河南省北大附中分校宇华教育集团2015-2016学年八年级(下)月考数学试卷(3月份)(解析版)
2015-2016学年度七一中学八年级第二学期三月月考数学试题2doc
2015-2016七一中学八年级（下）三月月考数学试题（出卷人：殷高瞻 审核：张润忠 日期：3.25）姓名： 班级： 分数： 一、选择题（每小题3分，共30分）1．在3，－1，0，－2这四个数中，最小的数是（ ） A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－22. 下列式子：3，s ，65，5h，二次根式有（ ）个。
A ．1 B.2 C.3 D.43.当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？（ ） A.3≥x B. 2≥x C.1≥x D. 4≥x 4．下列计算正确的是（ ） A ．632=⨯ B ．532=+ C ．228=-D ．428=÷5．下列四个二次根式：①8；②18；③23；④12,能与3合并的二次根式是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④6.以下列各组数为边长，能构成等腰直角三角形的是（ ） A ．3，3，7 B ．3，3，3C ．3，5，4D ．3，3，67．下列选项中，能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ＝BC ，CD ＝BC B ．∠A ＝50°，∠C ＝50°,∠B ＝∠D C ．OA ＝OB ，OC ＝OD D ．AB ∥CD ，AD ＝BC 8.若x +x 1=6，1≥x ,则x -x1=（ ）A.+2B.－2C. 2D.±29.已知x=7-2,则x 3+4x 2+x-1=( )A.47-6B. 47-7C.47-8D.47-910.在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为10和35，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）A.6B.7C. 26D. 27 二、填空题（每小题3分，共18分）11．化简：81= 2)(π-= 22941－＝ . 12. 在实数范围内因式分解：x 2-2=13．如图，正方形A 、B 、C 的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A 、B 的边长分别为3和5，则正方形C 的面积为_________14．RT △ABC 中，两直角边长分别为2，3，则斜边长为 15.△ABC 的三边长分别为4，5，6，则△ABC 的面积为16.如图，△ABC 中，∠ACB=90º，BC=2，AC=4,将△ABC 绕C 点旋转一个角度到△DEC ，直线AD 、EB 交于F 点，在旋转过程中，△ABF 的面积的最大值是_________.三、解答题。
河南省北大附中分校2015_2016学年八年级数学上学期期中试题含解析新人教版
河南省北大附中分校2015-2016学年八年级数学上学期期中试题一．选择题（共10题，30分）1．如果点P（x，y）满足xy=0，那么点P必定在( )A．原点上B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上2．横坐标和纵坐标都是正数的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法正确的是( )A．﹣81的平方根是±9B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数D．2是4的平方根4．的平方根是( )A．±12 B．12 C．﹣12 D．±5．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，126．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是( )A．42B．52C．7 D．52或77．如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2 m，m2+1（m＞1）那么( )A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形8．等式成立的条件是( )A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1D．x≥1或x≤﹣19．下列各等式成立的是( )A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20 10．函数y=kx的图象经过点P（3，﹣1），则k的值为( )A．3 B．﹣3 C．D．﹣二．填空题（共8题，24分）11．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为__________．12．已知直角三角形两直角边长分别是5cm、12cm，其斜边上的高是__________．13．36的倒数的算术平方根的相反数是__________．14．的最小值是__________，此时a的取值是__________．15．的平方根为__________．16．6×（﹣2）=__________．17．把化成最简二次根式是__________．18．点A（x1，﹣5），B（2，y2），若（1）A、B关于x轴对称，则x1=__________，y2=__________；（2）A、B关于y轴对称，则x1=__________，y2=__________；（3）A、B关于原点对称，则x1=__________，y2=__________．三．解答题（共6题，66分）19．计算题（1）（﹣）+÷．（2）÷（﹣）×．20．小强到某海岛上去探宝，登陆后先往东走10千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到4千米处往东拐，仅走1千米便找到宝藏，问登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是多少千米？21．已知直角三角形的两条直角边的长分别为、4，求它的周长和面积．22．写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．23．一商贩在市场销售土豆．为了方便，他带了一些零钱备用．按市场价售出一些后，又降价出售．土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图，结合图象回答：（1）商贩自带的零钱有多少元？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.8元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是62元，问他一共带了多少千克土豆？24．某移动通讯公司开设两种业务．“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付0.4元，“神州行”：不缴纳月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（通话均指市话）．若设一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为y1和y2元．（通话时不足1分钟的按1分钟计算，如3分20秒按4分钟收费）（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系下做出以上两个函数的图象；（3）一个月内通话多少分钟，两种费用相同；（4）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种合算？2015-2016学年河南省北大附中分校八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10题，30分）1．如果点P（x，y）满足xy=0，那么点P必定在( )A．原点上B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上【考点】点的坐标．【专题】分类讨论．【分析】由题意点P（x，y）在坐标轴上满足xy=0，根据坐标轴上点的特点知x和一至少有一个为0，要分情况来讨论．【解答】解：∵xy=0，∴x和y中至少有一个为0，当x为0时，点P在y轴上；当y为0时，点P在X轴上；当x和y都为0时，点p在原点．综上点P一定在坐标轴上，故选D．【点评】本题考查点与坐标的关系及分类讨论思想，考虑问题要全面，牢记坐标轴上点的特征．2．横坐标和纵坐标都是正数的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号解答．【解答】解：横坐标和纵坐标都是正数的点符合第一象限内点的坐标符号，故点在第一象限．故选A．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．下列说法正确的是( )A．﹣81的平方根是±9B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数D．2是4的平方根【考点】平方根．【分析】A、根据平方根的定义即可判定；B、根据平方、平方根的定义即可判定；C、可以利用反例，如：当0＜a＜1时结合平方根的定义即可判定；D、根据平方根的定义即可判定．【解答】解：A：由于负数没有平方根，故A选项错误；B：任何数的平方为非负数，正确；但只有非负数才有平方根，且平方根有正负之分（0的平方根为0）．故选项B错误；C：任何一个非负数的平方根都不大于这个数，不一定正确，如：当0＜a＜1时，a＞a2，故选项错误；D：2的平方是4，所以2是4的平方根，故选项正确．故选D．【点评】本题考查了平方根的基础知识．也考查了学生综合应用的能力．4．的平方根是( )A．±12 B．12 C．﹣12 D．±【考点】算术平方根；平方根．【分析】首先根据算术平方根的定义求出，然后求出平方根．【解答】解：∵表示144的算术平方根，即12，∴的平方根为．故选D．【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，不要忘记需要首先进行计算化简，同时如果是填空题，还要进一步对进行化简．5．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12【考点】勾股定理的逆定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、因为52+62≠72，所以不能组成直角三角形；B、因为52+122=132，所以能组成直角三角形；C、因为12+42≠92，所以不能组成直角三角形；D、因为52+112≠122，所以不能组成直角三角形．故选B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是( )A．42B．52C．7 D．52或7【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．【解答】解：根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42﹣32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．7．如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2 m，m2+1（m＞1）那么( )A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选出正确答案．【解答】解：∵（m2﹣1）2+（2 m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，A、△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1，正确；B、△ABC是直角三角形，且斜边长为2m，错误；C、△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定，错误；D、△ABC是直角三角形，错误．故选A．【点评】本题利用了勾股定理的逆定理来判定直角三角形．已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．8．等式成立的条件是( )A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1D．x≥1或x≤﹣1【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的乘法法则适用的条件列出不等式组解答即可．【解答】解：∵，∴，解得：x≥1．故选A．【点评】本题考查的是二次根式的乘法法则，即•=（a≥0，b≥0）．9．下列各等式成立的是( )A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式乘法法则：•=（a≥0，b≥0），分别计算即可．【解答】解：A、4×2=8×5=40，故选项错误；B、5×4=20=20，故选项错误；C、4×3=12=12，故选项错误；D、5×4=20=20，故选项正确．故选D．【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，正确理解法则是关键．10．函数y=kx的图象经过点P（3，﹣1），则k的值为( )A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，把P点坐标代入y=kx中即可求出k的值．【解答】解：∵函数y=kx的图象经过点P（3，﹣1），∴3k=﹣1，∴k=﹣．故选D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．二．填空题（共8题，24分）11．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为2.5m．【考点】勾股定理的应用．【分析】木板的长为矩形的对角线，已知矩形的长和宽可运用勾股定理进行求解．【解答】解：设矩形的长为am，宽为bm，对角线长为cm，根据勾股定理可得：c2=a2+b2，故c==2.5m．故木板的长为2.5m．故答案为：2.5m．【点评】考查了勾股定理的应用，本题主要是将木板摆放的位置进行确定，然后可用数学的方法进行求解．12．已知直角三角形两直角边长分别是5cm、12cm，其斜边上的高是．【考点】勾股定理；三角形的面积．【分析】可知该直角三角形的斜边长为13cm，由三角形的面积公式可得斜边上的高．【解答】解：根据勾股定理，斜边长为=13cm，根据面积相等，设斜边上的高为xcm，列方程得：×5×12=×13•x，解得：x=，故答案为为cm．【点评】本题考查勾股定理的知识，注意利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．13．36的倒数的算术平方根的相反数是﹣．【考点】算术平方根；相反数；倒数．【分析】根据相反数，倒数，算术平方根的概念即可求解．【解答】解：∵36的倒数是，∴36的倒数的算术平方根是，∴36的倒数的算术平方根的相反数是﹣；故答案为：﹣．【点评】此题考查了倒数、算术平均数和相反数，掌握倒数、算术平均数和相反数的定义是本题的关键；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；14．的最小值是2，此时a的取值是﹣1．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：a+1≥0，即a≥﹣1，再根据二次根式的增减性求出的最小值是2．【解答】解：根据二次根式有意义的条件知，a+1≥0，解得a≥﹣1，当a=﹣1时，的最小值是2，故答案为2，﹣1．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件；概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．的平方根为±2．【考点】立方根；平方根．【专题】计算题．【分析】根据立方根的定义可知64的立方根是4，而4的平方根是±2，由此就求出了这个数的平方根．【解答】解：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．4的平方根是±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．16．6×（﹣2）=﹣48．【考点】二次根式的乘除法．【分析】直接利用二次根式乘法运算法则求出即可．【解答】解：6×（﹣2）=﹣12=﹣48．故答案为：﹣48．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确把握运算法则是解题关键．17．把化成最简二次根式是．【考点】最简二次根式．【分析】利用二次根式的性质直接化简求出即可．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．18．点A（x1，﹣5），B（2，y2），若（1）A、B关于x轴对称，则x1=2，y2=5；（2）A、B关于y轴对称，则x1=﹣2，y2=﹣5；（3）A、B关于原点对称，则x1=﹣2，y2=5．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；关于原点对称的点的坐标．【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出答案；（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；（3）利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：（1）∵A、B关于x轴对称，∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，则x1=2，y2=5；（2）∵A、B关于y轴对称，∴横坐标互为相反数，纵坐标相等，则x1=﹣2，y2=﹣5；（3）∵A、B关于原点对称，∴横坐标相反数，纵坐标互为相反数，则x1=﹣2，y2=5．故答案为：（1）2，5；（2）﹣2，﹣5；（3）﹣2，5．【点评】此题主要考查了关于y、x轴对称点的性质以及关于原点对称点的坐标性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．三．解答题（共6题，66分）19．计算题（1）（﹣）+÷．（2）÷（﹣）×．【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算和除法运算，然后化简合并；（2）分别进行二次根式的乘法运算和除法运算，然后化简合并．【解答】解：（1）原式=2﹣+=2；（2）原式=×==．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．20．