一元二次方程根的判别式的意义及应用
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式在函数中的应用
第 1 页 共 2 页 一元二次方程根的判别式在函数中的应用一、复习:(一) 根的判别式的含义：24b ac ∆=-（二） 模型: 根的判别式定理及逆定理：(_+∆→←−→根的判别式定理根的判别式定理的逆定理) ()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠=++⇔<∆≠=++⇔=∆≠=++⇔>∆没有实数根一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个不相等的实数根一元二次方程000000000222a c bx ax a c bx ax a c bx ax 0⇒∆≥⇔方程有实数根2222222440402424b b ac b b ac ax bx c a x x b ac a a a a --⎛⎫⎛⎫←++=→+=→+=→-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时方程才有实数解.二、授新课：根的判别式在函数中的应用 (从函数的角度)1. 用根的判别式可以判定直线与双曲线的交点情况.(从直线与双曲线的交点的个数的角度) 模型:⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆⇒=-+⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+=直线与双曲线没有交点点直线与双曲线有一个交点直线与双曲线有两个交00002m bx kx x m y b kx y . 例1:（1）若一次函数1+=kx y 的图象与反比例函数k y x=的图象仅有一个交点时，求k 的值; （2）若一次函数1+=kx y 的图象与反比例函数k y x=的图象仅有两个交点时，求k 的值; （3）若一次函数1+=kx y 的图象与反比例函数k y x =的图象没有交点时，求k 的值; 2. 用根的判别式可以判定直线与抛物线的交点情况.(从直线与抛物线的交点的个数的角度)()⇒=-+-+⇔⎩⎨⎧++=+=022b c x k b ax c bx ax y b kx y ⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆直线与抛物线没有交点点直线与抛物线有一个交点直线与抛物线有两个交000 例2:(1)若直线1+=kx y 与抛物线122++=x x y 仅有一个公共点,求k 的值;(2)若直线1+=kx y 与抛物线122++=x x y 有两个公共点,求k 的值。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学㊀刘㊀陈㊀㊀摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状㊁求代数式的值㊁构造倍根方程㊁求代数式的最值㊁求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１㊀已知әA B C的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２b x＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定әA B C的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定әA B C的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为әA B C 三边的长,所以әA B C为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为әA B C三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得әA B C为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,m n＝c a．根据方程根的定义,得a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０;反之,aʂ０时,当m,n满足等式a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０时,则m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根．例２㊀问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题 已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且aʂb,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,a b＝－１,所以１a＋１b＝a＋b a b＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求b a的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是әA B C的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及әA B C的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１ˑ１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２m m－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀m ʂ１．由x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２＝２,整理得m ２－３m ＋２＝０,解得m １＝２,m ２＝１(舍去)．因此可得a ２－４a ＋２＝０,b ２－４b ＋２＝０,则a ,b 为方程x ２－４x ＋２＝０的两根,于是a ＋b ＝４,a b ＝２,所以a ２＋b ２＝(a ＋b )２－２a b ＝１２＝c ２,根据勾股定理的逆定理,得әA B C 为直角三角形,故S әA B C ＝１２a b ＝１．所以m 的值为２,әA B C 的面积为１．评注:本题第(２)小题以m 作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m 的值,然后代入关于a ,b 的方程中消去m ,从而显现出a ,b 的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３㊀一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和㊁两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m ,n 是一元二次方程２x ２－３x ＋１＝０的两个根,试计算m ＋n 与m n 的值;(２)如果实数m ,n (m ʂn )分别满足方程m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０,求代数式１m ＋１n的值;(３)设方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根分别是x １,x ２,你能求出x ２１＋x ２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m ＋n ＝３２,m n ＝１２．