五点法作正弦型函数的图像(3)
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正弦、余弦函数的五点作图
局限性
五点作图法仅选取了五个点，可能无法完全准确地反映函数的细节特征，特别是在函数变化较为复杂 或周期较长的情况下，误差可能会比较大。
对正弦、余弦函数的理解和掌握
理解
正弦、余弦函数是三角函数的基本形式 ，它们在周期性和对称性方面具有显著 特点。通过五点作图法，可以更好地理 解这些特点，从而加深对三角函数的认 识。
连接各点形成函数图像
根据五点作图法，使用平滑的曲线连 接这五个关键点。
绘制时要注意曲线的连续性和平滑度， 确保能够真实反映函数的变化趋势。
04
正弦、余弦ห้องสมุดไป่ตู้数的五点作图实践
选取五个关键点
周期起点
选取一个周期内的起点，通常 为$x=0$或$x=pi$。
极值点
在正弦和余弦函数中，极值点 分别为$x=frac{pi}{2}$和 $x=frac{3pi}{2}$。
目的和重要性
目的
通过五点作图法，可以快速、准 确地绘制正弦、余弦函数的图形 ，有助于理解函数的性质和变化 规律。
重要性
在实际应用中，了解正弦、余弦 函数的图形对于解决各种问题具 有重要的意义，如振动分析、信 号处理、控制系统设计等。
02
正弦、余弦函数的定义和性质
正弦函数定义和性质
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。
正弦、余弦函数的五点作 图
• 引言 • 正弦、余弦函数的定义和性质 • 五点作图法介绍 • 正弦、余弦函数的五点作图实践 • 结论
01
引言
主题简介
正弦、余弦函数是三角函数中的基本 函数，它们在数学、物理和工程等领 域有着广泛的应用。
五点作图法是一种常用的作图方法， 通过选取五个特定的点来绘制函数的 图形。
五点作图法仅选取了五个点，可能无法完全准确地反映函数的细节特征，特别是在函数变化较为复杂 或周期较长的情况下，误差可能会比较大。
对正弦、余弦函数的理解和掌握
理解
正弦、余弦函数是三角函数的基本形式 ，它们在周期性和对称性方面具有显著 特点。通过五点作图法，可以更好地理 解这些特点，从而加深对三角函数的认 识。
连接各点形成函数图像
根据五点作图法，使用平滑的曲线连 接这五个关键点。
绘制时要注意曲线的连续性和平滑度， 确保能够真实反映函数的变化趋势。
04
正弦、余弦ห้องสมุดไป่ตู้数的五点作图实践
选取五个关键点
周期起点
选取一个周期内的起点，通常 为$x=0$或$x=pi$。
极值点
在正弦和余弦函数中，极值点 分别为$x=frac{pi}{2}$和 $x=frac{3pi}{2}$。
目的和重要性
目的
通过五点作图法，可以快速、准 确地绘制正弦、余弦函数的图形 ，有助于理解函数的性质和变化 规律。
重要性
在实际应用中，了解正弦、余弦 函数的图形对于解决各种问题具 有重要的意义，如振动分析、信 号处理、控制系统设计等。
02
正弦、余弦函数的定义和性质
正弦函数定义和性质
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。
正弦、余弦函数的五点作 图
• 引言 • 正弦、余弦函数的定义和性质 • 五点作图法介绍 • 正弦、余弦函数的五点作图实践 • 结论
01
引言
主题简介
正弦、余弦函数是三角函数中的基本 函数，它们在数学、物理和工程等领 域有着广泛的应用。
五点作图法是一种常用的作图方法， 通过选取五个特定的点来绘制函数的 图形。
五点法作正弦型函数的图像(3)
)的图像，只需将
练习
3、要得到函数y 2 sin(2 x y 2 sin(2 x )的图像（） 3 A.向左平移 个单位 3 C.向左平移 个单位 6
3
)的图像，只需将函数
B.向右平移 个单位 3 D.向右平移 个单位 6
复习
一、A, ω , 的作用 A的作用：使正弦函数相应的函数的值域发生变化 ——纵向伸缩变化。 ω的作用：使正弦函数的周期发生变化——横向伸 缩变化。 的作用：使正弦函数的图象发生平移。
理解加深练习
1、Y=sinx
图像向左平移π/6个单位 图像向右平移π/6个单位
Y=sin( x+π/6)
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平移 3个单位，可以得到函数（B）的图象。 （A）y=sin(x＋2) （B）y=sin(x－2) （C）y=sin(x＋4) （D）y=sin
0 0
2
3 2
2
x
sin(x )
