一元二次方程及其根的定义
北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点
北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程.（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 .3、当m= 时；关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程.4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0232057x +-=知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x-4）2=17D ．（x-4）2=15例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36B ．（x-6）2=4+36C ．（x-3）2=-4+9D ．（x-3）2=4+9例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=02.公式法x =（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1B ．a≤4C ．a≤1D ．a≥1例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．两个根都是自然数D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0知识点三：一元二次方程的根与系数的关系1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x aa+=-⋅=. 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根；（2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ②12121211x x x x x x ++=③22121212()()4x x x x x x -=+-④12||x x - ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+⑥33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式.（3）已知方程的两根x1、x2；可以构造一元二次方程：12212()0x x x x x x -++=（4）已知两数x1、x2的和与积；求此两数的问题；可以转化为求一元二次方程12212()0x x x x x x -++=的根 【例题】 例11 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．例12 已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0．（1）若方程有实数根；求实数m 的取值范围； （2）若方程两实数根为x 1；x 2；且满足5x 1+2x 2=2；求实数m 的值．知识点四：应用一元一次方程在利用方程来解应用题时；主要分为两步：①设未知数（在设未知数时；大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）； ②寻找等量关系（一般地；题目中会含有一表述等量关系的句子；只须找到此句话即可根据其列出方程）. 【例题】例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地；它的长比宽多11米；设场地的宽为x 米；则可列方程为（ ） A ．x （x-11）=180B ．2x+2（x-11）=180C ．x （x+11）=180D ．2x+2（x+11）=180例14 某商品现在的售价为每件60元；每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元；每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元；在顾客得实惠的前提下；商家还想获得6080元的利润；应将销售单价定位多少元？经典习题练题平台：（请认真审题；我一定行！） 一、填空题：1.已知两个数的差等于4；积等于45.则这两个数为 和 .2.当m 时；方程（m 2-1）x 2-mx+5=0不是一元二次方程.当当m 时；上述方程是一元二次方程.3.用配方法解方程x 2-4x-6=0；则x 2-4x+ =6+ .所以x 1= ；x 2= .4.如果x 2-2（m+1）x+4是一个完全平方式；则m= .5.当 ≥0时；一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为 .6.如果x 1、x 2是方程2x 2-3x-6=0.那么x 1+x 2= ；x 1x 2= .7.若方程x 2-3x+m=0有两个相等的实数根.则m= ；两根分别为 .8.若方程kx 2-9x+8=0的一个根为1；则k= ；另一个根为 .9.以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 .10.关于x 的一元二次方程mx 2+x+m 2+3m=0有一个根为零；则m 的值等于 . 二、选择题：1.下列方程中；一元二次方程是（ ）（A ）.（B ） ax 2+bx （C ）（x-1）（x+3）=1 （D ）3x 2-2xy-5y 2=02.方程（2x+3）（x-1）=1的解的情况是（ ）（A ）有两个不相等实数根 （B ）没有实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根 3.如果一元二次方程x 2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数；那么有（ ） （A ）m=0 (B) m=-1 (C ) m=1 (D)以上结论都不对212x x +4.已知x 1；x 2是方程x 2=2x+1的两个根；则 的值为（ ）（A ） （B ）2 （C ）-2 （D ）5.