高中数学选修2-1-1.1.1命题 (1)
2020秋高中数学人教版2-1学案：1.1.1命题含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：1.1.1命题含解析第一章常用逻辑用语德国伟大的诗人歌德,有一次在魏玛公园散步．当他走在一条仅能容一个人通过的小路上时，迎面走来了一位曾经把歌德的所有作品都贬得一文不值的文艺批评家．那位批评家站在歌德的对面，傲慢地说：“对一个傻子,我绝不让路．" “我却正好相反．"歌德边说边微笑着站到了一边．顿时，那位批评家满脸通红，羞得无地自容．这里反映的就是常用逻辑用语在现实生活中的应用．日常生活中,我们经常涉及一些逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，需要对一些命题进行判断和推理．因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．本章我们将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．学习目标1．了解命题的概念，会判断命题的真假．2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．通过数学实例,了解逻辑联结词“且”“或"“非”的含义．4．能够正确地对含有一个量词的命题进行否定．5．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．6．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．本章重点命题及其关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义;逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；全称量词与存在量词的应用．本章难点必要条件的含义;含有一个量词的全称命题和特称命题的否定．1。
1命题及其关系1。
1。
1命题自主预习·探新知情景引入中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题:白马非马．对于一般人来说,“白马是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．”孔穿几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？新知导学命题及相关的概念（1)定义：用__语言、符号或式子__表达的,可以__判断真假__的陈述句．（2）分类:①真命题：判断为__真__的语句；②假命题:判断为__假__的语句．(3)形式:命题的结构形式是“__若p,则q__”，其中__p__是命题的条件，__q__是命题的结论．预习自测1．下列语句中,命题的个数是（C）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③单位向量的模为1;④你是高二的学生吗?A．0B．1C．2D．3［解析］由命题的定义知，语句①③能判断真假,所以是命题，故选C．2．下列语句中是命题的是（D）A．两点确定一条直线吗？B．在线段AB上任取一点C．作∠A的平分线AMD．两个锐角的和大于直角［解析]两个锐角的和大于直角是一个假命题，A、B、C都不能判断真假．3．下列命题为假命题的是（C)A．log24＝2B．直线x＝0的倾斜角是错误!C．若｜a|＝｜b|,则a＝bD．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β,则α∥β［解析]由|a｜＝|b|得a与b的模相等,但方向不定,故a与b不一定相等，故选C．4．下列命题为真命题的是(A)A．若错误!＝错误!，则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y，则错误!＝错误!D．若x〈y，则x2〈y2［解析]B中,若x2＝1,则x＝±1;C中,若x＝y<0,则x与错误!无意义；D中，若x＝－2,y＝－1，满足x〈y，但x2〉y2,故选A．5．把命题“函数f(x)＝sin x是奇函数”改写成“若p，则q”的形式是__若一个函数是f（x）＝sin x，则该函数是奇函数__。
高中数学选修2-1知识点总结
数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。
6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。
2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第1章1.1.1 命题的概念和例子含解析
1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况： 当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ； 当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集． [妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2，则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的． 答案：C3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0； ③若p ＞0，则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p ＝12时，p 2＜p ；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：② ①③④7．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①为假命题；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。
高中数学(A版)选修2-1 1.1.1命题
①
②
分析：
两命题的逆命题分别是: 若 sin A sin B, 则A B, ③ 若 sin A sin B, 则A B. ④
比较：
若A B, 则 sin A sin B,
否 否
①
若A B, 则 sin A sin B,
① ② 互为否命题
②
条件
结论 ①
若A B, 则 sin A sin B,
否 否
若 sin A sin B, 则A B.
① ④ 互为逆否命题
④பைடு நூலகம்
若设命题①为原命题，那么命题③为其逆 命题，命题②为其否命题，命题④为其逆 否命题 该例中原命题与逆否命题都是真命题， 而逆命题与否命题都是假命题．
例题讲解： 例１写出命题“对顶角相等”的逆命题，否命题 和逆否命题，并判断这四个命题的真假．
知识规纳: 命题之间的关系可用下图表示:
互逆
原命题
互 否
逆命题
互 否
否命题
互逆
逆否命题
小结: 什么叫做原命题的逆命题?否命题?逆 否命题?它们之间有什么关系?
一般地,一个命题由条件和结论两部分组成, 数学中通常把命题表示为“若p则q”的形式， 其中p是条件，q是结论．如果命题“若p则q” 是真命题，即条件p成立，则可推出结论q 成立，记：p q，反之则不能推出结论q．
问题 写出下面两命题的逆命题，看它们有什么联系
若A B, 则 sin A sin B, 若A B, 则 sin A sin B.
