(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案
三年级下册数学试题-奥数练习：等差数列(含答案)全国通用
等差数列初步(求公差与某一项、求项数)1.等差数列中, 第9 项和第17 项相隔__________个公差．2.等差数列中, 第6 项和第20 项相隔__________个公差．3.一个等差数列共有15 项．每一项都比它的前一项大2, 并且首项为30, 那么末项是__________．4.一个等差数列, 每一项都比它的前一项大2,第3 项为33, 那么第10 项是__________．5.一个等差数列第4 项为25,第15 项为113, 那么这个等差数列的公差是__________．6.一个等差数列第7 项为50,第12 项为75, 那么这个等差数列的公差是__________．7.一个等差数列首项为5, 末项为101, 公差为8, 那么首项和末项之间相隔了__________个公差．8.一个等差数列首项为20, 末项为116, 公差为6, 那么首项和末项之间相隔了__________个公差．9.已知等差数列2, 9, 16, 23, 30, …, 那么86 是这个等差数列的第__________项．10.已知等差数列3,9,15,21,27,…,那么93 是这个等差数列的第__________项．11.一个等差数列的首项为7,第8 项为91, 127 是第__________项．12.一个等差数列的首项为12,第7 项为90, 129 是第__________项．答案：1.（8） 2.（14） 3.（58）4.（47）5.（8） 6.（5）7.（12）8.（16）9.（13）10.（16）11.（11）12.（10）等差数列求和（配对求和、利用中间数求和）1.计算：13+17+21+25+29+33+37+41=__________．2.计算：32+34+36+38+40+42+44+46+48+50= __________．3.3+7+11+15+……, 等差数列共12 项, 那么这12 项的和是__________．4.4+7+10+13+……, 等差数列共20 项, 那么这20 项的和是__________．5.计算：5+7+9+……+53+55=__________．6.计算：13+19+25+……+67+73=_________．7.文雯为了增肥,计划每天吃包子,第一天她吃了5 个包子,以后每天都比前一天多吃3 个包子,最后一天吃了32 个包子．那么文雯一共吃了________ 天包子, 共吃了8.一个等差数列共15 项, 那么这个等差数列的中间数是第__________项．9.一个等差数列共9 项, 那么这个等差数列的中间数是第__________项．10.馋嘴猴特别爱吃香蕉, 它每周吃的香蕉数量成等差数列, 已知它第5 周吃了20 根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了_________根香蕉．11.旦旦很喜欢吃包子, 她每天吃的包子数成等差数列, 已知她第6 天吃了30 个包子, 那么旦旦前11天一共吃了__________个包子．12.已知一个等差数列的下列条件：① 第1 项是7; ② 第7 项是25; ③ 第8 项是28; ④ 第13 项是43;⑤ 公差是3; ⑥ 共13 项．以下选项中不能求出这个等差数列和的是__________．• A. ①、④和⑥• B. ③、⑤和⑥• C. ②和⑥• D. ③和⑥答案：1.（216） 2.（410） 3.（300）4.（650）5.（780）6.（473）7.（10,185）8.（8）9.（5）10.（180）11.（330）12.（D）等差数列应用(求中间数、中间数的应用)1. 9 个连续自然数之和为126, 其中第5 个数是__________．2. 7 个连续自然数之和为105, 其中第4 个数是__________．3.9 个连续自然数之和为135, 其中最小的数是__________．4.9 个连续自然数之和为153, 其中最大的数是_________．5.把248 表示成8 个连续偶数的和, 其中最大的偶数是__________．6.等差数列中, 第5 项到第13 项共有______ 项,第5 项到第13 项的中间项是第_______ 项．7.等差数列中, 第3 项到第9 项共有________ 项,第3 项到第9 项的中间项是第_________ 项．答案：1.（14） 2.（15） 3.（11）4.（21）5.（38）6.（9,9）7.（7, 6）。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第22讲等差数列应用
☆7 O求解的方法在等差数列的问题中非常常见项和105CD这4个等著数列 之间有什么相同 的地方少练习1那么中间数=和十项数•也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数•这种通过公式反向 例题10 2N 25 分析：前7项的和是105，根据公式可以求出第几项呢?/0, 2 4fig 第:项 中间数都是16 •其实只要项数与和相同， 中间数就自然相同了，因为我们学过公式：和=中间数x 项数 8D 这几个等差数列虽然都不一样， 但它们的项数、和与中间数都是相同的： 项数都是7,和都是112 20P Sflo 28一个等差数列的第1项是3,前11项之和为198，这个数列的第20项是多少?第骑第2项 一个等差数列的第 1项是21,前7项的和为105，这个数列的第10项是多少?第二十二讲等差数列应用9个连续自然数的和是126,其中最小的数是多少?分析：这9个数是等差数列吗？如果是的话，公差是几?练习27个连续奇数之和为91,其中最小的数是多少?当然，要使用公式：和=中间数X项数来解题的话，这个数列的项数必须是奇数.例题3已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？和为819分析：如果知道任何两项具体的数值，就能算出公差.能不能找到这样的两项呢?练习3已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690.请问：这个等差数列的首项是多少?但并不是所有的等差数列的项数都是奇数•当项数是偶数时，只能根据公式：和=（首项+末项）X项数吃，算出首项与末项的和.如果再能求出首项与末项的差，便能求出首项与末项的具体数值了.第亡项和为450'."第项☆4是多少?少？(7^例题6例题5分析：首项与末项的和是多少？差是多少?表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少?分析：思考下一共有几个人？改分前小高是第几个，改分后小高是第几个?在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为分析：通过“前15项之和为450”这个条件除了能知道“中间数”之外，还能知道其他一些信息吗? 已知一个等差数列的前 15项之和为450，前20项之和为750.请问：这个数列的公差是多少？首项 3的等差数列，总分为 609.