不解方程2x 2+3x-1=0的两根的符号为（ ）（A ） 同号 （B ） 异号 （C ）两根都为正 （D ）不能确定 6.已知一元二次方程mx 2+n=0 （m ≠0）；若方程有解；则必须（ ） （A ）n=0 （B ）mn 同号 （C ）n 是m 的整数倍 （D ）mn 异号 7.若a 为方程x 2+x-5=0的解；则a 2+a+1的值为（ ） （A ）12 （B ） 6 （C ）9 （D ）168.某超市一月份的营业额为200万元；三月份的营业额为288万元；如果每月比上月增长的百分数相等；则平均每月增长率为（ ）（A ）10% （B ）15% （C ）20% （D ）25%解 三、解下列方程1. x 2-5x+1=0 (用配方法解)2. 3（x-2）2=x （x-2）3. 2x 2-22x-5=04. （y+2）2 = （3y-1）2四、当m 为何值时；一元二次方程x 2+（2m-3）x+（m 2-3）=0有两个不相等的实数根？五、不解方程；求作一个新的一元二次方程；使它的两个根分别是方程x 2-7x=2的两根的 2倍.六、已知方程x 2+2（k-2）x+k 2+4=0有两个实数根；且这两个实数根的平方和比两根的积大21； 求k 的值.七、解答题1. 将进货单价40元的商品按50元出售；能卖出500个；已知这种商品每涨价1元；就会少销售10个.为了赚的8000元利润；售价应定为多少？这时应进货多少个？ 2111x x +21-212. 如图在ΔABC 中；∠B=90º；点P 从A 开始沿边AB 向点B 以的速度移动；与此同时；点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以的速度移动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发；经过几秒；ΔBPQ 的面积等于8cm 2？（AB=6cm ；BC=8cm ）scm 1scm2。
一元二次方程定义,解法及根的判别式
一元二次方程定义，解法及根的判别式一． 一元二次方程定义：1．已知关于x 的方程（1）当a 时，方程是一元一次方程；（2）当a 时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时， a = ．2．若方程是关于的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．m ≠±l B ．m ≥一l 且m ≠1 C ．m ≥一l D ．m>一1且m ≠13．当m= 时，方程是一元二次方程。
4、若方程mx 2+3x －4=3x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ．二．用适当方法解一元二次方程：1．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）22)3(144)52(81-=-x x9．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x(3)n m nx x n m -=++2)(2（0≠+n m ） (4)x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-(6)、定义新运算“”，规则：，如，。
若的两根为，求（7）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义。
若，求x（8）、设、、都是实数，且满足，；求代数式的值三．一元二次方程根的意义：1、已知是关于的方程的根，则常数的值为2、已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B.5 C.-9 D.93、设是方程的两个实数根，则的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．20094．已知a,b是一元二次方程x2－x－1=0的两个根,求代数式3a2+2b2－3a－2b的值．5、设a是方程的一个根，求代数式的值．6．若实数m满足m2－m + 1 = 0，则m4 + m－4 = ．7．已知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。
1.一元二次方程概念和根
x=1
2、若a b c 0, 则一元二次方程 ax bx c 0必有一解为 .
2
x=-1
3、若4a 2b c 0, 则一元二次方程
2 ax bx c 0必有一解为 x=.
2
4、根据下表的对应值, 试判断一元二次 方程ax bx c 0的一解的范围是 C
m为一切实数
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课堂练习
教材P4 练习1、2
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一元二次方程的解（根）
教学目标
1）理解方程的解的概念；
2）会用方程的解求待定系数。
知识回顾
1.什么是一元二次方程？ 整式方程变形后，只含有一个未知数，并 且未知数的次数是二次，这样的整式方程 叫一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式是怎样的？ a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
基础练习4：
方
2
程
一般形式
二次项 一次项 系 数 系 数
常数 项
3x =5x-1 3 3x2－5 5x＋1＝0
(x+2)(x 1)=6
3
－5
1
1x2 ＋1 x－ 8 ＝ 0
1
1
0 0
－8
4 －4
－7x2 ＋4＝0 2 2 ＋0 x＋4＝0 －7 即－ 7x － 7 4-7x =0 或7x2 － 4＝0 7
x=-7是方程的解
思考
你能否说出下列方程的解 根? 2 1) 3x 27 0 1.一元一次方程只有一个根 2 2) ( x 6) 0 2.一元二次方程有可能 有两个不相等的实数根； 2 3) x 36 0 有两个相等的实数根；
没有实数根。
一元二次方程的根的情况与一元一次方 程有什么不同吗?
