常微分方程期末考试练习题及答案.

x 转化为齐次方程。
2. 当 a1 b1 时，
a2 b2
dy f ( (a2 x b2 y) c1 ) g( a2x b2 y)
dx
a2 x b2 y c2
a2x b2 y u, 则
du
dy
a2 b2
a2 c2
从而可转化为变量分离方程。
3. 当 a1 b1 且 c1, c2 不全为零时，
N 12xy,
12xy
y
y
因此为恰当微分方程 .
a. 朴素化简法 .
u
令x
3x 2
6 xy2
（2.15 ）
u 6x2 y 4y3 y
（2.16 ）
对（ 2.15 ）关于 x 积分，得 u x3 3x2 y 2 ( y) （ 2.17 ）
对（ 2.17 ）两边关于 y 求导，并对照（ 2.16 ），得：
一，常微分方程的基本概念
常微分方程： 含一个自变量 x，未知数 y 及若干阶导数的方程式。一般形式
为： F（ x， y，y，..... y(n) ）=0 (n ≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。 如： f(x) （3）+3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。 2. 若 f （x）使常微分方程两端恒等，则 f （x）称为常微分方程的解。 3. 含有独立的任意个常数 （个数等于方程的阶数） 的方程的解称为常 微分方程的通解。 如常系数三阶微分方程 F（t ，x（3））=0 的通解的形 式为： x（t ） =c1x（ t ） +c2x（t ）+c3x（ t ）。 4. 满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在） 。 5. 常微分方程之线性及非线性：对于 F（x， y，y，...... y(n) ）=0 而言， 如果方程之左端是 y，y， ...... y(n) 的一次有理式，则次方程为 n 阶线性 微分方程。（方程线性与否与自变量无关） 。如：xy （2） -5y ， +3xy=sinx 为 2 阶线性微分方程； y（ 2）+siny=0 为非线性微分方程。
3
1，
3
xX1
令｛
3 代入原方程有： dY
1 yY
dX
3
2X Y X 2Y
令 Y u ，则 Y uX ，于是： dY
X
dX
从而有：
du X
u
2 u，
dX
1 2u
整理得：
1 u2
2u du
u1
2 dX ，
X
du X u ，
dX
两边积分之，得：
d(u2 u 1) u2 u 1
2 dX ，
X
即： ln(u2 u 1) 2 ln X ln c1 （c1>0）
u
6x2y
d (y)
6x2 y 4 y3 ，于是
d ( y)
3
4y
y
dy
dy
积分之，得： ( y) y 4 ，将 ( y) y 4 代入（ 2.17 ），得： u x3 3x2 y2 y4 ，从而通解为： x3 3x2 y2 y4 c
b. 分项组合法 .
将上面方程重新组合得： (3x2dx 4 y3dy) (6 xy2dx 6x 2ydy) 0 ，即：
即 ：u2
u1
c1 X2
，
变 量 回 代 ， 并 整 理 得 ： x2 y2 x y xy c
（
c
1- 1 =c）
3
例 6. 求解方程 dy x y 5 .
dx x y 2
解：令 u x y ，则 y=x u ，从而： dy 1 du ，
dx
dx
代入原方程，得： 1 du u 5 ，
dx u 2
整理得： 7 du ，
从而： c( x)
1 e x (sin x 2
数 ），从而通解为： y
cos x) （这里没加常 1 (sin x cos x) .
2
D. 伯努利方程及其解法
1. 形式：形如 dy p( x) y Q( x) yn （ n 0,1 ）的方程称为伯努利方 程 .
dx
2. 解法：在方程两边同时成乘以 y n , 做代换 z y1 n ，则伯努利方程转
du 1
dx dx
于是，原方程可化为： du 1 u 2
dx
分离变量得：
du u2 1
dx
积分之，得： arctanu=x+c
变量回代，既得 方程之通解：
arctan
（ x+y） =x+c
例 4 求解方程 x(ln x ln y)dy ydx 0 .
解：由题意可得：
ln
x dy
y dx
0，
y
x
x ln
注：a. 这里主要介绍几个主要的， 常用的常微分方程的基本 概念。 余者如常微分方程之显隐式解， 初值条件， 初值问题等概念这里予以 略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材 23 页的雅可比矩阵。 b. 教材 28 页第八题不妨做做。
二. 可分离变量的方程 A. 变量分离方程
1. 定义： 形如 dy =f （ x) φ(y) 的方程，称为分离变量方程。这里 f
0
f ( )dt 2
ln 2 ，则 f （x）是？
解：对给定的积分方程两边关于 x 求导，得：
f ' ( x) 2 f ( x) （变上限求积分求导）
分离变量，解之得： f ( x) Ce2 x
由原方程知： f （0）=ln2 ， 代入上解析式得：
C=ln2
，
B. 可化为分离变量方程的类型。
解决数学题目有一个显而易见的思想： 即把遇到的新问题， 结合已知
即： dx y
dy y x
（2.5 ）
令x
u ，则 x uy ，于是： dx
du y
u，
y
dy dy
代入（ 2.5 ）得： du y u
dy
ln u
u
1
，
分离变量，并整理得： du
dy
u(ln u 1) y
两边积分得：
du
u(ln u 1)
dy ，令 u= et
y
则有：
1 dt
t1
dy ， 从 而 有 ： ln t 1 ln y ln c
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
y
M (x, y) dx
,( y)
y
由上式解得 , ( y) ，在积分之既得 ( y) .
z= y1 3
y 2，
则方程可化为： dz 2xz 2 x3 ，这是一阶线性方程，
dx
应用公式得： z
2xdx
e(
2 x3e
2 xdx
dx
c)
=
c(ex2 x2 1)
这样，方程之通解为：
1 y2
cex 2
x2 1，
另外，方程有解： y=0.
E. 恰当微分方程与积分因子
1. 形式： 对于一阶方程 M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
化为新的未知函数 z 的线性方程 dz (1 n) p(x)z (1 n)Q( x) ，从而可用
dx
C中方法解决之 .
注意： n>0 时，方程还有解 y=0.
dy
例 8. 求方程 dx
y 6
x
xy 2 的通解 .
解：方程两边同乘
y
2 ，得：
y
2
dy dx
6y y 2 x
x
，
即： y 2 dy
1 6
x
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
dx xy
（2.12 ）
令 z y 1 ， 则 dz y 2 dy ，将之代入（ 2.12 ）
dx
dx
得： dz
dx
6z x .
x
（2.13 ）
dz z
dx 6
x
z
c1 , 记（ 2.13 ）之通解为： z
x6
c1 (x) x6
，
于是： dz dc1( x) x 6 6c1 (x) x 7 ，将以上两式代入（ 2.13 ）
2. 解法：利用常数变易法求解。
其解为：
y
p ( x )dx
e
( Q( x)e
p ( x) dx
dx
c) . 下面用具体
的题目体现这一思想 .
注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注
标准式（ dy 的系数为 1），否则易出错 .
dx
例 7 求方程 dy y sin x 的通解 .
dx
解：首先求线性齐次方程 dy y 的通解，
2 u dx
分离变量得： (2 u) du 7dx ，
两边积分之：
2u
1 u2 2
7x
1
2 c，
变量回代，并整理得： x2 y2 10 x 4 y 2 xy c
（c 是任意常数）
C. 线性微分方程和常数变易法 1. 形式：形如 dy p( x) y Q(x) 的一阶方程称为一阶线性方