上海市闸北区2015届高三下学期期中练习(二模)数学理试题

上海市闸北区2015年高三第二学期期中练习数学（理科）试卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1. 设幂函数()f x 的图像经过点()8,4，则函数()f x 的奇偶性为____________．2. 设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB ，则向量AB对应的复数所对应的点的坐标为____________．3. 已知定义域为R 的函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称，()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=，则()()12g x g x +=___________．4. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，其中,,(0,1)a b c ∈．已知投篮一次得分的期望是2，则ab 的最大值是____________．5. 设⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n 数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ___________．6. 设函数⎩⎨⎧<+≥+-=.0,4,0,66)(2x x x x x x f 若存在互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是_____________．7.若二项式nx ⎛⎝展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．8. 从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -的值是____________． 9. 已知集合(){},,U x y x R y R =∈∈，(){},M x y x y a =+<，()(){},P x y y f x ==，现给出下列函数：①a y x -=；②log a y x = ；③()sin y x a =+；④cos y ax =．若01a <<时，恒有U P C M P = ，则所有满足条件的函数()f x 的编号是___________．10. 把正整数排列成如图()a 的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图()b 的三角形数阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2015k a =，则__________.k =1 12 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 ()a ()b二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11. 下列命题中，正确的个数是……………………………………………………………【 】（1） 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行； （2） a 、b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个； （3） 直四棱柱是直平行六面体；（4） 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．A 、0B 、1C 、2D 、3 12. 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭的下列判断中正确的是……………【 】 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3πθ=对称 C 、曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D 、曲线C 关于极点()0,0对称13. 已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是…………………………………………………………………………………【 】 A 、32 B 、23C 、2D 、 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，AB 是圆柱体1OO 的一条母线，已知BC 过底面圆的圆心O ， D 是圆O 上不与点,B C 重合的任意一点，5AB =，5BC =，3CD =．（1）求直线AC 与平面ABD 所成角的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 旋转一周，求ACD ∆的三边在旋 转过程中所围成的几何体的体积．15. （本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）如图所示，某市拟在长为8km 道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>[]()0,4x ∈的图像，且图像的最高点为(3,S ，赛道的后一部分为折线段MNP ，且120MNP ∠= ．（1）求M 、P 两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP 长度的最大值．16. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．17. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数()x g t =，使得函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍是A ，那么称()x g t =是函数()y f x =的一个等值域变换．（1）判断下列函数()x g t =是不是函数()y f x =的一个等值域变换？说明你的理由；① ()2log ,0f x x x =>，()1,0x g t t t t==+>； ② ()21,f x x x x R =-+∈，()2,tx g t t R ==∈．（2）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1A ，那么“1D A =”是否为“()x g t =是()y f x =的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；（3）设()2log f x x =的定义域为[]2,8x ∈，已知()2231mt t n x g t t -+==+是()y f x =的一个等值域变换，且函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数m n 、的值．18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）我们把一系列向量()1,2,,i a i n = 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a，已知向量列{}n a 满足：()1,11=a ，()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ ()2n ≥．（1）证明：数列{}n a是等比数列；（2）设2log n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；（3）设n θ表示向量1n a - 与n a 间的夹角，若2n nn b θπ=，对于任意正整数n ，不等式()1log 122a a +++>- 恒成立，求实数a 的范围．理科答案一． 填空题1、偶函数；2、()1,1-3、2-4、165、55186、()1,6-7、478、b a - 9、①②④ 10、1030 二． 