函数三角周练20141008

2013-2014学年度???学校7月月考卷试卷副标题第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n ，，则⋅=m n （ ） B.1- C.2- D.4- 【答案】C 【解析】，且222||217-=+-⋅=m n m n m n 可知，2⋅=-m n .故选C.考点：向量的运算，向量的几何意义.2．已知集合{1,1},{|124}xA B x =-=≤<,则A B 等于（ ） A ．{-1,0,1} B ．{1} C ．{-1,1} D ．{0,1}【答案】B. 【解析】试题分析：解不等式124x≤<，得02x ≤<，∴{1}A B = .考点：1.指数不等式；2.集合的交集.3，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：0|{≤=x x A 或}2≥x ，}2|{>=x x B ，因此B A ⊃，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，答案选B. 考点：集合的关系与命题间的关系4．以下有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥C ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：若q p ∧为假命题，则中至少有一个是假命题所以p 、q 均为假命题这种说法不正确.考点：命题间的关系.5．若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.38π D.54π【答案】C. 【解析】试题分析：∵()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，∴向右平移ϕ个单位后的函数解析式为()2)4g x x πϕ=+-，要使()g x 的图象的关于y 轴对称，∴20242k ππϕπ⨯+-=+，k Z ∈，∴82kπϕπ=--，k Z ∈，∴ϕ的最小正值是38π.考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的图象和性质. 6．已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误．．的是（ ） A.函数)(x f 的最小正周期为2πB.函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称D.函数)(x f 是奇函数 【答案】D. 【解析】试题分析：A ：最小正周期221T ππ==，∴A 正确；B ：当[0,]2x π∈时，[,0]22x ππ-∈-，∴B 正确；C ：∵()sin()cos 2f x x x π=-=-，∴C 正确；D ：∵()sin()cos 2f x x x π=-=-，∴()f x 是偶函数，∴D 错误.考点：三角函数的图象和性质.7【答案】D【解析】试题分析：因为函数s s i n考点：三角函数的单调性.8．设函数()sin cos =+f x x x x 的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ， 则函数()=k g t 的部分图像为【答案】B【解析】试题分析：t t t t t t t f t g cos sin cos sin )()(=-+='=，因为)(cos )(t g t t t g -=-=-，所以函数为奇函数，排除A 、C 时，0cos )(>=t t t g ，排除D ，答案选B.考点：导数的求解与函数的图象与性质9，则sin 2α=（ ）【答案】B 【解析】试题分析：边平方得可得B. 考点：同角基本关系以及二倍角公式.角B 的值为【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理可知B ac b c a cos 2222=-+，代入条件D.考点：余弦定理和三角形中的三角函数11有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（）AC 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，曲线Cl 过右顶点时，直线l 与曲线C线l 与曲线C 时，直线l 与曲线C 有三个交点.考点：直线与圆锥曲线的位置关系.12．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(,0)-∞ B.1(0,)2C.(0,1)D.(0,)+∞试题分析：∵()(ln )f x x x ax =-，∴'()l n 12f xx a x =+-，112''()2ax f x a x x-=-=，显然要使()f x 有两个极值点，'()f x 在(0,)+∞上不单调，∴0a >，∴'()f x 在1(0,)2a上单调递增，1(,)2a +∞上单调递减，∴'()f x 有极大值1'()2f a ，又∵当0x →时，'()f x →-∞，当x →+∞时，'()f x →-∞，∴要使要使()f x 有两个极值点，只需1'()02f a >，即111ln 12ln 0222a a a a+-⋅=>，∴12a <，∴a 的取值范围是1(0,)2.考点：导数的运用.13．设函数133)(23-+-=x x x x f ， （ ）A.c a b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c b a << 【答案】D 【解析】试题分析：对133)(23-+-=x x x x f 求导，得()()013363f 22≥-=+-x x x x ＝，，所以得133)(23-+-=x x x x f 在R 上递增，故选D.考点：函数单调性.14．函数x x x f 2log )(+=π的零点所在区间为 （ ）【答案】C 【解析】试题分析：已知x x x f 2l o g)(+=π，可计算，C. 