小强到某海岛上去探宝，登陆后先往东走10千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到4千米处往东拐，仅走1千米便找到宝藏，问登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是多少千米？【考点】勾股定理的应用．【分析】要求AB的长，通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，根据题意可知，AD=8﹣3+1=6千米，BD=2+6=8千米，在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=10千米．即登陆点到宝藏处的距离为10千米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度是解题的关键．21．已知直角三角形的两条直角边的长分别为、4，求它的周长和面积．【考点】勾股定理；三角形的面积．【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再求出其周长与面积即可．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为、4，∴直角三角形的斜边长===，∴周长为=+4+=5+，面积=××4=10．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．【分析】首先根据坐标的定义正确写出三个顶点的坐标，再根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算．【解答】解：根据图形得：A（2，2）、B（﹣2，﹣1）、C（3，﹣2），三角形的面积是5×4﹣6﹣2.5﹣2=9.5．【点评】特别注意：求不规则图形的面积时，能够转化为规则图形的面积进行计算．23．一商贩在市场销售土豆．为了方便，他带了一些零钱备用．按市场价售出一些后，又降价出售．土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图，结合图象回答：（1）商贩自带的零钱有多少元？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.8元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是62元，问他一共带了多少千克土豆？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由图象可知，当x=0时，y=10，所以农民自带的零钱是10元．（2）可设降价前每千克土豆价格为k元，则可列出农民手中钱y与所售土豆千克数x之间的函数关系式，由图象知，当x=30时，y的值，从而求出这个函数式．（3）设他一共带了x千克土豆，根据题意即可得方程：0.8（x﹣30）+46=62，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）由图象可知，当x=0时，y=10．答：农民自带的零钱是10元．（2）设降价前每千克土豆价格为k元，则农民手中钱y与所售土豆千克数x之间的函数关系式为：y=kx+10，∵当x=30时，y=46，∴46=30k+10，解得k=1.2．答：降价前每千克土豆价格为1.2元．（3）设他一共带了x千克土豆，根据题意得：0.8（x﹣30）+46=62，解得：x=50．答：农民一共带了50千克土豆．【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度适中，解题的关键是仔细分析函数图象，从中找寻信息，利用待定系数法求出函数解析式，从而解决问题．24．某移动通讯公司开设两种业务．“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付0.4元，“神州行”：不缴纳月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（通话均指市话）．若设一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为y1和y2元．（通话时不足1分钟的按1分钟计算，如3分20秒按4分钟收费）（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系下做出以上两个函数的图象；（3）一个月内通话多少分钟，两种费用相同；（4）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种合算？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神舟行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元，则y1=50+0.4x，y2=0.6x；（2）画出图象即可；（3）令y1=y2，解方程即可；（3）代入（1）解析式求得答案再作比较即可．【解答】解：（1）y1=50+0.4x；y2=0.6x；（2）画图如下：（3）令y1=y2，则50+0.4x=0.6x，解得x=250．所以通话250分钟两种费用相同；（4）y1，=170，y2，=180，170＜180，所以选择“全球通”的通讯方式便宜．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，需仔细分析题意，建立函数解析式，利用方程或简单计算即可解决问题．。
北京大学附属中学河南分校(宇华教育集团)2015-2016学
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.1.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1的相关指数2R 为0.99 B ．模型2的相关指数2R 为0.88 C ．模型3的相关指数2R 为0.50 D ．模型4的相关指数2R 为0.20 2.按照图1—图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）A ．36B ．40C ．44D ．523.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（ ） A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60度； B ．假设三内角至多有一个大于60度 C ．假设三内角都大于60度 D ．假设三内角至多有两个大于60度5.若复数23z i =-，则该复数的实部和虚部分别为（ ） A ．2,3i - B ．2，3 C ．-3，2 D ．2，-36.若复数(8)z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.在ABC ∆中，::1:2:3,A B C CD AB ∠∠∠=⊥于D ，AB a =，则BD =（ ） A ．4a B ．3a C ．2a D ．34a 8.已知三角形的3条中位线分别为3cm cm ，4,6cm ，则该三角形的周长是（ ）． A ．10cm B ．13cm C ．24cm D ．26cm9.直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为30的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（ ） A ．15 B ．22.5 C ．45 D ．9010.如图，在ABC ∆中：//,//DE BC EF CD ，若3,2,1B C D E D F ===，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．4.5D ．511.下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点（ ）A ．()2,2B ．()1.5,2C ．()1,2D ．()1.5,4二、填空题（共4题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知()211i a i i-=-+，则a = ________．14.若两个相似三角形的周长比为3：4，则它们的三角形面积比是________．15.在等差数列{}n a 中，我们有1234563462a a a a a a a a ++++++=，则在正项等比数列{}n b 中，我们可以得到类似的结论是 ________．16.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =，下列结论：①030BAE ∠=，②ABE AEF ∆∆ ,③AE EF ⊥,④ADF ECF ∆∆ ．其中正确的有________．三、解答题 （本大题共6小题，17题10分，其余为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）已知复数1z 满足()()1211z i i -++=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z 是实数，（1）求1z ，（2）求2z ． 18.（本题12分）（1）用反证法证明：已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：a b c 、、中至少有一个数不大于13（2> 19.（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//,AD BC AB DC =，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ，求证：（1）ABC DCB ∆≅∆；（2）DE DC AE BD = ．20.（本题12分）如图，在ABC ∆中，090C ∠=，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．（1）求证：BA BM BC BN = ；（2）如果CM 是O 的切线，N 为OC 的中点，当3AC =时，求AB 的值． 21.（本题12分）为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）求,,,m n s t 的值；（2）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（3）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关． 参考公式： 在22⨯列联表：随机变量()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++22.（本小题满分12分）某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如下表所示 （1）请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （2）据此估计2012年该城市人口总数．参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nxybay bx x nx==-==--∑∑参考答案一、选择题 ABACD CADBC DC 二、填空题13. -1 14. 9:16=②③三、解答题17.【解析】（1）∵()()1211z i i -+=-，∴12z i =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设22,z a i a R =+∈，则()()()()1222224z z i a i a a i =-+=++- ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵12z z R ∈，∴4a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴242z i =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：(1)假设a b c 、、 都大于13，则1a b c ++>，这与已知1a b c ++=矛盾． 故a b c 、、中至少有一个不大于13．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分∵//AD BC ，∴,DAC ACB EAD ABC ∠=∠∠=∠．∴,DAC DBC EAD DCB ∠=∠∠=∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∵//ED AC ，∴EDA DAC ∠=∠．∴EDA DBC ∠=∠，∴ADE CBD ∆∆ ．．．．．．．．．．．．10分∴::DE BD AE CD =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴DE DC AE BD = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.（1）证明：连接MN 则090BMN ACB ∠==∠， ∴ACB NMB ∆∆ ，∴BC ABBM BN=，∴AB BM BC BN = ．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）解：连接OM ，则090OMC ∠=，∵N 为OC 中点，∴MN ON OM ==，∴060MON ∠=，∵OM OB =，∴01302B MON ∠=∠=． ∵090ACB ∠=，∴2236AB AC ==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.（1）30，160，430，300．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）14%．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （3）9.967 6.635k =>，能，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 22.（本题满分12分）解：（1）∵2,10x y ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分51051728311419132i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222210123430ii x==++++=∑．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴1221ˆˆˆ3.2, 3.6ni ii ni i x y nxyba y bx x nx==-===-=-∑∑．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 3.2 3.6y x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）当5x =时，ˆ 3.2*5 3.6y =+ ，即ˆ19.6y =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分据此估计2012年该城市人口总数约为196万．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高二(上)期末数学试卷(理科)(普通班)(解析版)
2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高二（上）期末数学试卷（理科）（普通班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在不等式2x+y﹣6＜0表示的平面区域内的点是（）A．（0，1）B．（5，0）C．（0，7）D．（2，3）【考点】二元一次不等式的几何意义．【专题】计算题．【分析】将点的坐标一一代入不等式2x+y﹣6＜0，若成立，则在不等式表示的平面区域内，否则不在，问题即可解决．【解答】解：由题意：对于A：2×0+1﹣6＜0成立；故此点在不等式2x+y﹣6＜0表示的平面区域内；对于B：2×5+0﹣6＜0不成立；故此不在点不等式2x+y﹣6＜0表示的平面区域内对于C：2×0+7﹣6＜0不成立；故此点不在不等式2x+y﹣6＜0表示的平面区域内对于D：2×2+3﹣6＜0不成立；故此点不在不等式2x+y﹣6＜0表示的平面区域内故选A【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式组与平面区域，根据已知不等式表示的平面区域是解答本题的关键．3．已知等差数列{a n}中，a7+a9=4，则a8的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】直接由已知结合等差数列的性质求得a8的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a7+a9=4，∴由等差数列的性质可得：．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．4．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．5．已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】根据大边对大角，得到4所对的角最大，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将三边长代入求出cosα的值，根据cosα的正负即可确定出三角形形状．【解答】解：设4所对的角为α，∵△ABC的三边分别为2，3，4，∴由余弦定理得：cosα==﹣＜0，则此三角形为钝角三角形．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知椭圆：+=1的焦距为4，则m等于（）A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先分两种情况：（1）焦点在x轴上时：10﹣m﹣（m﹣2）=4（2）焦点在y轴上时m﹣2﹣（10﹣m）=4分别求出m的值即可．【解答】解：（1）焦点在x轴上时：10﹣m﹣（m﹣2）=4解得：m=4（2）焦点在y轴上时m﹣2﹣（10﹣m）=4解得：m=8故选：C【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c 的关系式，及相关的运算问题．7．有下列四个命题：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题；（2）“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；（3）“若x≤3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；（4）“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题是若x2+y2≠0，则xy≠0”错误，如当x=0，y=1时，满足x2+y2≠0，但xy=0，故命题为假命题．