y A sin(x )
2
1
0
3 2
2
1
0
0
A
0
A
0
2 T T 3T 3 T , , , 4 2 2 4 2
练习
2、（ 1 ）要从y sin （x 函数y sin （x y sin （x
3
）的图像得到
4
）的图像，需将函数
3
）的图像向 ___ 平移 ___ 个单位；
（2）要得到函数y 2 sin(3 x
三角函数 五点法
三角函数五点法三角函数是数学中的重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
为了更好地理解和运用三角函数，我们可以掌握其中的一种重要方法——三角函数五点法。
三角函数五点法是通过给定的五个点，来确定一个三角函数的方法。
这五个点分别是：原点(0,0)，单位圆上的两个特殊点(1,0)和(0,1)，以及夹角为90度的两个特殊点(1,1)和(1,-1)。
首先，我们来研究正弦函数的五点法。
正弦函数是将一个角的边长之比与单位圆上该角对应的纵坐标之比作为函数值的三角函数。
在三角函数五点法中，我们将单位圆上的两个特殊点(1,0)和(0,1)以及原点(0,0)对应的函数值分别记为：sin(0)=0，sin(π/2)=1，sin(π)=0。
通过这三个点，我们即可确定出正弦函数的图像，进而求出其他点的函数值。
接下来，我们来研究余弦函数的五点法。
余弦函数是将一个角的边长之比与单位圆上该角对应的横坐标之比作为函数值的三角函数。
在三角函数五点法中，我们将单位圆上的两个特殊点(1,0)和(0,1)以及原点(0,0)对应的函数值分别记为：cos(0)=1，cos(π/2)=0，cos(π)=-1。
通过这三个点，我们即可确定出余弦函数的图像，进而求出其他点的函数值。
最后，我们来研究正切函数的五点法。
正切函数是将一个角的边长之比与单位圆上该角切线的斜率作为函数值的三角函数。
在三角函数五点法中，我们将夹角为90度的两个特殊点(1,1)和(1,-1)以及原点(0,0)对应的函数值分别记为：tan(π/4)=1，tan(-π/4)=-1，tan(0)=0。
通过这三个点，我们即可确定出正切函数的图像，进而求出其他点的函数值。
综上所述，三角函数五点法在确定三角函数图像和求取函数值方面具有重要的应用价值。
通过给定的五个点，我们能够准确地绘制出三角函数的曲线，并根据需要求取任意点的函数值。
掌握了三角函数五点法，我们将能够更加灵活地运用三角函数，解决各种实际问题。
正弦函数的图像(五点法)
1
0
x -1
0
x
1
-1
二、新知
在研究三角函数的图象和性质时，我们常用弧度制来度量角， 记为χ，表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数表示为
y=sinχ, χ∈Ｒ
y
1
0
p
2
π
3p
2π
x
2
-1
y=sinχ,x ∈[ 0, 2π ]
五点法作图 (0,0) (p,0) (2p,0)
y
( p ,1) 2
6
3
因此，换种思考路径，即采用平移线段的方法。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，可以得到对应于
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p
36
6323
y
0
11 p
6y
p pp
6 32 2π 的正弦线
小结：
作正弦函数图象的简图的 方法是：
“五点法”
正弦函数y=sinx的图象 （五点法）
正弦函数：我们常用弧度制来度量角，记为χ， 表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数 表示为y=sinχ, χ∈Ｒ
如何来作 正弦函数 的图象呢？
平移正弦线
思考：
时（都，Ⅱ有作）唯出做一相函的对数y值应图和的象它y的值对方，应法，s是i因n1此、p我列们表=1想2、/到2描,当点x而取3、si连n0线p。=任p60意..8给66p ,1) 2
1
x
0p
π
3p
2π
2
2
-1
正弦函数的图像性质
sinx－2 y－2 解法二：由 y＝ ，得 sinx＝ ，又∵－1≤sinx≤1， sinx－1 y－1
y－2 y－1≤1， ∴ y－2≥－1 y－1
y>1， 3 3 ，∴ 3 ∴y≥ .∴函数的值域为2，＋∞. 2 y≥ 或y<1. 2
12 3 y＝2sinx＋2 － .∵－1≤sinx≤1， 2
(3)将函数配方得
1 3 ∴当 sinx＝－ 时，ymin＝－ ；当 sinx＝1 时，ymax＝3. 2 2 3 ∴函数的值域为－2，3.
