平均值不等式ppt课件(37张) 高中数学选修4-5 北师大版

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高中数学 1.3平均值不等式课件北师大版选修45

3.会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题.
12
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知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1 .二元均值不等式 (1)定理 1:
对任意实数 a,b,有 a2+b2≥2ab(此式当且仅当 a=b 时取“=”号). (2)定理 2: 对我任们意称两 ��+2 个 ��为正正数数aa,b与,有b��+2的�� 算≥术��平��(均此值式,当��且��为仅正当数a=ab与时b取的“几=”何号平). 均值. 定理 2 可叙述为:两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当 a>b>0 时,��2+2 ��2 > 22��=ab 成立,当 ab<��2+2 ��2时,不能推出 “a>b>0”,故选 A.
答案 :A
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随堂演练
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12
2 .三元均值不等式及其推广
(1)定理 3:
对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(此式当且仅当a=b=c 时取“=”

北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套PPT课件

(4)如果a b, c 0,那么ac bc;如果a b, c 0, 那么ac bc。（乘法法则）
如果a b 0, c d 0,那么ac bd。
(5)如果a b 0,那么an bn(n N, n 2)。
（乘方法则）
(6)如果a b 0,那么n a n b(n N, n 2)。
正数的绝对值是它本身零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数
思考1
如何用数学符号表示一个思考2
数x的绝对值呢？
|x|≥0
对任意实数 x ，有
x, x 0, x 0, x 0,
x, x 0.
思考3
一个实数x绝对值的几何意义是什么？
（开方法则）
含有绝对值的不等式
教学目标
【重点】（1）不等式︱x｜>a和｜x|<a(a>0)的解法。（2）利用变量替换解不等式｜ax+b｜>c 和｜ax+b｜<c(c>0)。【难点】
利用变量替换解不等式｜ax+b｜>c 和｜ax+b｜<c(c>0)。
填空
不等式的基本性质： 1.已知a＞b，则不等式两边同时加上一个数c,
北师大版高中数学选修4-5不等式பைடு நூலகம்讲全套
PPT课件
已知a, b都是实数, 那么 “a2>b2”是“a>b”的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1. 不等式的基本性质有哪些？ 2. 请你证明：
①如果a>b, c>d, 那么a+c>b+d; ②如果a>b>0, c>d>0, 那么ac>bd;

北师大版高中数学选修4-5课件：1.3平均值不等式

)2 =6 √82 =24,
3
当且仅当a=b=c=2时等号成立,即长方体表面积的最小值为24.
答案:24
(2)若 x,y,z>0,求证:
1
1
-1 ≥8.
3+
1
3+
1
+xyz≥2√3.
3
分析(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1
替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质
证明.
(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不
等式.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究一
探究三
思维辨析
利用平均值不等式求最值
【例 1】求解下列各题:
1
(1)已知 x,y∈R +,且 x+2y=1,求
(2)已知 a>0,b>0,,求 a 1+
2
2 的最大值;
(3)已知 x∈R +,求函数 y=x(1-x2)的最大值.
分析根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条
因此有 5xy≥2 3
,所以
≥
又 3x+4y≥2 12
=4√3 ·
,
2√3
24
2√3
.
5
所以 3x+4y≥4√3 · 5 = 5 ,
24
所以 3x+4y 的最小值是 5 ,故选 A.
,
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
3
1
正解由 x+3y=5xy 可得5 + 5 =1,

《平均值不等式》课件

赫尔德不等式是数学分析中的一个重要不等式，它表明对于任何非负实数序列，其几何平均值不小于其算术平均值。
详细描述
赫尔德不等式是数学分析中一个非常有用的工具，它在解决一些数学问题时具有广泛的应用。这个不等式可以用来证明一些重要的数学定理，如AM-GM不等式和Holder不等式。赫尔德不等式在优化理论、概率论和统计学等领域也有着广泛的应用。
详细描述
切比雪夫不等式表明，对于任何随机变量X，其概率分布 P(X)满足：P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ Var(X) / k^2，其中E(X) 是X的期望值，Var(X)是X的方差，k是任意正实数。这个不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，如大数定律、中心极限定理等。
赫尔德不等式
总结词
01
平均值不等式的性质
平均值不等式的传递性
总结词
如果$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$都是正数，且$a_1/b_1, a_2/b_2, ..., a_n/b_n$是递增（或递减）的，那么 $frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+ b_n} geq frac{a_1}{b_1} geq frac{a_2}{b_2} geq ... geq frac{a_n}{b_n}$（或$leq$）。
01
平均值不等式的应用
在数学中的应用
解决最值问题
平均值不等式可以用来解决函数的最值问题，通过比较函数在不同区间的平均值和极值，可以找到函数的最小值或最大值。
证明不等式
平均值不等式可以用来证明一些数学不等式，例如通过比较不同项的平均值和最小值，可以证明一些数学序列或函数的不等式关系。

