人教课标版高中数学必修5知识总结：基本不等式复习三大注意事项
高三数学必修五基本不等式及其解法知识点(人教版)
高三数学必修五基本不等式及其解法知识点（人教版）
高三数学必修五基本不等式及其解法知识点（人
教版）
数学是一切科学的基础，以下是查字典数学网为大家整理的高三数学必修五基本不等式及其解法知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) a>bb
(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时，a>bac>bc
cbac
运算性质有：
(1) a>b, c>da+c>b+d。
(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。
(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
高中数学x基本不等式--三项注意
基本不等式----三大注意事项例题解答基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“(0,0)2a b ab a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面. 一个技巧：运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是222a b ab +≤，2a b ab +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2a b ab +≤等． 两个变形： (1) 2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+ (,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 222()22a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．例题.一、注意运用不等式链例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b ≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.二、注意结论成立的条件 对2221122a b a b ab a b++≤≤≤+来讲，一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式222()22a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可.例2 求函数()()y x x x=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x =++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x 当且仅当x x=36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值.错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x =++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以必须对x 的正负加以分类讨论.正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=x x x x y ， 当且仅当x x=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x x y .当且仅当-=-x x36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.例3 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭. 故 ()min 12x y += .错因分析：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992x y xy+≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三、注意要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值. 例5 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例6 已知x ，y 为正实数，且2212y x +=，求21x y +的最大值. 解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a b ab +≤.同时还应化简21y +中前面的系数为12，22211122222y y x y x x ++==+.下面将x ，2122y +分别看成两个因式：则2211222y x y x +=+2212222y x ++≤324=， 当且仅当2122y x =+且2212y x +=，即32x =，22y =时，等号成立. 所以21x y +的最大值为324. 评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.。
数学必修五第三章不等式知识点总结计划
数学必修五 第三章 不等式一、知识点总结：1、 比较实数大小的依照：①作差：a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 0 a b ；变形的方向是化成几个完整平方的形式或一些简单判断符号的因式积的形式，变形经常用因式分解、配方、通分、分子（或 分母）有理化等方法，注意完整平方、平方差、立方差、立方和公式的应用。
②作商：a 0,b 0时 ,a1a b ,a1a b , a1a b ； bbba a 1a b ,a1a ba 0,b 0时，1 a b ,bbb2、 不等式的性质性质详细名称 性质内容 注意1对称性a bb aab,bcac2传达性等号传可是来a b,b ca c 3 可加性 a ba cb c4可乘性a b, c 0 ac bc c 的符号ab, c0 acbc5 同向可加性 a b, cda cb d6 同向同正可乘性a b 0, c d 0acbd7 可乘方性 a ba nb n ( n N *)同正 8 可开方性 a b0 nanb( n N *, n2)同正 9倒数性质ab, ab 01 1 ab 0ab3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为 0 且二次项的系数大于 0；②计算相应的鉴别式；③当0 时，求出相应的一元二次方程的根；④依据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。
（大于 0 取两边，小于 0 取中间） .含参数的不等式如 ax 2 bx c0( a 0) 解题时需依据参数的取值范围挨次进行分类议论：①二次项系数的正负；②方程 ax 2 bx c 0( a0) 中与0的关系；③方程 ax 2bx c 0( a0) 两根的大小。
4、一元二次方程根的散布：一般借助二次函数的图象加以剖析，正确找到限制根的散布的等价条 件，经常用以下几个重点点去限制：（1）鉴别式；（ 2）对称轴；（ 3）根所在区间端点函数值的符号。
设 x 1 , x 2 是实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的两个实根，则 x 1 , x 2 的散布状况列表以下： （画出函数图象并在理解的基础上记忆）根的散布二次函数的图象 等价条件x 1 k x 2f ( k) 0x 1 x 2 k（ x 1, x 2 均小于 k 时 0 ）k x 1 x 2（ x 1, x 2 均大于 k 时 0 ）k 1 x 1 x 2 k 2（ x 1, x 2 (k 1, k 2 )时0 ）k 1 x 1 k 2 x 2 k 3f (k)b k2af (k)b k2af ( k 1 ) 0f ( k 2 ) 0bk 1k 22a 0f (k 1 ) 0f (k 2 ) 0 f (k 3 ) 0f (k 1) f (k 2 ) 0或x 1, x 2 (x 1 x 2 ) 中有且仅有f ( k 1 ) 0, k 1b k 1k2或一个在 (k 1, k 2 ) 内2a 2f (k 2 ) 0,k 1k 2 b k 222a5、一元高次不等式 f ( x) 0 常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤以下：①将 f ( x) 最高次项的系数化为正数；②将 f (x) 分解为若干一次因式或二次不行分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下挨次经过每一点画曲线（注意重根状况，偶重根穿而可是，奇重根既穿又过）；④依据曲线展现出的符号变化规律，写出不等式的解集。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
基本不等式的几点注意
