高一数学《异面直线所成角》课件
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异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线所成的角求法课件
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
高中数学异面直线所成角课件苏教版必修
异面直线所成 角为锐角或钝 角的情况需要 特别注意，因 为这两种情况 下的求解方法
不同。
在求解异面直 线所成角时， 需要注意异面 直线的方向， 因为方向不同 也会影响求解 方法的选择。
在求解异面直 线所成角时， 需要注意异面 直线是否平行， 因为平行与否 也会影响求解 方法的选择。
在求解异面直 线所成角时， 需要注意异面 直线是否垂直， 因为垂直与否 也会影响求解 方法的选择。
异面直线所成角与平行线所成 角的关系
异面直线所成角的求法
异面直线所成角的意义
异面直线所成角是描述两条异 面直线之间夹角大小的量
异面直线所成角的大小范围为 0到90度
异面直线所成角是解决异面直 线相关问题的重要工具
异面直线所成角在几何学中具 有广泛的应用价值
异面直线所成角的大小范围是(0, 90°]
异面直线所成 角的应用将进 一步拓展到其
他领域
未来将有更多 的研究和教学 成果涌现，推 动异面直线所
成角的发展
汇报人：
到 $90^{\circ}$
角的性质：异 面直线所成的 角具有唯一性
和确定性
角的计算方法： 通过平移或旋 转将异面直线 转化为相交直 线，再利用相 交直线的性质
计算角度
异面直线所成角与平面角的关系
添加标题
异面直线所成角是平面角的一 种。
添加标题
异面直线所成角的范围是[0°， 90°]。
添加标题
异面直线所成角与距离的关系： 异面直线所成角越大，距离越 小。
异面直线所成角与向量夹 角的关系
异面直线所成角在解方程 中的应用
异面直线所成角在求函数 最值中的应用
异面直线所成角在判断不 等式成立条件中的应用
异面直线所成角精选教学PPT课件
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
2条
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
而她，只能无助地站在路边，对瞬间消失的车子挥手，喊道，“再见，宝贝们，妈妈永远爱你们。”而黑暗冰寒无尽。 全美国都为她哭泣祈祷，却有一个女子投书电视台了：苏珊在说谎。
女子说，她也是母亲，也曾在山崩石裂瞬间，下车问路，一转头，车被人开走，而车上，有她还是稚婴的女儿。 她说她疯了一般扑向大团尾气和泥尘，手袋脱手而飞，惨号大叫，不知道自己说了什么，旁人也听不懂——她是归华美籍，此刻却忘尽英语，只用母语声声狂呼“救命”或者“放下我的孩子”。再也不可能是别的语言了。 高跟鞋妨碍她，一把拽脱劈手扔过去，她死命追赶。忘了人的速度不可能与车抗衡，看不见脚下的石砾、玻璃屑、柏油，唯一的念头就是：女儿。她只是一个纤细的亚裔女子，那一刻却如豹如鹰，势如疯虎，连歹徒也被吓倒了，弃车而逃。而她裙摆全撕，脚踝扭伤，脚底流下殷红的血。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
2条
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
而她，只能无助地站在路边，对瞬间消失的车子挥手，喊道，“再见，宝贝们，妈妈永远爱你们。”而黑暗冰寒无尽。 全美国都为她哭泣祈祷，却有一个女子投书电视台了：苏珊在说谎。
女子说，她也是母亲，也曾在山崩石裂瞬间，下车问路，一转头，车被人开走，而车上，有她还是稚婴的女儿。 她说她疯了一般扑向大团尾气和泥尘，手袋脱手而飞，惨号大叫，不知道自己说了什么，旁人也听不懂——她是归华美籍，此刻却忘尽英语，只用母语声声狂呼“救命”或者“放下我的孩子”。再也不可能是别的语言了。 高跟鞋妨碍她，一把拽脱劈手扔过去，她死命追赶。忘了人的速度不可能与车抗衡，看不见脚下的石砾、玻璃屑、柏油，唯一的念头就是：女儿。她只是一个纤细的亚裔女子，那一刻却如豹如鹰，势如疯虎，连歹徒也被吓倒了，弃车而逃。而她裙摆全撕，脚踝扭伤，脚底流下殷红的血。
异面直线所成角ppt课件
(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答：(1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所
H
求.