小高发现自己的 练习4把115表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是几?分数算少了，找老师更正后，加了 21分，这时他们的成绩还是一个等差数列.请问小高正确的分数是多等比数列小故事作业1. 已知一个等差数列的首项是17,前7项之和为161，这个数列的第11项是多少?2. 7个连续偶数之和为112，其中最小的那个数是多少?4. 325表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是多少?5.已知一个等差数列的前11项之和为451，前19项之和为1235，这个数列的首项是多少?答案：3详解：先求出第4项：105 7 15，所以公差为：21 15 4 1 2，第10项为：21 2 10 1 3 .2.例题2答案：10详解：9个连续自然数是一个公差为1的等差数列，第5项为：126 9 14，所以最小的数为：14 4 10 .3.例题3答案：3 ；9详解：先根据前15项之和，求出第8项为：450 15 30 •再根据21项之和，求出第11项为：819 21 39 .所以公差是：39 30 11 8 3，首项为：30 3 8 1 9 .4.例题4答案：38详解：8个连续偶数构成的是公差为2的一个等差数列，最大数应该比最小数大2 7 14，再算出最小数与最大数的和：248 2 8 62，所以最大数为：62 14 2 38 .5.例题5答案：3 ；9详解：“前15项之和为450”，所以第1项与第15项之和为：450 2 15 60 .同样地，算出第 1 项与第20项之和为75,都含有第1项，所以第20项比第15项大了75 60 15，公差为：15 5 3，第15项比首项大3 14 42，所以首项为：60 42 2 9 .6.例题6答案：99分详解：原来是最低的，加了21分之后应该变成最高的，公差是3,所以小组里共有7人.原来中间的数为609 7 87分，所以最后小高是99分.7.练习1答案：60简答：第6项为：198 11 18，公差为：18 3 6 1 3，第20项为：3 3 19 60.8.练习2答案：7简答：第4个是：91 7 13，最小数为7.9.练习3答案：11简答：第7项为：533 13 41，第8项为：690 15 46，公差为5,则首项为：41 5 6 11 .10.练习4答案：7简答：最小数比最大数小9,且最小数与最大数之和为：115 2 10 23，则最小数为7.答案：10简答：中间项即第4个数为112 7 16，则最小的是10.13.作业3答案：7末项比首项大简答：(首项末项)8 2 112，所以首项末项28，而对于8个连续奇数，2 714，则首项为7.14.作业4答案：28简答：这10个连续自然数构成一个公差为1的等差数列，(首项末项)10 2 325，所以首项末项65，而首项又比末项小9，则首项为28.15.作业5答案：11简答：第6项为4511141，第10项为12351965，则公差为(6541)(106)6，首项为41 (6 1) 6 11 .。
小学奥数等差数列练习及答案
小学奥数等差数列练习及答案【三篇】【篇一】知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项- 首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数【篇二】典例剖析：例（1在数列3、6、9……,201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+ 1,便可求出（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1 ）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3（201-1）=603答：共有67 个数，第201 个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案:第48项是286，508是第85项例（2）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从1 00~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。
练一练：求从1 到2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案:1000例（3）求自然数中被10除余1 的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被1 0除余1最小的是1 1 ，的是91 。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9,我们可以根据求和公式来计算。
3年级奥数_等差数列求和(一)
而更使人吃惊的是男孩ຫໍສະໝຸດ 算法......小故事老师发现：第一个数加最后一个 数是101，第二个数加倒数第二个数 的和也是101，……共有50对这样的 数，用101乘以50得到5050。这种算 法是教师未曾教过的计算等级数的方 法，高斯的才华使老师——彪特耐尔 十分激动，下课后特地向校长汇报， 并声称自己已经没有什么可教这位男 孩的了。 此男孩叫高斯，是德国数学家、 天文学家和物理学家，被誉为历史 上伟大的数学家之一，和阿基米德、 牛顿并列，同享盛名。
卡尔· 弗里德里希· 高斯
一、等差数列的基本知识
（一）数列的基本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列 数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项； 在第几个位置上的数就叫第几项； 有多少项称为项数；
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276 分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5 等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？ 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项） 原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
（1）10支球队进行循环比赛，每两支球 队之间都要进行一场比赛，一共要进行 多场比赛？ (2)8个小朋友,要使每个小朋友都能拿到苹 果,而且每个人拿到苹果都不同的话,这 堆苹果至少应该有多少个? 3.小红读一本书,第一天读30页,从第二天 起,每天读的页数都必须比前一天多4页, 最后一天读了70页刚好读完,这本书共 有几页?
三年级奥数等差数列求和盈亏问题