（2）“若x＞y，则x2＞y2”为假命题，如当x=1，y=﹣2，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题．（3）“若x≤3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题是若x＞3，则x2﹣x﹣6≤0为假命题，如当x=4时，满足x＞3，但x2﹣x﹣6≤0不成立，即命题为假命题．（4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题．故真命题的个数是0个故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，比较基础．8．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB1C为异面直线B1C 和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=∵C1D∥B1A∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cos∠AB1C=故选A【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9【考点】数列与解析几何的综合．【专题】计算题．【分析】由题意因为数列a n=，其前n项之和为，有数列通项的特点利用裂项相消得方法得到n的方程解出n的值是直线（n+1）x+y+n=0的方程具体化，再利用直线在y轴上的截距求出所求．【解答】解：因为数列{a n}的通项公式为且其前n项和为：++…+=1﹣==，∴n=9，∴直线方程为10x+y+9=0．令x=0，得y=﹣9，∴在y轴上的截距为﹣9．故选B【点评】此题考查了裂项相消求数列的前n项和，及直线y轴截距，此外还考查了学生利用方程的思想解问题．11．已知点及抛物线上的动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义，将点P到准线y=﹣1的距离转化为点P到焦点F的距离|PF|，再利用不等式的性质即可求得答案．【解答】解：∵抛物线的方程为x2=4y，∴其焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，∴抛物线上的动点P（x，y）到准线的距离为：y﹣（﹣1）=y+1，由抛物线的定义得：|PF|=y+1，又Q（2，0），∴y+|PQ|=y+1+|PQ|﹣1=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=﹣1=3﹣1=2（当且仅当F，P，Q三点共线时取等号）．故选A．【点评】本题考查抛物线的简单性质，将点P到准线y=﹣1的距离转化为点P到焦点F的距离|PF|是关键，突出考查转化思想，属于中档题．12．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2 C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值．【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．全称命题“∀x∈R，x2+5x=4”的否定是．【考点】命题的否定．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，故答案为：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；数形结合法；不等式．【分析】若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，从而化为线性规划求解即可．【解答】解：若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，作平面区域如下，，结合图象可知，过点A（1，1）时，2x+y有最小值3，故目标函数的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了指数函数的单调性的应用．15．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．16．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于2．【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．【解答】解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．故答案为：2．【点评】本题体现转化的数学思想，转化为BC与以线段AD的中点O为圆心的圆相切是关键，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】由已知中，命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，我们可以求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．【解答】解：若p真：则△=a2﹣4×4≥0∴a≤﹣4或a≥4（4分）若q真：，∴a≥﹣12（8分）由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假（10分）当p真q假时：a＜﹣12；当p假q真时：﹣4＜a＜4（12分）综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）（14分）【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．18．（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆，可得焦点，设双曲线的标准方程为：=1（a，b＞0），则a2+b2=4，=1，解出即可得出．（2）设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，解得p，把点M（﹣3，m）代入抛物线即可得出．【解答】解：（1）椭圆的焦点为（2，0），（﹣2，0），设双曲线的标准方程为：=1（a，b＞0），则a2+b2=4，=1，解得a2=3，b2=1，∴所求双曲线的标准方程为．（2）设抛物线方程为y 2=﹣2px （p ＞0），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是点M 到准线的距离为5，则，∴p=4，因此，抛物线方程为y 2=﹣8x ，又点 M （﹣3，m ）在抛物线上，于是m 2=24，∴．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ，n ∈N *．（1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足a n =4log 2b n +3，n ∈N *，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据a n =解出；（2）求出b n ，使用错位相减法求和． 【解答】解：（1）当n=1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，．经检验，n=1时，上式成立．∴a n =4n ﹣1，n ∈N *．（2）∵a n =4log 2b n +3=4n ﹣1，∴b n =2n ﹣1．∴，n ∈N *．∴，①①×2得：，②∴．故．【点评】本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题．20．已知在△ABC中，（1）若三边长a，b，c依次成等差数列，sinA：sinB=3：5，求三个内角中最大角的度数；（2）若，求cosB．【考点】正弦定理；等差数列；余弦定理．【专题】计算题；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）依题意，设a=3k，（k＞0），则b=5k，c=7k，利用余弦定理即可求得三个内角中最大角的度数；（2）利用向量的数量积，与余弦定理即可求得cosB．【解答】解：（1）在△ABC中有sinA：sinB=3：5，∴a：b=3：5，设a=3k，（k＞0）则b=5k，∵a，b，c成等差数列，∴c=7k，∴最大角为C，有cosC==﹣，∴C=120°（2）由=b2﹣（a﹣c）2得：accosB=b2﹣（a﹣c）2，即accosB=a2+c2﹣2accosB﹣（a2+c2﹣2ac），∴3cosB=2，∴cosB=．【点评】本题考查余弦定理，考查平面向量的数量积，考查运算能力，属于中档题．21．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出=0和=0，就可以得到CF⊥平面BDE（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量=0和=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE﹣D的大小．【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）．所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．所以=0﹣1+1=0，=﹣1+0+1=0．所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF ⊥平面BDE（III ）由（II ）知，=（，，1），是平面BDE 的一个法向量，设平面ABE 的法向量=（x ，y ，z ），则=0， =0．即所以x=0，且z=y ．令y=1，则z=．所以n=（），从而cos （，）=因为二面角A ﹣BE ﹣D 为锐角，所以二面角A ﹣BE ﹣D 为．【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．22．椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其左焦点到点P （2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l ：y=k ，直线过定点．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
武大附中2015~2016学年度下学期八年级3月月考数学试卷(word版有答案)
武大附中2015~2016学年度下学期八年级3月月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ） A ．21≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3 2．下列计算正确的是（ ） A ．562432=+ B ．248=C ．3327=÷D ．3)3(2-=-3．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（ ） A ．4B ．8C ．10D ．124．下列二次根式中与24是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．30C ．48D ．545．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是（ ） A ．它是一个无理数B ．它是一个正数C ．它是最简二次根式D ．它有最小值为36．下列命题：① 如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；② 如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③ 如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④ 一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c （a 最大），那么a 2∶b 2∶c 2＝2∶1∶1，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O 与AD 、BC 分别相交于E 、F ．若AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，那么四边形EFCD 的周长为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．108．如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB ＝3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么△ABE 的面积为（ ） A ．3 cm 2B ．4 cm 2C ．6 cm 2D ．12 cm 29．如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．32B ．62C ．3D ．610．如图，已知P 为平行四边形ABCD 内一点，且S △P AB ＝5，S △P AD ＝2，则S △P AC 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是______________________________ 12．若1223-+n n a 与6是最简同类根式，则a ＝__________ 13．把二次根式aa 1-根号外的因式移入根号内为__________ 14．如图，是一个长4 m ，宽3 m ，高2 m 的有盖仓库，其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为__________15．如图，△ACB 与△ECD 都是等腰直角三角形，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上．若31=AD AE ，则AE AC ＝__________16．正方形ABCD 的边长为1，P 为正方形ABCD 内一动点，则P A ＋PB ＋PC 取值最小值是___ 三、解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）计算：(1) 31275+- (2)0)13(27132--+-18．（本题8分）先化简，再求值：已知32-=x ，求xx x x x x x -+---+-2221212119．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝2，AB ＝13+，求BC 的长20．（本题8分）直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中A点坐标为(2，3)、B(－2，0)、C(0，－1)(1)AB的长为__________，∠ACB的度数为__________(2) 若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，试画出其中一个平行四边形，并写出所画平行四边形中D点的坐标__________21．（本题8分）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，M、N分别为AD、BC的中点，连接AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q，试判断四边形MPNQ的形状并说明理由22．（本题10分）如图，一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C 在船北偏东60°，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°(1)求小岛C到航线AB的距离(2)已知以小岛C为中心周围18海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？23．（本题10分）(1) 如图所示，△ABC 和△AEF 为等边三角形，点E 在△ABC 内部，且E 到点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，求∠AEB 的度数(2) 如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，M 、N 为BC 上的两点，且∠MAN ＝45°，那么MN 、NC 、BM 有何关系？说明理由24．（本题12分）已知直线AB 分别交x 、y 轴于A (4，0)、B 两点，C (－4，a )为直线AB 上且在第二象限内一点，若△COA 的面积为8 (1) 如图1，求C 点的坐标(2) 如图2，直线OM 经过O 点，过C 作CM ⊥OM 于M ，CN ⊥y 轴于点N ，连MN ，求式子MNMCMO 的值(3) 如图3，过C 作CN ⊥y 轴于点N ，G 为第一象限内一点，且∠NGO ＝45°，试探究GC 2、GN 2、GO 2之间的数量关系并说明理由武大附中2015~2016学年度下学期八年级3月月考数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCDACCCAB10．提示：S △P AD ＋S △P AC ＋S △PCD ＝S △P AB ＋S △PCD ＝S ABCD ∴S △P AC ＝S △P AB －S △P AD ＝5－2＝3二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．两个面积相等的三角形是全等三角形 12．113．a -- 14．515．516．32+14．提示：有两种展开图如图1，最短路径是29如图2，最短路径是516．提示：分别以BP 、BA 为边作等边△BPE 、△ABF∴BP ＝PE∵△ABP ≌△FBE （SAS ） ∴P A ＝EF连接FC 即为最小值过点F 作FG ⊥CG 交CB 的延长线于G ∵∠FBC ＝∠ABC ＋∠ABF ＝60°＋90°＝150° ∴∠FBG ＝30° ∵BF ＝BA ＝1 ∴FG ＝21，BG ＝23，GC ＝123+ ∴FC ＝32+三、解答题（共8题，共72分） 17．解：(1) 34；(2) 3418．解：原式＝xx 11+-＝3 19．解：过点C 作CD ⊥AB 于DBC ＝2 20．解：(1) 5，90°(2) D (0，4)、(4，2)、(－4，4) 21．解：略22．解：(1) △ABC 为等腰三角形∴BC ＝AB ＝20∴过点C 作CD ⊥AB 于D ∴CD ＝310(2) ∵310＜18 ∴有进入危险区的可能如图，在AB 上截取CM ＝CN ＝18 ∴DM ＝DN ＝62 ∴15623064==t （小时） 23．解：略24．解：(1) C 点的坐标为(－4，4) (2) 模型：对角互补四边形过点N 作ND ⊥MN 交MO 的延长线于D∵∠NCM ＋∠NOM ＝180°，∠NOD ＋∠NOM ＝180° ∴∠NCM ＝∠NOD可证：△NCM ≌△NOD （ASA ） ∴MC ＝OD ，MN ＝ND ∴△MND 为等腰直角三角形 ∴2==+MNMDMN MC MO(3) 过点N 作NM ⊥NG 交CO 的延长线于M ，连接CM ∴△NMG 为等腰直角三角形根据共顶点等腰三角形的旋转模型，得 △CNM ≌△ONG （SAS ）∴OG ＝CM ，∠CMN ＝∠NGO ＝45° ∴∠CMG ＝45°＋45°＝90° 在Rt △CMG 中，CM 2＋MG 2＝CG 2 ∴GO 2＋2GN 2＝GC 2。
