∴实数m的取值范围为；（2）证明：当m＞0时，易知函数f（x）在R上单调递增，又当x→﹣∞时，2x+m→0，则f（x）一定会取得负值，而f（0）＝2m+1＞0，则由零点存在性定理可知，函数f（x）的零点有且仅有一个，且零点小于零；（3）证明：由（2）知，f（x）在R上单调递增，任取x1＜x2，则＝，∴，可知，函数f（x）是类似于下图所示增长形式的函数图象，由题有，a1+a4＝a2+a3，且公差d＞0，则其在图象上可取如图所示符合条件的任意四点，且对应点A的横坐标，对应点B的横坐标，显然有，，即f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．。
2020届上海市杨浦区中考数学二模试卷(有答案)(加精)
上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣24．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．96．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72二、填空题7．计算：=．8．写出的一个有理化因式：．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是．10．函数y=+x的定义域是．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=（用表示）．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．三、解答题19．计算：．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM 的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC （如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b【考点】实数的运算；绝对值．【专题】推理填空题；实数．【分析】A：根据求一个数的算术平方根的方法计算即可．B：分别把、π化成小数，判断出它们的大小关系即可．C：根据8=23，可得=，据此判断即可．D：①当a+b是正有理数时，a+b的绝对值是它本身a+b；②当a+b是负有理数时，a+b的绝对值是它的相反数﹣（a+b）；③当a+b是零时，a+b的绝对值是零．【解答】解：∵=2，∴选项A不正确；∵≈3.142857，π≈3.1415927，∴≠π，∴选项B不正确；∵8=23，∴=，∴选项C正确；当a+b是正有理数时，|a+b|=a+b；当a+b是负有理数时，|a+b|=﹣（a+b）；当a+b是零时，|a+b|=0；∴选项D不正确．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解．【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；B．x2=m，当m＜0时，无解；C.=m，当m=0或﹣时无解；D.=m，当m＜0时，无解；故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．【解答】解：A、∵y=2x的系数2＞0，∴函数图象过一三象限，故本选项错误；B、∵y=中，2＞0，∴函数图象过一、三象限，故本选项错误；C、在y=x﹣2中，k=1＞0，b=﹣2＜0，则函数过一三四象限，故本选项错误；D、∵y=x2﹣2开口向上，对称轴是y轴，且函数图象过（0，﹣2）点，则函数图象过一、二、三、四象限，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可．【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是解题的关键．5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．9【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两数的平均数即可．【解答】解：∵共16次射击，∴中位数是第8和第9的平均数，分别为9环、9环，∴中位数为9环，故选：D．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．6．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72【考点】正多边形和圆．【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利用360度除以x即可得到．【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x，根据题意得：=π，解得：x=10．则n==36．故选C．【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度数是关键．二、填空题7．计算：=﹣1．【考点】分式的加减法．【分析】把原式化为﹣，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．8．写出的一个有理化因式：+b．【考点】分母有理化．【分析】根据这种式子的特点：﹣b和+b的互为有理化因式解答即可．【解答】解：的一个有理化因式：+b；故答案为：+b．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是4．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，列出m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4×m=0，且m≠0，解得m=4．故答案是：4．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．函数y=+x的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=4．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），再利用点平移的规律得到把点（0，﹣m）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣m），接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，然后把原点坐标代入可求出m的值．【解答】解：函数y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），把点（0，﹣m）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣m），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，把点（0，0）代入=（x+2）2﹣m得4﹣m=0，解得m=4．故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．【考点】列表法与树状图法；点的坐标．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所得点落在第一象限的有4种情况，∴所得点落在第一象限的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=﹣（用表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，由AM：MB=CN：NA=1：2，可表示出与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵AM：MB=CN：NA=1：2，∴AM=AB，AN=AC，∵，∴=，=，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得，x=12（舍去负值），故该斜坡坡度i=5：12=1：m．所以m=．故答案为：m=．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是0.05．【考点】频数（率）分布直方图．【分析】利用1减去其它组的频率即可求得．