利用对称性计算曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分常见题型攻略
曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。
（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。
②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。
（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。
例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。
巧用函数奇偶性及积分区域对称性解决积分问题_白秀琴
∑
∑
∑1
乙 乙 则 z2dy=2 π （asin t ）2 a costdt= a3 [sint-（ t + sin2t ）]|
Γ
0
22
2
22
π0=-
1 4
πa3
2 利用函数奇偶性及积分曲面的对称性计算曲面积分
2.1 在计算第一型曲面积分中的应用
定理 4 设曲面∑分片光滑且关于坐标面 xoy 对称,函数 f
乙Pdx+Qdy+Rdz=
Γ
乙 乙 z
2z
z
Pdx+Qdy+Rdz 若
Pdx+Qdy+Rdz 是关于 z 奇函数
Γ z
zz
Γ
∈
z
0z
z zz z
乙 若 Pdx+Qdy+Rdz 是关于 z 的偶函数 Γ
其中 Γ1 为 Γ在 x≥0 的部分区域。
注：将关于变量 x 的对称性换成关于变量 y 或 z 的对称性
Γ
y乙2 f（x，y，z）dy 若 f（x,y）是关于 y 的单元偏偶函数 Γ1
0
若 f（x,y）是关于 y 的单元偏奇函数
乙 例 题 3 计 算 z2dy， 其 中 Γ：x2+y2=ax （z≥0，a>0） 若 从 x Γ
轴的正半轴去看，此曲线以逆时针方向为正向。 解：显然Γ关于坐标面 zox 同向对称,函数 f（x，y，z）=z2 是关
0
若 f（x,y）是关于 x 的单元偏奇函数
证明：设Γ1，Γ2 参数方程分别为：
y y x=x（t）
x=x（t）
Γ1： y=y（t） a≤t≤b Γ2： y=y（t） -b≤t≤-a，
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用
２１ ０ ２年 ２月
江
西
科
学
Ｖｏ ． ０ １ ３ Ｎｏ． １ Ｆｅ ２ ２ ｂ． ０１
ＪＡＮＧＸＩ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｉ ＣＥ Ｅ
文 章 编 号 ：０ １ ６９ ２ １ ） １— ０ １— ４ １０ —３７ （０ ２ ０ ０ ０ ０
对 称 性 在 曲线 积 分 及 曲面 积 分 计 算 中的应 用
中图分类号 ： １２２ ０ ７ ．
文献标识码‘ ： Ａ
Ｓ ｍ ｍ ｅ ｒ ｉ ｔ ｎ ｔ ｙ ｔ ｙ Ｐｏ ｎ ｓｉ ｈｅ Ｃｕｒ ｅ ａ ｄ Ｓ ｒ ａ ｅ Ｉ ｅ ｒ ｌ ｖ ｎ ｕ ｆ ｃ ｎｔ ｇ ａ Ｃａ ｃ ｌ ｔｏ ｎ ｔ ｅ Ａｐｐ ｉａ ｉ ｎ ｌｕ ａ ｉｎｓｉ ｈ ｌｃ ｔｏ
・
２・ （）＋Ｙ （） ｔ ｔ ｔｄ。
江
西
科
学
２１ ０ ２年第 ３ ０卷
Ｙ ｔ］ （ ）
求曲 积分ｆ ＋ ｄ 线 ， Ｙ） 。 （ ｓ
解 ： Ｌ 为 在 设 ０的那部分 曲线 ， 于 关
若 ，） 于 是 偶 函数， Ｙ 关 则 一 ｔ， （） Ｙ ｔ］＝ （） （）Ｙ ｔ］ ￡ ，（） ； 若 ，）关 于 是 奇 函 数 ， Ｙ 则 一 （） ｔ， ｙ ｔ ］＝一 【 （）ｙ ｔ］ （） ／ ｘ ｔ ，（） 。
０ 引 言
函数 的奇 、 对称性 在定 积 分 、 偶 重积 分 的计算 中有 重要 作用 。在进行 曲线 积分 、 曲面 积分 时 ， 若 积 分 区域 具有 某 种 对称 性 ， 两类 积分 的结 果 又 这 将 如何 ？对此 问 题 进 行探 究 ， 会得 到一 些 有 用 的
结论 。
积分中的对称性
积分中的对称性作者：刘建康【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。
【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。
这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。
设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。
在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。
对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。
下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。
1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。
结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。
其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。
结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。
结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。
第二类曲线和曲面积分的对称性
则有：
（其中L1为L 在 x ≥ 0 的
部分）。
若 Q(x, y) 关于 x 为偶函数，即 Q(−x, y) = Q(x, y) ，
则有：
。
此例可以看出，应用对称性，有时比应用高斯公式 还要简单得多，故可用来简化计算。 3 第二类曲线积分
给出第二类曲线积分的另一种计算方法，它与第二 类曲面积分的计算方法思路相同。
（利用了Ω的对称性）
则有：
（其中 L1 为L 在 y ≥ 0 的
部分）。
若 P(x, y) 关于 y 为偶函数，即 P(x, − y) = P(x, y) ，则
有：
2）
满足：①L关于 y 轴对称；②
中 分别为点(x,y)，点(-x,y)的方向角。
；其