考点：函数零点存在性定理.15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3xf x m =+（m 为常数）,则3(log 5)f -的值为（ ）.A.6-B.6C.4D.4-试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数且当0x ≥时()3x f x m =+，所以()0101f m m =+=⇒=-.则3(log 5)f -()()3log 53log 5314f =-=--=-. 考点：函数奇偶性的应用.16a,b,c 三个数的大小关系是 A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】试题分析：由基本初等函数的单调性易知a<b,c<b,可排除B 、C 、D 三个选项，对于选项A ，因为a>1,c<1,所以c<a<b,答案选A. 考点：函数的单调性及其应用17．已知03131log 4,(),log 105a b c ===，则下列关系中正确的是（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c a b >> 【答案】A. 【解析】试题分析：∵33log 4log 31a =>=，01()15b ==，11331log 10log 13c =<=，∴a b c >>.考点：指对数的性质. 18） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b>> D ．c b a >>【答案】C【解析】，所以10<<a ；，因此0<b ；，因此1>c ． 考点：指数函数和对数函数性质．19．在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，()a x x f =是幂函数，因此图象不对；对于B ，由对数函数的图象值10<<a ，因此幂函数()a x x f =为增函数且上升越来越平缓不对；C 中幂函数应为增函数且比较陡峭；D 中对数函数10<<a ，幂函数上升比较平缓，正确． 考点：对数函数和幂函数的图象．20）． A ．（－∞，1] B ．[)1,-+∞ C ．(]2,0- D ．(]2,1-- 【答案】D 【解析】试题分析：当12-≤<-x 时，120≤+<x ，()()2ln +-=x x f 在区间(]1,2-上为减函数，当1->x 时，()()2ln +=x x f 在区间()+∞-,1上是增函数．考点：函数的单调性．21则（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>【答案】C 【解析】，故a c b <<.故选C.考点：指对数的比较大小.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）22．已知tan 2θ=，则2sin sin cos θθθ+的值为 .【解析】 试题分析：因为tan 2θ=所以n考点：三角函数求值.23．设2()3.f x x x a =-+若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(0 【解析】试题分析： 因为函数f(x)在区间(1，3)内有零点，又函数f(x)在区间(1，3)内最小值考点：函数零点24．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为___________.【答案】(5,0)(5,)-+∞ . 【解析】试题分析：当0x >时，不等式x x f >)(即为245x x x x ->⇒>，当0x <时，∵奇函数()f x ，∴22()()[()4()]4f x f x x x x x =--=----=--，∴不等式x x f >)(即为2450x x x x -->⇒-<<，∴不等式的解为(5,0)(5,)-+∞ .考点：1.解一元二次不等式；2.奇函数的性质.25【解析】试题分析：在式子)2()()2(f x f x f +=+中令x=-1，则)2()1()2()1()1(f f f f f +-=+-=，所以1)2(=f ，从而考点：函数的性质26．已知,lg ,24a x a ==则x =________．【解析】 试题分析：2242==aa,所以12=a ，解得考点：对数的运算． 27的定义域为 .【答案】(2,)+∞ 【解析】 ，若使式子有意义，可有2log 10x x >⎧⎨->⎩，解得2x >.故答案为(2,)+∞. 考点：定义域的求解.三、解答题（题型注释）28．已知函数()cos cos()3f x x x π=-（1）求2()3f π的值； （2）求使1()4f x <成立的x 的取值集合.【答案】（1）21()34f π==-；（2）7(,),1212k k k Z ππππ--∈.【解析】试题分析：（1）首先利用两角差的余弦公式，结合二倍角公式的降幂变形与辅助角公式，将()f x 的表达式进行化简，可得111()cos (cos cos sin sin )(sin cos 2)33224f x x x x x x ππ=⋅⋅+⋅=+⋅+ 11sin(2)x π=++，从而21()f π==-；（2）由（1）可知，不等式1()f x <等价于sin(2)06x π+<，根据s i n y x=在[0,2)π上的取值情况，即可知2(2,2)6x k k ππππ+∈-，不等式的解集是7(,),1212k k k Z ππππ--∈. 试题解析：（1）111()cos (cos cossin sin )(sin 2cos 2)33224f x x x x x x ππ=⋅⋅+⋅=+⋅+ 1121311sin(2)()sin 26432244x f πππ=++⇒=+=-，∴21()34f π==-；由（1）知，111()sin(2)sin(2)0(2)(2,2)264466f x x x x k k ππππππ=++<⇒+<⇒+∈-7(,),1212x k k k Z ππππ⇒∈--∈，∴不等式的解集是7(,),1212k k k Z ππππ--∈. 