【解答】解：m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05．故答案是：0.05．【点评】本题考查了频率分布直方图，了解各组的频率的和是1是关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】开放型．【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意画出图形，当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，再利用△ODE∽△BDA，求出答案．【解答】解：如图所示：当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，则OE⊥BD，且OE=r，∵∠OED=∠A=90°，∠ADE=∠EDO，∴△ODE∽△BDA，∴=，∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴=，解得：EO=．故答案为：．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ODE∽△BDA是解题关键．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE∽△BDA，利用相似比可得=，然后证明AD=BD即可得到的值．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，∴∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，∵EF∥AG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，∴AB2=BD2，∴=，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABD，∴∠ABD=∠DAB，∴DB=DA，∴=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，三、解答题19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：=1+9+6×﹣||=10﹣2=10【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x＞﹣．则不等式组的解集是：﹣＜x＜2．则非负整数解是：0，1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM 的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性质得到CN=AN=AB，由等腰三角形的性质得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线段BM的中点，∴=，=，∴；（2）过M作MN⊥AB于H，∵点N分别是边AB的中点，∴CN=AN=AB，∴∠ACN=∠A=30°，∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA，∴设BC=2k，则MA=k，MH=k，HB=4k﹣k=k，∴cos∠NCD===．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由OA过原点O，故设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，将点A的坐标代入函数解析式得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出函数解析；（2）根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3am/min，结合路程=速度×时间，得出关于a的一元一次方程，解方程可求出a的值，再根据路程=速度×时间可得出C点的纵坐标．【解答】解：（1）设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，根据已知可得：600=20k，解得：k=30．故上山时y关于x的函数解析式为y=30x（0≤x≤20）．（2）设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3a/min，由已知得：18×2a+8×3a=600，解得：a=10．故8×3a=8×3×10=240（米）．答：点C的纵坐标为240．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据数量关系列出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）巧用比例关系设未知数，解该类型题目时，由数量关系列出方程（或方程组）是关键．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；等腰梯形的判定．【分析】（1）由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，继而证得四边形AFED是正方形；（2）由BG与CD平行且相等，可得四边形BCDG是平行四边形，即证得CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，则可得DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．【解答】（1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°，∴∠ADE=90°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，∵四边形ADEF为矩形，∴四边形ADEF为正方形；（2）连接EG，DG，∵BG∥CD，且BG=CD，∴四边形BCDG是平行四边形．∴CB=DG．∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．∵G是AF的中点，∴AG=FG．在△DAG和△EFG中，，∴△DAG≌△EFG（SAS），∴DG=EG，∴EG=BC．∴四边形GBCE是等腰梯形．【点评】此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定．注意证得四边形BCDG是平行四边形与△DAG≌△EFG是关键．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；（2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确定出交点坐标；（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底）．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a，∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），∴AB=5，∵AB=BD，∴BD=5，∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，∴3﹣16a=BD=5，∴a=﹣，∴y=x2+x+3，（2）∵B（4，0），A（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，∵DP∥AB，设直线DP解析式为y=﹣x+b，∵D（4，5）在直线DP上，∴b=8，∴直线DP解析式为y=﹣x+8，由，∴x1=10，x2=4（舍），∴P（10，）；（3）如图①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G1，∵BG=AB，∴∠BAG1=∠BG1A，∴∠AGB=∠ABD，∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，∴G1（4，﹣5），∴S△ABG1=×BG1×AH=×5×4=10；②以A为圆心，AG1为半径作圆，交BD延长线于G2，过点A作AH⊥BD于H，∴HG2=HG1=BH+BG1=8，∴BG2=11，∴G2（4，11），S△ABG2=×BG2×AH=×11×4=22；即：S△ABG=10或22，【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC （如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，由此即可解决．【解答】解；（1）如图1中，连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，∴可以假设AC=2k，BC=k，∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如图2中，∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=，设GH=2a，HB=a，∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∴a=1，HB=1，GH=2，OH=2，OG==2，∵GC∥DO，∴=，∴ON=×=．【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．。
