中考数学复习专题汇编---第五单元 第18课时 二次函数的应用

第18课时　二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．图18－1②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，且1400有AC ⊥x 轴，若OA ＝10 m ，则桥面离水面的高度AC 为(　B )图18－1A ．16 m B. m 940174C ．16 m D. m 740154【解析】 ∵AC ⊥x 轴，OA ＝10 m ，∴点C 的横坐标为－10.当x ＝－10时，y ＝－(x －80)2＋16＝－×(－10－80)2＋16＝－，∴点C 的坐标为14001400174，∴桥面离水面的高度AC 为 m.(－10，－174)1742．[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)之间的关系如下表：t01234567…h 0814182020184…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的92高度是11 m ．其中正确结论的个数是 (　B )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 利用待定系数法可求出二次函数表达式；将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度；求出h ＝0时t 的值，即可得足球的落地时间；求出t ＝1.5 s 时h 的值，即可对④作出判断．由表格可知抛物线过点(0，0)，(1，8)，(2，14)，设该抛物线的表达式为h ＝at 2＋bt ，将点(1，8)，(2，14)分别代入，得解得∴h {a ＋b ＝8，4a ＋2b ＝14，){a ＝－1，b ＝9.)＝－t 2＋9t ＝－＋，则足球距离地面的最大高度为 m ，对称轴(t －92)2 814814是直线t ＝，①错误、②正确；∵h ＝－t 2＋9t ＝0，∴当h ＝0时，t ＝0或929，③正确；当t ＝1.5 s 时，h ＝－t 2＋9t ＝11.25，④错误．综上所述，正确结论的个数是2.二、填空题(每题6分，共18分)3．[2016·台州]竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t (s)时在空中与第2个小球的离地高度相同，则t ＝__1.6__s.【解析】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a (t －1.1)2＋h ，由题意，得a (t －1.1)2＋h ＝a (t －1－1.1)2＋h ，解得t ＝1.6.故第一个小球抛出后1.6 s 时在空中与第二个小球的离地高度相同．4．如图18－2，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过__3__s ，四边形APQC 的面积最小．【解析】 设经过t s ，四边形面积最小，S 四边形APQC ＝×12×24－(12－1212图18－22t )×4t ＝4t 2－24t ＋144(0<t <6)，∴当t ＝－＝－＝3时，S 四边形b 2a －242×4APQC 最小．5．[2017·温州]小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图18－3①)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12 cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图②所示，现用高10.2 cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__24－82__．图18－3【解析】 建立如答图所示的直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，由题可得AQ ＝12，PQ ＝MD ＝6，故AP ＝6，AG ＝36，∴在Rt △APM中，MP ＝8，DQ ＝8＝OG ，∴BQ ＝12－8＝4.由BQ ∥CG 可得△ABQ ∽△ACG ，∴＝，即＝，解得CG ＝12，BQ CG AQ AG 4CG 1236则OC ＝12＋8＝20，∴C (20，0)．又∵水流所在抛物线经过点D (0，24)，∴可设抛物线表达式为y ＝ax 2＋bx＋24，把C (20，0)，B (12，24)代入，可得解得{24＝144a ＋12b ＋24，0＝400a ＋20b ＋24，)∴抛物线为y ＝－x 2＋x ＋24，令y ＝10.2，解得x 1＝6＋8{a ＝－320，b ＝95，)32095，x 2＝6－8(舍去)，∴点E 的横坐标为6＋8，又∵ON ＝30，∴EH222＝30－(6＋8)＝24－8.22第5题答图三、解答题(共30分)6．(15分)[2016·郴州]某商店原来平均每天可销售某种水果200 kg ，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20 kg.(1)设每千克水果降价x 元，平均每天盈利y 元，试写出y 关于x 的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？解：(1)根据题意，得y ＝(200＋20x )(6－x )＝－20x 2－80x ＋1 200.(2)令y ＝960，则960＝－20x 2－80x ＋1 200，即x 2＋4x －12＝0，解得x ＝2或－6(舍去)．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．7．(15分)[2016·南京]如图18－4是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4 m ，从O ，A 两处观测P 处，仰角分别为α，β，且tan α＝，tan 12β＝，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系．