平均值不等式二教学北师大版选修PPT课件

则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是
( )． A．①②
B．①③
C．②③④
D．②⑤
课前探究学习
课堂讲练互动
解析设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x
(x>0)，
则a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ≤ ∴(11＋＋Px1)＋3＝1＋(31P＋2＋P11)＋(1P＋33P＝2)(4313＋. P3)
故 y≤ 247＝293，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝12，
y 有最大值293.
课前探究学习
课堂讲练互动
知识点3 平均不等式的实际应用
【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n＝1，2，
3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为 P1，第三年比第二年增长的百分率为 P2，第四年比第三年增长的百分率为 P3，且 P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据：①27，②25， ③13，④12，⑤23，
3 3
（a＋b）（b＋c）（c＋a）·
3
1
＝9
3 （a＋b）（b＋c）（c＋a）
⇒a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
【反思感悟】认真观察要证的不等式的结构特点，灵活
利用已知条件构造出能利用平均不等式的式子．
课前探究学习
课堂讲练互动
1．已知 a，b，c 都是正数，求证：3a＋3b＋c－3 abc≥2a＋2 b－ ab.
a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立吗？
提示 ∵a＋b＋c＝(3 a)3＋(3 b)3＋(3 c)3，
∴a＋b＋c≥33 a·3 b·3 c＝33 abc. 即a＋3b＋c≥3 abc，

高中数学北师大版选修4-5配套课件：第1章-3--第1课时《平均值不等式》

a2 b2 c2 已知 a，b，c 都是正数，求证：＋＋ ≥a＋b＋c. b c a
【证明】 a2 ∴ ＋b≥2 b ∵a＞0，b＞0，c＞0， a2 · b＝2a， b
b2 c2 同理：＋c≥2b，＋a≥2c， c a a2 b2 c2 三式相加得：＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)， b c a a2 b2 c2 ∴ ＋＋ ≥a＋b＋c. b c a
x
1 ④任意 x∈R， sin x＋ ≥2. sin x 其中真命题有( A．③ C．②③ ) B．③④ D．①②③④
【自主解答】
在①、④中，lg x∈R， sin x∈[ －1,1]，
不能确定 lg x＞0 与 sin x＞0，因此①、④是假命题． 1 在②中，a ＞0，a ＋ x≥2 a
x x
3
3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 3 2 2 2 1 · 9 a b c ＝27. a2b2c2
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．故原不等式成立．
1．在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即 a＞0，b＞0，c>0. 2．若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的 “题眼 ”，不妨运用基本不等式试试看．
§ 3
平均值不等式
第 1 课时平均值不等式
1.了解两个(三个)正数的算术平均值与几何平均值．课标解读 2．掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式.
1．定理 1：对任意实数 a，b，有 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)． a＋b 2．定理 2：对任意两个正数 a，b，有 2 ≥ 仅当 a＝b 时取“＝”号)． ab(当且

1.3_平均值不等式(二)_教学课件(北师大版选修4-5)

用长为 16 3．
cm2.
cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是 ________
解析
设矩形长为x cm(0<x<8)，则宽为(8－x) cm，
x＋8－x 2 S≤ ＝16，当且仅当 2
面积S＝x(8－x)．由于x>0，8－x>0，
可得 x＝8－x 即 x＝4 时， Smax
3．一般地，对 n 个正数 a1 ， a2 ， „ ， an(n≥2) ，我们把数值
a＋a2＋„＋an n 算术平均值， a1a2„an分别称为这 n 个正数的____________ n
a1＋a2＋„＋an n ≥ a1a2„an 几何平均值，且______________________________ n 与_____________ ．
法二 ∵ab－3＝a＋b≥2 ab， ∴ab－2 ab－3≥0 且 ab>0， ∴ ab≥3，即 ab≥9(当且仅当 a＝b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．【反思感悟】注意平均不等式应用的条件是三个正数在
求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在．
知识点3 平均不等式的实际应用
n＝1， 2，【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}， 3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为 P1，第三年比第二年增长的百分率为 P2，第四年比第三年增长的 2 2 百分率为 P3，且 P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据：① ，② ， 7 5 1 1 2 ③ ，④ ，⑤ ， 3 2 3
则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是
(
A．①② B．①③ C．②③④ D．②⑤