基本不等式的“十”注意基本不等式是高中数学的重要内容之一，是培养学生逻辑推理能力的好手段.基本不等式作为函数的核心组成部分，在不等式的证明、求最值、求解参数问题等方面都有广泛的应用，主要以工具知识的出现.但要想灵活应用基本不等式解题，在学习中特别要注意以下几点.一、注意考纲要求利用均值定理求最值，考纲对均值定理要求是掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均的定理，并会简单的应用.高考中常与函数、三角、数列、解析几何、立体几何、应用问题等知识联系.二、注意基本不等式的结构特征均值不等式的主要两种形式：第一种形式：a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab＝ab ＋ab （当且仅当a ＝b 时“＝”号成立）；第二种形式：a ＞0，b ＞0时，a ＋b ≥2ab ＝ab ＋ab （当且仅当a ＝b 时“＝”号成立）.两端的结构、数字具有如下特征：(1)次数相等；(2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；(3)左和右积.这两个公式的结构完全一致，第二种形式可以将条件放宽为但a ≥0，b ≥0，因此在非负实数范围之内，两个公式均成立，当要解决的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式.三、注意从本质上认识基本不等式基本不等式在本质上体现两种转化：(1)在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口；(2)基本不等式的一端是两个正数的和，一端是两个正数的积，因此利用基本不等式可以达到两数和与积的不等转化.四、注意把握基本不等式的常见变式(1)ab≤a 2＋b 22，ab≤(a ＋b 2)2，对不等式ab≤a 2＋b 22，还有更一般的表达式：|ab|≤a 2＋b 22； (2)若a ，b 同号，则a b ＋b a2（当且仅当a ＝b 时，取等号）； (3)若x ＞0，则x ＋1x≥2（当且仅当x ＝1时，取等号）. 五、注意联系等比数列与等差数列由数列知识可知，a ＋b 2称为a ，b 的等差中项，ab 称为正数a ，b 的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”.六、注意利用基本不等式求函数的最值的条件利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数，但必须注意其使用三个条件：(1)项项为正：a ＞0，b ＞0；(2)和定或积定：a ＋b 为定值或ab 为定值；(3)项项相等：“a ＝b ”，三个条件缺一不可.少了“项项为正”，就失去了利用均值定理的前提条件；少了“a ＋b 为定值或ab 为定值”，求出的不是一个常数，而是一个变量；少了“项项相等”,求出的最值就失去了基础，成了“空中楼阁”.七、注意多次利用基本不等式求最值的条件求解最值问题时，有时需要同时或连续多次使用均值不等式，这时一定要注意几次使用条件必须一致，即每次取得“＝”号的条件一致，否则所求的最值是错误的.八、注意利用基本不等式求最值时常见凑配技巧在使用重要不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用重要不等式常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数、平方、引参、换元、裂项、折幂等.一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”.九、注意利用基本不等式证明不等式的条件利用均值定理a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)证明不等式时，没有利用其求最值的条件强，一般只需满足一个条件：“项项为正：a ＞0，b ＞0”.十、注意基本不等式的实际应用问题新课标教材与传统教材最大的区别是，新教材淡化了不等式的证明，加强了不等式与日常生活的联系，如实际生活中的方案选择型、材料切割型、造价最低、利润最大等问题.这类问题首先应认真阅读题目、理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用均值不等式加以解决．。
高一必修五不等式的知识点
高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。
高中数学中，不等式是一个重要的知识点，其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。
下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。
不等式中的不等号可以是小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）或大于等于号（≥）。
二、不等式的性质1. 加法性性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
2. 乘法性性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变；对于不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。
例如，若a > b（a > 0），则 a · c > b · c。
3. 反身性：任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。
例如，a = a。
4. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。
例如，若a > b，b > c，则 a > c。
5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
三、不等式的解法1. 图解法：通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形，来解读不等式的解集。
例如，对于不等式 x > 3，可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头，并在箭头右侧标记出无限大的数集。
2. 几何法：利用几何图形，如包含在坐标系上的点、线段、平面等，来求解不等式的解集。
例如，对于不等式 2x + y > 5，可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5，然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。
3. 符号法：通过变量和符号的运算来对不等式进行转化，从而求解不等式的解集。
例如，对于不等式 3x + 2 < 10，可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。
高中基本不等式知识点归纳总结
高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。
高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。
二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。
常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。
三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。
解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。
常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。
四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。
2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。
3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。
五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。
六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。
2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。
七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。
2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。
必修五--不等式的知识点归纳
知识点一：不等式关系与不等式一、不等式的主要性质：1.对称性：a>bob<a2.传递性：a>b,b>c=>a>c3.加法法则：a>b=>a+c>b+c; a>b,c>d=a+c>b+d4.乘法法则：a>b,c>O=>ac>he；a>h,c<0=>ac<hc；a>b>0,c>d>0=>ac>hd5.倒数法则：a>h,ab>0=>—<—6.乘方法则：a>b>0=>a n>b n（neN*⅛w>1）ab7.开方法则：a>b>bn爪>底（JIEN*且冷>1）二、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义：IX1是指数轴上点X到原点的距离；|玉-々1是指数轴上不，W两点间的距离2、如果。
