第四节 数列求和

n[(2n 1) (3n 2)] 5n2 3n
2
2
Sn
5 (12 2
22
n2)
3 (1 2
2
n)
5 1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
26
22
1 n(n 1)(10n 5 9) 1 n(n 1)(5n 2)
12
6
(2)解：1,a a2,a2 a3 a 4 ,
。
n
（1）an
2n 2n (2)bn
1 n(n
2)
(3)cn
1 n 1
n (4)dn n 2n
解：
an 2n 2n
(1)拆项法：Sn (2 2) (2 2 22)
(2 3 23) (2n 2n )
2(1 2 n) (2 22 23 2n )
2当a
1时, Sn
n(n 1) 2
解：
3当a 1时,数列1,0,1,0,
当n为偶数时，S n
n 2
当n为奇数时, Sn
n 1 2
解：(3)an 62nn(n为5(偶n为数奇）数），求数列{an }的前n项和；
.
(3)数列的奇数项：首项为1，公差为12
数列的偶数项：首项为4，公比为4，
例3、（1）求数列1，3 4，5 6 7，7 8 9 10， ，
的前n 项和； （2）求数列1，a a2,a2 a3 a4, a3 a4 a5 a6, 的前n项和； (3)已知数列{an }的通项公式 an 62nn(n为5(偶n为数奇）数），求数列{an }的前n项和；
3 32
3n
3 3n1
解：
2
1 3
(1
1 3n
1 1
)
1 3
2n 1 3n1
1
1 3n
1 3
2n 1 3n1
3
2 2 n1 3 3 3n
n 1 Tn 1 3n
Sn
3 2
n2
3 2
(1
n 3n
1)
3 2
(n2
1
n 3n
1)
例5、已知数列bn是等差数列，b1 1
b1 b2 b10 145
1 ), 3n 2
Dn 3 3n 1，当n 1时C1 2 3 4 D1
当n
2时, C2
(1 1)(1
1) 4
5 2
,
D2
3
7
C2
3
125 8
3
15 5 8
3
7
D2
C2 D2 猜想：Cn Dn
解数：学归纳法：
1当n 1、2时，不等式显然成立，
2 假设n k时，不等式成立，即
0 3k 2 3 3k 4 3 3(k 1) 1
3 (3k 1)2
(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3(k 1) 1
a3 a 4 a5 a 6 ,
an
an1 an –
a2n2
1 当a
1时，an
an1(1 an ) 1a
(an 1 a2n 1) 1a
Sn
1 1a
(1
a
a n1 )
1 1a
(a
a3
a 2n1 )
1 1 a n 1 a(1 a 2n )
1 a 1 a 1 a 1 a2
1，a a2,a2 a3 a 4, a3 a4 a5 a6,
(2)an
log a (1
1) 3n 2
Sn
log a [(1 1)(1
1)(1 4
1) (1 7
1) 3n 2
又
1 3
log
a
bn1
log a
3
3n
1
解： 若比较S
与
n
1 3
log
a
bn
的大小，
1
只须比较(11)(1 1)(1 1) (1 1 )
47
3n 2
与3 3n 1的大小.
5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多 项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式 有：
n k 1 2 n 1 nn 1
k 1
2
n k 2 12 22 n2 1 nn 12n 1
k 1
6
n k 3 13 23 n3 1 n2 n 12
k 1
4
典型例题
例1、求下列数列的前n项和S
n (n
22
1)
12
（4 1 1
42 ) 4
3n 2 5n 2n 2 4
2 3
（4）已知数列{an }中，an 33 2n, 求数列{an }的前n项和；
解：(4)an
0
33
2n
0
n
16
1 2
,n
N
an 0, (1 n 16, n N )
Sn
n(31 33 2
2n)
Sn S奇 S偶 当n为奇数时，奇数项共 n 1 项，
2
偶数项共 n 1 项，
2
解：
Sn
S奇
S偶
n 1 2
1 2
n 1（n 1 22
1）12
n
（4 1 42 ) (n 1)(3n 2) 2n1 4
1 4
2
3
解：
当n为偶数时，奇数项为 n 偶数项为 n
2
2
n
Sn
S 奇
S 偶
n
2
1 2
(n
1) 2n
n 2n②1
Sn 2 22 23 2n n 2n1
2(1 2n ) n 2n1 (1 n)2n1 2 1 2
Sn (n 1)2n1 2
例2、若函数f (x) 1 ,求T f (5) 2x 2
f (4) f (0) f (5) f (6) 解：倒序相加法：f (n) f (n 1) 1
.
（4）已知数列{an}中，an 33 2n, 求数列{ an }的前n项和；
（5）求数列 1 ， 1 ， 1 ， 123 234 345
1 ， 的前n项和 456
解：1，3 4，5 6 7，7 8 9 10， ，
（1）an (2n 1) 2n (2n 1) [(2n 1) (n 1)]
此种裂项不合适，把多项求和化为少项，
应寻找一种能正负相消的裂项，因此应
an
1[ 1 2 n(n 1)
1 (n 1)(n
] 2)
解：
1 1 1 1 23 23 4 3 45
1
1 [( 1 1 )
n(n 1)(n 2) 2 1 2 2 3
( 1 1 )( 1
1
)]
2 3 3 4 n(n 1) (n 1)(n 2)
(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3k 1
4
3k 2
那么当n k 1时，
(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3k 1 3k 2
4
3k 1
3k 1
3k 2 3 (3k 1)2
解：
3k 2 3 3k 4 3 (3k 1)2
3 27n3 54n2 36n 8 3 27n3 54n2 27n 4 3 (3k 1)2
2n 2
1
2n
1
Hale Waihona Puke 2n1 2 1 2n 2 2n1 2
2n 2 1 2
2n1 2 2
T f (5) f (4) f (0) f (5) f (6) ① T f (6) f (5) f (0) f (4) f (5) ②
① +②
2T 2 12 T 3 2 2
f (n 1) f (n)
f (n) f (n 1) f (1) 3 2 1
(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3n 1
4
3n 2
当a
1时, Sn
1 3
log
a
bn1
当0
a
1时, Sn
1 3 log a
bn1
解：
法2、设Cn
(1 1)(1
1 ) (1 4
32n n2
当n 16时,Tn a1 a2 an
a1 a2 an 32n n2
解：
当n 17时,Tn a1 a2 an
a1 a2 a16 a17 a18 an
2(a1 a2 a16 ) (a1 a2 an )
解：
(1) a1 , a2 a1 , a3 a2 , an an1
是首项为1，公比为1 的等比数列， 3
a1
1, n
2时，an
a n 1
1（ 1）n1 3
an a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (an an1 )
1
1
(1)2
(1) n1
1[1
(1)n ] 3
裂项相消法：cn
1
n 1
n
n 1
n
Sn
1
2 1
1 3
2
1
n 1
n
[( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n )]
n 11
解：
dn n 2n
（3）错位相减法：
Sn 1 2 2 22 3 23 n 2n ①
2S n
1 22
①– ②
2 23
3 拆 . 项法：把数列的每一项分成两项，或把 数列的项“集”在一块重新组合，或把整个 数列分成两部分，使其转化为等差或等比数 列，这一求和方法称为 拆项法. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项差， 即数列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项 的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方 法称 为裂项相消法.
数列求和