一元二次方程的根和判别式
在求解过程中，要注意计算的准确性，避免误差的积累。
对于无理数和复数解，要理解其含义和表示方法。
求解一元二次方程的注意事项
深入学习一元二次方程的理论和应用，掌握各种解法和技巧。
加强数学基础知识和计算能力的训练，为更高层次的学习打下基础。
拓展学习其他类型的一元方程和不等式，提高解决问题的能力。
对未来学习的建议
复根的具体表达式为 $x_1 = -frac{b}{2a} + frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$ 和 $x_2 = -frac{b}{2a} - frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$，其中 $i$ 是虚数单位。
这种情况下，方程的解在复平面上表现为一对关于实轴对称的点，代表方程的一对共轭复根。
03
在几何问题中，经常需要求解一些最值问题，如点到直线的距离、两直线间的夹角等。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以找到这些最值问题的解。
判别式在几何问题中的应用
在物理问题中，经常需要判断物体的运动状态（匀速、加速、减速等）。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定物体的加速度和速度的变化情况。
无实根（虚根）
05
判别式在解决实际问题中的应用
判断直线与二次曲线的位置关系
01
通过判别式可以确定直线与二次曲线（如圆、椭圆、双曲线等）的交点个数，进而判断它们的位置关系（相切、相交、相离）。
判断二次曲线的形状
02
对于二次曲线的一般方程，通过计算判别式可以判断其形状（椭圆、双曲线、抛物线）。
求解几何最值问题
判断经济模型的稳定性
在经济学中，经常需要判断一些经济模型的稳定性。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定经济模型的稳定性条件。
一元二次方程及根的定义
元二次方程及根的定义〔曲思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解 程，解方程求出另一个根即可解：将=-代入原方程，得''-解方程，得 」_ 1当'1 ■ -—时，原方程都可化为存-6^+8= 0解方程，得・二0 - 4 . 所以方程的另一个根为 4，-’•或-1.总结升华：以方程的根为载点•综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关 键是要抓住 根”的概念，并以此为突破口•举一反三:【变式i 】已知一元二次方程•「 m -:的一个根是：，求代数式思路点拨：抓住二为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题 解：因为住是方程…」二二--的一个根，所以-I 一 _-L_：u1 一 故 J ■一 J 二匚_、2004tS = — 1 + 曲2005所以-2004a -h r/十1“ 2005 -1 + 应■+ ---.已知关于一的方程■!■■- / -- 1的一个根为2，求另一个根及°的的值，再代回原方—2004c +2丽■-的值.总结升华：方程”即是一个等式”在 等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一 种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验类型二、一元二次方程的解法临2.用直接开平方法解下列方程: 2 2(1)3-27x =0 ； (2)4(1-x) -9=0.2解: (1)27x=3宀丄 $2(2) 4(1-x) =93.用配方法解下列方程：圖 (1) J 「r ； ；(2) / - -J.'. 工 L解: (1)由叮 r ,，得-■ :■，x a -H67 + 31 -32 十？=2004.1— x =-畠±3—4盘-2士屈-1±屈-罷土愿所以A' + ?：==-,故•一 -亠.(2) 由，亠一' :-i - - -得厂- ■:- -F +2屈+ (歼=(励+4(工1②2 = 6?所以'■ 1 :J故T 二・、：I _ / -C»4.用公式法解下列方程：解：⑴这里'-■L - •并且1屮一［丨:■ - 1(.-_ g ± J&2 _斗舲1 ± VsX = ------------------------ =：----- 所以二-,1+75 冈i—工1二所以 2 , ___________ .(2)将原方程变形为■'■'：-,.-；■2^ -r-4=0(3)将原方程展开并整理得?这里"-1并且•.“ I - - ■:- - ■:-_ £±_4舲 1 ±V33X = _______ : ________ 二_______所以L S -总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握, 我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材5. 用因式分解法解下列方程：曲（3）| 凶］.I | 上l・”rc\ j r■一T解：（1）将原方程变形为______________________________ ，提取公因式，得—，因为上「，所以- 1所以:=•或T — 1二-,⑵直接提取公因式，得肚-现更所以I 1 _|-或Z'i 厂、，（即T " A（3）直接用平方差公式因式分解得［（x 十&） + 2口］［（工 + 总）-加=0所以•或上■■ _ - 它对所以1|—右土 J 带_ 4游 2昉土应x=X 2=l -'(3) x(x-8)=0x i =0, X 2=8. (4) 配方，得2x +12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2 或 x+6=-2 X 1=-4， X 2=-8.点评：要根据方程的特点灵活选用方法解方程6. 若「 「L ' 一 7 ,求丄匚的值孟思路点拨：观察，把握关键：换元，即把 -I ::看成一个 整体 解：由'：'-|：,得L..!■ I - P〔/+,)-呼=16所以計-举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程.(1)2(x+3) 2=X (X +3) ;(2)x 2-2 x+2=0 ;2 2⑶X -8x=0 ;(4)x +12x+32=0.2解: (1)2(x+3) =x(x+3)22(x+3) -x(x+3)=0 (x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0 x i =-3, X 2=-6.(2)x 2-2 J x+2=0这里a=1, b=-2宀,c=2b-4ac=(-2-4 >1 X2=12>0故亠L 「或门〕-（舍去）,所以-：'-■-.