2020届上海市杨浦区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)(加精)
上海市杨浦区高三二模数学试题一、填空题1、行列式987654321中，元素5的代数余子式 2、设实数()()0,()cos sin f x x x ωωω>=+若函数的最小正周期为=ωπ，则 3、已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为4、设向量()()t ,6,3,2==，若与的夹角为钝角，则实数t 的取值范围5、集合{}2,3,1aA =，集合{}2,1++=a aB a A A B 则实数若,=⋃＝6、设21221-032,z z z z z z 的两根，则是方程=++=7、设()R x f 是定义在上的奇函数，当()023,x x f x >=-时，则不等式()5f x <-的解集是8、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+020212y x y x y x ，则y x z -=的最小值为9、小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立的进行，则小明扔出的点数不大于2或小红扔出的点数不小于3的概率为10、设）的坐标（上的动点，点是椭圆0,2-)0(142222F a a y a x A >=-+，若满足A AF 的点10=有且仅有两个，则实数a 的取值范围为11、已知()=++>>b abb a b a 取得最小值时，当14,0,0212、设函数()1,22≤+-+=y x a a x x x f 在圆盘在实数范围内变化时，当α内，且不在任一()x f α的图像上的点的全体组成的图形面积二、选择题13、”的是纯虚数”是““且设R z z z C z ∈≠∈2,0 （ ） A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要条件 D 、即非充分又非必要14、设等差数列{}n a 的公差为0,≠d d ，若{}n a 的前10项和大于其前21项和，则（ ） A 、0<d B 、0>d C 、016<a D 、016>aABCD1C 1B 1A 1PQ 15、如图，S N C O S N 和是经过直径的两个端点，圆是球1,点的大圆，32C C 和圆圆分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆。
上海市杨浦区2020-2021年高三数学二模试卷含答案
- - - 1 -ABCD A 1B 1C 1D 1杨浦区2020学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2021.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数z 满足2i z =-（i 为虚数单位），则z z ⋅=___________． 2．已知函数()f x =1()f x - ，则1(3)f -= ___________．3．在行列式137252124D =-中，元素3的代数余子式的值为__________．4．在8(x 的二项展开式中，6x 项的系数是___________．5．已知,x y 满足:102040x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为___________.6．方程()()55log 4111log 23x x --=-的解为=x ___________．7．已知一组数据,3,2,6a -的中位数为4，则其总体方差为___________．8．已知函数()()|21|f x g x x =+-为奇函数，若(1)7g -=，则(1)g =___________． 9．直线l ：(2)210n x y n +-+-=（*n ∈N ）被圆C ：22(1)16x y -+=所截得的弦长为n d ，则lim n n d →+∞=___________．10．非空集合A 中所有元素乘积记为()T A . 已知集合{1,4,57,8}M =, ，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A ，则()T A 为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 11.函数()sin()(0)f x x x ωωω=>，若有且仅有一个实数m 满足：①02m π≤≤；②x m =是函数图像的对称轴，则ω的取值范围- - - 2 -是 ．12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ACC A 上一动点，且满足10D P CP ⋅=，则满足条件的所有点P 所围成的平面区域的面积是___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若 ,R m n ∈，i 是虚数单位,则 “m n =”是“()() i m n m n -++为纯虚数 ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．已知数列{}n a 是无穷等比数列，若120a a <<，则数列{}n a 的前n 项和n S （ ） A ．无最大值，有最小值B ．有最大值，有最小值C ．有最大值，无最小值D ．无最大值，无最小值 15．在四边形ABCD中，AB DC ==，且满足||||||ABADAC AB AD AC +=，则||AC = （ ） A ．2 B ．6CD ． 16．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ， 函数()f x 具有下列性质：（1）若 ,x y D ，则()()f x A f y ∈；（2）若 ,x y D ，则()()f x f y A +∈.下列结论正确是 （ ）①函数()f x 可能是奇函数； ②函数()f x 可能是周期函数； ③存在x D ∈，使得2021()2020f x =； ④对任意x D ∈，都有2()f x A ∈.A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③- - - 3 -C 1B 1A 1C B ADD三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥D 是棱AB 的中点 .（1）求证：直线BC 与直线1DC 为异面直线；（2）求直线1DC 与平面1A BC 所成角的大小.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知()221x f x ax x =++，（a 为实常数）（1）当1a =时，求不等式()1()f x f x x+<的解集；（2）若函数()f x 在()0,+∞中有零点，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，,,A B C 三地在以O 为圆心的圆形区域边界上，30AB =公里，10AC =公里，60BAC ∠=︒， D 是圆形区域外一景点，90DBC ∠=︒（1）O 、A 相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A 处出发，以每小时50处，需要多少- - - 4 -小时？