(２)因为实数m ,n 满足m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０且m ʂn ,所以m ,n 可看作方程x ２－x －１＝０的两根．根据韦达定理,得m ＋n ＝１,m n ＝－１．故１m ＋１n ＝m ＋nm n ＝－１．(３)因为x １,x ２是方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根,所以Δ＝４２－４ˑ２ˑm ȡ０,即m ɤ２．根据题意,可得x １＋x ２＝－２,x １x ２＝m ２,则x ２１＋x ２２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２＝４－m ．由m ɤ２,得４－m ȡ２,所以x ２１＋x ２２的最小值为２．评注:当a ȡb (b 为常数)时,a 有最小值,且最小值为b ;当a ɤb (b 为常数)时,a 有最大值,且最大值为b ．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４㊀已知关于x 的方程k x ２＋(１－k )x －１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k 的取值范围．(２)设x １,x ２是方程k x ２＋(１－k )x －１＝０的两个根,记S ＝x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２,试问S 的值能为４吗?若能,求出此时k 的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k ʂ０且Δ＝(１－k )２－４k ˑ(－１)＞０,整理,得(１＋k )２＞０,解得k ʂ０且k ʂ－１．(２)根据题意,得x １＋x ２＝－１－k k ,x １x ２＝－１k．假设S ＝x ２１＋x ２２x １x ２＋x １＋x ２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２x １x ２＋x １＋x ２＝４,可得(x １＋x ２)２－６x １x ２＋x １x ２(x １＋x ２)＝０,即(１－k )２k２－６(－１k )＋(－１k ) (－１－kk )＝０,整理得k ２＋３k ＋２＝０,解得k １＝－１,k ２＝－２．因为k ʂ０且k ʂ－１,所以当k ＝－２时,S 的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程 联姻 三角形[J ]．今日中学生,２０１５(Z ６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J ]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z ２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式〖教材分析〗1、地位和作用本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。
利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。
由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。
最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。
一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。
2、重点和难点本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
〖学生情况分析及应对策略〗学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。
教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。
教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。
〖设计理念〗教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。
〖教学准备〗教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
〖教学目标〗根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式一元二次方程（）的根的判别式为,用“”表示,所以02=++c bx ax 0≠a ac b 42-∆.ac b 42-=∆应用一、不解方程,判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程（）,当≥0时,方程有两个实数根;02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆当时,方程无实数根.042<-=∆ac b 具体判断结果为:（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根;042=-=∆ac b （3）当时,一元二次方程没有实数根.042<-=∆ac b 反之亦成立.用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的一般步骤:（1）把一元二次方程化为一般式;（2）确定的值（注意符号）;c b a ,,（3）计算的值;ac b 42-=∆（3）根据的符号确定一元二次方程根的情况.∆例1. 不解方程,判断下列方程的根的情况:（1）;（2）; 2532-=x x 041242=+-x x （3）.()0142=-+y y 分析:不解方程,判断一元二次方程根的情况时,要先把一元二次方程化为一般形式,然后准确确定的值,包括符号,再计算出的值,由的符号确定一元二次方程根c b a ,,ac b 42-=∆∆的情况.解:（1）02532=+-x x ∵ ()01242523452>=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根;（2）∵ ()044414422=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个相等的实数根;（3）0442=+-y y ∵ ()06364144412<-=-=⨯⨯--=∆∴该方程没有实数根.例2. 求证:对于任何实数,关于的一元二次方程总有两个不相等的m x 02222=-+-m mx x 实数根.分析:本题只需证明对于任何实数,该方程根的判别式总是大于0即可.m ∆证明: ()()22422---=∆m m ()()4144124884222+-=++-=+-=m m m m m∵≥0 ()21-m ∴,即 ()04142>+-m 0>∆∴对于任何实数,该方程总有两个不相等的实数根.m 习题1. 若关于的不等式的解集为,则关于的方程的根的情x 12<-a x 1<x x 012=++ax x 况是【 】（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根 （C ）无实数根（D ）无法确定 习题2. 