若 Q(x, y) 关于 x 为奇函数，即 Q(−x, y) = −Q(x, y) ，
设Σ为光滑的有向曲面，Σ上点 (x, y, z) 处的单位法
向量为
，α, β ,γ 为方向角。
1） ∫∫ P(x, y, z)dydz Σ
若 P(x, y, z) 关于 x 为偶函数，即 P(−x, y, z) = P(x, y, z) ，
则有：
（其中 cosα1 > 0 ，当 cosα1 < 0 时，可得同样的结果） 同理可得到另外两种情况。 2） 满足：①Σ关于 zOx 平面对称；②cosβ1=-cosβ2；其中 β1，β2分别为点 (x, y, z) ，点 (x, − y, z) 处的指定侧的方向角。 若Q(x, y, z) 关于 y 为奇函数，即Q(x, − y, z) = −Q(x, y, z) ，
中 α1,α2 分别为点 (x, y, z) ，点 (−x, y, z) 处的指定侧的方
对称法在积分计算中的应用
对称法在积分计算中的应用1 引言积分学的萌芽、发生和发展经历了一个漫长的时期.古希腊的数学家阿基米德所做的工作及《抛物线求积法》是积分学产生的标志.在16世纪中叶，开普勒发展了阿基米德求面积和体积的方法，法国的帕斯卡和费马，英国的沃利斯和巴罗为积分学的发展奠定了基础.在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨最终创立了积分学.我们知道，定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的图形的面积而产生的，通过积分计算也可以求出曲顶柱体的体积，曲面的面积等.积分学不仅应用于数学，它也可以应用与经济学和物理学，比如说计算变力作功，引力和转动惯量等.积分的计算可以归结为计算具有特定结构的和式的极限.但是有时应用常规计算方法过程会很复杂.数学的对称美很多时候是解决数学难题的关键，往往可以使复杂的计算简化，使计算的准确率大幅度提高.在积分的计算中，可以通过被积函数或积分区间（区域）的对称性，找到计算积分的简洁方法.2 定积分利用对称法计算定积分，不仅可以简化对称区间上的奇、偶函数的定积分和对称区间上的非奇非偶函数的定积分的计算，还可以简化非对称区间上的定积分的计算.定理 2.1设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是连续函数，当)(x f 是奇函数时，0)(=⎰-aadx x f ；当)(x f 是偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.（证明略）例 2.1 计算积分dx xx x x I ⎰--++=112211cos 2.解 令)()()(21x f x f x f +=，221112)(xx x f -+=，2211cos )(xx x x f -+=，可知)(1x f 是偶函数)(2x f 是奇函数，由定理2.1得11211cos 11211cos 2112211211221122+-+=-++-+=-++=⎰⎰⎰⎰----dx xx dx xx x dx xx dx x x x x Iπ-=-+=--=-+=⎰⎰⎰⎰4)11(4)11(4112210210102221022dx x dx dx x x x dx xx . 定理2.2[]1 设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是不具有奇偶性的连续函数，则有[][]⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)()()()(21)(. 注：对于计算对称区间[]a a ,-上的非奇非偶函数)(x f 的定积分，只要)()(x f x f -+比)(x f 简单即可应用定理2.2.例2.2 计算积分dx exI x⎰-+=ππ1cos 2. 解 显然积分区间对称，被积函数不具有奇偶性，应用定理2.2得dx e x e e x dx e x e x dx e x I xx x x x x ⎰⎰⎰+++=+++=+=--ππππ0220222)1cos 1cos ()1cos 1cos (1cos21222cos 1cos 02+=+==⎰⎰πππdx x xdx . 定理2.3[]1 若函数)(x f 在积分区间上是连续函数，则有[]⎰⎰-++=ba badx x b a f x f dx x f )()(21)( 注：此定理应用于积分区间不对称，且被积函数不具有奇偶性的情况.例2.3 计算积分⎰+-+=312341dx x x x I .解 令t b a x -+=，由定理2.3得⎰⎰⎰+-=+-++-=+-+=31231231234621341521341dx x x dx x x x x dx x x x I ⎰⎰⎰⎰---=---=-⋅-=3131313111233123)1131(2331113dx x dx x dx x x dx x x2ln 233)12ln 2ln 1(231ln 233ln 233131-=+--=---=x x . 3 重积分3.1 二重积分利用对称法简化二重积分的计算，在一般情况下都要求积分区域D 具有对称性，且被积函数也具有对称性（即奇偶性）.但在特殊情况下，即使积分区域D 不具有对称性或者是被积函数不具有奇偶性，也能够通过一些技巧性的转化使其能够利用对称法简化积分的计算.定理3.1.1 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴对称，则 当),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰Ddxdy y x f ；当),(),(y x f y x f =-时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f （其中1D 是D 落在X 轴一侧的那部分区域）.当D 关于Y 轴对称时也有类似结论.（证明略）注：对于二元函数),(y x f ，若),(),(y x f y x f -=-，则称),(y x f 是关于变量y 的奇函数；若),(),(y x f y x f =-，则称),(y x f 是关于变量y 的偶函数.多元函数的奇偶性定义与其类似.例3.1.1 计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中1:≤+y x D . 