>0,则不等式：∖x∖>a<=>X> <-a ∖x∖<a<=>-a<x<aIx∣≥α<=>x≥a^x≤-a∣x∣≤«<=>-a≤x<a3.当c>0时，I依+〃|>co双+/?>c或Or+bv-c,∖ax+b∖<c<^>-c<ax+b<c;当CVO时，ItU:+b∣>cox∈R,∖ax+h∖<cx≡φ.4、解含有绝对值不等式的主要方法：①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解;②去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：∣x∣<4（α>0）o-α<x<4,|/|>4（々>0）0]>。
或不<一。
.（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方.三、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，贝IJ/(x)>o°"χm>o∙/(χ)≥OOP(X)g(χR0②指数不等式：转化为代数不等式"'3>d3(α>∣)of(x)>g(x);〃⑶>αS3(0<"<1)=f(x)<g(x)/⑺>b(α>O力>0)=/(x)∙1g0>1g∕>③对数不等式：转化为代数不等式］og,j(χ)>iog,g(χ)(α>i)o.g(χ)>O;IOgaf(X)>1og“g(χ)(O<α<1)=,g(x)>O/(x)>g(x) /(x)<g(x)四、三角不等式: ∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣五、不等式证明的几种常用方法比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
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基本不等式复习三大注意事项
基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关
键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式
“0,0)
2
a b
a b
+
≥>>”沟通了两
个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如
222
a b ab
+≥逆用就是
22
2
a b
ab
+
≤
，
2
a b
+
≥(0,0)
a b
>>逆用就是2
()
2
a b
ab
+
≤
等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形
(1) 2
112
a b
a b
+
≤≤≤
+
(,)
a b R+
∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b
=时取等号）
(2) 22
2
()
22
a b a b
ab
++
≤≤(,)
a b R
∈（当且仅当a b
=时取等号)．
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
三个注意
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．下面举例析之.
一、注意运用不等式链
从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.
例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求
11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2
112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b
≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12
a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.
二、注意结论成立的条件
对2
112a b a b +≤≤≤+,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式222()22
a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可. 例2 求函数()()y x x x
=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x
=++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x 当且仅当x x
=36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值.
错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x =
++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以必须对x 的正负加以分类讨论.
正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥+
+=x x x x y ， 当且仅当x x
=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->-
>x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x x y .当且仅当-=-x x
36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.
评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.
例3 已知0,0x y >>，且191x y
+=，求x y +的最小值.
错解：0,0x y >>，且1
9
1x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭
. 故 ()min 12x y += .
错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥x y =，
在19x y +≥19x y =即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .
评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.
三、要掌握三种拼凑方法
由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.
例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.
解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即
可.211282(82)[2(82)]()8222
x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8. 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.
例5 已知54
x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.
解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)
45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404
x x <∴->， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 例6 、已知x ，y 为正实数，且
22
12y x +=，求的最大值. 解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式2
22
a b ab +≤.同时还应化简中
前面的系数为1
2
，==
.下面将x
，
=2212222
y x ++≤
=， 当且仅当x =2
212y x +=
，即2x =
，2y =时，等号成立.
所以4
. 评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题. 链接练习
1、 已知01x <<，求函数411y x x
=+-的最小值. 解：因为01x <<，所以10x ->.
所以[]41414(1)(1)59111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥ ⎪---⎝⎭
. 当且仅当4(1)1x x x x -=-时，即23
x =，上式取“=”，故min 9y =. 2、已知0,0a b >>
，328a
b +=.
解：利用不等关系2a b +≤4≤=，
=且328a b +=，即43
a =，2
b =时，等号成立. 综上可见，许多貌似繁难的不等式问题，运用基本不等式链，恰当拼凑，可创造性地使用基本不等式，轻松获解.这样既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.。