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3．三个正数或三个以上正数的平均值不等式的应用条件是什么？
【提示】 “一正”：不论是三个数的或者 n 个数的平均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如 a ＋b＋c≥3 abc.取 a＝b＝－2，c＝2 时，a＋b＋c＝－2.而 3 abc＝6，显然－2≥6 不成立． 3 3
“二定”：包含两类求最值问题：一是已知 n 个正数的和为定值(即 a1＋a2＋„＋an 为定值)，求其积 a1a2„an 的最大值；二是已知乘积 a1a2„an 为定值，求其和 a1＋a2＋„＋an 的最小值．
1 1 5x＋7y 2 (2)xy＝35(5x· 7y)≤35( 2 ) 1 20 2 20 ＝35( 2 ) ＝ 7 ， 10 当且仅当 5x＝7y＝10，即 x＝2，y＝时，等号成立， 7 20 此时 xy 取最大值 7 .
5 (3)因为 x<4，所以 4x－5<0，故 5－4x>0. 1 1 所以 y＝4x－1＋＝－(5－4x＋ )＋4. 4x－5 5－4x 1 因为 5－4x＋ ≥2 5－4x 所以 y≤－2＋4＝2. 1 当且仅当 5－4x＝，即 x＝1 时，等号成立． 5－4x 所以当 x＝1 时，y 取最大值 2. 1 5－4x· ＝2， 5－4x
a＝b＝c
时，等号成立．
a1＋a2＋„＋an 定理 4.如果 a1， a2， „， an 为 n 个正数，则 n
≥
n
a1a2„an，当且仅当
a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
a＋b 1．在基本不等式 2 ≥ ab中，为什么要求 a>0，b>0?
a＋b 【提示】对于不等式 ≥ ab，如果 a，b 中有两个 2 或一个为 0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当 a， b 都为负数时，不等式不成立；当 a，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．
1 1 1 设 a， b， c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋ ≥9. a b c
【证明】将 1＝a＋b＋c 代入左端，且 a，b，c 大于 0， 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴ ＋＋＝＋＋ a b c a b c b a c a c b ＝3＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ ) a b a c b c ≥3＋2 ba ·＋2 ab ca ·＋2 ac cb · bc
ab，当且仅当
a ＝ b 时，等号成立．这个不等式我们称之为基本不等式或 a＋b 平均值不等式．同时，我们称为 a、b 的算术平均值， 2 称 ab为 a、b 的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
a＋b＋c 3 定理 3.如果 a，b，c 为正数，那么 ≥ abc，当 3 且仅当
2．你能给出基本不等式的几何解释吗？
【提示】
如图以 a＋b 为直径的圆中，
DC＝ ab，且 DC⊥AB. 因为 CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径， a＋b 长为，根据半弦长不大于半径，得不等式 2 a＋b ab≤ .显然，上述不等式当且仅当点 C 与圆心重合，即 2 当 a＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．
＝3＋2＋2＋2＝9.
1 当且仅当 a＝b＝c＝时取等号， 3 1 1 1 故原不等式＋＋ ≥9 得证． a b c
利用基本不等式求最值
1 1 (1)已知 x，y∈R＋，且 x＋2y＝1，求＋的最小 x y 值； (2)已知 x>0，y>0，且 5x＋7y＝20，求 xy 的最大值； 5 1 (3)已知 x<4，求 y＝4x－1＋的最大值． 4x－5
a2 ∴ ＋b≥2 b
b2 c2 同理：＋c≥2b，＋a≥2c. c a
三式相加得： a2 b2 c2 ＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)， b c a a2 b2 c2 ∴ ＋＋ ≥a＋b＋c. b c a
1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明． 2．当且仅当 a＝b＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．
“三相等”：取“＝”号的条件是 a1＝a2＝a3＝„＝an，不能只是其中一部分相等.
利用基本不等式证明不等式
a2 b2 c2 已知 a，b，c 都是正数，求证：＋＋ ≥a＋b b c a ＋c.
【思路探究】
观察不等号两边差异，利用基本不等式
来构造关系．【自主解答】
∵a>0，b>0，c>0， a2 · b＝2a， b
平均值不等式
1.理解两个正数的平均值不等式．课标 2．了解三个正数和一般形式的解读平均值不等式． 3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.
基本定理(重要不等式及基本不等式) 定理 1.设 a， b∈R，则 a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
a＋b 正定理 2.如果 a，b 是数，那么 2 ≥
在求最值时，除了注意“一正”、 “二定”、 “三相等” 之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．
1 9 若将本例(1)的条件改为“已知 x>0，y>0，且＋＝1”， x y 试求 x＋y 的最小值．
1 9 【解】 ∵x>0，y>0，且＋＝1， x y 1 9 ∴x＋y＝(x＋y)( ＋ ) x y y 9x ＝＋＋10≥2 x y y 9x · ＋10＝16. x y
【思路探究】本不等式的条件．根据题设条件，合理变形，创造能用基
Hale Waihona Puke 【自主解答】 (1)因为 x＋2y＝1， 1 1 x＋2y x＋2y 2y x 所以＋＝＋＝3＋＋ x y x y x y ≥3＋2 2y x ·＝3＋2 2， x y
2y x 当且仅当＝，x＋2y＝1，即 x y 2 x＝ 2－1，y＝1－ 2 时，等号成立． 2 1 1 所以当 x＝ 2－1，y＝1－ 2 时，＋取最小值 3＋2 2. x y