点评： 对可化为形如“y＝asin2x＋bsinx＋c”或“y＝acos2x＋bcosx＋ c”或“y＝atan2x＋btanx＋c”的函数可以利用换元法将其化为二次函 数的最值问题解决．求三角函数式的最值常采用以下方法： (1)借助正弦函数的有界性、单调性． (2)转化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的形式． (3)转化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数．
类型一 “五点法”作正弦函数的图象 【例 1】 用“五点法”画出下列函数的图象： (1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]； 1 (2)y＝ ＋sinx，x∈[0,2π]． 2 思维启迪：按列表、描点、连线的步骤作图象，抓住关键点，另 外注意曲线凹凸的方向．
解析：按五个关键点列表如下： π 3π x 0 π 2π 2 2 2 y＝2－sinx 2 1 2 3 1 1 3 1 1 1 y＝ ＋sinx － 2 2 2 2 2 2 在直角坐标系中描出这五个点，再用平滑曲线将它们连接起来， 即得到图象．
知函数 y＝ 2sinx＋1的定义域为 π 7π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z . 6 6
点评： (1)求与三角函数有关的函数定义域，对于自变量必须满足： ①使三角函数有意义． ②分式形式的分母不等于零． ③偶次根式的被开方数不小于零． (2)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域时，常常归结为解 三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数 线直观地求得解集．
三角函数的图像和性质
π ωx＋ 4
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝ 对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝ 时，2x＋ ＝ ，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， ． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ ． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法： 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代 数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性 列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝ 对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知， ＝ ，∴ω＝ ． 2ω 3 2
(ω>0)的最小正周期为π，则函数 ( π B．关于直线x＝ 对称 8 π D．关于点8 ，0对称 )
π 2π 解析：∵f(x)＝sin ωx＋4 的最小正周期为π，∴ ω ＝π，ω＝2， π π π 3π ∴f(x)＝sin 2x＋4 ．当x＝ 时，2x＋ ＝ ，∴A、C错误；当x 4 4 4
[即时应用] 求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤ 4的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， ． 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ ． 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法： 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代 数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性 列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间．