不解方程,判断下列方程根的情况:（1）;（2）; 2432+=x x ()()08222=--+x x （3）.03232=-+x x习题3. 证明:对于任何实数,关于的方程总有两个不相等的实数根. m x ()()221m x x =--习题4. 已知关于的方程.x 022=-++m mx x （1）若此方程的一个根为1,求的值;m （2）求证:不论取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.m应用二、已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围有下面的结论:（1）若一元二次方程（）有实数根,则≥0; 02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆①若一元二次方程有两个不相等的实数根,则;042>-=∆ac b ②若一元二次方程有两个相等的实数根,则.042=-=∆ac b （2）若一元二次方程（）没有实数根,则. 02=++c bx ax 0≠a 042<-=∆ac b 例3. 当为何值时,关于的一元二次方程:k x 0542=-+-k x x （1）有两个不相等的实数根;（2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根.分析:先得到的表达式,然后根据方程根的情况确定的符号,从而建立相应的关于的不∆∆k 等式求解.解: ()()k k 4365442-=---=∆（1）∵该方程有两个不相等的实数根∴,即0>∆0436>-k 解之得:;9<k （2）∵该方程有两个相等的实数根∴,即0=∆0436=-k 解之得:;9=k （3）∵该方程没有实数根∴,即,解之得:.0<∆0436<-k 9>k易错警示:在已知一元二次方程根的情况下确定字母的值或取值范围时,不要忽视二次项系数不等于0的限制.例4. 已知关于的一元二次方程有实数根,求实数的取值范x ()()0112122=+++-x m x m m 围.分析:一元二次方程有实数根的结论是其≥0.∆错解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴≥0,即≥0∆88+m 解之得:≥m 1-∴实数的取值范围是≥.m m 1-错因分析:错解忽视了一元二次方程的二次项系数受到不等于0的限制.正解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴ ⎩⎨⎧≥+=∆≠-088012m m 解之得:且1->m 1≠m ∴实数的取值范围是且.m 1->m 1≠m 例5. 若为△ABC 的三边长,且关于的一元二次方程c b a ,,x ()()022=-+-+-a b x b a x c b 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由.解:△ABC 为等腰三角形.理由如下: ()[]()()a b c b b a ----=∆422acbc ab a acbc ab b b ab a 444444444842222-+-=-++-+-==()()c a b a --4∵该方程有两个相等的实数根∴()()04=--=∆c a b a ∴或0=-b a 0=-c a ∴或b a =c a =∴△ABC 为等腰三角形.习题5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围x 062=+-b x x b 是__________.习题6. 若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是__________. x 0122=-+x kx k 习题7. 在△ABC 中,,且关于的方程有两个相等b AC AB BC ===，32,2x 042=+-b x x 的实数根,则AC 边上的中线长为_________.习题8. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的值可以是【 】x 012=++mx x m （A ）0 （B ） （C ）2 （D ）1-3-习题9. 关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是【 】x ()01222=+--m x m x m （A ）（B ）≤ 0≠m m 41（C ） （D ） 41<m 41>m 习题10. 一元二次方程的根的情况是__________________.()()3211+=-+x x x 习题11. 关于的一元二次方程.x 012=++bx ax （1）当时,利用根的判别式判断方程根的情况;2+=a b （2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的的值,并求此时方程的根. b a ,习题12.若为△ABC 的三边长,当时,关于的方程有两c b a ,,0>m x ()()0222=--++ax m m x b m x c 个相等的实数根,求证:△ABC 为直角三角形.应用三、判断抛物线与轴的相交情况x 当抛物线与轴相交时,,对应的一元二次方程()02≠++=a c bx ax y x 0=y 有实数根,此时≥0;当抛物线与()002≠=++a c bx ax ac b 42-=∆()02≠++=a c bx ax y x 轴无交点时,对应的一元二次方程无实数根,此时.因()002≠=++a c bx ax 042<-=∆ac b 此,抛物线与轴的相交情况可以转化为对应的一元二次方程根的情况.于是,我们既可以用x 判别式来判断一元二次方程根的情况,又可以判断抛物线与轴的相交情ac b 42-=∆x 况.“”被赋予了鲜明的代数意义和几何意义.∆（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根042>-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴有两个不同的交点、;21,x x ()02≠++=a c bx ax y x ()0,1x ()0,2x （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根042=-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴只有一个交点,即; 21x x =()02≠++=a c bx ax y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b （3）当时,一元二次方程没有实数根,抛物线042<-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax 与轴无交点.()02≠++=a c bx ax y x 例6. 判断下列抛物线与轴的相交情况:x （1）;（2）;1432++=x x y 962-+-=x x y （3）.1242+-=x x y 分析:同判断一元二次方程根的情况,判断抛物线与轴的相交情况时,要先将抛物线的解析x式化为一般式,然后进行判断.解:（1）∵0412*******>=-=⨯⨯-=∆∴抛物线与轴有两个交点;1432++=x x y x （2）∵()()0363691462=-=-⨯-⨯-=∆∴抛物线与轴只有一个交点;962-+-=x x y x （3）∵ ()01216414422<-=-=⨯⨯--=∆∴抛物线与轴无交点.1242+-=x x y x 例7. 