解 显然积分区域D 关于X 轴对称，且),(),(y x f y x f -=-，由定理3.1.1得02==⎰⎰Dydxdy x I .定理3.1.2[]2设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴和Y 轴都对称（即若点D y x ∈),(则点D y x ∈-),(和D y x ∈-),(），则 当),(),(y x f y x f -=-或者),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(),(y x f y x f y x f =-=-时，⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D Ddxdy y x f dxdy y x f ，其中1D 是积分区域D 在第一象限的部分.例3.1.2 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=，其中1:≤+y x D .解 可知积分区域D 关于X 轴和Y 轴都对称，被积函数是关与x 与y 的偶函数，即有),(),(),(y x f y x f y x f =-=-.则由定理3.1.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=11144)(4D D D Dydxdy xdxdy dxdy y x dxdy y x I343232141410101010=+=+=⎰⎰⎰⎰--dx dy y dy dx x yx ， 其中0,0,1:1≥≥≤+y x y x D .定理 3.1.3 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，积分区域D 关于原点对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于原点对称.当),(),(y x f y x f -=--时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f =--时，dxdy y x f dxdy y x f D D⎰⎰⎰⎰=1),(2),(.（证明略）例3.1.3 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 显然，积分区域是圆域，关于原点对称，被积函数),(y x f 为关于变量x 和变量y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =--，由定理3.1.1和定理3.1.3得dxdy y x dxdy y x I D D )1625(4)1625(12222⎰⎰⎰⎰+=+=，其中1D 为D 在第一象限的部分利用极坐标变换：x r y x r x sin ,cos ==，可得)161251(4)16sin 25cos ()16sin 25cos (42202102220+=+=+=⎰⎰⎰πθθθθθθππd rdr r r d I . 注：此例题可等同于应用定理3.1.2，其实应用对称法简化积分计算时能应用定理3.1.2的一定能够应用定理3.1.3，但能应用定理3.1.3的不一定能应用定理3.1.2，因为若积分区域关于X 轴和Y 轴都对称则一定关于原点对称，而如果积分区域关于原点对称但不一定关于X 轴和Y 轴都对称.定理 3.1.4[]2 如果函数),(y x f 在积分区域D 上是连续函数，D 关于直线x y =对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于x y =对称.则有⎰⎰⎰⎰=DDdxdy x y f dxdy y x f ),(),(；⎰⎰⎰⎰=21),(),(D D dxdy x y f dxdy y x f ；当),(),(y x f y x f ---=时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f --=时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f .当D 关于直线x y -=对称时也有类似结论.例3.1.4计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 积分区域关于直线x y =对称，),(),(y x f y x f --=，由定理3.1.4得dxdy x y dxdy y x DD )1625()1625(2222+=+⎰⎰⎰⎰ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D dxdy x y dxdy y x dxdy y x I )1625()1625(21)1625(222222dxdy y x dxdy y x DD )()251161(21))(251161(212222⎰⎰⎰⎰++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)251161(4+=π. 对于积分区域对称而被积函数),(y x f 不具有奇偶性或者积分区域整体不具有对称性的情况，可经技巧性处理使之可利用对称法简化积分计算.例 3.1.5 计算积分⎰⎰+=Dd y x I σ)(，其中D 为抛物线2x y =、24x y =和直线1=y 所围成的区域.解 积分区域D 关于Y 轴对称，但),(y x f 是变量x 的非奇非偶函数，令y x y x f y x f y x f +=+=),(),(),(21，即x y x f =),(1，y y x f =),(2，可知 ),(1y x f 是关于x 的奇函数，),(2y x f 是关于x 的偶函数，则可由定理3.1.1得521222101===+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y D DDydx dy d y yd xd I σσσ，其中1D 为D 在Y 轴右侧的区域. 注：1. 一般积分区域D 具有对称性而被积函数为非奇非偶函数时，可以利用分项积分使之成为可用对称性简化计算.2. 