总结升华：把某一式子”看成一个整体”用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用7. （武汉）一元二次方程4X2+3X-2=0的根的情况是（）訓A.有两个相等的实数根；B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根；D.没有实数根解析：因为△ =3 -4 >4*2）>0,所以该方程有两个不相等的实数根答案:B.丰宀卄*十孙一一轴2 *8. （重庆）右关于X的一兀一次方程x+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）^3丄丄丄丄A.m >1-B.m v 1二C.m >-匸D.m v」-思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足-'「.2解：由题意，得△ =1-4 > >-3m）> 0,解得m > -I_.答案:C.举一反三：【变式1】当m为什么值时，关于X的方程，1；'1；；•有实根.思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分仁」、—• |和二 .,两种情形讨论.解：当厂「 4 - °即滋一土乙时，「仪+ 1） - 0，方程为一元一次方程，总有实根;2 __当;」4 / :即T工±2时，方程有根的条件是:△二2佃十1）『一4佃？一4）二尿+ 20工0—• ••当：且记工11时，方程有实根综上所述：当［时，方程有实根•【变式2】若关于x的一兀二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3 > 0的解集(用含a的式子表示).思路点拨：要求ax+3> 0的解集，就是求ax> -3的解集，那么就转化为要判定a的值. _2 2是正、负或0 •因为一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)-4(a-2)(a+1) v 0就可求出a的取值范围.解：•• •关于x的一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根. (-2a^-4(a-2)(a+1)=4a2-4^+4a+8 v 0一满足-丁.■/ ax+3 > 0 即ax> -3.所求不等式的解集为•类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值____ 9.(河北)若x i, X2是一元二次方程2X〔3X+仁0的两个根，则x^+x^的值是()§,,!A.〜B.「C.二D.7思路点拨：本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x i2+x；，求得其值•但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有X计X2和X1X2的代数式，再整体代入.解：由根与系数关系可得X i+X2=二,X i X2=t , X i2+X22=(x i+X2)2-2x i X2=(二)2-2 X =" 答案:A.总结升华：公式之间的恒等变换要熟练掌握•类型五、一元二次方程的应用临考点讲解：1. 构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.2. 注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.10. （陕西）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图•如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2,设金色纸边的宽为 xcm ，那么x 满足的方程是（危解析：在矩形挂图的四周镶一条宽为 xcm 的金边，那么挂图的长为 （80+2x ）cm ，?宽为2（50+2x ）cm ，由题意，可得（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理得 x +65x-350=0.答案:B.11. （海口）某水果批发商场经销一种高档水果， 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 多少元庄解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得（500-20x ）（10+x ）=6000 .2整理，得x -15x + 50=0 .解这个方程，x 1=5, X 2=10 . 要使顾客得到实惠，应取 x=5 . 答：每千克应涨价5元.总结升华：应抓住要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.12. （深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为 15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽.蹴-33^+130= 0 x 1 = 10.帀=〒:不合题意，舍去.答：花圃的长为13米，宽为10米.A.x +130x-1400=0C.X 2-130X -1400=0B.x +65x-350=0 D.x -64x-1350=0解:设与墙垂直的两边长都为::米，则另一边长13又•••当'1。
一元二次方程定义与根的解析
解：因为a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1 而a(x+m+2)2+b=0与a(x+m)2+b=0形式相同
所以：有方程a(x+m+2)2+b=0的解为
x1+2=-2 x1=-4
x2+2=1 x2=-1
已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为 。
解：
因为a是方程x2-x-1=0 所以有：a2-a-1=0 得： 则a4-3a-2=(a+1)2-3a-2 =a2-a-1 =0
a2=a+1
已知2y2+y-3的值为2，则4y2+2y+1的值为 。
解：2y2+y-3=2可变形得：2y2+y=5 所以：4y2+2y+1=(2y2+y)*2+1 =5*2+1 =11
已知m是方程x2-2013x+1=0的一个根，试求m2-2012m+2013/(m2+1)的值。
解：因为m是方程x2-2013x+1=0 得：m2-2013m+1=0 m2=2013m-1 所以：m2-2012m+2013/(m2+1) =2013m-1-2012m+2013/(2013m-1+1) =m+1/m-1
Hale Waihona Puke 若 (m 2)xm22 3 是一元二次方程，则m=.