（精确到小数点后两位）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆222:(1)16C x y -+=交于 , A B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程2224, (1)16, AAy x x x x y x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，P 是曲线Γ上一动点.（1）若P 在抛物线上且满足||3PF =，求直线PF 的斜率；（2）(,0)T m 是x 轴上一定点. 若动点P 在Γ上满足A x x ≤的范围内运动时，||PT AT ≤恒成立，求m 的取值范围；（3）Q 是曲线Γ上另一动点，且满足FP FQ ⊥，若PFQ ∆的面积为4 ，求线段PQ 的长.- - - 5 -21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷数列{}n a 与无穷数列{}n b 满足下列条件： ① {0,1,2},n a n ∈∈*N ；② 1111(1)||,24n n n n n b a a n b *++=-⋅-∈N . 记数列{}n b 的前n 项积为n T.（1）若112341 ,0 , 2 ,1a b a a a =====，求4T ；（2）是否存在1234,,,a a a a ，使得1234,,,b b b b 成等差数列？若存在，请写出一组1234,,,a a a a ;若不存在，请说明理由； （3）若11b =，求2021T 的最大值.评分参考一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
2020年上海市杨浦区初三二模数学试卷及答案(Word版)
2020年上海市杨浦区初三二模数学试卷2020.05一、选择题1.2020的相反数是( )A .2020B .2020-C .12020D .12020- 2.下列计算中，正确的是( )A .248a a a ⋅=B .347()a a =C .44()ab ab =D .633a a a ÷=3.如果将一张长方形纸片折成如图的形状，那么图中∠l 与∠2的数量关系是( )A .122∠=∠B .132∠=∠C .12180∠+∠=︒D .122180∠+∠=︒4.已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是( )A .03d <<B .07d <<C .37d <<D .03d ≤<5.如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是( )A .sin36a ︒B .cos36a ︒C .2sin18a ︒D .2cos18a ︒ 6.己知在四边形ABCD 中，AB //CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判 定这个四边形为矩形的是( )A .AD BC =，AC BD =B .AC BD =，BAD BCD ∠=∠C .AO CO =，AB BC =D .AO OB =，AC BD =二、填空题7.分解因式：26mx my -=_______8.函数1x y x =-中，自变量x 的取值范围是_______ 9.从1、2、3、4、5、6、7这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是_______10.一组数据：2、2、5、5、6，那么这组数据的方差是_______11.不等式组210 21x x -+<-≤⎧⎨⎩的解集是_______12.方程2x x +=的解是_______13.已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是_______14.在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，DE 经过△ABC 的重心，如果AB m =，AC n =，那么DE =_______(用m 、n 表示)15.如图，已知在55⨯的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是_______16.如图，己知在平面直角坐标系中，点A 在x 正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数k y x=的图像经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_______第15题 第16题 第17题17.定义：对于函数()y f x =，如果当a x b ≤≤时，m y n ≤≤，且满足()n m k b a -=-(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”，如：正比例函数3y x =-，当13x ≤≤，93y -≤≤-，则()39(31)k ---=-，求得3k =，所以函数3y x =-为“3级函数”，如果一次函数21y x =-(15x ≤≤)为“k 级函数”，那么k 的值是_______18.如图，已知在平行四边形ABCD 中，10AB =，15BC =，4tan 3A ∠=，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是_______三、解答题19.先化简，再求值：21232()222a a a a a++÷+-+其中1a =.20.解方程组：22 212 320x y x xy y +=-+=⎧⎨⎩.21.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB(弧所对的弦的长)为8米，拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2米.(1)求桥拱所在圆的半径长；(2)如果水面AB上升到EF时，从点E到桥顶Dα=，求水面上升的高度.的仰角为a，且cot322.某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试(全国卷)》试卷(满分100分)，社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩(单位：分)进行整理、分析，过程如下：收集数据：85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 10080 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据(每组数据可含最低值，不含最高值)：分组（分）频数频率60~7040.170~80a b80~90100.2590~100c d100~11080.2分析数据：(1)填空：a=_______，b=_______，c=_______，d=_______；(2)补全频率分布直方图；(3)由此估计该社区居民在线答卷成绩在_______ (分)范围内的人数最多；(4)如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为_______人.23.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM=，联结DN与线段AE交于点H，联并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON OM结EN、MN.(1)如果EN//BD，求证：四边形DMNE是菱形；(2)如果EN⊥DC，求证：2=⋅.AN NC AC24.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =++经过点A (30-，)和点 B (32，)，与y 轴相交于点C .(1)求这条抛物线的表达式；(2)点P 是抛物线在第一象限内一点，联结AP ，如果点C 关于直线AP 的对称点D 恰好 落在x 轴上，求直线AP 的截距；(3)在(2)小题的条件下，如果点E 是y 轴正半轴上一点，点F 是直线AP 上一点，当△ EAO 与△EAF 全等时，求点E 的纵坐标.25.