E
o
F
R(2t)△∵EFBGF∥中，AE求得∠EGF = 45
2 2 3D
∴∠FBG（或其补角）为所求,
பைடு நூலகம்
A
23
B
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
o
60
ppt课件
G C
10
典例展示
例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB
平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
ppt课件
2
知识探究
异面直线所成的角
O
(1)旧识回顾
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们
的夹角, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
B1 A1
C1 D1
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
D O
A
C B
ppt课件
14
课堂小结
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
D1
C1
A1
B1
E
G
A
ppt课件
D F
C
B
异面直线所成的角课件
04
异面直线所成的角的注意事
项
异面直线所成的角的取值范围
异面直线所成的角的取值范围是 $0^{circ}$到$90^{circ}$，并且只包 括锐角和直角，不包括钝角和平角。
当两条异面直线垂直时，它们所成的角 为$90^{circ}$；当两条异面直线平行 或重合时，它们所成的角为$0^{circ}$。
异面直线所成的角的计算也是解决几何问题的重要手段。通 过计算异面直线所成的角，可以确定空间图形的形状、大小 和位置，进而解决各种几何问题。
在空间向量中的应用
异面直线所成的角是空间向量中的一个重要概念，它在解 决与向量相关的问题中有着广泛的应用。例如，在解决力 的合成与分解问题时，可以利用异面直线所成的角来研究 力的方向和大小。
详细描述
首先，我们需要找到两条异面直线的方向向量。然后，我们可以使用向量的数量积公式和向量夹角的余弦值公式 来求解异面直线所成的角。这种方法不需要平移直线或引入平行线，而是通过向量的运算直接求解。
03
异面直线所成的角的应用
在几何问题中的应用
异面直线所成的角是几何学中一个重要的概念，它在解决几 何问题中有着广泛的应用。例如，在解决空间几何问题时， 可以利用异面直线所成的角来研究空间图形的性质和关系， 如平行、垂直、相交等。
异面直线所成的角课 件
• 异面直线所成的角的定义 • 异面直线所成的角的求法 • 异面直线所成的角的应用 • 异面直线所成的角的注意事项
目录
01
异面直线所成的角的定义
异面直线的概念
01
02
03
异面直线定义
不在同一平面内且不相交 的Fra bibliotek线。异面直线判定
若两直线不在同一平面内 且不相交，则它们是异面 直线。
异面直线所成角课件
不在同一个平面上且互不相交的两条 直线。
异面直线不可能平行，也不可能相交 。
异面直线判定
两条直线若不相交，则可能为异面直 线。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角：两条异面直 线在某个平面上投影所形成的 夹角。
异面直线所成角的取值范围： 0°到90°。
异面直线所成角的计算方法： 通过平移将两条异面直线转化 为相交直线，再计算夹角。
PART 05
异面直线所成角的扩展知 识
异面直线的其他性质
异面直线永远不会相交
由于异面直线不在同一平面内，因此它们永远不会在某一点相交 。
异面直线与平行线的关系
平行线是共面的直线，而异面直线是不同面的直线，因此平行线与 异面直线没有交点。
异面直线的方向向量
异面直线的方向向量在不同的平面上，因此它们的方向向量是垂直 的。
平面角的取值范围
锐角（0°，90°）或直角（90°）。
异面直线所成角的求法
01
02
03
定义
异面直线所成的角是指两 条异面直线在同一平面内 的射影所形成的锐角或直 角。
计算方法
通过平移将两条异面直线 变为相交直线，再通过平 面角的定义计算出所成角 的大小。
注意事项
平移过程中不能改变直线 的方向和位置，否则所求 得的角不是异面直线所成 的角。
异面直线所成角的性质
性质一
异面直线所成角是唯一 的，与平移无关。
性质二
两条异面直线所成的角 是锐角或直角，不可能
为钝角。
性质三
两条异面直线所成的角 与两条直线的夹角相等
或互补。
性质四
两条异面直线所成的角 可以通过平移、旋转和
对称等变换得到。
PART 02
异面直线及其所成角PPT课件
C ´
B ´
D
C
2020年10月2日
A
B
3
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
2020年10月2日
4
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
DC、D´C´。
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
2020年10月2日
5
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
2020年10月2日
1
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 _直__线__B__C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
2020年10月2日
异面直线所成角(公开课)ppt课件
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ
注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
可编辑课件
18
b
O
a’
a
α
借助于平面α,使两条异面直线移动到相交,
是研究异面直线所成的角时必备法宝.
