函数的对称性PPT课件
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函数图象的对称性
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
(1)若x a和x b是函数f ( x)的对称轴，则函数的周 期为T ?
f (2a x) f ( x)
f (2b x) f ( x) T 2(b a)
f (2a x) f (2b x)
(2)若(a,0)和(b,0)是函数f ( x)的对称中心，则函数的 周期为T ?
2 、函数图像关于点 (a, 0) 对称的定义：
奇函数f (0 x) f (0 x) 图像关于点 0,0)对称 (
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到(a,0)距离相等的点的函数值 互为相反数 sin( x) sin( x)
函
数
——函数图像的对称性
1、函数图像关于直线 x=a 对称的定义：
特例：偶函数 (0 x) f (0 x) 图像关于直线 0对称 f x
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到直线x a距离相等的点的函数值 相等 cos( x) cos( x)
“双对称函数一定是周期函数”
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
T (3) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称轴为 x a, 则x) f ( x)
f (2a x) f ( x)
2a T T x a 2 2
f (2a x) f (T x)
T (4) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称中心 (a,0), 则(a ,0)是对称中心 2
《天府高考》 24 P (3) y f ( x 2)是偶函数, y f ( x)关于x 1对称
函数的周期性和对称性PPT课件
13
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
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2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
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性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
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函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的对称性(课堂PPT)
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
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正、余弦函数的对称性、最值PPT课件
8
2020/1/14
9
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2（二）
跟踪训练 1 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最 大值和最小值时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5. ∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋π2，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，
其值从1减小到－1。
2020/1/14
3
(一)探究：①正弦函数的最大值和最小值
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x
2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值y 1
2
2020/1/14
y
1
3 5
2
P'
2 3
2
2
O
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
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正弦、余弦函数的性质 对称性和最值
2020/1/14
函数及其应用函数的奇偶性对称性与周期性课件理ppt
利用函数的对称性和周期性解决实际问题，如物理学中的振动问题、对称问题等。
利用函数的对称性和周期性解决数学问题，如代数、几何等领域的问题。
函数对称性和周期性的应用举例
知识点回顾与总结
05
函数的概念及定义
函数的表示方法
函数的奇偶性、对称性与周期性
本章重点回顾
对于函数的奇偶性、对称性和周期性的判断和应用，有些学生可能感到困难。这是因为这些性质比较抽象，需要较强的数学素养和推理能力。
奇函数
对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就是偶函数。
偶函数
奇函数与偶函数
对称性
若对于任意的x1，x2∈D，都有f(x1)=f(x2)，则称f(x)在D上具有对称性。
反对称性
若对于任意的x1，x2∈D，当且仅当x1=x2时，才有f(x1)=f(x2)，则称f(x)在D上具有反对称性。
练习题
题目1答案偶函数奇函数偶函数题目2答案$x<0$时，$f(x)$是减函数，所以$f(x)<0$当$x<0$时，$f(x)$是增函数，所以$f(x)<0$题目3答案$f(4.5)+f(5.5)+f(6.5)+f(7.5)=sin4.5+sin5.5+sin6.5+sin7.5=0$$f(4.5)+f(5.5)+f(6.5)+f(7.5)=cos4.5+cos5.5+cos6.5+cos7.5=2$
对称性与反对称性
周期性
若存在常数T，使得对于任意的x∈D，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)在D上具有周期性，T为f(x)的周期。
非周期性
函数的对称性课件高三数学一轮复习
(2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点
+
，
2
2
成中心对称．
(2)双曲线型函数f
+
(x)＝
的图象的对称中心为
+
− ，
.
第4课时 函数的对称性
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(
C．原点对称
)
D．直线y＝x对称
[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y
＝
1
的图象之间的关系是(
3
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B [因为y＝
)
B．关于y轴对称
D．关于直线y ＝x对称
5
，
2
−
1
2
对称，
5
1
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝ ×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－ ×2＝－1，
2
2
+
所以
＝5× ＋(－1)× ＝2n.故选C.]
2
2
=1
第4课时 函数的对称性
链接教材
典例精研
夯基固本
核心考点
课时分层作业
名师点评 中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f
+
，
2
2
成中心对称．
(2)双曲线型函数f
+
(x)＝
的图象的对称中心为
+
− ，
.
第4课时 函数的对称性
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(
C．原点对称
)
D．直线y＝x对称
[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y
＝
1
的图象之间的关系是(
3
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B [因为y＝
)
B．关于y轴对称
D．关于直线y ＝x对称
5
，
2
−
1
2
对称，
5
1
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝ ×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－ ×2＝－1，
2
2
+
所以
＝5× ＋(－1)× ＝2n.故选C.]
2
2
=1
第4课时 函数的对称性
链接教材
典例精研
夯基固本
核心考点
课时分层作业
名师点评 中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f
函数的对称性与函数的图象变换课件
轴对称
点对称
如果函数$f(x)$满足$f(k-x) = f(k+x)$ ，则称函数$f(x)$具有点对称性。
如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$， 则称函数$f(x)$具有轴对称性。
函数对称性的分类
01
02
03
偶函数
如果对于定义域内的任意 $x$，都有$f(-x) = f(x)$ ，则称函数$f(x)$为偶函 数。
THANKS
感谢观看
详细描述
在平面坐标系中，顺时针旋转函数图像意味 着将每个点按照顺时针方向移动一定的角度 。具体来说，如果一个点在坐标系中的坐标 为(x, y)，经过顺时针旋转θ角度后，其新的 坐标变为(x', y')，其中x' = x cosθ - y sinθ ，y' = x sinθ + y cosθ。
逆时针旋转
一个函数如果既是奇函数又是偶函数，则被称为既奇又偶函 数。其定义是对于所有x，有f(-x) = -f(x)当且仅当f(-x) = f(x) 。例如，函数y = sin(x)是一个既奇又偶函数，其图像关于原 点对称。
04
函数图象的翻折变换
沿x轴翻折
总结词
当函数图像沿x轴翻折时，图像在x轴 两侧对称。
$y$轴。
对称中心的性质
如果函数$f(x)$具有点 对称性，则其对称中心
为$(k,0)$。
偶函数的性质
偶函数的图像关于$y$ 轴对称。
奇函数的性质
奇函数的图像关于原点 对称。
02
函数图象的平移
向左平移
总结词
当函数图像向左平移时，图像上 的每一个点都沿着x轴负方向移动 。
详细描述
对于函数$y = f(x)$，若图像向左 平移$a$个单位，则新的函数解析 式为$y = f(x + a)$。
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y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
类比探究中心对称性源自y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
则函数图像关于点 (
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
函数图像关于(a,0)中心对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
从”形”的角度看，
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
（代数证明） 求证
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
F(a-x)+F(a+x)=2b
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
谢谢!
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
-x
-3 -2 -1
x
12
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
类比探究中心对称性源自y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
则函数图像关于点 (
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
函数图像关于(a,0)中心对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
从”形”的角度看，
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
（代数证明） 求证
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
F(a-x)+F(a+x)=2b
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
谢谢!
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
-x
-3 -2 -1
x
12
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上