河南省北大附中分校宇华教育集团2016-2017学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项答案是正确的，请将正确答案填写在答题卷相应的位置，每小题5分，共60分．）1．下列所给对象能构成集合的是（）A．某校高一（5）班数学成绩非常突出的男生能组成一个集合B．《数学1（必修）》课本中所有的难题能组成一个集合C．性格开朗的女生可以组成一个集合D．圆心为定点，半径为1的圆内的点能组成一个集合2．集合{x∈N+|x＜3}的另一种表示法是（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{1，2}3．集合M={x∈N+|﹣≤x≤}，则下列说法正确的是（）A．B．1∉MC．M是空集 D．该集合是有限集4．已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（）A．x0∈N B．x0∉N C．x0∈N或x0∉N D．不能确定5．下列表示①{0}=∅，②{2}⊆{2，4，6}，③{2}∈{x|x2﹣3x+2=0}，④0∈{0}中，错误的是（）A．①②B．①③C．②④D．②③6．设集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥17．若{1，2}={x|x2+bx+c=0}，则（）A．b=﹣2，c=3 B．b=2，c=﹣3 C．b=﹣3，c=2 D．b=3，c=﹣28．已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，那么M∩N为（）A．x=3，y=﹣1 B．（3，﹣1）C．{3，﹣1} D．{（3，﹣1）}9．设A={0，1，2，3，4，5}，B={1，3，6，9}，C={3，7，8}，则（A∩B）∪C等于（）A．{1，3，6，7，8}B．{1，3，7，8} C．{3，7，8}D．{0，1，2，6}10．已知集合U={x|x＞0}，∁U A={x|0＜x＜3}，那么集合A=（）A．{x|x＞3} B．{x|x≥3} C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|x≤0或x≥3}11．设A={x∈Z|x≤6}，B={x∈Z|x＞1}，那么A∩B等于（）A．{x|1＜x≤6}B．{1，2，3，4，5，6}C．{2，3，4，5，6}D．{2，3，4，5} 12．集合{y∈N|y=﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）A．9 B．8 C．7 D．6二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卷相应位置）13．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={正方形}，则它们之间的关系是．14．设集合A={x|4x﹣3＞0}，B={x|x﹣6＜0}，则A∪B=．15．设全集U={x|x＜8，且x∈N}，A={x|（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣7）=0}，则∁U A=．16．某中学举办多学科实践活动，高二1班共有50名同学，其中30名参加了数学，26名参加了物理，15名同时参加了数学和物理，问这个班既没参加数学也没参加物理的有 人．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卷相应的位置）17．用适当的方法表示下列集合：（1）不小于1 且不大于17的质数组成的集合A ；（2）所有奇数组成的集合B ；（3）平面直角坐标系中，抛物线y=x 2上的点组成的集合C ；（4）D={（x ，y ）|x +y=5，x ∈N +，y ∈N +}；（5）所有被4除余1的整数组成的集合E ．18．设集合A={x |kx 2﹣4x +2=0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ．19．设U=R ，A={x |﹣3＜x ≤4}，B={x |0≤x ＜8}．求A ∩B ，A ∪B ，∁U A ，∁U B ，∁U （A ∩B ），∁U （A ∪B ），（∁U A ）∩（∁U B ），（∁U A ）∪（∁U B ）．20．已知集合A={1，3，2m +3}，集合B={3，m 2}，若A ∩B=B ，求实数m 的值． 21．已知关于x 的方程3x 2+px ﹣7=0的解集为A ，方程3x 2﹣7x +q=0的解集为B ，若A ∩B={﹣}，求A ∪B ．22．已知集合A={x |﹣2＜x ≤5}，B={x |﹣m +1≤x ≤2m ﹣1}且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．2016-2017学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项答案是正确的，请将正确答案填写在答题卷相应的位置，每小题5分，共60分．）1．下列所给对象能构成集合的是（）A．某校高一（5）班数学成绩非常突出的男生能组成一个集合B．《数学1（必修）》课本中所有的难题能组成一个集合C．性格开朗的女生可以组成一个集合D．圆心为定点，半径为1的圆内的点能组成一个集合【考点】集合的含义．【分析】根据集合的定义，利用集合元素的确定性进行判断．【解答】解：A、某校高一（5）班数学成绩非常突出的男生不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误；B．《数学1（必修）》课本中所有的难题不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误；C．性格开朗的女生不确定，无法确定集合的元素，不能构成集合，故本选项错误；D．圆心为定点，半径为1的圆内的点，元素确定，能构成集合，故本选项正确．故选：D．2．集合{x∈N+|x＜3}的另一种表示法是（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{1，2}【考点】集合的表示法．【分析】集合{x∈N+|x＜3}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字，在集合中列举出元素．【解答】解：∵集合{x∈N+|x＜3}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，∵{x∈N+|x＜3}={1，2}故选D．3．集合M={x∈N|﹣≤x≤}，则下列说法正确的是（）+A．B．1∉MC．M是空集 D．该集合是有限集【考点】元素与集合关系的判断．【分析】化简集合M得到：M={1}，由此对选项进行分析判断．|﹣≤x≤}={1}，【解答】解：∵集合M={x∈N+∴∉M，1∈M，M不是空集，该集合是有限集．故选：D．4．已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（）A．x0∈N B．x0∉N C．x0∈N或x0∉N D．不能确定【考点】元素与集合关系的判断．【分析】欲判断集合M、N的关系，先对集合N中的整数k分奇偶进行讨论，再根据集合的包含关系即可得这两个数集的关系．【解答】解：M={x|x=+=，n∈Z}，显然M的分子为奇数，N={x|x=+=，n∈Z}，显然N的分子为整数，∴集合M、N的关系为M⊊N．∵x0∈M，∴x0∈N故选A5．下列表示①{0}=∅，②{2}⊆{2，4，6}，③{2}∈{x|x2﹣3x+2=0}，④0∈{0}中，错误的是（）A．①②B．①③C．②④D．②③【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合的表示方法以及集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：①{0}表示含有元素0的集合，不是空间，∴①错误．②{2}⊆{2，4，6}，正确．③{2}表示集合，集合之间的关系用⊂或者⊊，∴③错误．④0∈{0}正确．故选：B．6．设集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合包含的定义，结合已知，可得实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且A⊆B，∴a≤1，故选：B7．若{1，2}={x|x2+bx+c=0}，则（）A．b=﹣2，c=3 B．b=2，c=﹣3 C．b=﹣3，c=2 D．b=3，c=﹣2【考点】集合的相等．【分析】根据集合的相等得到关于a，b的方程，解出即可．【解答】解：∵{1，2}={x|x2+bx+c=0}，∴1+b+c=0 ①4+2b+c=0 ②②﹣①得：3+b=0，解得：b=﹣3，将b=﹣3代入①得：1﹣3+c=0，解得：c=2，故选：C．8．已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，那么M∩N为（）A．x=3，y=﹣1 B．（3，﹣1）C．{3，﹣1} D．{（3，﹣1）}【考点】交集及其运算．【分析】将集合M与集合N中的方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．【解答】解：将集合M和集合N中的方程联立得：，①+②得：2x=6，解得：x=3，①﹣②得：2y=﹣2，解得：y=﹣1，∴方程组的解为：，则M∩N={（3，﹣1）}．故选D9．设A={0，1，2，3，4，5}，B={1，3，6，9}，C={3，7，8}，则（A∩B）∪C等于（）A．{1，3，6，7，8}B．{1，3，7，8} C．{3，7，8}D．{0，1，2，6}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集和并集的性质直接求解．【解答】解：∵A={0，1，2，3，4，5}，B={1，3，6，9}，C={3，7，8}，∴（A∩B）∪C={1，3}∪{3，7，8}={1，3，7，8}．故选：B．10．已知集合U={x|x＞0}，∁U A={x|0＜x＜3}，那么集合A=（）A．{x|x＞3} B．{x|x≥3} C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|x≤0或x≥3}【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义即可求出．【解答】解：集合U={x|x＞0}，∁U A={x|0＜x＜3}，∴A=∁U（∁U A）={x|x≥3}，故选：B．11．设A={x∈Z|x≤6}，B={x∈Z|x＞1}，那么A∩B等于（）A．{x|1＜x≤6}B．{1，2，3，4，5，6}C．{2，3，4，5，6}D．{2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】结合A，B中的元素是整数的特点，运用交集的概念直接求A与B的交集．【解答】解：由A={x∈Z|x≤6}，B={x∈Z|x＞1}，得A∩B={x∈Z|1＜x≤5}={2，3，4，5，6}．故选：C．12．集合{y∈N|y=﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】子集与真子集．【分析】根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x=0，y=6；x=1，y=5；x=2，y=2；x=3，y=﹣3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y=﹣x2+6，x∈N}={2，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．【解答】解：x=0时，y=6；x=1时，y=5；x=2时，y=2；x=3时，y=﹣3；∵函数y=﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；∴x≥3时，y＜0；∴{y∈N|y=﹣x2+6，x∈N}={2，5，6}；∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴该集合的真子集个数为7．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卷相应位置）13．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={正方形}，则它们之间的关系是D⊊C⊊B⊊A．【考点】集合的表示法．【分析】根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的关系画图即可．【解答】解：集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={正方形}，则Venn图表示它们之间的关系为：故答案是：D⊊C⊊B⊊A．14．设集合A={x|4x﹣3＞0}，B={x|x﹣6＜0}，则A∪B=R．【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．【解答】解：∵集合A={x |4x ﹣3＞0}={x |x ＞}，B={x |x ﹣6＜0}={x |x ＜6}，∴A ∪B={x |x }∪{x |x ＜6}=R ．故答案为：R ．15．设全集U={x |x ＜8，且x ∈N }，A={x |（x ﹣1）（x ﹣3）（x ﹣4）（x ﹣7）=0}，则∁U A= {0，2，5，6} ．【考点】补集及其运算．【分析】分别求出全集U 和集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．【解答】解：U={x |x ＜8，且x ∈N }={0，1，2，3，4，5，6，7，}，A={x |（x ﹣1）（x ﹣3）（x ﹣4）（x ﹣7）=0}={1，3，4，7}，则∁U A={0，2，5，6}，故答案为：{0，2，5，6}．16．某中学举办多学科实践活动，高二1班共有50名同学，其中30名参加了数学，26名参加了物理，15名同时参加了数学和物理，问这个班既没参加数学也没参加物理的有 9 人．【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn 图即可得到结论．【解答】解：∵15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，∴单独参加数学的同学有30﹣15=15人，单独参加物理的同学有26﹣15=11人，则既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学有50﹣15﹣15﹣11=9，故答案为：9三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卷相应的位置）17．用适当的方法表示下列集合：（1）不小于1 且不大于17的质数组成的集合A ；（2）所有奇数组成的集合B ；（3）平面直角坐标系中，抛物线y=x 2上的点组成的集合C ；（4）D={（x ，y ）|x +y=5，x ∈N +，y ∈N +}；（5）所有被4除余1的整数组成的集合E ．【考点】集合的表示法．【分析】用列举法表示（1）、（4）；利用性质描述法表示（2）、（3）、（5）．【解答】解：（1）不小于1 且不大于17的质数组成的集合A={2，3，5，7，11，13，17}；（2）所有奇数组成的集合B={x |x=2k +1，k ∈Z }；（3）平面直角坐标系中，抛物线y=x 2上的点组成的集合C={（x ，y ）|y=x 2}； （4）D={（x ，y ）|x +y=5，x ∈N +，y ∈N +}={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}； （5）所有被4除余1的整数组成的集合E={x |x=4k +1，k ∈Z }．18．设集合A={x |kx 2﹣4x +2=0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ．【考点】根的存在性及根的个数判断；集合中元素个数的最值．【分析】若集合A 中只有一个元素，则k=0，或△=16﹣8k=0，进而得到答案．【解答】解：若集合A 中只有一个元素，则k=0，或△=16﹣8k=0，解得：k=0，k=2，当k=0时，集合A={x |﹣4x +2=0}={}，当k=2时，集合A={x |2x 2﹣4x +2=0}={1}．19．设U=R ，A={x |﹣3＜x ≤4}，B={x |0≤x ＜8}．求A ∩B ，A ∪B ，∁U A ，∁U B ，∁U （A ∩B ），∁U （A ∪B ），（∁U A ）∩（∁U B ），（∁U A ）∪（∁U B ）．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集、并集与补集的定义，进行计算即可．【解答】解：U=R ，A={x |﹣3＜x ≤4}，B={x |0≤x ＜8}；∴A ∩B={x |0≤x ≤4}，A ∪B={x |﹣3＜x ＜8}，∁U A={x |x ≤﹣3或x ＞4}，∁U B={x |x ＜0或x ≥8}，∁U （A ∩B ）={x |x ＜0或x ＞4}，∁U （A ∪B ）={x |x ≤﹣3或x ≥8}，（∁U A ）∩（∁U B ）={x |x ≤﹣3或x ≥8}，（∁U A ）∪（∁U B ）={x |x ＜0或x ＞4}．20．已知集合A={1，3，2m +3}，集合B={3，m 2}，若A ∩B=B ，求实数m 的值．【考点】交集及其运算．【分析】根据A 与B 的交集为B ，得到B 为A 的子集，确定出m 的值即可．【解答】解：∵A ∩B=B ，∴B ⊆A ，∵A={1，3，2m +3}，B={3，m 2}，∴m 2=1或m 2=2m +3，解得：m=±1或m=3或﹣1，当m=1时，A={1，3，5}，B={1，3}，满足题意；当m=﹣1时，不合题意，舍去；当m=3时，A={1，3，9}，B={3，9}，满足题意，综上，实数m 的值为1或3．21．已知关于x的方程3x2+px﹣7=0的解集为A，方程3x2﹣7x+q=0的解集为B，若A∩B={﹣}，求A∪B．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】通过A∩B={﹣}，列出方程组，求出p，q，然后求出A，B，即可求解A∪B．【解答】解：∵A∩B={﹣}，∴，…..2分从而，解出p=﹣20，q=﹣…..8分故A={7， }，B={}，…..12分于是A∪B={7， }…..14分．22．已知集合A={x|﹣2＜x≤5}，B={x|﹣m+1≤x≤2m﹣1}且B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意需讨论B=∅，和B≠∅两种情况，根据子集的概念限制m的取值从而得到实数m的取值范围．【解答】解：①若B≠∅，∵B⊆A；∴，解得；②若B=∅，满足B⊆A，则：﹣m+1＞2m﹣1；∴；∴实数m的取值范围为：（﹣∞，3）．2016年12月27日。