可编辑课件
19
思路整理：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
B
o
D
M 可编辑课件
14
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
N
B
o
D
M 可编辑课件
15
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
（3）求异面直线AM、CN所成的角。
N
B
D
E
M 可编辑课件
16
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别是
AB、CD的中点
（1） M N=
C1 N
A1
M
D
B1
C
B
N
C
高中数学《异面直线所成的角》PPT教学课件
A
M
B ND
C
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角 相等或互补
D1 A1
C1 B1
D A
C B
哪些棱所在直线与直线AA1是异面直线?
BC , DC , B1C1 , D1C1
异面直线及其夹角
异面直线所成角:
如图所示，异面直线a、b，在空间中任取一点O, 过点O分别引
a’∥a，b’∥b 则a’，b’所成的 锐角(或直角)叫做两条异面直线
所成的角(夹角) 当两异面直线所成角为直角时，两直线互相垂直
b
b
o b’
O a’
a
a
q a’
a
a
思考:1.如何求异面直线所成的角? 范围呢? 2.两垂直直线可确定一个平面吗？
例1：右图表示一个正方体
D’
(1) 求直线BA’和CC’ 的夹角的度数．
A’
解: 由CC′∥BB′
可知∠B’BA’等于异面直线BA’与CC’的夹角
§2.1.2 异面直线及其夹角
复习
1.空间两直线的位置关系：
从有无公共点可分为： ①有且只有一个公共点 —相交直线 平行直线 ②没有公共点 异面直线
从是否共面可分为： ①在同一平面内
相交直线 平行直线
②不在同一平面内 —异面直线
2.平行线的传递性（公理4 ）
a∥b , a ∥c b∥c
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相同，那么这两个 角 相等
D’
C’
A’
D3
B’
1
C
A B
(2) 已知 AB 3 ，AA’=1，求异面直线BA’与CC’所成角的度数
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创设情境
探索方法
反馈练习
归纳小结
复习
如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线 A1B异面的有哪些？
答案：
D1
A1 C1
D1C1 C1C CD D1D AD B1C1
D
A B
C
问题引入
设a,b是两异面直线，若在空中任 取一点O，过O作两异面直线的平 行线a1,b1,则a1,b1所成的锐角或 直角的大小一定吗？为什么？ b
F E
口答： 判断每对异面直线所成的角是多少？
1. A1B与D1C1 2. A1B与C1C 3. A1B与CD
D1 A1
45° 45° 45°
E
B1
C1
4. A1B与C1D
5. A1B与B1D1
90° 60°
D
A B
6. B1B与AD
C
7. A1B与B1C
90° 60°
练习1
正方体 ABCD- A1B1C1D1 中 ,AC 、 BD 交于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
注意：异面直线所成角的范围是 0°＜a≤90°
b′
b
O a
a′
求异面直线所成角的步骤有哪些？
★求角的步骤：
一“作”二“证”三“算”
例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=解法一：平移法
如图，连B1D1与A1C1 交于O1， 取 BB 1 的中点 M ，连 O 1 M ，则 O 1 M D 1 B ，
O
想一 想
a
a1
b1
分别与异面直线平行的相交直线 在空中再任意取一点O2，作a2a ∥a 、 1b 1所 b 成的直角或锐角只与异面直线的位 2∥b.那么a1b1,a2b2所成的直角或锐角 相等吗？这说明了什么问题？ 置有关，与O点位置无关。
O2
b
a2
b2
O
a
a1
b1
定义:
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
解：如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A M 1 取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N D1
则∠EBG即为所求角。 在△EBG中
BG=BE=
5 6 a, F C1 = a 2 2
C1
E F B1 G D N C
A1
由余弦定理，
cos∠EBG=2/5
想一想： 还有其它定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF 则∠FNC为所求角。 A
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ
（3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
再见！
2011.4
思考:
已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, 点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。 N 为 BB1的中
D1
A1 D B1 G C P C1
F
A
E
B
方法归纳：
即根据定义，以“运动”的观点， 平移法:
用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
补形法: 把空间图形补成熟悉的或完整的
几何体，如正方体、长方体等， 其目的在于易于发现两条异面直 线的关系。