一些积分区域整体不具有对称性的积分在一定条件下可将其划分为若干具有对称性的子域，则可利用对称性简化积分计算.3.2 三重积分利用对称法简化三重积分的计算大体可以分成以下几种情况：定理 3.2.1 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，Ω关于坐标平面yoz 对称，1Ω是坐标平面yoz 的前侧区域，则当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，0),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =-时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .当Ω关于坐标平面xoz 或者坐标平面xoy 对称时也有类似结论.（证明略）例3.2.1 计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于坐标平面xoy 对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.1得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 定理3.2.2[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于X 轴对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=--时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =--时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f ，其中1Ω是Ω位于X 轴一侧的区域.当Ω关于Y 轴或者Z 轴对称时也有类似的结论.例3.2.3计算积分⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z x I )(，其中Ω是由曲面22:y x Z Z +=与曲面221:y x Z Z --=所围成的区域.解 令z x z y x f +=),,(，x z y x f =),,(1，z z y x f =),,(2，可知对于),,(1z y x f ，有),,(),,(11z y x f z y x f -=-，由定理3.2.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+=+=+=zdxdydz zdxdydz xdxdydz dxdydz z x I 0)(利用球面坐标变换，得8sin cos 401220πϕϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r r d d I .定理 3.2.3[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于原点对称，即21Ω⋃Ω=Ω，1Ω，2Ω关于原点对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=---时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =---时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .例3.2.3计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于原点对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.3得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 在进行三重积分计算时，要善于观察被积函数和积分区域的特点，注意兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，恰当的利用对称法去简化计算，可以使三重积分问题的解答大大的简化.4 曲线积分4.1第一型曲线积分 定理4.1.1[]()7524P 曲线L 可以划分为两部分1L 和2L ，若点1X 和点2X 互为对称点并且分别在对称的两个部分1L 和2L 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰ds X f L当)()(21X f X f =时，⎰⎰=1)(2)(L Lds X f ds X f .例4.1.1 计算积分⎰=Lds y I 3，其中积分曲线1:=+y x L .解 积分曲线关于X 轴对称，且3),(y y x f =是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，则03==⎰ds y I L.例4.1.2 计算ds y I L⎰=，其中)()(:222222y x a y x L -=+.解 可知y y x f =),(是偶函数，并且积分曲线L 关于X 轴 和Y 轴对称，由定理4.1.1可得此积分计算时可只考虑第一象限部分的曲线积分即可，由极坐标，即θρθρsin ,cos ==y x ，则L 可以化为θρ2cos 22a =， 令42202πθπθρ=⇒=⇒=，又θθθρρd a d ds 2cos )(22='+=，则)221(42cos sin 442401-=⋅==⎰⎰a d a ds y I L θθθρπ， 其中1L 是L 在第一象限部分.4.2 第二型曲线积分定理4.2.1[]()7524P 设分段光滑的有向平面曲线L 关于X 轴对称，L 的上半平面部分1L 与下半平面部分2L 的方向相反，则当),(y x f 是关于y 的偶函数时，0),(=⎰dx y x f L；当),(y x f 是关于y 的奇函数时，ds y x f dx y x f L L⎰⎰=1),(2),(.当曲线L 关于Y 轴对称时，对于ds y x f L⎰),(有类似结论.例4.2.1 计算积分ydy x I L⎰=，其中L 是抛物线2x y =上点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧.解 因为L 是关于Y 轴对称，并且对称的两部分方向相反，被积函数是x 的偶函数，由定理4.2.1得0==⎰ydy x I L.5 曲面积分5.1 第一型曲面积分 定理5.1.1[]()7854若积分曲面S 可以分成对称的两个部分1S 和2S ，1X 和2X 对称且分别在1S 和2S 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰⎰ds X f S；当)()(21X f X f =时，ds Xf ds X f SS)(2)(1⎰⎰⎰⎰=.