[演练冲关] π 1．最小正周期为π且图象关于直线x＝ 对称的函数是( 3
π π B，因为sin2×3－6 ＝sin
π ＝1，所以选B． 2
答案：B
2．函数
π y＝cos4－2x的单调减区间为____________． π π y＝cos4－2x＝cos2x－4 得
解析：由
π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 解得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8
π π π π 3 在 3，2 上单调递减知， ＝ ，∴ω＝ ． 2ω 3 2
中职教育数学《正弦型曲线--五点法作图》课件
y Asin(x ) ( A 0, 0)
(1) x 0 时，y A 0 ( y sin x时(0,0))
(2) x 时，y A1 ( y sin x时( ,1))
2
2
(3) x 时，y A 0 ( y sin x时( ,0))
(4) x 3π 时，y A (1) ( y sin x时(3π ,1))
列表
x
π
π
8
8
2x π 4
π
0
2
y 2sin(2x π) 4
0
2
y 2sin(2x π)的周期为T π ． 4
3π
5π
7π
8
8
8
π
3π
2
2π
0
－2
0
以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点(x, y)，用光滑的 曲线顺次联结各点,得到 y sin(2x π)一个周期内的图像．
4
巩固知识 典型例题
3π
2π x
－1
2
2
y sin 2x, x 0,
巩固知识 典型例题
（3）y sin(2x π) 解 4
（3）函数
y
sin(2x
π) 4
的周期为 T
π
．
列表
x
π
π
8
8
3π
5π
7π
8
8
8
2x π 4
0
π 2
π
3π
2
2π
y sin(2x π) 4
0
1
0
－1
0
以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点(x, y)，用光滑的 曲线顺次联结各点,得到 y sin(2x π)一个周期内的图像．
三角函数的图象与性质要点梳理五点法作图原理教程文件
2
(x∈R)，下面结论错误的是（D ）
A.函数f(x)的最小正周期为2
B.函数f(x)在区间
0
,
2
上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析 ysixn ()co x, sT2 ,A正确;
2
ycox在 s0,2上是减 ,y函 cox在 数 s0,2上是
增函 ,B正 数 ;确
C.y=-sin x
D.y=sin xA错.
y=cos x为偶函数，故B错.
y=sin xcos x=1
2
sin 2x的周期为 ，故D错.
y=-sin x的周期为2,是奇函数，由图象知
在 ( 0 , ) 上是递减函数，故C正确. 2
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin( x )
[2k,2k
2
[2k,2k] 单调增区间
](k Z) ；
2
(kZ) ； [k ,k
单调减区间 单调减区间
2
[2k,2k
2
[2k,,2k]
(k Z)
2
3 ](k Z)
2
(k Z)
奇
偶
奇
3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数
4
D.关于直线 x 对称
3
解析 验证法：当 x时 ,sin 2()sin0,
3
33
所y以 sin 2x()的图象 (,关 0)对 于 .称 点
(x∈R)，下面结论错误的是（D ）
A.函数f(x)的最小正周期为2
B.函数f(x)在区间
0
,
2
上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
解析 ysixn ()co x, sT2 ,A正确;
2
ycox在 s0,2上是减 ,y函 cox在 数 s0,2上是
增函 ,B正 数 ;确
C.y=-sin x
D.y=sin xA错.
y=cos x为偶函数，故B错.
y=sin xcos x=1
2
sin 2x的周期为 ，故D错.