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。 化归的一般步骤是：定角 求角 （2）补形法 （1）平移法（常用方法） 定角一般方法有：
B1 A1 D1 C1
D A
O B
C
练习2 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E D C
A F B
练习2（解法二）
S
E D C
A
G F B
练习2 （解法三）
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）
D A
1
O1
C
1
1
B1
为什么？
M
D C
A
B
解法二：补形法
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1
所成的角(或补角)，
D1 A1
C1 B1
F1
E1
C
D A B
M
B
S A1 E A F C F S
E
C
B
B
A
拓展训练
例：如图，单位正方体 AC1中，E、F分别为 AB、AD的中点，
(中位线平移 ) 求： (1) 、BD1与EF 所成角的大小； (平行四边形平移 ) (2) 、BD1与A1E所成角的大小； (3) 、BD1与CE所成角的大小； (补 形 平移 )
探索方法
反馈练习
归纳小结
复习
如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线 A1B异面的有哪些？
答案：
D1
A1 C1
D1C1 C1C CD D1D AD B1C1
D
A B
C
问题引入
设a,b是两异面直线，若在空中任 取一点O，过O作两异面直线的平 行线a1,b1,则a1,b1所成的锐角或 直角的大小一定吗？为什么？ b
F E
口答： 判断每对异面直线所成的角是多少？
1. A1B与D1C1 2. A1B与C1C 3. A1B与CD
D1 A1
45° 45° 45°
E
B1
C1
4. A1B与C1D
5. A1B与B1D1
90° 60°
D
A B
6. B1B与AD
C
7. A1B与B1C
90° 60°
练习1
正方体 ABCD- A1B1C1D1 中 ,AC 、 BD 交于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
注意：异面直线所成角的范围是 0°＜a≤90°
b′
b
O a
a′
求异面直线所成角的步骤有哪些？
★求角的步骤：
一“作”二“证”三“算”
例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=解法一：平移法
如图，连B1D1与A1C1 交于O1， 取 BB 1 的中点 M ，连 O 1 M ，则 O 1 M D 1 B ，
O
想一 想
a
a1
b1
分别与异面直线平行的相交直线 在空中再任意取一点O2，作a2a ∥a 、 1b 1所 b 成的直角或锐角只与异面直线的位 2∥b.那么a1b1,a2b2所成的直角或锐角 相等吗？这说明了什么问题？ 置有关，与O点位置无关。
O2
b
a2
b2
O
a
a1
b1
定义:
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
解：如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A M 1 取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N D1
则∠EBG即为所求角。 在△EBG中
BG=BE=
5 6 a, F C1 = a 2 2
C1
E F B1 G D N C
A1
由余弦定理，
cos∠EBG=2/5
想一想： 还有其它定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF 则∠FNC为所求角。 A
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ
（3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
再见！
2011.4
思考:
已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, 点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。 N 为 BB1的中
D1
A1 D B1 G C P C1
F
A
E
B
方法归纳：
即根据定义，以“运动”的观点， 平移法:
用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
补形法: 把空间图形补成熟悉的或完整的
几何体，如正方体、长方体等， 其目的在于易于发现两条异面直 线的关系。
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。 化归的一般步骤是：定角 求角 （2）补形法 （1）平移法（常用方法） 定角一般方法有：
B1 A1 D1 C1
D A
O B
C
练习2 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E D C
A F B
练习2（解法二）
S
E D C
A
G F B
练习2 （解法三）
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）
D A
1
O1
C
1
1
B1
为什么？
M
D C
A
B
解法二：补形法
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1
所成的角(或补角)，
D1 A1
C1 B1
F1
E1
C
D A B
M
B
S A1 E A F C F S
E
C
B
B
A
拓展训练
例：如图，单位正方体 AC1中，E、F分别为 AB、AD的中点，
(中位线平移 ) 求： (1) 、BD1与EF 所成角的大小； (平行四边形平移 ) (2) 、BD1与A1E所成角的大小； (3) 、BD1与CE所成角的大小； (补 形 平移 )