三年级奥数第五讲等差数列求和例题1. 计算2+5+8+11+17+20+23练习：计算1+2+3+5+7+9+11+13+15+17+19例题2. 计算8+10+12+14+16+18+20练习：计算3+6+9+12+15+18+21例题3. 计算5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5练习：20+17+14+11+8+5+2例题4. 计算9+11+13+15+17+19+22练习：计算5+7+9+11+13+15+17+19+21+25例题5. 计算8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23练习：计算12+13+14+15+16+18+20+22+24+26例题6. 杨诚为了买课外书自己存钱，2003年元月存一元钱，以后每月都比前一个月多存1元钱，那么2003年这一年里一共可以存多少钱？练习：一辆双层公共汽车空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，以此类推，到第11站之后，公汽上的作为刚好坐满。
求这两公汽共有多少个座位？例题7. 三年级数学培优班第1小组由8名同学，开学时，老师要求该组没人都握一次手，问共握多少次手？练习：有10把钥匙是互相配对的，但小组把锁和钥匙弄乱了，问最多需要实验多少次，就可以把锁和钥匙配起来？板块一、直接计算型盈亏问题【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？【例2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．【巩固】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【巩固】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【例3】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【巩固】学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【巩固】某学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？板块二、条件关系转换型盈亏问题【例4】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【巩固】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？【巩固】一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【巩固】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【例5】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【例6】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。
(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案
计算（三)等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用n S 来表示 .三：求和公式：和=（首项+末项）⨯项数2÷,1()2n n s a a n =+⨯÷。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手:（思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯=（思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=.四、中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）,题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯。
例题精讲： 例1:求和:（1)1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85—1）÷3+1=29和=(1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78(3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和.例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900答案：(1）19900 （2）1160 （3)5355例3：一个等差数列2，4，6，8，10,12,14,这个数列的和是多少?分析：根据中项定理,这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756⨯=答案:56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少.分析：这个数列的首项是1，末项是401,项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：和=（1+401）×101÷2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……，问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析:即求首项是2,公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182根据求和公式：和=(2+182)×61÷2=5612答案：5612例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第22讲等差数列应用
5. 例题 5 答案： 3；9 详解：“前 15 项之和为 450”，所以第 1 项与第 15 项之和为： 450 2 15 60 ．同样地，算出第 1 项与第 20 项之和为 75，都含有第 1 项，所以第 20 项比第 15 项大了 75 60 15 ，公差为：15 5 3，
第 15 项比首项大 3 14 42 ，所以首项为： 60 42 2 9 ．
和 =（首项 +末项） ×项数 ÷2，算出首项与末项的和．如果再能求出首项与末项的差，便能求出首项与末 项的具体数值了． ----------------------------------------------------------------------------
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例题 4
把 248 表示成 8 个连续偶数的和，其中最大的偶数是多少？ 分析：首项与末项的和是多少？差是多少？
例题 1
一个等差数列的第 1 项是 21，前 7 项的和为 105，这个数列的第 10 项是多少？第 1项 第2项 21第 7项第 10 项 ？
和 105 分析：前 7 项的和是 105，根据公式可以求出第几项呢？
练习 1
一个等差数列的第 1 项是 3，前 11 项之和为 198，这个数列的第 20 项是多少？