解析 :
根据一元二次方程的定义得
m-2≠0 所以： m≠2 最高次数为2 m2-2=2 得 m1=2或m2=-2 综合所述 得 m=-2
已知关于x的方程（m+3）xm2-1+2(m-1)x-1=0 （1）M为何值时，它是一元二次方程， （2）m为何值时，它是一元一次方程。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根
一元二次方程实数根是数学中的一个重要概念，它涉及到代数方程解
的求解和实数的性质等知识点。
下面将对此进行详细的介绍。
一、定义
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当方程存在实数解时，这个方程就叫做一元二次方程实数根。
二、判别式
为了求解一元二次方程实数根，我们需要首先计算出它的判别式，即：Δ=b²-4ac
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；
若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；
若Δ<0，则方程没有实数根，但有复数根。
其中，Δ又被称为二次方程的根号下判别式。
三、求解
如果方程有实数根，那么我们可以使用求根公式来求解：
x1,x2=(-b±√Δ)/2a
其中x1、x2分别是方程的两个实数根，±看判别式的正负号而定。
四、性质
1. 方程的系数a、b、c可以解释为抛物线的形态、位置和大小等性质。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 方程有两个实数根的条件是Δ>0；有一个实数根的条件是Δ=0；没有实数根的条件是Δ<0。
4. 当Δ>0时，x1和x2是两个不相等的实数，且它们的和等于-b/a，积等于c/a；当Δ=0时，它们相等，等于-b/2a。
5. 方程的根可以用Vieta公式表示：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
以上就是对于一元二次方程实数根的介绍，相信大家对此有了更加深入的理解和掌握。
在实际应用中，了解和灵活运用这些知识点可以帮助我们更好地解决实际问题。
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一元二次方程及其根的定义——导学案
班级：姓名：日期：
一、问题情境：
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?
问题(2)有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
归纳：以上三个方程的特点是：①
②
③
二、探究新知：
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
例1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）02
33122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-x
x ( ) 例2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：x
（1）232x x -=； （2）2732x x -=;
（3）()()21320x x x ---= （4）()()21354x x x -=+-.
三、一元二次方程的根：
问题1．下面哪些数是方程2210120x x ++=的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
问题 2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）2640x -= （2）2360x -= （3）230x x -=
四、当堂训练：
1、.已知()222110k x k x -++=是关于x 的一元二次方程，则有（ ）。
A 、k>0
B 、k<0
C 、k≠0
D 、为任意实数
2、方程013)2(=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A 、2±=m
B 、2=m
C 、2-=m
D 、2≠m
3、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
4、已知方程260x kx +-=有一根是2，则k =________.
5、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
6、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
7、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
8、已知322-+y y 的值为2，则1242
++y y 的值为 。
9、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______．
10、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
11、根据题意列方程：
①两个正方形面积和为106，它们的周长的差是16，求这两个正方形的边长；
②一个直角三角形三条边的长是三个连续的整数，求这三条边的长。
③一个长方形的长比宽多1，面积是132，长方形的长和宽各是多少？
④有一根1m 长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.062m 的长方形？
⑤参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握10次，有多少人参加聚会？
12、方程();05)2(372=+-+--x m x m m
（1） m 为何值时，方程是一元二次方程；
（2） m 为何值时，方程是一元一次方程；
13、若,x m x n ==都是02=++c bx ax 的根，求()()c n m b n
m a 222++++的值。