已知抛物线.122-++=m x x y （1）当取何值时,抛物线与轴有两个交点?m x （2）当取何值时,抛物线与轴只有一个交点?并求出这个交点坐标;m x （3）当取何值时,抛物线与轴没有交点?m x 解:()m m 481422-=--=∆（1）∵抛物线与轴有两个交点x ∴,即0>∆048>-m 解之得:;2<m （2）∵抛物线与轴只有一个交点x ∴,即0=∆048=-m 解之得:2=m 此时,交点坐标为;()0,1-（3）∵抛物线与轴没有交点x ∴,即0<∆048<-m 解之得:.2>m 习题13. 抛物线与轴没有交点,则的取值范围是__________.m x x y +-=62x m 习题14. 抛物线与坐标轴有且只有2个交点,则_________. ()m x x m y 21212++-==m 提示:由题意可知该抛物线与轴只有一个交点,所以且.x 0=∆01≠-m应用四、判断抛物线与直线的相交情况在同一平面直角坐标系中,判断抛物线与直线的相交情况时,可以将问题转化为它们的解析式组成的一元二次方程的根的情况.例8. 当取何值时,抛物线与直线只有一个交点? m 122-++=m x x y m x y 2+=解:由两个函数的解析式可得方程组:⎩⎨⎧+=-++=mx y m x x y 2122整理得到:012=--+m x x ∵抛物线与直线只有一个交点122-++=m x x y m x y 2+=∴()0541412=+=++=∆m m 解之得: 45-=m ∴当时,抛物线与直线只有一个交点. 45-=m 122-++=m x x y m x y 2+=习题15. 若直线与抛物线有交点,则的取值范围是【 】m x y +=x x y 32+=m （A ）≥ （B ）≤m 1-m 1-（C ） （D ）1>m 1<m 应用五、和二次项系数结合确定抛物线与轴的两个交点之间的距离x 对于抛物线,当时,抛物线与轴有两个不同的交()02≠++=a c bx ax y 042>-=∆ac b x 点、,这两个交点之间的距离为. ()0,1x ()0,2x ax x ∆=-21习题16. 求当为何值时,二次函数的图象与轴的两个交点之间的距a 3222++-=a ax x y x 离是3.（答案:或） 23-=a 27=a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[文件] sxc3dja0009.doc
[科目] 数学
[年级] 初三
[章节]
[关键词] 方程/判别式
[标题] 一元二次方程根的判别式的意义及应用
[内容]
一元二次方程根的判别式的意义及应用
教学目标
(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；
(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况.
教学重点和难点
重点：一元二次方程的根的判别式的运用.
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解.
教学过程设计
(一)复习
1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前 ，必须写出哪两步?为什么要先写这两步?
例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)
2x 2+10x-7=0.
解：因为a=2,b=10,c=-7, ①
b 2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0, ② 23952215610±-=⨯±-=x ，所以2
3925,2392521--=+-=x x 2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步?
答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下，a,b,c 的取值，这是 要先写①式的原因；
因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b 2-4ac 的值，
如果b 2-4ac 的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写② 式的原因.
(二)新课
1.从上面的解释可见，在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，代数式b 2-4ac 起着重
要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号表示，即
Δ=b 2
-4ac(注意不是Δ=ac b 42- 2.教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么?
3.把课本P27的黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号A ⇒B 表 示为A 是命题的条件，B 是命题的结论)于是有：
定理1 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ0⇒方程有两个不等实数根.
定理2 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=0⇒方程有两个相等实数根.
定理3 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ＜0⇒方程没有实数根.
注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是
定理4 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，方程有两个不等实数根⇒Δ＞0.
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根⇒Δ＝0.
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根⇒Δ＜0.
显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6，互逆定理.
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.(课本P27的例(1)，(2)，(3)，用这组定理来解)
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值.(课本P29，习题12.3，B组的1，用这组定理来解)
运用根的判别式解题举例
例1 不解方程，判别下列方程根的情况.
(1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.
解：(1)因为Δ=32-4×2(-4)=9+32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根.
(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式.②只要知道Δ＞0, Δ=0 , Δ＜0就可以了，所以课本没有算出9+32=41＝
(2) 原方程变形为16y2-24y+9=0,因为Δ=(-24) 2-4×16×9=576-576=0，所以原方程有
两个相等实数根.