河南省北大附中分校宇华教育集团2015-2016学年高一上学期期末数学试卷
2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}2．已知函数f（x）=的定义域是（）A． C． C．[﹣1，1）∪（1，+∞）D．R【分析】要使函数有意义，则需1+x≥0且1﹣x≠0，解得即可得到定义域．【解答】解：要使函数有意义，则需1+x≥0且1﹣x≠0，即x≥﹣1且x≠1，则定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．3．已知log53=a，log54=b，则log2512是（）A．a+b B．C．ab D．【分析】先由对数换底公式把log2512等价转化为，再由对数运算法则进一步转化为，由此能求了结果．【解答】解：∵log53=a，log54=b，∴log2512===（a+b）．故选B．4．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+7），则f（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+7），∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log2（1+7）=﹣log28=﹣3，故选：A．5．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题．【解答】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选C．6．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．以上都不正确【分析】由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为6，圆锥的母线长为5，代入圆锥的表面积和体积公式，我们易得结论．【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5则圆锥的底面积S底面=π•r2=9π侧面积S侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，又由圆锥的高h==4故V=•S底面•h=12πcm3故选A．7．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则球的体积为（）A． B．C．D．【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可．【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：．所以球的半径为：．所求球的体积为：V=π×（）3=π．故选：C．8．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是（）A．B．C．8 D．2【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离．【解答】解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，∴=≠，∴m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为=2，故选 D．9．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】要找函数f（x）=lnx+x﹣2的零点个数⇔lnx=﹣x+2的零点个数⇔函数y=lnx与函数y=﹣x+2的图象的交点的个数【解答】解：令g（x）=lnx，h（x）=2﹣x，其函数的图象如图所示由图象可知道函数y=lnx，与函h（x）=2﹣x只有一个交点函数f（x）=lnx+x﹣2的零点只有一个故选：B10．若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（）①；②；③；④．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①可由线面垂直的判定定理进行证明；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③可在α内找n的平行线进行证明；④不正确，可举反例说明．【解答】解：①m⊥α，则m垂直于α内的两条相交直线，因为m∥n，所以n也垂直于这两条直线，故n⊥α，故①正确；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③n∥α，所以存在直线b⊂α，且b∥n，因为m⊥α，所以m⊥b，所以m⊥n，③正确；④不正确，例如n和m确定的平面平行于α，则n∥α．故选C11．若三点共线则m的值为（）A．B． C．﹣2 D．2【分析】利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，据三点共线得两个向量共线，利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m【解答】解：，∵三点共线∴共线∴5（m﹣3）=﹣解得m=故选项为A12．直线3x﹣4y﹣4=0被圆x2+y2﹣6x=0截得的弦长为（）A．B．4 C．D．2【分析】先将圆化为标准方程，然后利用点到直线的距离求弦长．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=9，圆心为P（3，0），半径为r=3．∴圆心到直线3x﹣4y﹣4=0的距离d=．∴弦长l=2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知x+x﹣1=3，则= ±1．【分析】先对平方，整体代入x+x﹣1=3求出其值，然后解出的值．【解答】解：已知x+x﹣1=3，所以有=1故答案为：±114．求值：log23•log57•log35•lo g74= 2 ．【分析】根据换底公式，即可得到答案．【解答】解：log23•log57•lo g35•log74=•••=2，故答案为：2．15．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 3 对．【分析】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．【解答】解：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．故答案为：3．16．如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平行APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为①②③．【分析】由中位线定理可知OM∥PA，故OM∥平面PAC，由PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，由AB 为直角得出AC⊥BC，故而BC⊥平面PAC．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂PAC，∴BC⊥PC．故而①，③正确．∵M是PB中点，O是AB中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC．故②正确．故答案为：①②③．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}（1）当m=1时，求A∪B；（2）若B⊆∁R A，求实数m的取值范围．【分析】（1）将m的值代入集合B中确定出B，找出既属于A又属于B的部分，即可确定出两集合的并集；（2）由全集R求出A的补集，由B为A补集的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当m=1时，A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|1≤x＜4}，则A∪B={x|﹣1＜x＜4}；（2）∵全集为R，A={x|﹣1＜x≤3}，∴C R A={x|x≤﹣1或x＞3}，∵B⊆C R A，当B=∅时，m≥1+3m，即m≤﹣；当B≠∅时，m＜1+3m，即m＞﹣，此时1+3m≤﹣1或m＞3，解得：m＞3，综上，m的范围为m≤﹣或m＞3．18．求经过直线l1：2x+3y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣3=0的交点且平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程．【分析】先求出直线l1与l2的交点坐标，设出所求的直线方程2x+y+c=0，把交点坐标代入求出c，进而得到所求的直线方程．【解答】解：由，得，∴直线l1与l2的交点坐标（，），再设平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程为：2x+y+c=0，把（，）代入所求的直线方程，得，故所求的直线方程为：．19．已知f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；（2）根据函数奇偶性的定义证明即可．【解答】解：（1）根据题意可得，解不等式可得﹣3＜x＜3，∴函数的定义域是（﹣3，3）；（2）∵函数的定义域是（﹣3，3），且f（﹣x）=+=f（x），∴函数f（x）为偶函数．20．某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？【分析】先确定每天入住的客房间数，可得每天客房的总收入，利用配方法求最值，即可得到结论．【解答】解：设酒店将房费提高到x元，每天的客房的总收入为y元．则每天入住的客房间数为间，…（2分）由及x≥0得：0≤x≤800．…（4分）．依题意知： ==．因为0≤x≤800，所以当x=400时，y有最大值为80000元．…（11分）答：酒店将房费提高到400元时，每天客房的总收入最高．…（12分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D﹣AA1C1的体积．【分析】（1）由勾股定理的逆定理得AC⊥BC，由CC1⊥平面ABC得AC⊥CC1，故AC⊥平面BC1C，于是AC⊥BC1；（2）设BC1与B1C的交点为E，连结DE，则由中位线定理得DE∥AC1，于是AC1∥平面CDB1；（3）取AC中点M，连结DM，则DM⊥平面ACC1，故DM为棱锥D﹣AA1C1的高．【解答】（1）证明：∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，∴AC⊥BC，∵AA1⊥底面ABC，AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥CC1，又BC∩CC1=C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．（2）证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（3）解：取AC的中点M，连接DM，∵D是AB的中点，∴DM∥BC且．又∵BC⊥AC，BC⊥AA1，∴BC⊥平面ACC1A1，∴DM⊥平面ACC1A1．∵，∴．22．已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣k=0表示图形为圆．（1）若已知曲线关于直线x+y﹣4=0的对称圆与直线6x+8y﹣59=0相切，求实数k的值；（2）若k=15，求过该曲线与直线x﹣2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．【分析】（1）根据两个圆心关于直线对称关系，求出对称圆心的坐标，再由对称圆与6x+8y ﹣59=0相切，即圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径r，即可求出k；（2）先设圆心A坐标并把k代入已知方程配方后求A的坐标，由A在x﹣2y+5=0上时此圆的面积最小，两个圆心的连线与直线垂直，利用斜率之积等于﹣1和A在直线上列出方程组求圆心的坐标，再利用弦心距、半径和弦的一半关系求出半径．【解答】解：（1）已知圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5+k（k＞﹣5），可知圆心为（2，1），设它关于y=﹣x+4的对称点为（x1，y1），则，解得，…（2分）∴点（3，2）到直线6x+8y﹣59=0的距离为，即…（4分）∴，∴…（6分）（2）当k=15时，圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=20…（7分）设所求圆的圆心坐标为（x0，y0）．∵已知圆的圆心（2，1）到直线x﹣2y+5=0的距离为，…（8分）则，∴，…（10分），…（11分）∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=15…（12分）。
2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一(上)期末数学试卷(宏志班)(解析版)
2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）期末数学试卷（宏志班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴∁U A={3}；∴B∪∁U A={2，3}．故选：B．【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算．2．设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题【解答】解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选B【点评】本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题y的线性回归方程为（）0.35x+0.25C．=﹣0.35x+0.15 D．=0.35x+0.25【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用平均数公式求得平均数，代入公式求回归系数，可得回归直线方程．【解答】解：==3，==1.2，∴b==0.35，a=1.2﹣0.35×3=0.15，∴线性回归方程为y=0.35x+0.15．故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程是求法，利用最小二乘法求回归系数时，计算要细心．4．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；直线与圆．【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．【解答】解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．7．一对夫妇有两个孩子，已知其中一个孩子是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率为（）A． B． C． D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，分别求出A、B的结果个数，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式求解即可【解答】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（女，女）}．于是可知P（A）=，P（AB）=．问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（B|A），由条件概率公式，得P（B|A）===故选D．【点评】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：P（B|A）=，等可能事件的概率的求解公式：P（M）=（其中n为试验的所有结果，m为基本事件的结果）8．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．9．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．15 B．29 C．31 D．63【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：A B 是否继续循环循环前 2 1/第一圈 3 3 是第二圈 4 7 是第三圈 5 15 是第四圈 6 31 否则输出的结果为31．故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．10．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A 满足．故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．11．a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，d=（cos80°﹣2cos250°+1），则a，b，c，d的大小关系为（）A．a＞b＞d＞c B．b＞a＞d＞c C．a＞c＞b＞d D．c＞a＞b＞d【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c，d分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后理由正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°c==cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，d=cos80°﹣cos100°=cos80°+cos80°=cos80°=sin10°∵sin10°＜sin11°＜sin12°＜sin13，∴d＜b＜c＜a．