分析：找出原命题的条件和结论是关键 解：原命题可以写成“若两个角是对顶角， 则这两个角相等” 逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角
否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角 不相等 逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是 对顶角 原命题和逆否命题都是真命题，逆命题和否命 题都是假命题．
高中数学选修2-1主要内容
对(2) 分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件， 但可以通过分析图形的几何性质而得出， 即圆
心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为 M(x ， y) ，连结 OM ，
则 OM ⊥AM ．
∵k OM · kAM =-1 ，
其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧 ( 不含端点 )． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、 椭圆的定义、 双曲线的定义、 抛物线的定义直接写出所求的动点的 轨迹方程， 这种方法叫做定义法． 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或
q 也是 p 的充要条件 . 概括地说 , 如果 p q, 那么 p 与 q 互为充要条件 .
一般地， 若p 若p 若p
q, 但 q q，但 q q，且 q
p，则称 p 是 q 的充分但不必要条件； p，则称 p 是 q 的必要但不充分条件； p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
1.3 简单的逻辑连接词
(以下由学生完成 )
根据它们的对称性， 这两个点的横坐标应相等， 因此方
由弦长公式得：
即 a2b2=4b 2-a2．
2.2 椭圆
把平面内与两个定点 F1， F2 的距离之和等于常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做椭圆
（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点， 两定点间的距离叫做椭圆的焦距． 即当动点
且有 BP∶ PA=1 ∶2，当 B 点在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程．
分析：
P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动，因此 B 可作为相关点，应先找出点 系．
P 与点 B 的联
解：设点 P(x ， y) ，且设点 B(x 0， y 0)
高中数学选修2-1课件1.1四种命题
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
练一练
1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对）
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错）
2.四种命题的概念
v 什么叫互逆命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题就 叫做互逆命题。把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆命题。
v 什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 这两个命题就叫做互否命题。把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的否 命题。
2、具有“若p则q”形式的命题，能准确的找 出条件p和结论q。
8分钟后回答问题（如有疑问可以问老 师或同桌小声讨论）
● 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 陈述句叫做命题。
● 判断为真的语句叫做真命题。
● 判断为假的语句叫做假命题。
理解： 1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准
必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其 一。
原命题是：⑴同位角相等，两直线平行； 逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.
数学理论：否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，这样的两个命题就叫做互否 命题，若把其中一个命题叫做原命题， 则另一个就叫做原命题的否命题.
否命题⑶同位角不相等，两直线不平行；
成立 不成立
1.1.1命题 教案(人教A版选修2-1)
1.1.1命题●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法通过学生举命题的例子，培养他们的辨析能力及分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假，重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破本节的难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习．⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点)命题的概念【问题导思】给出下列语句：(1)2＋4＝7；(2)垂直于同一条直线的两个平面平行；(3)6能被2整除；(4)全等三角形面积相等．1．这些语句的表述形式有什么特点？【提示】都是陈述句．2．你能判断这些语句的真假吗？【提示】能，(2)、(3)、(4)为真；(1)为假．1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．2．分类：(1)真命题：判断为真的语句；(2)假命题：判断为假的语句.命题的结构【问题导思】观察命题：(1)若整数a是素数，则a是奇数；(2)若两个三角形全等，则它们的面积相等．上述命题的形式是怎样的？【提示】“若……，则……”的形式．命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论.命题的判断下列语句中是命题的有________．①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【思路探究】以上语句都是陈述句吗？你能判断它们的真假吗？【自主解答】②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题．①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数，④是命题，为真命题．【答案】①④判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cos x是周期函数吗？(4)集合{a，b，c}有3个子集．【解】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真．(2)不是命题，不能判定真假．(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．(4)是命题．因为{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集，为假．因此(1)与(4)是命题；(2)与(3)不是命题.命题真假的判断给出下列几个命题：(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；(2)若a＞b，则a2＞b2；(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；(4)若a，b是无理数，则a＋b是无理数．其中的真命题有________个．【思路探究】【自主解答】根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；(4)中取a ＝2，b＝－2，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题．【答案】 11．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交【解析】如图所示，因为α，β为两个不同的平面，所以α∩β＝c，但平面α，β不会重合，因为a⊥α，b⊥β，所以a与b不一定相交．故“α，β相交，则a，b 相交”是假命题．【答案】 D命题的构成把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除．(2)斜率相等的两直线平行．(3)钝角的余弦值是负值．【思路探究】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．(2)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．(3)若一个角为钝角，则这个角的余弦值是负值．要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形全等；(2)当abc＝0时，a＝0，或b＝0，或c＝0；(3)对顶角相等．【解】(1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．它是假命题．(2)若abc＝0，则a＝0，或b＝0，或c＝0.它是真命题．(3)若两个角为对顶角，则这两个角相等．它是真命题．改写命题时，写错大前提致误已知c＞0，当a＞b时，ac＞bc.把该命题改写成“若p则q”的形式．【错解】若c＞0，a＞b，则ac＞bc.【错因分析】“已知c＞0”是大前提，条件应是“a＞b”，不能把它们全认为是条件．