考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质.为常数)． ，求ω的取值范围；()f x【答案】（1 【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到()ϕω+=x A y sin 的形式，利用公式计算周期，进而求出ω的取值范围；（2）求三角函数的最小正周期一般化成()ϕω+=x A y sin ，()ϕω+=x A y cos ，()ϕω+=x A y tan 形式，利用周期公式即可.求解较复杂三角函数的最值时，首先化成()ϕω+=x A y sin 形式，在求最大值或最小值；（3）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.试题解析：（1，得ω的取值范围为10≤<ω （2）若()f x 的最小正周期为π，得ω=1()f x =有()f x 在区间所以()f x 的最大考点：（1）三角函数周期的应用；（2）三角函数的化简和求值.30．已知A B C 、、为锐角ABC ∆的三个内角，向量()22sin ,cos sin m A A A =-+与()sin cos ,1sin n A A A =-+共线．（1）求角A 的大小和求角（2【答案】（1）3π（2【解析】 试题分析：(1)利用有关知识进行公式化简时，首先要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确；(2)求解较复杂三角函数的值域，首先化成()ϕω+=x A y sin 形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；(4）在解决三角形的问题中，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 即(1)(2)(1)[()1]f f f k k f k +++-=- .试题解析：（1）()22sin ,cos sin m A A A =-+ 与()sin cos ,1sin n A A A =-+共线，得()()()()22sin 1sin -cos sin sin cos A A A A A A -⋅++⋅-22222-2sin sin cos 34sin 0A A A A =-+=-=且AA=3π考点：(1)三角形的内角大小及范围问题； （2）三角函数的性质. 31．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且，5b =，求向量BA 在BC方向上的投影．【答案】（Ⅱ）向量BA 在BC 方向上的投影为【解析】易得（II 得：又0A π<<，则由题知,a b >则，解得1c =或7c =-（舍去）故向量BA 在BC方向上的投影为考点：三角函数和与差公式；正余弦定理的应用． 32（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.【答案】（1）1k =；（2）单调递增区间为(0,1)；单调递减区间为(1,)+∞；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意分析可能曲线()y f x =在点((1),(1))f 处的切线与x 轴平行，等价于'(1)0f =，从而；（2）由（1）可知只需考虑分正负性即可，而在(0,)+∞上单调递减，再由(1)0h =，故当01x <<时，()0h x >，'()0f x>，()f x 单调递增；当1x >时，()0h x <，'()0f x <，()f x 单调递减，∴单调递增区间为(0,1)；单调递减区间为(1,)+∞；（3）这是一指对相结合的函数，混在一起考虑其单调性比较复杂，因此考虑分开研究各自的取值情况：记()1ln i x x x x =--，0x >，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=，当2(0,)x e -∈时，'()0i x >，()i x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0i x <，()i x 单调递减，∴22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.，1，∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，又∵(1)0h =，∴当01x <<时，()0h x >，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，()0h x <，'()0f x <，()f x 单调递减，∴单调递增区间为(0,1)；单调递减区间为(1,)+∞；（3 ① 记()1ln i x x x x =--，0x >，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当2(0,)x e -∈时，'()0i x >，()i x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0i x <，()i x 单调递减，∴22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.在(0,)+∞上单调递减， ①，②可知，考点：1.利用导数求切线方程；2.利用导数判断函数单调性证明不等式.33．已知二次函数()f x 有两个零点0和2-，且()f x 最小值是1-，函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）若()()()h x f x g x λ=-在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+；（2）实数λ的取值范围是(,0]-∞. 