(3) 原方程变形为5x2-7x+5=0,因为Δ=(-7)2-4×5×5=49-100＜0,所以原方程没有实数根.
例2 已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的.
解：因为方程有两个相等实数根，所以Δ=0,即(k-9) 2-8(k2+3k+4)=0,k2-18k+81-8k2-2 4k-32k=0，化简，得k2+6k-7=0,(k+7)(k-7)=0，所以k1=-7,k=1.
当k=-7时，原方程为2x2-16x+32=0,得x1=x2=4;
当k=1时，原方程为2x2-8x+8=0,得x3=x4=2.
(问：本题的算理是什么?答：是定理5)
例3 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.
分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数.
解：由方程有实根Δ≥0，得[2(a+1)] 2-4×1×(a2+4a-5)≥0,不等式两边同除以正数4，不等号的方向不变，得a2+2a+1-a2-4a+5≥0,,-2a+6≥0,所以a≤3.
因为a是正整数，所以a=1,2,3.
(注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)
(三)课堂练习
1.关于x一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_______.
2.当1 4a2＜b,关于x的方程x2-ax+b=0的实情况是_______
(答案或提示：1.k＞-1且k≠0; 2.无实数根)
(四)小结
1.根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根.
2.运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a,b,c 的值.
3.要注意课本P27第8行的“反过来也成立”.在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时，用定理4，5，6.
(五)作业
1.读课文P26～P27.
2.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ).
3.若方程(k2-1)x 2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k 的值是( ).
4.若a,b,c 互不相等，则方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0( ).
(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根
(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定
5.不解方程，判别下列方程的根的情况：
6.已知关于x 的方程x 2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m 取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根?
7.k 取什么值时，方程4x 2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根.
8.求证：关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根. 作业的答案或提示
2.(B).
3.(C). 因为Δ=36(3k-1) 2-288(k 2-1)=36(k-3),当k ≠3时，要使.同
时为正整数，只有k=2.
4.(C) 因为Δ=4(a+b+c)2-12(a 2+b 2+c 2)=4(-2a 2-2b 2-2c 2+2ab+2ac+2bc)=-2[(a-b) 2+(b
-c) 2+(c-a) 2]＜0.
5.(1) Δ=42-4×2×35＜0,原方以有实数根；
(2) 4m 2-4m+1=0, Δ=(-4m) 2-16m 2=0,原方程有两个相等的实数根；
(3) 0.4x 2-3x-10-=0, Δ=9-4×0.4×(-10)＞0,原方程有两个不相等的实数根；
(4) 4y 2-2.4y+0.36=0, Δ=(-2.4) 2-4×4×0.36=0,原方程有两个相等的实数根；
(5) x 2-2 3x-222=0, Δ=(-23)2-4×(-22)＞0,原方程有两个不相等的实
数根；
(6) 5 5t 2-10t+5=0, Δ=100-4×55×5=0,原方程有两个相等的实数根； 6.=(2m+1)2-4(m-2)2
=5(4m-3) (1) 当4m-3＞0,即m ＞
4
3时，原方程有两个不相等的实数根； (2) 当m=43时，原方程有两个相等的实数根；(3)当m ＜43时，原方程没有实数根. 7.令Δ=(k+2)2-4×4(k-1)=0,k 2
-12k+20=0,k 1=2,k 2=10. 当k=2时，原方程4x 2
-4x+1=0,x 1=x 2=2
1; 当k=10时，原方程4x 2-12x+9=0,x 1=x 2=23. 8.因为Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k 2+4k+1-4k+4=4k 2
+5＞0,所以原方程有两个不相等的实数根.
课堂教学设计说明
1.为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一
元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b 2-4ac 的值
.由此引入b 2-4ac 的名称的作用.
2.在新课中，提出一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中的b 2-4ac 叫做根的判别式后，提醒
学生要注意两点：(1)根的判别不是ac b 42 b2-4ac;(2)判别根的什么性质.
3.教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件
与结论分得明确，使学生易于接受及记忆.
4.上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况， 为此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的
值或求字母间的关系式，为些教学设计中，安排了例2，例 3.为了强化这两类问题的功能.在
题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么.。