如图，已知在△ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，8BC =，点P 是射线AC 上一点(不与点A 、C 重合)，过P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的M 与边AB 相交的另一个交点为点N ，点Q 是边BC 上一点，且2CQ CP =，联结NQ .(1)如果M 与直线BC 相切，求M 的半径长；(2)如果点P 在线段AC 上，设线段AP x =，线段NQ y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；(3)如果以NQ为直径的O与M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长.上海市杨浦区初三二模数学答案一、选择题1.B2.D3.A4.D5.C6.B二、填空题7.2(3)m x y - 8.1x > 9.49 10.145 11.132x ≤≤ 12.2x = 13.1m <且0m ≠ 14.2233m n -+ 1516.4 17.2 18.6或10 三、解答题19.原式=2a a -；当1a =时，原式=. 20.1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩. 21. (1)5米；（2）1米.22.（1）6a =，0b =，12c =，0.3d =；(2)略；（3）900-100；（4）400.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）211433y x x =-++；（2）32；（3）6. 25.（1）5；（2）4)y x =<<；（3）112x =.。
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则=⋃B A 【答案】{1,3}【解析】,A B 共同元素是1,32. 行列式120235580的值为【答案】10【解析】行列式展开公式展开,得103. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 【答案】π【解析】252cos 231212cos 31cos 32+=++=+=x x x y Θ ππ==∴22T4. 设i 是虚数单位，复数z 满足(12i)43i z +=+，则z = 【答案】i -2【解析】由复数z 满足i z i 34)21(+=+，可得i ii i i i i i z -=-=-+-+=++=25510)21)(21()21)(34(2134 5. 若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 6. 在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女 的概率为 （结果用最简分数表示） 【答案】74 【解析】742112271413===C C C P7. 实数x 、y 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为【答案】37【解析】如图可知，最优解为375332max =⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，，8. 已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为1x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l9. 数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a10. 设*n ∈N ，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案】10=n【解析】第1+r 项为212r rn r nr x C T -+=所以当r 为偶数时为有理项即二项展开式的奇数项系数之和为29525 ()()2121229525nn -++=∴即10=n11. 设a r 、b r 、c r 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r，则a b ⋅r r的值为【答案】12【解析】由a b b c ⋅=⋅r r r r 及a c =r r，可知a r 与b r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，设这个夹角为θ，① 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()cos 0,1θ∈时，a r 与c r 的夹角为2θ，此时cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=r r r r ，cos 2cos 2c a c a θθ⋅=⋅⋅=r r r r，从而2cos 22cos 2cos 2cos 10cos θθθθθ=⇒--=⇒=均含)； ② 当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()cos 1,0θ∈-时，a r 与c r 的夹角为22πθ-，类似①，可得()cos 222cos πθθ-=，即cos22cos θθ=，解得1cos 2θ-=或1cos 2θ+=(舍)；综上，1cos 2a b θ⋅==r r12. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两 抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为 【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 不等式102x x -≤-的解集为（ ） 【A 】 [1,2] 【B 】 [1,2) 【C 】 (,1][2,)-∞+∞U 【D 】 (,1)(2,)-∞+∞U 【答案】B【解析】()()021≤--x x 且2≠x 解得选B14. 设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） 【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】举出反例即可比如i 2321--=ω. 15. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是 该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()20202022100520,5,0,5,,y x y xs F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B16. 设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++⋅⋅⋅的乘积是定值（1,2,3,,2010n =⋅⋅⋅），命题① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为（ ）【A 】 ①和②都是真命题 【B 】 ①是真命题，②是假命题 【C 】 ②是真命题，①是假命题 【D 】 ①和②都是假命题 【答案】D【解析】令A a a a n n n =⋅⋅⋅++101Λ则A a a a n n n =⋅⋅⋅+++1121Λ则n n a a =+11，即周期为11=T ；183112020=余数是7； 若一个周期内有两个1，则至少有366个1，①错；若一个周期内有三个1，则有549至552个1，②错；选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条相互垂直的半径，点M 是母线BP 的中点，已知2OA OM ==. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成的角的大小. 【答案】（1）π338（2）3arccos 4【解析】（1）0229024,4223POB PM MB MO PB PO ∠=∴===∴==-=Q故圆锥的体积21183223333V Sh ππ==⋅⋅=； （2）以O 点为原点，,,OA OB OP u u u r u u u r u u u r方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()1(OB+)=0,1,3,(0,0,23)(2,0,0)(2,0,23)2OM OP AP ==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则63cos 244OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 所以异面直线OM 与AP 所成角为3arccos 4.18. