一元二次方程概念
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
什么是一元二次方程
什么是一元二次方程
1、一元二次方程是含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a/0）。
其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
2、一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。
一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
一元二次方程有什么特点
一元二次方程有什么特点一元二次方程是数学中的一种重要方程，具有鲜明的特点。
它在各个领域中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。
接下来，我们将详细探讨一元二次方程的特点，以及它在实际问题中的应用。
一、一元二次方程的定义及形式一元二次方程是指只含有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的方程。
它的一般形式为：ax²+bx+c=0其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
二、一元二次方程的特点1.二次项系数不为零：在一元二次方程中，二次项系数a不为零，这是它与一元一次方程的主要区别。
二次项系数a的正负性决定了方程的性质。
2.图像特征：一元二次方程的解可以表示为抛物线。
通过分析二次项系数a、一次项系数b和常数项c，可以确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.根的判别式：一元二次方程的根的判别式为Δ=b²-4ac。
根据判别式的值，可以判断方程的根的情况：-Δ>0：方程有两个不相等的实根；-Δ=0：方程有两个相等的实根，即两个相同的实根；-Δ<0：方程无实根，但有两个共轭复根。
4.解的求法：一元二次方程有三种求解方法，分别是直接开平方法、配方法和解根公式法。
求解过程中，需要根据方程的特点和根的判别式选择合适的方法。
三、一元二次方程在实际问题中的应用1.物理学：在一元二次方程中，引力定律、简谐振动等问题中涉及到物体运动轨迹的解析，可以通过一元二次方程来描述。
2.工程学：在建筑、机械等领域，一些构件的尺寸和形状可以通过一元二次方程来表示，如抛物线、椭圆等。
3.经济学：在经济学中，一元二次方程可以用来描述成本、收益等函数关系，如成本函数、收益函数等。
4.生物学：在生物学中，一元二次方程可以用来描述种群增长模型，如Logistic曲线。
总之，一元二次方程具有独特的特点，它在各个领域的应用十分广泛。
通过深入理解和掌握一元二次方程的性质，我们可以更好地解决实际问题。
一元二次方程课件ppt
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
• 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试 说明理由。
3x25x3 不是
x2 4
是
x 2 x2 x 1
不是
根公式，得出方程的根 x b b2 4ac 2a
注意:
• ①当时 b24ac0，方程无解；
• ②公式法是解一元二次方程的万能方法；
• ③利用
的值，可以不解方程
就能判断b方2 程4a根c 的情况；
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判
别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ • 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
一元二次方程复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程及其解法
1 / 8第2课时 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
2、一元二次方程的解法（1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c2 / 8（4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。
一元二次方程概念
3
因数分解法
适用于形如ax²+ bx + c = 0，其中a = 1或a不等于1，可以通过因式分解法去解。
一元二次方程的图像
一次函数的图像
二次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，斜率代表了直线的倾 斜程度和函数的增长速度。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线， 顶点处为极值点。
一元二次方程的性质
1 判别式
判别式D = b²-4ac常用于判断一元二次方程的解的情况。
2 轨迹离散
当二次项系数a的值越小或越大时，抛物线的轨迹越趋向于x轴或y轴。
3 图像对称
抛物线关于顶点对称。
一元二次方程的应用
物理应用
抛物线的底部宽度可以应用于建 筑设计、设计跃高运动场地等需 要计算物体的轨迹的场合。
商业应用
二次函数的相关参数可以用于广 告投入和销售额的关系，以及生 产成本和产量的关系等商务领域 的计算。
我们为什么要学习一元二次方程？
研究一元二次方程有助于我们更深入地了解二次函数的基本概念
一元二次方程的一般形式
标准形式
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知 常数，x是未知变量。
无解情况
当b²-4ac小于0时，一元二次方程 没有实数根，称为无解情况。
解的总数
一元二次方程的应用？ຫໍສະໝຸດ 物理、商务和科学领域广泛 使用了一元二次方程的相关 数学概念。
一元二次方程有0、1或2个解。 具体解的数量取决于求方程的解 时一次项系数的符号和二次项系 数与常数项之间的关系。
一元二次方程的解的求法
1
配方法
适用于ax²+ bx + c = 0，通过配方将一元二次方程变为完全平方。
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把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
1.【探究】观察上面所列的方程，分析以上两个方程与一元一次方程有什么区别与联系．
学生观察、思考、讨论、交流、汇报．
教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元；③二次．
2．归纳定义
问题1：根据找出的一元二次方程的特征，你能给一元二次方程下个定义吗？
教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称，类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
4．若9a－3b＋c＝0且a≠0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根是x＝－3．
5．若k是方程3x2－2x－1＝0的一个根，则9k2－6k＋7的值为10．
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
利用典型的练习题进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
例1下列为一元二次方程的是(C)
A．2x＋y＝2B．2x2－x
C．2x－x2＝7D．x2＋y＝7
例2若方程(m－1)xm2＋1－x－2＝0是一元二次方程，则m的值为－1．
例3若x＝1是方程x2－4x＋m＝0的根，则m的值为3．
例4当k取何值时，关于x的方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0，
(1)是一元一次方程？
设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 x(x－1)场，于是得到方程 x(x－1)＝28，整理，得 x2－ x－28＝0.
由实际问题入手，设计情景问题，有助于激发学生的兴趣，让学生易于接受和理解.
活动二：实践探究、交流新知
课题
21.1 一元二次方程
授课人
素养目标
1.理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
3．理解一元二次方程的根的意义.
教学重点
掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1.若方程(m2－1)x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是(C)
A．0B．1C．±1D．－1
2．在一元二次方程2x2－5x－1＝0中，二次项系数和常数项分别是(D)
A．2，5B．2，－5C．2，1D．2，－1
3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋5a＋b＝0的解，则10a＋2b＝－2．
通过回顾有助于学生类比得到一元二次方程的概念，新课
【课堂引入】
问题：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程．若学生感觉困难，教师可做如下引导．
课件展示：
下列各方程是不是一元二次方程？
①x2－2x－5；②2x2－1＝0；③5x2－4x－ ＝0；④ － ＝0；⑤3y2＝(3y＋1)(y－2)；⑥ax2＋bx＋c＝0；⑦x2－2x－5＝2(x＋3)(x－2)；⑧2x2＝0.
3．相关概念
一元二次方程各项的名称：
教师总结(板书)：
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
课件展示：
(试一试)下列哪些数是方程x2－x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
1.注重学生的自主学习与探究，通过自主获得新知，体验成功的快乐．
2．让学生充分感受所列方程的特点，通过类比的方法得到一元二次方程的概念，从而达到真正理解定义的目的．
活动三：开放训练、体现应用
【例题展示】