32 图18－4 第7题答图(1)求点P 的坐标；(2)水面上升1 m 后，水面宽多少( 取1.41，结果精确到0.1 m)?2解：(1)如答图，过点P 作PH ⊥OA 于点H ，设PH ＝3x ，在Rt △OHP 中，∵tan α＝＝，∴OH ＝6x .PH OH 12在Rt △AHP 中，∵tan β＝＝，∴AH ＝2x ，PH AH 32∴OA ＝OH ＋AH ＝8x ＝4，∴x ＝，∴OH ＝3，PH ＝，1232∴点P 的坐标为；(3，32)(2)如答图，若水面上升1 m 后到达BC 位置，过点O (0，0)，A (4，0)的抛物线的表达式可设为y ＝ax (x －4)，∵点P 在抛物线y ＝ax (x －4)上，(3，32)∴代入得3a (3－4)＝，解得a ＝－，3212∴抛物线的表达式为y ＝－x (x －4)．12当y ＝1时，－x (x －4)＝1，12解得x 1＝2＋，x 2＝2－，22∴BC ＝(2＋)－(2－)＝2≈2.8(m)．222答：水面上升1 m 后，水面宽约为2.8 m.(25分)8．(10分)[2017·德州]随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近的广场中央新修了个圆形喷水池(如图18－5)，在水池中心竖直安装了一根高为2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.图18－5(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出水柱抛物线的函数表达式；(2)水柱的最大高度是多少？【解析】 (1)由于题目所给数据均与水池中心相关，故可选取水池中心为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，再利用顶点式求解函数关系式；(2)抛物线的顶点纵坐标即为水柱的最大高度．解：(1)如答图，以水管与地面交点为原点，第8题答图原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －1)2＋h (0≤x ≤3)．抛物线过点(3，0)和(0，2)，代入抛物线表达式，可得解得{4a ＋h ＝0，a ＋h ＝2，){a ＝－23，h ＝83.)∴抛物线表达式为y ＝－(x －1)2＋(0≤x ≤3)，2383化为一般式为y ＝－x 2＋x ＋2(0≤x ≤3)；2343(2)由(1)知抛物线表达式为y ＝－(x －1)2＋，2383当x ＝1时，y ＝.83答：水柱的最大高度为 m.839．(15分)[2017·成都]随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x (单位：km)，乘坐地铁的时间y 1(单位：min)是关于x 的一次函数，其关系如下表：地铁站A B C D Ex (km)y 1(min)(1)求y 1关于x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y 2(单位：min)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝x 212－11x ＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间．解：(1)设乘坐地铁的时间y 1关于x 的一次函数是y 1＝kx ＋b ，把x ＝8，y 1＝18；x ＝10，y 1＝22代入，得解得{18＝8k ＋b ，22＝10k ＋b ，){k ＝2，b ＝2，)∴y 1关于x 的函数表达式是y 1＝2x ＋2；(2)设回家所需的时间为y ，则y ＝y 1＋y 2，即y ＝2x ＋2＋x 2－11x ＋78＝x 2－9x ＋80＝(x －9)2＋，∴当x ＝9时，121212792y 最小＝(min)．792答：李华选择从B 地铁口出站，骑单车回家的时间最短，最短时间为 792min.(15分)10．(15分)[2017·嘉兴]如图18－6，某日的钱塘江观潮信息如下表：2017年×月×日，天气：阴；能见度：1.8 km.11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”．图18－6按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s (km)与时间t (min)的函数关系用图③表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12 km”记为点A (0，12)，点B 坐标为(m ，0)，曲线BC 可用二次函数s ＝t 2＋bt ＋c (b ，c 是常数)刻画．1125(1)求m 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48 km/min 的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48 km/min ，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8 km 共需多长时间？(潮水加速阶段速度v ＝v 0＋2125（t －30），v 0是加速前的速度)解：(1)由题意可知：m ＝30，∴B (30，0)，∴潮头从甲地到乙地的速度为＝0.4(km/min)；1230(2)∵潮头的速度为0.4 km/min ，∴到11：59时，潮头已前进19×0.4＝7.6(km)，设小红出发x min 与潮头相遇，∴0.4x ＋0.48x ＝12－7.6，解得x ＝5，∴小红5 min 与潮头相遇；(3)把B (30，0)，C (55，15)代入s ＝t 2＋bt ＋c ，1125解得b ＝－，c ＝－，∴s ＝t 2－t －.2252451125225245∵v 0＝0.4，∴v ＝(t －30)＋，212525当潮头的速度达到单车最高速度0.48 km/min ，0.48＝(t －30)＋，212525解得t ＝35.此时，s ＝t 2－t －＝.1125225245115∴从t ＝35 min(12：15时)开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48 km/min 的速度匀速追赶潮头．设她离乙地的距离为s 1，则s 1与时间t 的函数关系式为s 1＝0.48t ＋h (t ≥35)，当t ＝35时，s 1＝s ＝，代入可得h ＝－，115735∴s 1＝t －.1225735最后潮头与小红相距1.8 km 时，即s －s 1＝1.8，t 2－t －－t ＋＝1.8，11252252451225735解得t ＝50或20(不符合题意，舍去)，∵小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6 min ，∴共需要时间为6＋50－30＝26(min)．答：小红与潮头相遇到潮头离她1.8 km外共需要26 min.。