故选：C．【点评】本题主要考查了两角和公式，二倍角角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性．为了便于比较，应把每一项转化成同名函数，且在一个单调区间．12．已知函数y=f（x）的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，如果函数g（x）=f（x）[f（x）﹣3a2﹣1]（a＞0，且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1）C．[1，]D．[，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知函数g（x）=a x（a x﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，令a x=t，利用换元法及二次函数性质能求出a的取值范围．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=a x（a＞0，a≠1），∵函数g（x）=f（x）[f（x）﹣3a2﹣1]（a＞0，且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，∴函数g（x）=a x（a x﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数令a x=t，则g（x）=a x（a x﹣3a2﹣1）转化为y=t2﹣（3a2+1）t，其对称轴为t=＞0，当a＞1时，t≥1，要使函数y=t2﹣（3a2+1）t在[1，+∞）上是增函数则t=≤1，故不存在a使之成立；当0＜a＜1时，0＜t≤1，要使函数y=t2﹣（3a2+1）t在（0，1]上是减函数则t=≥1，故≤a＜1．综上所述，a的取值范围是[，1）．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法及二次函数性质的合理运用．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线平面ACD1所成角即为线面角，直角三角形中求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O；O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，；故答案为：【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现．14．已知||=1，||=，=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于3．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=，=0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得：=3．故答案为：3【点评】本题主要考查向量数量积的几何意义．对于向量数量积要明确其几何意义和运算法则．15．若＜α＜，0＜β＜且sin（α+）=，cos（+β）=，求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】首先，根据sin（α+）=，cos（+β）=，求解cos（α+），sin（+β），然后，结合诱导公式进行求值．【解答】解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵==，∴sin（α+β）=．【点评】本题重点考查了三角函数的求值、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．16．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一部分跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生单调达标率是0.88．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量，根据样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率．【解答】解：∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150，∵次数在110以上为达标，次数在110以上的有150（1﹣）=132，∴全体高一学生的达标率为=0.88．【点评】本题考查频率分步直方图的应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清图中所给的条件，知道小长方形的面积就是这组数据的频率．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0，若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】将圆V方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，连接CD，可得出CD垂直于AB，得出|AD|与|AC|的长，利用勾股定理求出|CD|的长，然后分两种情况考虑：（i）直线l斜率存在时，设斜率为k，表示出l方程，由C到l的距离为2，利用点到直线的距离公式求出k的值，确定出此时l的方程；（ii）当直线l的斜率不存在时，直线x=0满足题意，综上，得到所求的直线方程．【解答】解：将圆C方程化为标准方程得：（x+2）2+（y﹣6）2=16，∴圆心C坐标为（﹣2，6），半径r=4，如图所示，|AB|=4，取AB的中点D，连接CD，可得CD⊥AB，连接AC、BC，∴|AD|=|AB|=2，|AC|=4，在Rt△ACD中，由勾股定理得：|CD|=2，分两种情况考虑：（i）当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y﹣5=kx，即kx﹣y+5=0，由点C到直线AB的距离公式，得=2，解得：k=，当k=时，直线l的方程为3x﹣4y+20=0；（ii）直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0，综上，所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．18．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a2+c2=b2+6c，bsinA=4．（1）求边长a；（2）若△ABC的面积S=10，求cosC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由余弦定理可求得acosB=3，又bsinA=4，从而可求，结合同角三角函数关系式即可求得sinB，cosB的值，从而可求a的值．（2）由三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，即可求得cosC的值．【解答】解：（1）∵，∴acosB=3（2分）又bsinA=4，∴，∴，∴a=5（6分）（2），∴c=5（8分）b2=a2+c2﹣2accosB=20，∴（10分）∴（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于中档题．19．如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACD；（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，求四面体BDEF的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】对第（Ⅰ）问，由于BF⊥AD，要证BF⊥平面ACD，只需证BF⊥CD，故只需CD⊥平面ABD，由于CD⊥BD，只需CD⊥AB，由AB⊥平面BDC；对第（Ⅱ）问，四面体BDEF即三棱锥E﹣BDF，由CD⊥平面ABD及E为AC的中点知，三棱锥E﹣BDF的高等于，在Rt△ABD中，根据BF⊥AD，设法求出S△BDF，即得四面体BDEF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BC为圆O的直径，∴CD⊥BD，∵AB⊥圆0所在的平面BCD，且CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD，∵BF⊂平面ABD，∴CD⊥BF，又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，∴BF⊥平面ACD．（Ⅱ）∵AB=BC=2，∠CBD=45°，∴BD=CD=，∵BE⊥AC，∴E为AC的中点，又由（Ⅰ）知，CD⊥平面ABD，∴E到平面BDF的距离d==．在Rt△ABD中，有AD=，∵BF⊥AD，由射影定理得BD2=DF•AD，则DF=，从而，∴，∴四面体BDEF的体积==．【点评】1．本题考查了线面垂直的定义与性质与判定，关键是掌握线面垂直与线线垂直的相互转化：“线线垂直”可由定义来实现，“线面垂直”可由判定定理来实现．2．考查了三棱锥体积的计算，求解时，应寻找适当的底面与高，使面积和高便于求解，面积可根据三角形形状求解，高可转化为距离的计算．20．在以O为圆心，1为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：A、B、C、D、E、F．（1）点P是圆O上运动的任意一点，试求|PA|≥1的概率；（2）在A、B、C、D、E、F六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为S，试求S=和S=的概率．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】（1）设事件A1：|PA|≥1，求出满足条件的弧长，代入几何概型概率计算公式可得答案；（2）从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有种不同的选法．其中的为有一个角为30°的RT△，的为顶角为120°的等腰三角形，进而得到答案．【解答】解：（1）设事件A1：|PA|≥1，则动点则沿B→C→D→E→F运动均满足题意，则（6分）（2）从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有种不同的选法．其中的为有一个角为30°的RT△（如△ADF），不同的选法种数为6×2=12种．∴（10分）的为顶角为120°的等腰三角形（如△ABC），不同的选法种数为6种．∴（12分）【点评】本题考查的知识点是古典概型和几何概型，转化思想，找到满足条件的基本事件的几何特征是解答的关键．21．已知=（sinx，m+cosx），=（cosx，﹣m+cosx），且f（x）=（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）f（x）=×=（sinx，m+cosx）×（cosx，﹣m+cosx）=．（2）函数f（x）=，根据，求得，得到，从而得到函数f（x）的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）f（x）=×=（sinx，m+cosx）×（cosx，﹣m+cosx），即=，（2）=，由，∴，∴，∴，∴m=±2，∴f max（x）=1+﹣4=﹣，此时，．【点评】本题考查两个向量的数量积公式，三角函数性质及简单的三角变换，根据三角函数的值求角，化简函数f（x）的解析式，是解题的关键，属于中档题．22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明．（Ⅱ）解不等式：（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由f（x）在[﹣1，1]上为奇函数，结合a+b≠0时有成立，利用函数的单调性定义可证出f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（II）根据函数的单调性，化原不等式为﹣1≤x+＜≤1，解之即得原不等式的解集；（III）由（I）结论化简，可得f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，即m2﹣2am≥0对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，利用一次函数的性质并解关于m的二次不等式，即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）在[﹣1，1]上为增函数，证明如下：设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，在中令a=x1、b=﹣x2，可得，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又∵f（x）是奇函数，得f（﹣x2）=﹣f（x2），∴．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）故f（x）在[﹣1，1]上为增函数…（6分）．（II）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，∴不等式，即﹣1≤x+＜≤1解之得x∈[﹣，﹣1），即为原不等式的解集；（III）由（I），得f（x）在[﹣1，1]上为增函数，且最大值为f（1）=1，因此，若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，即1≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，得m2﹣2am≥0对所有的a∈[﹣1，1]恒成立∴m2﹣2m≥0且m2+2m≥0，解之得m≤﹣2或m≥2或m=0即满足条件的实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或m≥2或m=0}．【点评】本题给出抽象函数，研究函数的单调性并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识，属于中档题．。
2015-2016学年北京大学附中河南分校宇华教育集团九年级(下)月考历史试卷(3月份)-答案
【答案】1. A2. A3. B4. C5. B6. D7. D8. C9. D 10. C11. B 12. A 13. D 14. B 15. D16. A 17. B 18. A 19. C 20. D21. B 22. A 23. C 24. D 25. A26. （1）据所学知识可知，材料一中的图一“英国炮轰广东海面”对应的近代史上的侵华战争是鸦片战争；图二“黄海激战”对应的近代史上的侵华战争是甲午中日战争；图三“八国联军在大沽口登陆”对应的近代史上的侵华战争是八国联军侵华战争．在战争中涌现出来的英雄人物有在鸦片战争中的爱国将领关天培，在甲午中日战争中的爱国将领邓世昌．（2）1840-1842年，英国发动鸦片战争．中国战败，1842年中国被迫签订《南京条约》．鸦片战争之前，中国是一个独立自主的国家．鸦片战争后，中国从封建社会开始沦为半殖民地半封建社会．1894-1895年的甲午中日战争，中国战败，被迫与日本签订中日《马关条约》．《马关条约》的签订，使中国的半殖民地化程度大大加深．1900-1901年八国联军侵华战争中中国战败，1901年签订了《辛丑条约》．八国联军侵华战争和《辛丑条约》的签订，使中国完全沦为半殖民地半封建社会．在侵略者的炮口下，清政府被迫与列强签订一系列不平等条约，1840年--1842年英国对中国发动了侵略性的鸦片战争，并强迫清政府签订了《南京条约》，严重破坏了中国的领土主权、贸易主权和关税主权，使中国由一个独立主权的国家转变为半殖民地半封建社会的国家，是中国近代史的开端．《南京条约》是中国近代史上第一个不平等条约．1901年，清政府同帝国主义列强签订《辛丑条约》．条约的主要内容是：清政府赔偿白银4.5亿两．《南京条约》赔款银元2100万元；《马关条约》赔款2亿两白银，《辛丑条约》是赔款数目最多的条约．（3）材料二中，清朝晚期中国的落后，与清朝实行的闭关锁国政策有关；与西方新兴的资本主义国家相比，中国的落后主要体现在：社会生产力落后或技术发展水平低，封建政治体制腐朽，思想封闭、看不到世界形势的变化．（4）19世纪末期中国民族矛盾空前尖锐，面对列强的侵略，中国人民奋起反抗，地主阶级、农民阶级反抗外来侵略的事例有：林则徐虎门销烟、太平天国运动、左宗棠收复台湾、邓世昌黄海海战、义和团运动．（5）本题主要考查学生的分析归纳能力，属开放性试题，言之有理即可．通过对中国近代史的学习，我们从前辈身上学习和继承的优良品质和崇高精神有爱国主义精神、勇于牺牲的精神等．故答案为：（1）鸦片战争、甲午中日战争、八国联军侵华战争；关天培，邓世昌．（答出三场战争名称，答出两位英雄人物）（2）《南京条约》《马关条约》《辛丑条约》．《南京条约》《辛丑条约》．（3）闭关锁国政策；社会生产力落后或技术发展水平低，封建政治体制腐朽，思想封闭、看不到世界形势的变化．（从政治、经济、思想方面分析即可）（4）林则徐虎门销烟、太平天国运动、左宗棠收复台湾、邓世昌黄海海战、义和团运动．（任选3个即可）（5）爱国主义精神，勇于牺牲的精神（言之成理即可）27. （1）依据题干A、19世纪60-90年代，可知是洋务运动；B、1898年是戊戌变法；D、1915年是新文化运动．提倡民主，反对专制；提倡科学，反对迷信；提倡新文学，反对旧文学．（2）根据材料一，结合所学知识，C处1911年的辛亥革命，辛亥革命推翻了清朝的统治，结束了我国两千多年的封建帝制；建立了资产阶级共和国，颁布了《临时约法》，使民主共和的观念深入人心．（3）据材料二“近五十年来，中国人渐渐知道自己的不足了…．第一期先从机器上感觉不足…．第二期是从制度上感觉不足…．第三期便从文化根本上感觉不足”可知，近代化的探索主要是从经济、政治、思想三个方面向西方学习．洋务运动学西方经济技术，洋务运动诞生了中国第一批近代企业，客观上促进了中国民族资本主义的产生和发展；戊戌变法和辛亥革命学习西方的政治制度，但戊戌变法的成效不大，辛亥革命在政治上推翻了清朝的统治，结束了我国两千多年的封建帝制．结合所学知识，在近代前期中国近代化没有完全成功的原因是中华民族没有实现民族独立；中国民族资本主义发展的不充分；没有找到一个适合中国国情的近代化道路．（言之有理即可）故答案为：（1）名称：洋务运动、戊戌变法（或百日维新）．内容：提倡民主，反对专制；提倡科学，反对迷信；提倡新文学，反对旧文学．（答出一点即可）（2）辛亥革命推翻了清朝的统治，结束了我国两千多年的封建帝制；建立了资产阶级共和国，颁布了《临时约法》，使民主共和的观念深入人心．（3）特点：从学习西方的技术到学习西方的政治制度，再到学习西方的思想文化．中华民族没有实现民族独立；中国民族资本主义发展的不充分；没有找到一个适合中国国情的近代化道路．【解析】1.上图反映的是1842年《南京条约》的签订的情景．