线性代数自学课件 第3章 行列式
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A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第三章2-3节课件
3 2 5 1 6 1 r 3 2 6 0 4 1 ~ B A0 0 2 0 5 0 0 4 1 6 1 0 0 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
3
6 11 3 2 6 6 0 11 2 16 0 2 5 2 0 5 2 0 5
证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ．
例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ．
§2 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
k k 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm 个． Cn
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) < n ;
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．
若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ．
a11 A a21 a 31
a12 a13 a22 a23 a32 a33
a14 a24 a34
a11 a12 T A a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式的定义ppt课件
能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为
a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以
D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1
26
排列的对换
❖对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得
1
b1
a2a21
a11 b1
x1= —ba—211 —2aa21— x2= —a1a—211 —ab12—
a2
2 2
a2 2
1 a2
1 a2
2
2
4
我们用 a11 a1 a2 2
表示代数和a11a22-a12a21 并称它为二阶行
列式
1 a2
2
行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
=
7
0
D1
=
12 1
-
2 1
=12-(-2)
=14
D2
=
3 2
12 1
=
3-
24
=
-21
因此
x1
=
D1 D
=
14 7
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5 1 0 2 7 1 3 3 8 1 ， 6 4
计算 A41 A42 A43 A44 .
利用展开定理得到计算行列式的基本方法Ⅰ “降阶法”，即 利用行列式展开定理, 可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式 的计算。
a11 a12 a1n a22 a2 n ann
例3.4
A11 A A Aij T 12 A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A, aik Ajk k 1 0,
n
ji ji
A, aki Akj k 1 0,
（3.1）
（上式又称按第一行展开）
由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算
a 11 a 21 a 12 a 22
a 11 A11 a 12 A12 a 11 a 22 a 12 a 21
a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
a23 a21 a13 a33 a31 a22 a32
例如
0 0 0 0
0 0 0 0
性质3.2
若行列式 A 的某一行（列）的所有元素均为两个数
之和，则该行列式等于相应的两个行列式的和。 例如
103 100 204 199 200 395 301 300 600
100 3 100 204 200 1 200 395 300 1 300 600
1
4
3 1 4 1 2 5 1 3 0 3 1 4 1 2 5 1 3 0 3 1 4 1 2 5 1 3 0
D 1 2 5 1 3 0
5 1 (-1 - 5 0 ) 4 -1 2 1 3
按第1行展开
3 0 1 3 15 5 20 20
按第3行展开
二阶行列式 记作
a11 a 21
a12 a 22
a11 a12 又称为二阶方阵 A 的行列式 a21 a22
a11 a12 A a21 a22
a11a22 a12 a21
类似地，如果定义三阶行列式
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
3
2
1 4 3 4 1 3 () 2 -5 -1 - 5 -13 3 11 20 -1 2 3 1 4 (-5) () 1 3 1 3 -20 (-5) (-8) 20
按第3列展开
再验证一下错列或错行展开是否为零?
3
1
4
a11 A21 a12 A22 a13 A23
按第1行展开
a11 a 22 a nn
an 4 ann ( n 2)
特别地，
d1 d2 dn
d 1d 2 d n d i
i 1 n
3.2 行列式的性质
对于方阵 A ( a ij ) n n ，设Aij表示元素aij的代数余子式，称矩阵
为 A 的伴随矩阵。
b2 a23 a21 b3 a33 a31 , x3 a12 a13 a11 a22 a23 a21 a32 a33 a31
a22 b2 a32 b3 a12 a13 a22 a23 a32 a33
问题 设n×n的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 如何定义 n 阶行列式
a11 a A 21 ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
a11 a21 A ... a n1
a21 a31 a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
A B
i
r j kri
，则
B A;
kr ( k 0 ) A - B ，则 B k A .