例5.1.1 计算积分ds xyz I S⎰⎰=，其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和平面1=z 之间的部分.解 显然积分曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称，并且被积函数是偶函数，由定理5.1.1可以只考虑积分在第一卦限的部分1S ，即⎰⎰=14S xyzds I ，由22y x z +=，x z x 2='，y z y 2='，dxdy y x ds 4412++=，则rdrr r r d dxdy y x y x xy I S ⋅+⋅⋅=+++=⎰⎰⎰⎰221220222241cos sin 4441)(41θθθπ42015125-=.5.2 第二型曲面积分定理5.2.1[]()7954设分片光滑的曲面S 关于坐标平面xoy 对称，且S 在坐标平面xoy 上半空间的部分曲面1S 取定上侧，在坐标平面xoy 的下半部分曲面2S 取定下侧，则当),,(),,(z y x f z y x f =-时，0),,(=⎰⎰Sds z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，⎰⎰⎰⎰=1),,(),,(S Sds z y x f ds z y x f .当分片光滑曲面S 关于坐标平面xoz 或者坐标平面yoz 对称时也有相似结论. 例5.2.1 计算积分dxdy zxdzdx ydydz I S⎰⎰+-=2，其中S 是锥面22y x z +=在平面1=z 和平面2=z 之间的外侧.解 显然，由定理5.2.1有0=⎰⎰Sydydz 和0=-⎰⎰Sxdzdx ，则πθπ215)(220212122222-=⋅-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤rdr r d dxdy y x dxdy z I y x S. 其实第一型曲线积分和第一型曲面积分、第二型曲线积分和第二型曲面积分应用对称性简化计算的方法很类似，而第一型曲线、曲面积分和第二型曲线、曲面积分在被积函数是奇函数或者偶函数时，相互抵消或者变为其中一部分积分区域的两倍时刚好相反，原因就在于第二型曲线积分和第二型曲面积分计算时需要考虑符号规则！6 轮换对称性定义6.1[]5 设对任意点Ω∈-),,,,(1211n n x x x x P Λ，Ω∈),,,,(1322x x x x P n Λ，······ Ω∈--),,,,(121n n n n x x x x P Λ，其中（n R ∈Ω）均成立，则称区域Ω是关于变量n x x x ,,,21Λ具有轮换对称性.例如球域2222R z y x ≤++关于z y x ,,具有轮换对称性.定义6.2[]5 若积分区域或者被积函数的表达式中，将变量z y x ,,按下列次序：y x →，z y →，x z →变换后，其表达式均不变，则称积分区域或被积函数关于变量z y x ,,具有轮换对称性.例如222z y x r ++=关于z y x ,,具有轮换对称性.轮换对称性经常应用于计算重积分和曲线积分、曲面积分中。
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利用对称性计算曲线积分与曲面积分摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分。
这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误。
而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用。
关键词：奇（偶）函数 曲线积分 曲面积分 对称 计算引： 在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷。
一、 曲线积分（一） 第一类曲线积分的对称问题定义1 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上，（1）若满足关系式=或),(y x f -=，则称),(y x f 为关于x 或y 的偶函数； （2）若),(y x f 满足关系式),(y x f -=-),(y x f 或),(y x f -=-),(y x f ，则称),(y x f 为关于或y 的奇函数；定义2 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲线上（1）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的偶函数；（2）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的奇函数；定理1 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，且曲线L 关于ox （或oy ）对称，则：（1）当偶函数时，⎰Lds y x f ),(=2⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于对称轴一侧的部分）；（2）当),(y x f 是y （或x ）的奇函数时，⎰Lds y x f ),(=0证 设关于ox 轴对称的光滑曲线21L L L +=（其中1L 、2L 分别是曲线L 位于ox 轴上、下两侧的部分）；则：⎰Lds y x f ),(=ds y x f L L ),()(21⎰⎰+用曲线L 上关于ox 轴对称点系分割L ，在1L 上的小弧段中任取一点（i ξ，i η），在2L 上关于i S ∆对称于ox 轴的小弧段中任取一点（i ξ，-i η），构造和式：∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-ii i f ),(ηξiS ∆令：诸小弧段中最长者为λ，由于),(y x f 在L 上可积且i S ∆=i S '∆,于是 （1）当),(y x f 是y 的偶函数，即),(i i f ηξ-=),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x 2∑iiif ),(ηξiS ∆=2⎰1),(L ds y x f（2）当),(y x f 是y 的奇函数，即),(i i f ηξ-=-),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x {∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-iii f )],([ηξiS'∆}=0lim→x ∑i0iS ∆=0 （证毕）定理2 设函数),,(z y x f 在三维光滑或（分段光滑）曲线Γ上可积，且曲线Γ对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则（1）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）的偶函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=2⎰Γ1),,(ds z y x f （其中1Γ是Γ位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）奇函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=0推论 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，L 对称于ox 和oy 轴，则（1）当),(y x f 是关于y 和x 的偶函数时，有⎰Lds y x f ),(=4⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于第Ⅰ象限中的部分）（2）当),(y x f 是关于y 和x 中至少某一变量的奇函数时，有⎰Lds y x f ),(=0例1 计算ds yx xy x ⎰=++1解：∵积分曲线既对称于ox 轴又对称于oy 轴，且被积函数),(y x f =yx x+是x 的奇函数 ∴原式=ds yx xy x ⎰=++1=⎰=+11y x ds x（二）第二类曲线积分的对称问题定理3 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为)(x y y ±=，（b x a ≤≤）。
记1L ,2L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分，1L ,2L 分别在x 轴上的投影的方向相反，函数),(y x P 在L 上连续，那么 （1）当),(y x P 关于y 为偶函数时，则⎰Ldx y x P ),(=0（2）当),(y x P 关于y 为奇函数时，则⎰Ldx y x P ),(=2⎰1),(L dx y x P证明 依定理条件不妨设1L ：)(x y y =，x 从点a 变到点b 2L ：)(x y y -=，x 从点b 变到点a于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(L dx y x P +⎰12),(L dx y x P= ⎰badx x y x P )](,[+⎰-badx x y x P )](,[=⎰--badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{故（1）当),(y x P 关于y 为偶函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰-badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{=⎰badx 0=0（2）当),(y x P 关于y 为奇函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰+badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{=2⎰badx x y x P )](,[=2⎰1),(L dx y x P注：对于⎰Ldy y x Q ),(有类似定理1的结论例2 计算I=⎰Lxydx ，其中L 我抛物线x y =2从点A （1，-1到点B （1，1）的一段弧解：依题设条件知，该曲线积分满足定理3，故有I=2⎰1L xydx =2⎰1dx x x =54 其中，1L ：x y =，x 从点0变到点1。
关于曲线积分⎰Ldx y x P ),(还有另一个对称性的结论是:定理 4 设L 为xoy 平面上关于y 轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇方程为)(x y y =，（a x a ≤≤-），记1L ,2L 分别为L 位于y 轴的右半部分与左半部分，1L ,2L 分别在x 轴上的投影方向相同，函数),(y x P 在L 上连续，那么（1）当),(y x P 关于x 为奇函数时，则⎰Ldx y x P ),(=0（2）当),(y x P 关于x 为偶函数时，则⎰Ldx y x P ),(=2⎰1),(L dx y x P证明 依定理条件不妨设1L ：)(x y y =，x 从点0变到点a2L ：)(x y y -=，x 从点-a 变到点0于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(L dx y x P +⎰12),(L dx y x P= +⎰--0)](,[adx x y x P对右端第2个积分，令t x -=，有⎰--0)](,[adx x y x P =⎰-adt t y t P 0)](,[=因此有⎰Ldx y x P ),(=⎰adx x y x P 0)](,[+⎰-adx x y x P 0)](,[=⎰-+adx x y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{故 （1）当),(y x P 在L 上关于x 为奇函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰-adx x y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{=⎰adx 00=0（2）当),(y x P 在L 上关于x 为偶函数时，有⎰Ldx y x P ),(=⎰+adx x