该条约的签订，中国被迫开放通商口岸，国门已经被迫打开．故选A．本题考查的是《南京条约》签订的相关内容．本题主要考查学生对历史知识的准确理解能力．学生还要识记：鸦片战争以后，中国开始从封建社会沦为半殖民地半封建社会；鸦片战争是中国近代史的开端．2.19世纪上半期英国完成了工业革命，成为资本主义工业强国，迫切要求开拓国外市场．借口虎门销烟于1840年-1842年发动入侵中国的鸦片战争，清政府战败．鸦片战争是中国近代史的开端，同时也在一定程度上为中国工业近代化进程提供了必要条件．故选A．材料中“还有必要将其放到近代历史的主要趋势之中去观察”是指鸦片战争发生的时代背景，即资本主义工业革命正在展开，所以从这个角度出发来理解：鸦片战争是西方工业文明的扩张的必然结果．本题考查学生对鸦片战争发生背景的理解能力．3.A、第一次鸦片战争后，1842年魏源在《四洲志》的基础上编写完成《海国图志》，提出了师夷长技以制夷的思想．时间不符．故A项错误．B、第二次鸦片战争后，清政府的主权和领土完整遭到了进一步的破坏，处于内忧外患的局面，为了维护封建统治，清政府认识到必须学习西方军事技术，于是开始了洋务运动．故B项正确．C、维新变法是甲午中日战争之后开始的救亡图存的探索，时间不符．故C项错误．D、宣传资产阶级革命思想是在八国联军侵华战争之后开始的救亡图存的探索，时间不符．故D项错误．故选B．本题考查洋务运动兴起的原因．本题掌握洋务运动兴起的原因．4.1851年，洪秀全在广西桂平金田村发动起义，建号太平天国，起义军为“太平军”．1853年，占领南京，改名为天京，定为都城，建立起与清朝对峙政权；为推翻清朝统治，进行北伐和西征，全盛时拥有中国半壁江山．故选C．本题考查了太平天国运动的兴起．本题主要考查学生对基础知识的识记能力，需要准确识记太平天国运动的兴起的相关史实．5.A．采取“先北后南，缓进急战”的策略，不是采用“先南后北，缓进急战”的策略．B．在收新疆的过程中，俄国割占了中国西部的一块领土并索取了大量赔款，符合史实．C．1878年，除伊犁外，新疆重新回到祖国怀抱，不是清政府收复了整个新疆．D．收复新疆后，清政府在新疆设立进行新疆行省有效管理，不是驻藏大臣．故选B．本题考查左宗棠收复新疆．本题考查学生识记和分析历史知识的能力，注意掌握左宗棠收复新疆的过程以及意义．6.1865年，阿古柏率兵侵入新疆．1871年，俄国出兵侵占新疆的伊犁地区．1878年，左宗棠率军收复除伊犁外的新疆地区．19世纪80年代初，中俄签约，中国收回伊犁．1884年，清政府在新疆设立行省，ABC与左宗棠无关．故选D．本题考查左宗棠的事迹．本题考查学生识记和分析历史知识的能力，注意掌握左宗棠的主要活动．7.从“出征、驱外虏于西域”可看出左宗棠的功绩是收复新疆．A是戚继光的功绩，B是郑成功的功绩，C是林则徐的功绩．故选D．本题考查左宗棠收复新疆知识点．左宗棠的事迹主要有收复新疆和领导洋务运动，再根据题干中“驱外虏与西域、民族功臣”判断出是收复新疆．8.根据所学可知，规定割让台湾及附属岛屿、澎湖列岛给日本的条约是《马关条约》．钓鱼岛是台湾的附属岛屿，根据《马关条约》被割占．故选C．本题考查《马关条约》的内容．本题掌握《马关条约》的内容及影响．9.A．新的通商口岸开放，使帝国主义侵略势力深入到中国内地．B．巨额的赔款，相当于清政府三年财政收入的总和，加剧了中国人民的负担．C．台湾等大片领土的割让，进一步破坏了中国主权的完整．D．允许日本在华投资设厂，其他列强援引“利益均沾”的条款，争先恐后在中国开设工厂，扩大资本输出，进一步掠夺中国的原料和廉价劳动力，加紧了了对中国的经济侵略．符合题意．故选D．本题考查的是学生对《马关条约》的理解和掌握．解答本题需理解和掌握《马关条约》．10.1894年7月，日军在朝鲜丰岛海面突然袭击北洋舰队，因1894年是旧历甲午年，因此称这次战争为甲午中日战争．故选C．本题考查甲午中日战争．知道甲午中日战争的影响．11.依据所学知识可知，1842签订的《南京条约》和1895年签订的《马关条约》，它们的共同点是割地、赔款、开放通商口岸，最主要的区别是《马关条约》允许日本在中国开设工厂，从此列强获得对华资本输出的特权．故选B．本题主要考查学生对中国近代条约内容的理解．注意《马关条约》与《南京条约》的比较．重点熟记两次条约的内容．12.《南京条约》使中国开始沦为半殖民地半封建社会；《马关条约》大大加深了中国半殖民地半封建化程度；《辛丑条约》使中国完全沦为半殖民地半封建社会．故选A．本题考查的是中国沦为半殖民地半封建社会的过程．熟记不平等条约的影响．13.①项，1840年英国舰队开到广东海面挑衅，鸦片战争爆发，后英军北上，攻陷浙江定海，又继续北上，直逼天津．道光帝派直隶总督琦善与英军谈判．1841年初，英军到达南京长江江面，清廷被迫求和．故错误．②、④项，1860年第二次鸦片战争期间，英法联军洗劫并且焚毁了北京西郊举世闻名的皇家园林圆明园，并占领北京，并签订了《北京条约》；1900年八国联军侵华战争爆发，俄、英、美、日、德、法、意、奥八个国家的侵略军，由英国海军中将西摩尔率领，向北京进犯，于1900年8月中旬攻入北京．故正确．③项，甲午中日战争是在黄海海面上进行的，并未攻入北京．故错误．综上所述，因为②④正确，①③错误．故选D．本题考查近代史上的四次侵华战争．掌握近代史上的四次侵华战争及鸦片战争、第二次鸦片战争、甲午战争、八国联军侵华战争．培养学生分析能力．14.据所学知，ABCD四项都是《辛丑条约》的内容，其中最能反映出清政府完全沦为帝国主义统治中国的工具的是B项清政府保证严禁人民参加反帝活动．这个规定表明清政府帮助洋人来镇压中国人民的反帝斗争，最能说明清政府完全沦为帝国主义统治中国的工具．故选B．本题考查了《辛丑条约》的内容．识记《辛丑条约》的内容及对中国社会的影响．15.题干里的“八大王”是解题的关键，八国联军侵华战争后，清政府被迫与八国签订了《辛丑条约》，《辛丑条约》使中国完全沦为半殖民地半封建社会．故选D．本题主要考查中国近代史上列强强迫清政府签订的不平等条约的相关知识的准确识记．本题掌握八国联军侵华战争及《辛丑条约》的相关知识．重点熟记基础知识．16.据所学知识，江南制造总局是洋务运动时期创办的军事工业，谭嗣同是维新运动时期著名的维新派人物，是当时维新派最重要的、影响最大．与戊戌变法有密切关系；《民报》是资产阶级革命政党中国同盟会的机关报，与辛亥革命有密切关系；《新青年》杂志的创办是新文化运动兴起的标志．综合分析这四次运动是中国近代化探索中的三个重要历程．故选A．本题考查近代化探索．本题掌握近代化探索相关知识．17.李鸿章是洋务运动的代表人物，甲午中日战争中，北洋舰队的全军覆没，标志着洋务运动的失败．因此李鸿章才有材料中的伤感．故选B．本题考查的是洋务运动的知识点．本题主要考查的是学生对洋务运动的有关知识的理解、记忆能力．18.洋务派为了实现“自强”的目的，积极筹建新式海陆军，清军逐步改用洋枪，采用西方军队的练兵方式．新式海军的建设主要依靠购买外国军舰．到80年代中期，洋务派筹建了北洋、南洋、福建三支近代化海军．故选A．本题考查的是洋务运动相关知识的内容．解答本题需掌握洋务派筹建北洋、南洋、福建三支海军的史实．19.A．慈禧的盲目自大与材料内容不相符合．B．袁世凯送礼忽视了中国国情是错误项．C．封建观念是近代化的强大阻力符合慈禧太后因循守旧顽固派的特点．D．中国开始接纳西方的物质文明与材料内容的主旨相反．故选C．本题主要考查封建观念对社会发展的阻碍．本题注重考查学生的分析能力，本题的关键点是分析题干，注意准确识记封建观念对社会发展的阻碍．20.1898年6月，光绪帝颁布“明定国是”诏书，宣布变法．主要内容：改革政府机构，裁撤冗官，任用维新人士；鼓励私人兴办工矿企业；开办新式学堂培养人才，翻译西方书籍，传播新思想；创办报刊，开放言论；训练新式军队等．这一年是农历戊戌年，因此被称为“戊戌变法”，因这次变法仅历时103天又称它为“百日维新”，戊戌变法失败了没有使中国走上资本主义发展道路．故选D．本题考查了戊戌变法的相关史实．本题主要考查学生对基础知识的识记能力，需要准确识记戊戌变法的相关史实．21.题干给出辛亥革命，设问考查这一历史事件的深远意义．辛亥革命推翻了两千多年的封建帝制，使民主共和观念深入人心．故选B．本题考查了辛亥革命的历史意义．解答本题需要准确识记辛亥革命的主要功绩．22.据所学知，辛亥革命只所被称为20世纪中国第一次历史性巨变，其主要原因是辛亥革命推翻了清政府，结束了中国两千多年的封建帝制．故选A．本题考查了辛亥革命的历史意义．不仅要识记辛亥革命的意义，还要记住其原因和经过．23.三民主义是孙中山领导辛亥革命的指导思想，其具体内容是民族、民权、民生．民族主义指推翻清王朝的统治，解除民族压迫；民权主义指推翻君主专制，建立民国政府；民生主义指改革土地制度．故选C．本题考查三民主义的内容：民族、民权、民生．注意识记三民主义的内容．24.“学了西方仍然失败”说明是在学习西方之后的反思，故应在地主阶级、资产阶级的探索不断遇到挫折之后的反思．鸦片战争后，掀起了向西方学习的热潮，洋务派、维新派、革命派先后失败，证明资本主义道路在中国行不通．中华民族开始反思，开始结合国情寻找一条适合自己的路．五四运动后，马克思主义在中国广泛传播，先进的中国人找到了一条适合自己的路．故选D．新文化运动为本题主要考查点．本题掌握新文化运动相关知识．25.根据课本所学，新文化运动的后期是宣传马克思主义，李大钊连续发表了《庶民的胜利》和《布尔什维主义的胜利》两篇文章，颂扬十月革命，指出它是“世界人类全体的新曙光”，并在北京创办了《每周评论》．李大钊第一个举起了社会主义的大旗，成为中国传播马克思主义先驱．故选A．本题考查新文化运动．重点识记新文化运动的内容与影响．26.（1）本题主要考查近代史上列强发动的三次侵华战争及在战争中涌现出来的英雄人物．（2）本题主要考查在侵略者的炮口下，清政府被迫与列强签订一系列不平等条约、中国近代史上签订的第一个不平等条约及赔款数额最大的条约．（3）本题主要考查清朝实行的闭关锁国政策．与西方新兴的资本主义国家相比，中国的落后主要体现的方面．（4）本题主要考查19世纪末期中国人民奋起反抗，地主阶级、农民阶级反抗外来侵略的事例．（5）本题主要考查我们从前辈身上学习和继承的优良品质和崇高精神．本题主要考查中国近代史上列强对中国的侵略和中国人民的抗争，主要考查学生的分析归纳和综合运用历史史实的能力．27.本题考查近代化探索．本题掌握近代化探索，重点熟记洋务运动、戊戌变法、辛亥革命、新文化运动等相关知识．。
2016年河南省北大附中分校宇华教育集团高一下学期期末数学试卷与解析答案
2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（）A．￢P：∃x∈R，x≤sinx B．￢P：∀x∈R，x≤sinxC．￢P：∃x∈R，x＜sinx D．￢P：∀x∈R，x＜sinx2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a7=18，则S9的值为（）A．64 B．72 C．54 D．843．（5分）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．4．（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数对（x，y）满足，则2x+y取最小值时的最优解是（）A．6 B．3 C．（2，2） D．（1，1）7．（5分）已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则+（）等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．169．（5分）对于函数f（x），在使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M 中的最小值称为函数f（x）的“上确界”．已知函数f（x）=+a（x∈[﹣2，2]）是奇函数，则f（x）的上确界为（）A．2 B．C．1 D．10．（5分）在数列{a n}中a n≠0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5（）A．是等差数列B．是等比数列C．三个数的倒数成等差数列D．三个数的平方成等差数列11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）已知t＞0，则函数的最小值为．14．（5分）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在第象限．15．（5分）设{a n}是正项等比数列，令S n=lga1+lga2+…+lga n，n∈N*，若存在互异的正整数m，n，使得S m=S n，则S m+n=．16．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：x+2≥0且x﹣10≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．20．（12分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=﹣23，求直线m的方程．22．（12分）设函数的极值点．（I）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，求函数f（x）的解析式；（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（）A．￢P：∃x∈R，x≤sinx B．￢P：∀x∈R，x≤sinxC．￢P：∃x∈R，x＜sinx D．￢P：∀x∈R，x＜sinx【解答】解：∵命题P：∀x∈R，x＞sinx为全称命题，∴命题P的否定形式为：∃x∈R，x≤sinx故选：A．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a7=18，则S9的值为（）A．64 B．72 C．54 D．84【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，a2+a6+a7=18，则3a1+12d=18，即a1+4d=6，即a5=6，所以S9==9a5=54，故选：C．3．（5分）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．【解答】解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选：A．4．（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选：A．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选：C．6．（5分）已知实数对（x，y）满足，则2x+y取最小值时的最优解是（）A．6 B．3 C．（2，2） D．（1，1）【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图象可知，当直线经过A（1，1）时，截距最小，z最小，则2x+y取最小值时的最优解是为（1，1）．故选：D．7．（5分）已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则+（）等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：因为G是CD的中点，所以（）=，从而+（）=+=．故选：A．8．（5分）已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：直线过定点，由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故选：B．9．（5分）对于函数f（x），在使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M 中的最小值称为函数f（x）的“上确界”．已知函数f（x）=+a（x∈[﹣2，2]）是奇函数，则f（x）的上确界为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵函数f（x）=+a（x∈[﹣2，2]）是奇函数∴f（0）=0∴a=﹣1f（x）=﹣1=∵x+≥2∴f（x）=﹣1=≤1∴f（x）的上确界为1故选：C．10．（5分）在数列{a n}中a n≠0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5（）A．是等差数列B．是等比数列C．三个数的倒数成等差数列D．三个数的平方成等差数列【解答】解：依题意，2a2=a1+a3①a32=a2•a4②③由①得a2=④，由③得a4=⑤将④⑤代入②化简得a32=a1•a5，故选：B．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，∴F1P2+F2P2=F1F22，又根据曲线的定义得：F1P﹣F2P=2a，平方得：F1P2+F2P2﹣2F1P×F2P=4a2从而得出F1F22﹣2F1P×F2P=4a2∴F1P×F2P=2（c2﹣a2）又当△PF1F2的面积等于a2即F1P×F2P=a22（c2﹣a2）=a2∴c=a，∴双曲线的离心率e==．故选：A．12．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D．二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）已知t＞0，则函数的最小值为﹣2．【解答】解：，当且仅当t=1时等号成立，故y min=﹣2．14．（5分）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在第二象限．【解答】解：在锐角三角形ABC中，有A＜90°，B＜90°，C＜90°，又因为A+B+C=180°所以有A+B＞90°，所以有A＞90°﹣B．又因为Y=cosx在0°＜x＜90°上单调减即cosx的值随x的增加而减少，所以有cosA＜cos（90°﹣B）=sinB，即cosA＜sinB，sinB﹣cosA＞0同理B＞90°﹣A，则cosB＜cos（90°﹣A）=sinA，所以cosB﹣sinA＜0故答案为：二．15．（5分）设{a n}是正项等比数列，令S n=lga1+lga2+…+lga n，n∈N*，若存在互异的正整数m，n，使得S m=S n，则S m+n=0．【解答】解：∵{a n}是正项等比数列，设公比为q，∴lga n﹣lga n=lgq+1∴数列{lga n}为等差数列，设公差为d则S m=mlga1+，S n=nlga1+∵S m=S n，∴S m﹣S n=mlga1+﹣nlga1﹣=（m﹣n）（lga1+）=0∵m≠n∴lga1+）=0=（m+n）lga1+=（m+n）（lga1+）=0∴S m+n故答案为0．16．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：x+2≥0且x﹣10≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：﹣2≤x≤10，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0；∴￢p：x＜﹣2，或x＞10；￢q：x＜1﹣m，或x＞1+m，m＞0；￢p是￢q的必要不充分条件，就是由￢q能得到￢p，而￢p得不到￢q；∴集合{x|x＜﹣2，或＞10}真包含集合{x|x＜1﹣m，或x＞1+m，m＞0}；∴1﹣m≤﹣2，且1+m≥10，且两等号不能同时取；∴解得：m≥9，即实数m的取值范围为[9，+∞）．