如果行列式 A 中有两行（列）的元素相同，则该行
列式的值为零。 例如 a a a b c 相应于方阵的三种初等行（列）变换，行列式也有相应的 b b 0 0 三种行（列）变换。一次变换后，其值会发生怎样的变化呢？ c c a b c
当系数矩阵的行列式
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 0 a33
时，通过计算可知其解可整齐地表示为
b1
a12
a13
a11
b1
a13
a11
a12
b1
b2 a22 a23 a21 b3 a32 a33 a31 x1 , x2 a11 a12 a13 a11 a21 a22 a23 a21 a31 a32 a33 a31
3.1 行列式的定义
引例3.1 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 . a21 x1 a22 x2 b2
解 第一个方程乘以a22，第二个方程乘以a12，然后两方程 相减得
a
类似可得
11
a22 a12 a21 x1 b1a22 a12 b2 .
a11 a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31
含有三个未知量的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
b1 b2 bn a1n
a22 a2 n an 2 ann
a22 a2 n an 2 ann
（这里假设分母不为零）
a11 a A 21 ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
D 1 2 5 1 3 0
1 4 3 4 3 1 3 ( ) 1 4 ( ) 3 12 4 32 0 3 0 1 0 1 3
a12 A13 a22 A23 a32 A33
3 1 1 2 3 1 5 16 21 0 1 2 ( ) 3 1 2 1 3 1 3
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
使得方程组的解可整齐地表示为
b1 a12 b2 a22 bn an 2 x1 a11 a12 a21 an1
a1n a11 a12 a2 n a21 a22 ann an1 an 2 , , xn a1n a11 a12 a21 an1
例如
a22 a32 M 11 an 2
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann
n 1
M 12
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann
n 1
A11 ( 1)11 M 11
A12 ( 1)1 2 M 12
n 阶行列式
a11 a21 A ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
在 A 中划掉 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位置 不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元素的余子式，记为 Mij ,称Aij = (-1)i+j Mij为 (i,j) 元素的代数余子式。
性质3.4
如果行列式 A 中的某行元素（列）有公因子，则该
a11 a21 a n1
a22 an 2 ann
a33 an 3 ann
解 根据行列式的定义
An
a11 a21 an1
a22 an 2 ann
a33 a43 a11a22 an 3 a44
a22 按第1行展开 a32 a11 an 2
( n 1)
例3.3
设D
1 2 1 2 2 4
5 3
4 2 2 1
2 2 2 2
，求D的第3列元素的代数余子 式之和。
解
根据行列式的展开定理可得
a12 A13 a22 A23 a32 A33 a42 A43 0，
从而， 即，
1 1 练习 已知 D 2 1
2( A13 A23 A33 A43 ) 0， A13 A23 A33 A43 0.
a11 a21 an1 a12 a22 ... a1n ... a2 n
A
的值定义如下： 当n=1时， A =a11;
an 2 ... ann
当n≥2时，假设对n-1阶行列式已有定义，则
A
1 j a (-1) M1j 1j
n
a
j 1
j 1 n
1j
A1 j a 11 A11 a 12 A12 a 1 n A1 n
100 100 204 3 100 204 200 200 395 1 200 395 1 300 600 300 300 600
性质3.3
设A是一个方阵，
r r (i j )
i j (1) 设 A B ，则 B A ;
(2) 设 (3) 设 推论3.1
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21 ,
计算 A41 A42 A43 A44 .
利用展开定理得到计算行列式的基本方法Ⅰ “降阶法”，即 利用行列式展开定理, 可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式 的计算。
a11 a12 a1n a22 a2 n ann
例3.4
A11 A A Aij T 12 A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A, aik Ajk k 1 0,
n
ji ji
A, aki Akj k 1 0,
（3.1）
（上式又称按第一行展开）
由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算
a 11 a 21 a 12 a 22
a 11 A11 a 12 A12 a 11 a 22 a 12 a 21
a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
a23 a21 a13 a33 a31 a22 a32
例如
0 0 0 0
0 0 0 0
性质3.2
若行列式 A 的某一行（列）的所有元素均为两个数
之和，则该行列式等于相应的两个行列式的和。 例如
103 100 204 199 200 395 301 300 600
100 3 100 204 200 1 200 395 300 1 300 600
1
4
3 1 4 1 2 5 1 3 0 3 1 4 1 2 5 1 3 0 3 1 4 1 2 5 1 3 0
D 1 2 5 1 3 0
5 1 (-1 - 5 0 ) 4 -1 2 1 3
按第1行展开
3 0 1 3 15 5 20 20
按第3行展开
二阶行列式 记作
a11 a 21
a12 a 22
a11 a12 又称为二阶方阵 A 的行列式 a21 a22
a11 a12 A a21 a22
a11a22 a12 a21
类似地，如果定义三阶行列式
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
3
2
1 4 3 4 1 3 () 2 -5 -1 - 5 -13 3 11 20 -1 2 3 1 4 (-5) () 1 3 1 3 -20 (-5) (-8) 20
按第3列展开
再验证一下错列或错行展开是否为零?