【防范措施】若已知命题中有大前提，在改写命题时，不能把大前提写在条件中，应仍作为命题的大前提．【正解】已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc.1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否判断真假． 2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断． 3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p 则q ”形式的关键．1．(2018·湛江高二检测)下列语句为命题的是( ) A ．x －1＝0B ．2＋3＝8C ．你会说英语吗？D ．这是一棵大树【解析】 C 不是陈述句，A 、D 无法判断其真假，只有B 是命题，且为假命题． 【答案】 B2．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2【解析】 只有A 正确，B 、C 、D 可以举反例验证． 【答案】 A3．把命题“偶函数的图象关于y 轴对称”改写成“若p ，则q ”的形式为________． 【答案】 若一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：(1)菱形的四条边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(3)空集是任何集合的真子集．【解】(1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等．真命题．(2)若x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题．(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集．假命题.一、选择题1．下列语句是命题的是()①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x＞2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤【解析】①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．【答案】 A2．(2018·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．【答案】 D3．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题【解析】 将命题“直角相等”写成“若p ，则q ”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A 是错误的；语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B 是错误的；选项D 是正确的；选项C 是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．【答案】 D4．(2018·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( ) A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2 C.1a ＜1b⇒a ＞b D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d【解析】 可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题． 【答案】 D5．设有不同的直线m ，n 和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α【解析】 若α∥β，m ⊂β，n ⊂β可知m ∥α，n ∥α，但m 与n 可以相交，所以A 不正确；B 不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C 不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ，又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⊄α，所以m ∥α，D 正确．【答案】 D 二、填空题6．指出下列命题的条件和结论．(1)当x ＝2时，x 2－3x ＋2≠0.条件是：________，结论是：________.(2)平行四边形的对角线互相平分．条件是：________，结论是：________.【解析】(1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．(2)命题可改写为：若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．【答案】(1)x＝2x2－3x＋2≠0(2)四边形为平行四边形对角线互相平分7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．【解析】②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．【答案】①④8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)【解析】如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.∵AE⊥BD，EC⊥BD，∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．∴∠AEC＝90°.由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②若x ＝4，则2x ＋1<0 ；③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；④求证：x ∈R 时，则方程x 2－x ＋2＝0无实根．【解】 ①②③是命题，④不是命题．命题①中，y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，显然其最小正周期为π，是真命题．命题②中，当x ＝4时，2x ＋1>0，∴②是假命题．命题③中，若等比数列的首项a 1＜0，公比q ＞1时，该数列为递减数列，是假命题． ④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．【解】 (1)命题可改写为：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵当m >14时，Δ＝1－4m <0，所以是真命题． (2)命题可改写为：若两直线平行于同一平面，则它们互相平行．∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．11．命题“ax 2－2ax －3≤0恒成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 由于ax 2－2ax －3≤0恒成立是真命题，(1)当a ＝0时，－3≤0成立．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎨⎧a ＜0Δ≤0，解之得－3≤a ＜0. 由(1)(2)得a 的取值范围为[－3,0].(教师用书独具)设有两个命题：p ：函数y ＝lg(x 2－2x ＋m )的值域为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【自主解答】 若命题p 为真命题，则x 2－2x ＋m 的值可取到一切正数，故Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m ＞1，即m ＜2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎨⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞1，m ＜2.故m 的取值范围是1＜m ＜ 2.已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且p 假q 真，求x 的值．【解】 ∵p 假q 真∴⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |＜6x ∈Z ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＜6x 2－x ＞－6x ∈Z∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜3x ∈Z故x 的取值为：－1,0,1,2.。
2021_2022学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版选修2_1
【做一做2】 下列命题是真命题的为(
1
A.若
=
1
,则
1
解析由
=
B.若 x2=1,则 x=1
ห้องสมุดไป่ตู้
x=y
C.若 x=y,则 =
1
,得
)
D.若 x<y,则 x2<y2
x=y;由 x2=1,得 x=±1;
当 x=y 时, , 不一定有意义;由 x<y 不一定得到 x2<y2.故 A 中
的命题为真命题.
并判断各命题的真假.
(1)相似三角形的对应边成比例;
(2)当0<a<1时,函数y=ax是减函数;
(3)平行于同一个平面的两平面平行.
解(1)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.
条件p:两个三角形相似,结论q:两个三角形的对应边成比例.这是
一个真命题.
(2)若0<a<1,则函数y=ax是减函数.
条件p:0<a<1,结论q:函数y=ax是减函数.这是一个真命题.
形式上看,不是“若p则q”的形式,而将其表述进行适当改变,也可以
写成“若p则q”的形式.
2.改写命题时,不能把大前提放在条件中,应写在“若”前面,仍作为
命题的大前提.