y=-sin x的周期为2,是奇函数，由图象知
在 ( 0 , ) 上是递减函数，故C正确. 2
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin( x )
[2k,2k
2
[2k,2k] 单调增区间
](k Z) ；
2
(kZ) ； [k ,k
单调减区间 单调减区间
2
[2k,2k
2
[2k,,2k]
(k Z)
2
3 ](k Z)
2
(k Z)
奇
偶
奇
3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数
4
D.关于直线 x 对称
3
解析 验证法：当 x时 ,sin 2()sin0,
3
33
所y以 sin 2x()的图象 (,关 0)对 于 .称 点
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练习
3、要得到函数 y 2 sin(2 x )的图像，只需将函数 3 y 2 sin(2 x )的图像（ ） 3 A.向左平移 个单位 3 C.向左平移 个单位 6
B.向右平移 个单位 3 D.向右平移 个单位 6
复习
一、A, ω , 的作用 A的作用：使正弦函数相应的函数的值域发生变化 ——纵向伸缩变化。 ω的作用：使正弦函数的周期发生变化——横向伸 缩变化。 的作用：使正弦函数的图象发生平移。
T T ( ,0), ( , A), ( ,0) 4 2 3T ( , A)( T ,0) 4
例1：根据所给正弦型函数的图象，求出其表达式 这个例题要分 析透彻，特别是 平移量为什么应 该加上X上面， 对于有系数的， 一定要把系数放 在外面
y=sin(2x+π/3)
纵坐标伸长到原来3倍
3sin(2x+π/3)
复习
⒈正弦函数的图象 y
1
y=sinx 3
2
2
o
-1
x
2
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
(0,0) (
2
,1) ( ,0)
( ,1)
3 2
(2 ,0)
五 点 法
正弦型函数
的五点：
x
x
sin(x )
y A sin(x )
0 0
2
3 2
2
2
1
0
3 2
1
2
0
0
A
0
A
0
2 T T 3T 3 T , , , 4 2 2 4 2
y
A ω
2 1
y=2sinx
π 2π
y= 1 sinx
2
y=sinx
0
-1 -2
x
y
1
y=sin2x
π
y=sin 1 x
2
2π
y=sinx
3π 4π
0
-1
x
y
1 -1
y = sin（x＋ 2 ）
π
y = sin（x － 2 ）
2πy=sinx0 Nhomakorabeax
想一想
Y=3sin(2x+π/3)的图像可以由
（3）函数的图象的第一个关键点是___， 则 φ=______.
练习
练习2：请根据正弦型函数的图象求其表达式
y
3
12
6
O
3
7 12
-3
5 6
x
练习
练习3：请根据正弦型函数的图象求其表达式
y
2
O -2
2
2
7 2
5
13 2
x
练习
2、（ 1 ）要从y sin （x
3
）的图像得到
函数y sin （x ）的图像，需将函数 4 y sin （x
3
）的图像向___平移 ___个单位；
（2）要得到函数y 2 sin(3x
4 函数y 2 sin 3x的图像向___平移 ___个单位；
)的图像，只需将
5 ( ) 6 6
( ,0) 6
3、这个函数的第一关键点的坐标是
所以得出 从而 3 6 4、这个函数的解析式是： y 2sin[2( x )] 6
练习
练习1：请根据正弦型函数的图象求其表达式
练习
（1）函数的最大值是____，最小值是 ______，因此A=________ （2）函数的一个周期T=___________,因 此ω=_______
Y=sinx的图像怎样变化得出？
y
o
x
纵坐标不变
横坐标不变
图像向左平移
Y=sinx
横坐标缩短到原来1/2
y=sin2x y
y=3sin2x
π/6个单位
3sin(2x+π/3)
纵坐标伸长到原来的3倍
o
x
图像向左平移
Y=sinx
π/3个单位
y=sin(x+π/3)
纵坐标不变 横坐标缩短到原来1/2
横坐标不变
世上没有什么天才
天才是勤奋的结果
y=Asin(x+) (五点作图法)
练习
1、求下列函数的周期、 值域 3 （ 1 ）y 2 sin( x ) 4 3 1 (2) y sin(2 x ) 4 3 1 (3) y 3 sin( x ) 2 3 (4) y sin 4 x cos 2 x cos 4 x sin 2 x (5) y sin 3 x cos x cos3 x sin x
大家一起来分析！
1、请大家分析出，这个函数的最大值、最小值是什么？可 得出什么的值？
2、大家观察得出这个函数的周T是多少？根据周期可以求 出什么？ 3、请大家分析根据五点作图，第一个关键点是什么？可以 求出什么量？
结论
1、最大值为2，最小值为-2，因此得出A＝2 2、这个函数的周期：T=
2 2 所以得出 w T
理解加深练习
1、Y=sinx
图像向左平移π/6个单位 图像向右平移π/6个单位
Y=sin( x+π/6)
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平移 3个单位，可以得到函数（B）的图象。 （A）y=sin(x＋2) （B）y=sin(x－2) （C）y=sin(x＋4) （D）y=sin(x－4)