3
1
4
a11 A21 a12 A22 a13 A23
按第1行展开
a11 a 22 a nn
an 4 ann ( n 2)
特别地，
d1 d2 dn
d 1d 2 d n d i
i 1 n
3.2 行列式的性质
对于方阵 A ( a ij ) n n ，设Aij表示元素aij的代数余子式，称矩阵
为 A 的伴随矩阵。
b2 a23 a21 b3 a33 a31 , x3 a12 a13 a11 a22 a23 a21 a32 a33 a31
a22 b2 a32 b3 a12 a13 a22 a23 a32 a33
问题 设n×n的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 如何定义 n 阶行列式
a11 a A 21 ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
a11 a21 A ... a n1
a21 a31 a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
A B
i
r j kri
，则
B A;
kr ( k 0 ) A - B ，则 B k A .
如果行列式 A 中有两行（列）的元素相同，则该行
列式的值为零。 例如 a a a b c 相应于方阵的三种初等行（列）变换，行列式也有相应的 b b 0 0 三种行（列）变换。一次变换后，其值会发生怎样的变化呢？ c c a b c
当系数矩阵的行列式
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 0 a33
时，通过计算可知其解可整齐地表示为
b1
a12
a13
a11
b1
a13
a11
a12
b1
b2 a22 a23 a21 b3 a32 a33 a31 x1 , x2 a11 a12 a13 a11 a21 a22 a23 a21 a31 a32 a33 a31
3.1 行列式的定义
引例3.1 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 . a21 x1 a22 x2 b2
解 第一个方程乘以a22，第二个方程乘以a12，然后两方程 相减得
a
类似可得
11
a22 a12 a21 x1 b1a22 a12 b2 .
a11 a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31
含有三个未知量的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
b1 b2 bn a1n
a22 a2 n an 2 ann
a22 a2 n an 2 ann
（这里假设分母不为零）
a11 a A 21 ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
D 1 2 5 1 3 0
1 4 3 4 3 1 3 ( ) 1 4 ( ) 3 12 4 32 0 3 0 1 0 1 3
a12 A13 a22 A23 a32 A33
3 1 1 2 3 1 5 16 21 0 1 2 ( ) 3 1 2 1 3 1 3
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
使得方程组的解可整齐地表示为
b1 a12 b2 a22 bn an 2 x1 a11 a12 a21 an1
a1n a11 a12 a2 n a21 a22 ann an1 an 2 , , xn a1n a11 a12 a21 an1
例如
a22 a32 M 11 an 2
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann
n 1
M 12
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann
n 1
A11 ( 1)11 M 11
A12 ( 1)1 2 M 12
n 阶行列式
a11 a21 A ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
在 A 中划掉 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位置 不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元素的余子式，记为 Mij ,称Aij = (-1)i+j Mij为 (i,j) 元素的代数余子式。
性质3.4
如果行列式 A 中的某行元素（列）有公因子，则该
a11 a21 a n1
a22 an 2 ann
a33 an 3 ann
解 根据行列式的定义
An
a11 a21 an1
a22 an 2 ann
a33 a43 a11a22 an 3 a44
a22 按第1行展开 a32 a11 an 2
( n 1)
例3.3
设D
1 2 1 2 2 4
5 3
4 2 2 1
2 2 2 2
，求D的第3列元素的代数余子 式之和。
解
根据行列式的展开定理可得
a12 A13 a22 A23 a32 A33 a42 A43 0，
从而， 即，
1 1 练习 已知 D 2 1
2( A13 A23 A33 A43 ) 0， A13 A23 A33 A43 0.
a11 a21 an1 a12 a22 ... a1n ... a2 n
A
的值定义如下： 当n=1时， A =a11;
an 2 ... ann
当n≥2时，假设对n-1阶行列式已有定义，则
A
1 j a (-1) M1j 1j
n
a
j 1
j 1 n
1j
A1 j a 11 A11 a 12 A12 a 1 n A1 n
100 100 204 3 100 204 200 200 395 1 200 395 1 300 600 300 300 600
性质3.3
设A是一个方阵，
r r (i j )
i j (1) 设 A B ，则 B A ;
(2) 设 (3) 设 推论3.1
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21 ,