3.对一个命题的形式进行改写后,其真假性保持不变.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3把下列命题写成“若p,则q”的形式,并指出条件与结论,
(3)若 m>1,则方程 x2-2x+m=0 无实根;
π
(4)直线 x+y=0 的倾斜角是4;
3π
2
(5)若 α= 4 ,则 sin α= 2 ;
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命题
例 2 指出下列命题中的条件 p 和结论 q :
1若整数 a 能被 2 整除, 则a 是偶数; 2若四边形是菱形 , 则它的对角线互相
垂直且平分.
解
1条件 p : 整数 a 能被 2 整除, 结论 q :
整数a 是偶数 .
2条件p : 四边形是菱形 , 结论q : 四边形
的对角线互相垂直且平分.
(2) 若整数a是素数,则a是奇数;
(4) 若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行;
命题
容易看出, 例1中的命题24 具有 " 若 p ,则q" 的形式.在本章中, 我们 只讨论这种形式的命题 .
通常, 我们把这种形式的命题 中的 p 叫做命题的 条件, q 叫做 命题的 结论.
这种形式的命题也可以 写成 "如果 p, 那么q " , "只要 p , 就有q "等形式.
人教课标A版选修2-1
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1.1.1 命题
中学生学习报 数学周刊
国家级优秀教辅读物 ISO9001国际质量管理体系认证
讨论
命题
分析考虑下列语句： （1）若直线a//b,则直线a和直线b无公共点; （2）2+4=7； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）若x² =1,则 x=1 ； （5）两个全等的三角形的面积相等; （6）3能被2整除. 这些语句都是陈述句,并且可以判断真假, 其中(1)(3)(5)为真,(2不是命题
（1）2+2√2是有理数； (3) 2100 是个大数;
命题
（2）1+1>2； (4) 好人一生平安!
(5) 非典型肺炎是怎么传染的? (6) 奇数的平方仍是奇数; 2.判断下列命题的真假 (1) 方程2x=5只有一解； (2) 凡是质数都是奇数；
(3) 方程2x2+1=0有实数根; (4) 函数y=sinx是周期函数; (5) 每个数列都有周期.
命题的定义
命题
一般地，在数学中，我们把用语言,
符号或式子表达的，可以判断真假的陈 述句叫做命题.判断为真的语句叫做真
命题.判断为假的语句叫做假命题.
由定义可知以上都是命题，并且 （1）（3） （5）是真命题， （2）（4） （6）是假命题.
例1
命题
下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？ 并说明理由： (1) 空集是任何集合的子集; (2) 若整数a是素数,则a是奇数; (3) 指数函数是增函数吗? (4) 若空间中两条直线不相交,则这两条直线 平行; (5) (-2)² =4 ; (6) x>15.
句的真假，但是随着科学技术的发展和时
间的推移，总能确定它们的真假，所以人 们把这一类猜想仍算为命题.
说明2
命题
还有一种语句，如“ x>2”、“x2 － 1=0” 等，语句中含有变量 x 或 y ，在
没有给定这些变量的值之前，是无法
确定语句的真假的.这种含有变量的语
句叫做开语句（条件命题）.开语句不
命题
其中（3）（6）不是命题，因 为（ 3 ）不是陈述句，（ 6 ）不能判 断真假;（1）（5）是真命题，因为 它能确定语句的真假；（ 2 ）（ 4 ） 是假命题.
说明1
命题
要判断句子是否是命题. 首先，要看给出的句子的句型，一 般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是 命题． 其次，要看能不能判断其真假，也 就是判断其是否成立. 不能判断真假的语句, 就不能叫命题.
例 3 将下列命题改写成 " 若 p, 则q"的形式, 并判断真假: 1面积相等的两个三角形 全等; 2负数的立方是负数; 3 对顶角相等.
命题
例如“这是一棵大树”、“x>2 ”、
“今天会下雨吗？”都不能叫命题.
由于“大树”没有界定，就不能判断
“这是一棵大树”的真假.由于x是未
知数，也不能判断“x>2 ”是否成立.
[注意]
命题
值得注意的是，在数学或其他科学技
术中的一些猜想仍是命题 . 例如著名的哥
德巴赫猜想，虽然目前还不能确定这些语
命题
数学中有一些命题虽然 表面上不是 " 若p, 则q"的形式, 例如" 垂直于同一 条直线的两个平面平行 " , 但是把表 述作适当改变 , 就可以写成" 若 p , 则 q "的形式 :
若两个平面垂直于同一 条直线, 则这 两个平面平行.这样 , 它的条件和结
论就很清楚了 .
命题
解 1若两个三角形面积相等, 则这两个三 角形全等 .它是假命题 . 2若一个数是负数, 则这个数的立方是负数 . 它是真命题. 3若两个角是对顶角, 则这两个角相等.它是 真命题.