【解析】试题分析：（1）根据条件二次函数()f x 有两个零点0和2-，故可将二次函数的解析式设为2()(2)2(0)f x ax x ax ax a =+=+>，再由(1)1f -=-，可得21a a -=-，即1a =，从而2()2f x x x =+，再由函数()g x 的图象与()f x 的图象关于原点对称，可知2()()2g x f x x x=--=-+；（2）由（1）得222()2(2)(1)2(1)h x x x x x x x λλλ=+--+=++-，这是一个关于x 的一次函数或者是一个二次函数，因此考虑对λ的取值分以下三种情况分类讨论： ①当1λ=-时，()4h x x =满足在区间[1,1]-上是增函数； ②当1λ<-时，()h x 图象的对称轴是解得1λ<-；③当1λ>-时，同理则需实数λ的取值范围是(,0]-∞.试题解析：（1）依题意，设2()(2)2(0)f x ax x ax ax a =+=+>，()f x 图象的对称轴是1x =-，∴(1)1f -=-，即21a a -=-，得1a =，∴2()2f x x x =+，由函数()g x 的图象与()f x 的图象关于原点对称，∴2()()2g x f x x x =--=-+； （2）由（1）得222()2(2)(1)2(1)h x x x x x x x λλλ=+--+=++-， ①当1λ=-时，()4h x x =满足在区间[1,1]-上是增函数； ②当1λ<-时，()h x 图象的对称轴是解得1λ<-；③当1λ>-时，同理则需综上，满足条件的实数λ的取值范围是(,0]-∞. 考点：1.二次函数求解析式；2.二次函数的单调性. 34．已知函数)1()(2+-+=a ax x e x f x，其中a 是常数. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在定义域内是单调递增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程k e x f x+=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.【答案】（1）035=--e y ex ；（2）]0,4[-； （3【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点()1,0处的切线方程，注意这个点的切点.(2)对于转化为恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立（3)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数()x f y =在区间[]b a ,内使()0='x f 的点，再计算函数()x f y =在区间内所有使()0='x f 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得然后由相应条件的到参量的范围.试题解析：(Ⅰ)由)1()(2+-+=a ax x e x f x 可得 ]1)2([)(2+++='x a x e x f x ． 当1a =时,e f e f 5)1(,2)1(='=所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为)1(52-=-x e e y 即035=--e y ex（Ⅱ） 由(Ⅰ)知]1)2([)(2+++='x a x e x f x，若)(x f 是单调递增函数，则0)(≥'x f 恒成立，即01)2(2≥+++x a x 恒成立，∴04)2(2≤-+=∆a ，04≤≤-a ，所以a 的取值范围为]0,4[-．（Ⅲ）令)()()(2a ax x e e x f x g xx-+=-=，则关于x 的方程k x g =)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根.令0))2(()(2=++='x a x e x g x，解得(2)x a =-+或0x =．当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，0)(≥'x g ，所以)(x g 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程k x g =)(在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根． 当(2)0a -+>，即2a <-时，)(),(x g x g '随x 的变化情况如下表由上表可知函数)(x g 在[0,)+∞上的最小值为 因为 函数)(x g 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当+∞→x 时，+∞→)(x g所以要使方程k x g =)(即k e x f x +=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取 考点：导数以及函数性质的应用.35．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）求点1C 到平面1AB D 的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】 试题分析：（Ⅰ）想要解决这个问题，需要构造平行线，连结1A B 交1AB 于E ，连结ED ，则 ∴1//AC ED 又1AC ⊄平面1AB D ∴1//AC 平面1AB D（Ⅱ）设点1C 到平面1AB D 的距离为h ，连结1C D 由1111C AB D A B DC V V --=A 1B 1C 1AB CD试题解析：（Ⅰ）连结1A B 交1AB 于E ，连结ED ，则 ,E D 分别是1A B ，BC 的中点 ∴1//AC ED 又1AC ⊄平面1AB D ∴1//AC 平面1AB D （Ⅱ）设点1C 到平面1AB D的距离为h ，连结1C D 由1111C AB D A B DC V V --=即点1C 到平面1AB D 的距离为考点：线面平行的判定，等体积法.36．我市某校某数学老师这学期分别用,m n 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）。