选择题11、B 12、A 13、B 三．解答题 14、（1） ………………………………………………………5分 （2）15π ………………………………………………………………7分15、解（1）依题意，有A = …………………………………………1分 又34T =， 而2T πω=， 6πω∴= ………………………1分6y x π∴=当4x =时，233y π==，()4,3M ∴，又()8,0P5MP ∴== ………………………………………3分（2）解：法一：在MNP ∆中，120MNP ∠= ，5MP =.设PMN θ∠=，则060θ<< .……………………………………1分由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MNθθ==-，NP θ∴=，()60MN θ=- ，……………………………………………………3分故())6060NP MN θθ+=+-=+ ……3分060θ<< ，∴当30θ= 时，折线段赛道MNP ……………2分 解法二 ： （2）在MNP ∆中，120MNP ∠= ， 5.MP = 由余弦定理得2222MN NP MN NP COS MNP MP +-⋅⋅∠=，即2225MN NP MN NP ++⋅=；…………………………3分故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤…4分即MN NP +≤MN NP =时等号成立.………………2分亦即，设计为MN NP =时，折线段赛道MNP最长为3310.注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①N ；②N；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等.16、（1）2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ，2PQ PC ∴=.………………1分211122PC PC PQ PC QC C +=+===，所以动点P 的轨迹W 是以点1C 、2C 为焦点的椭圆.…………………………2分设椭圆的标准方程为22221x y a b +=()0a b >>，则2a =，22c =，2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2212x y +=…………………………………………………………2分 （2） 直线l 的方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得221132y kx xy ⎧=-⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，即 ()2291212160k x kx +--=，易知点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交于两点. …1分设()()1122,,,A x y B x y ，则()()121222416,312912k x x x x k k +==-++，……………………2分 假设在y 轴上存在定点()0,D m 满足题设，则()()1122,,,DA x y m DB x y m =-=-. 因为以AB 为直径的圆恒过点D ，则()()1122,,0DB x y DA m x y m ⋅=-⋅-= .……………………2分 即()()()12120*x x y m y m +--=，因为112211,33y kx y kx =-=-，所以(*)变为()()()12122121212121221213111333x x y m y m x x y y m y y m kx m kx kx x x kx m ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫=+--=+-++⋅---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()()()()()2121222222189121133186199521m k m k x x k x m m x m m k +⎛⎫=+--+-+++++=⎝⎭+⎪.………3分 由假设得对于任意的k ∈R ，0DA DB ⋅= 恒成立，即221818096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =. 因此，在y 轴上存在点D ，点D 的坐标为()0,1………………………………………………3分17、（1）①不是……………………………………………………………………2分②()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，当t ∈R 时，()21332244t f g t ⎛⎫=-+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以()x g t = 是()f x 的一个等值域变换.………………………………………………2分（2）不必要性的反例： ()[)2,,0,x x D B f ===∞+R ()()1121,,1,t g t D B =-==-+∞R此时1B D ⊂，但()()221tf g t =-⎡⎤⎣⎦的值域仍为[)0,B =+∞，即()()21t g t x =-∈R 是()()2f x x x =∈R 的一个等值域变换.（反例不唯一）………………3分 （3）()2log f x x =定义域为[]2,8，因为()x g t =是()f x 的一个等值域变换，且函数()f g t ⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，所以()22,13t mt x g t t t n+==+-∈R 的值域为[]2,8，……………………2分()()22222328213811mt t n t mt t n t t -+≤≤⇔+≤-+≤++，……………………………………1分 所以，恒有()()()()12289422094880m m n m n ⎧<<⎪∆=---=⎨⎪∆=---=⎩，………………………………………………3分解得55m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.……………………………………………………………………3分18、（==∴数列{}n a 是等比数列………………………………………………3分（21222nn--=，22222nnnc--∴=⋅………………2分假设{}nc中的第n项最小，由1c=，2c=，210.c c∴≤<当3n≥时，有0nc<，又由1n nc c+≤可得()()212222122222nn nn-+--+-⋅≤⋅，即12221nn--≥-，22112nn-⎛⎫≥⎪-⎝⎭.2670n n-+≥，3n≥+或3n≤（舍），5n∴≥.…………2分即有567c c c<<< ；由1n nc c+≥，得35n≤≤，又210c c≤<，541c c c∴<<<；………………2分故数列{}n c中存在最小项，最小项是325322c-=-⋅………………………………1分(3) 11cos n nnn na aa aθ--⋅==⋅4nπθ∴=……………………………………1分24nnb∴=………………………………………………………………1分不等式化为：()32221log121222an n n+++>-++对任意正整数n恒成立.设222122nTn n n=++++.又 ()122222212112122n nT Tn n n n n+-=+-=->+++++，数列{}n T单调递增……………………………………………………2分()1min1nT T∴==，要使不等式恒成立，只要()311log122a>-，……1分120a->，12a∴<<，212a a->，01a∴<<-所以，使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是()1.…………2分。