y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{=2⎰adx x y x P 0)](,[=2⎰1),(L dx y x P注：对于⎰Ldy y x Q ),(有类似定理4的结论例3 计算I=⎰+-+Ldy y y x dx y x )sin ()(222，其中L 为222a y x =+（a ＞0）按逆时针方向从点A （a ，0）到点B （-a ，0）的上半圆周解 可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即I=⎰+Ldx y x )(22-2⎰Lxydx -⎰+Ldy y y x )sin (22依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分满足定理4，故有I=⎰+Ldx y x )(22=2⎰+1)(22L dx y x =2⎰-+0222)(adx x a x =-23a二 曲面积分（一）第一类曲面积分的对称问题定理5 设函数),,(z y x f 在光滑（或分片光滑）曲面∑上可积，且对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则（1）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 的偶函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,( =8⎰⎰∑1),,(ds z y x f （其中1∑是∑位于对称坐标面一侧的部分）（2）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 的奇函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,( =0推论 设函数),,(z y x f 在光滑（或分片光滑）曲面∑上可积，且∑关于xo y ,yoz ,zox 坐标面均对称，则（1）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 的偶函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(=8⎰⎰∑1),,(ds z y x f （其中1∑是∑在第Ⅰ卦限的部分）（2）当),,(z y x f 是关于z ，x 和y 中至少某一变量的奇函数时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(=0例4 计算⎰⎰∑++ds zy x y 222，其中∑：平面0=z ，H z =之间的圆柱面222R y x =+ 解：因为积分曲面对称于zox 坐标面，且被积函数),,(z y x f =222z y x y++是关于y的奇函数，所以⎰⎰∑++ds zy x y222例5 计算⎰⎰∑--ds y x a x2226，其中∑：2222a z y x =++解：令1∑：2222a z y x =++，a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0，则1D ：22y x +≤2a a x ≤≤0 a y ≤≤0ds=dxdy z z y x 221++=dxdy yx a a 222--因为∑对称于三个坐标面，且被积函数),,(z y x f =222z y x y++是关于，x ,y ,z 的偶函数，所以由对称性知⎰⎰∑--ds y x a x 2226=8⎰⎰∑--12226ds y x a x =8a⎰⎰16D dxdy x =8a ⎰⎰167cos D drd r θ =8a ⎰⎰a dr r 0726cos πθ=9325a π （二）第二类曲面积分的对称问题 与第二类曲线积分类似有以下结论定理 6 设∑为关于xoy 平面对称的有向光滑曲面，其方程式一双直函数，设为),(y x z z ±=，),(y x ∈xy D （其中xy D 为∑在xoy 平面的投影区域），记1∑，2∑分别位于xoy 平面的上半部分与下半部分，1∑与2∑的侧关于xoy 平面相反，函数),,(x y x R 在∑上连续，那么（1）当),,(x y x R 关于z 为偶函数时，则dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=0（2）当),,(x y x R 关于z 为奇函数时，则dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=2dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(证明 依定理条件不妨设1∑：),(y x z z =，),(y x ∈xy D ，1∑取上侧2∑：),(y x z z -=，),(y x ∈xy D ，2∑取下侧于是由对坐标的曲面积分的性质及计算方法有dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(+dxdy z y x R ⎰⎰∑2),,(=dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[-dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰-)],(,,[dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰--故（1）当),,(x y x R 关于z 为偶函数时，有dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰-=dxdy xyD ⎰⎰0=0（2）当),,(x y x R 关于z 为奇函数时，有dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰+=2dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[=2dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(注：对于dydz z y x P ⎰⎰∑),,(，dzdx z y x Q ⎰⎰∑),,(有类似定理6的结论例6 计算I=⎰⎰∑xyzdxdy ，式中∑为球面1222=++z y x 的外侧位于x ≥0，y ≥0的部分。