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积. 【答案】（1）8=c （2）66 【解析】(1)（解法一）由余弦定理，2222-=2cos ,25-49=58a cb ac B c c c ++=即，在正实数集合中解得（解法二）由正弦定理，sin sin a A B a b A B B b ==<∴<∴为锐角111sin 214sin 8sin bc C B+=∴=⋅=（2）（解法一）设AM MB x ==则由cos CMA cos CMB∠=-∠知222222353702323x x x x +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得x =故22235cos 23x CMB CMB x +-∠==∠=⨯⨯三角形的面积11sin 322S AB CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯= （解法二）设CA=,CB=,a b u u u r r u u u r r 则5,7,6a b a b ==+=r r r r.因此22236,a b a b ++=r r r rg ,解得19a b ⋅=-r r .故19cos 35ACB ∠=-，从而sin ACB ∠=因而三角形ABC的面积1sin 2S CA CB ACB =⋅⋅∠=（解法三）延长CM 至D .使CM MD =,则四边形ABCD 是平行四边形 因而三角形ABC 的面积与三角形BCD 的面积相等 而三角形BCD 的三边长分别为5,6,7,根据Heron 公式，其面积为S == 因此三角形ABC的面积为.19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）见解析（2）第9周解除【解析】（1）111(1.020.20)(1.080.46)0.260.06I I I ---=- 不等式10.260.060I ->,得1133I <因此，当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，用第二种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当113(,8]3I ∈时，用第一种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当1133I =时，两种策略效果相同。
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如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（ 3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．
80100809565100909585801007560907080957510090
整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）
分析数据
（1）填空：a=▲，b=▲，c=▲，d=▲；
（2）补全频率分布直方图；
（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在▲（分）范围内的人数最多；
（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为▲人．
22．（本题满分10分）
某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：
收集数据
85659510090958565758510090709010080801009575
20．（本题满分10分）
解方程组：
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为 ，且 ，求水面上升的高度．
杨浦区2019学年度第二学期初三质量调研
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）2020．5
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．2020的相反数是
（A）2020；（B） ；（C） ；（D） ．
2．下列计算中，正确的是
（A） ；（B） ；（C） ；（D） .
3．如果将一张长方形纸片折成如图的形状，那么图中∠1与∠2的数量关系是
18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝ ，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转 得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是▲．
三、 解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
先化简，再求值： ，其中 ．
当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ=2CP，联结NQ.
（A）∠1=2∠2；（B）∠1=3∠2；
（C）∠1＋∠2=180°；（D）∠1＋2∠2=180°．
4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
5．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
6．已知在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON=OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN.
（1） 如果EN BD，求证：四边形DMNE是菱形；
（2）如果EN DC，求证： .
（A）AD=BC，AC=BD；（B）AC=BD，∠BAD=∠BCD；
（C）AO=CO，AB=BC；（D）AO=OB，AC=BD．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．分解因式：2mx－6my＝▲．
8．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是▲．
9．从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是▲．
（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；
16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数 的图像经过 的顶点B和边AB的中点C，如果 的面积为6，那么k的值是▲．
17．定义：对于函数y=f（x），如果当a x b时，m y n，且满足n m＝k（b a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝ 3x，当1 x 3时， 9 y 3，则 3 （ 9）＝k（3 1），求得k＝3，所以函数y＝ 3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x 1（1 x 5）为“k级函数”，那么k的值是▲．
10．一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是▲．
11．不等式组的解集是▲．
12．方程 的解是▲．
13．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是▲．
14．在 中，D、E分别在边AB、AC上， ，DE经过 的重心，如果 ， ，那么 ▲．（用 、 表示）
15．如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是▲．