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．【解答】解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π所以sinC=．（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4．由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得cosC=±．由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0，解得b=或b=2．所以b=或b=2，c=4．19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．20．（12分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1（10分）相减得：=2n+1﹣2﹣n•2n+1（12分）∴S n=（n﹣1）•2n+1+221．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=﹣23，求直线m的方程．【解答】解：（1）依题意，l方程+=1，即bx﹣ay﹣ab=0，由原点O到l的距离为，得=，又e==，∴b=1，a=．故所求双曲线方程为﹣y2=1．（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．①依题意，1﹣3k2≠0，由根与系数关系，知x1+x2=，x1x2=•=（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1﹣1）（kx 2﹣1） =（1+k 2）x 1x 2﹣k （x 1+x 2）+1=﹣+1=+1．又∵•=﹣23，∴+1=﹣23，k=±，当k=±时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y=x ﹣1或y=﹣x ﹣1．22．（12分）设函数的极值点．（I ）若函数f （x ）在x=2的切线平行于3x ﹣4y +4=0，求函数f （x ）的解析式； （II ）若f （x ）=0恰有两解，求实数c 的取值范围． 【解答】解：（I ）求导函数，可得∵x=1是函数f （x ）的极值点，函数f （x ）在x=2的切线平行于3x ﹣4y +4=0， ∴f′（1）=0，f′（2）= ∴∴b=﹣，c=∴函数f （x ）的解析式为；（II ）（x ＞0）①若c ＜0，则f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f （x ）=0恰有两解，则f （1）＜0，即∴②若0＜c ＜1，则f 极大（x ）=f （c ）=clnc +，f 极小（x ）=f （1）=∵b=﹣1﹣c ，∴f 极大（x ）=clnc ，f 极小（x ）=∴f （x ）=0不可能有两解 ③若c ≥1，则f 极小（x ）=clnc ，f 极大（x ）=，∴f （x ）=0只有一解综上可知，实数c 的取值范围为．赠送初中数学几何模型【模型三】 双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以斜边AB 为底边向外作等腰三角形PAB ，连接PC . （1）如图，当∠APB ＝90°时，若AC =5，PC ＝62，求BC 的长；（2） 当∠APB ＝90°时，若AB =APBC 的面积是36，求△ACB 的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
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2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣|﹣2| C．D．﹣2．所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．3．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣34．在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（）A．47 B．48 C．48.5 D．495．如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（）A．1 B．4 C．5 D．66．不等式组的最小整数解为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a28．如果一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根为x1、x2，则x12x2+x1x22的值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5二、填空题（每小题3分，工21分）9．计算：|﹣3|﹣=．10．将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点E落在AC 边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为．11．化简：=．12．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于．13．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1，﹣2，3，4．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是．14．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD其中正确结论的为（请将所有正确的序号都填上）．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣．17．从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解”雾霾天气的主要原因“，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如下尚请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m=，n=．扇形统计图中E组所占的百分比为%；（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？18．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，四边形ACFE是菱形；②当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．19．某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件；现在要获利12 000元，且销售成本不超过24 000元，问这种服装销售单价确定多少为宜？这时应进多少服装？20．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．21．某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团八年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣|﹣2| C．D．﹣【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣2的相反数是2，故答案选：A．2．所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是不轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．3．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，x﹣2=0，x+3=0，x1=2，x2=﹣3，故选D．4．在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则8人体育成绩的中位数是（）A．47 B．48 C．48.5 D．49【考点】中位数．【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此计算即可．【解答】解：这组数据的中位数为=48.5．故选C．5．如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（）A．1 B．4 C．5 D．6【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面，“1”与“6”是相对面．故选B．6．不等式组的最小整数解为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组的解集，再求其最小整数解即可．【解答】解：不等式组解集为﹣1＜x≤2，其中整数解为0，1，2．故最小整数解是0．故选B．7．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE的面积求解．【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：D．8．如果一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根为x1、x2，则x12x2+x1x22的值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5【考点】根与系数的关系．【分析】先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值，再把它们的数值都代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=﹣=2，x1x2===﹣3，∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣3×2=﹣6．故选A．二、填空题（每小题3分，工21分）9．计算：|﹣3|﹣=1．【考点】实数的运算．【分析】分别进行绝对值的运算及二次根式的化简，然后合并即可．【解答】解：原式=3﹣2=1．故答案为：1．10．将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点E落在AC 边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为15°．【考点】平行线的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=45°﹣∠2计算即可得解．【解答】解：∵∠A=60°，∠F=45°，∴∠1=90°﹣60°=30°，∠DEF=90°﹣45°=45°，∵ED∥BC，∴∠2=∠1=30°，∠CEF=∠DEF﹣∠2=45°﹣30°=15°．故答案为：15°．11．化简：=．【考点】分式的加减法．【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=+==．故答案为：．12．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于2．【考点】菱形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0，解得a=1，b=4，∵菱形的两条对角线的长为a和b，∴菱形的面积=×1×4=2．故答案为：2．13．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1，﹣2，3，4．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所求的概率即可．则P数字之积为负数==．故答案为：．14．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD其中正确结论的为①③④（请将所有正确的序号都填上）．【考点】菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．【解答】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF=BC，∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD，故④说法正确；∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG=AF，∴AG=AB，∵AD=AB，则AD=4AG，故③说法正确，故答案为：①③④．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5﹣3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，∴BE=；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x=x2+3，当x=﹣时，原式=2+3=5．17．从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解”雾霾天气的主要原因“，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如下尚（1）填空：m=40，n=100．扇形统计图中E组所占的百分比为15%；（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．【分析】（1）求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得；（2）利用总人数100万，乘以所对应的比例即可求解；（3）利用频率的计算公式即可求解．【解答】解：（1）总人数是：80÷20%=400（人），则m=400×10%=40（人），C组的频数n=400﹣80﹣40﹣120﹣60=100（人），E组所占的百分比是：×100%=15%；故答案为：40，100，15%；（2）100×=30（万人）；所以持D组“观点”的市民人数为30万人；（3）随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是=．答：随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是．18．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为6s时，四边形ACFE是菱形；②当t为 1.5s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角梯形．【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．【解答】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，∵在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）；②四边形AFCE为直角梯形时，（I）若CE⊥AG，则AE=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．（II）若AF⊥BC，∵△ABC为等边三角形，∴F为BC中点，即BF=3，∴此时的时间为3÷2=1.5（s）；故答案为：6；1.5．19．某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件；现在要获利12 000元，且销售成本不超过24 000元，问这种服装销售单价确定多少为宜？这时应进多少服装？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这种服装提价x元，首先用代数式表示出每件的盈利，以及可销售的件数，根据每件的盈利×销售的件数=获利12000元，即可列方程求解．【解答】解：设这种服装提价x元，由题意得：（60﹣50+x）=12000解这个方程得：x1=10，x2=20；当x1=10时，800﹣20×10=600，50×600=30 000＞24 000，舍去；∴x=20，800﹣20×20=400，60+20=80．答：这种服装销售单价确定为80元为宜，这时应进400件服装．20．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）由题意可得：当10x+150=20x，解得：x=15，则y=300，故B（15，300），当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150），当y=10x+150=600，解得：x=45，则y=600，故C（45，600）；（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更划算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通片合算；当x＞45时，金卡消费更划算．21．某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；（2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；（3）先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，根据题意得，，解得：，答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；（2）A品牌：y1=30x•0.8=24x；B品牌：①当0≤x≤5时，y2=32x，②当x＞5时，y2=5×32+32×（x﹣5）×0.7=22.4x+48，综上所述：y1=24x，y2=；（3）当y1=y2时，24x=22.4x+48，解得x=30，即购买30个计算器时，两种品牌都一样；当y1＞y2时，24x＞22.4x+48，解得x＞30，即购买超过30个计算器时，B品牌更合算；当y1＜y2时，24x＜22.4x+48，解得x＜30，即购买不足30个计算器时，A品牌更合算．22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO 的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．2016年4月11日。