18446744073709551615 粒麦子所需要的时间，大约是 5800 亿年（大家可以自己用计算器算一 下！）．就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一
部分．这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐．
”国王恍
然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他．
6. 例题 6 答案： 99 分 详解：原来是最低的，加了 21 分之后应该变成最高的，公差是 间的数为 609 7 87 分，所以最后小高是 99 分．
三年级奥数题及参考答案-等差数列
三年级奥数题及参考答案-等差数列
编者小语：“题海无边，题型有限”。学习数学必须要有扎实的基本功，有了扎实的基本功再进行“奥数”的学习就显得水到渠成了。为大家准备了小学三年级奥数题，希望小编整理奥数题等差数列问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!
1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数?
2、一个等差数列的首项是6，第源自项是55，公差是( )。解答1：d=(40-10)÷(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。
解答2：d=(55-6)÷(8-1)=7
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计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用n S 来表示 。
三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++L11002993985051=++++++++L 1444444442444444443共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。
四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=L （），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L （），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。
例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756⨯=答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。
分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：和=（1+401）×101÷2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……，问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612答案：5612例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。
第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207排在第几排第几个数？（3）第13排各数的和是多少？分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列若排数为n （n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。
（1）第十二排共有23个数。
前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144 （2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144 （2）第十五排第10个数（3）3925例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133÷=，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332158147（）。
+⨯-=答案：147。
例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。
即第1个数是15，第6个数是40。
答案：第1个数：15；第6个数：40。
例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差=19-15=4项数=（443-15）÷4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216答案：216例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991=⨯，最大的数是99911=⨯，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：111111-+=项，所以，所求数的和是：9182799999112594++++=+⨯÷=L （）． 也可以从找规律角度分析．答案：594例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和末项=6+3×（35-1）=108和=（6+108）×35÷2=1995答案：1995例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为 。
16 10 分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180+⨯÷=。
答案：180。
本讲小结：1. 一个数列的前n 项的和为这个数列的和，我们称为 。
2. 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。
练习：1. 求和：（1）1+3+5+7+9= （2）1+2+3+4＋ (21)（3）1+3+5+7+9＋ (39)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
答案：（1）25 （2）231 （3）4002. 求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+…+100（2）3+6+9+…+39分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
答案：（1）5050 （2）2733. 一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少?分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180答案：1804. 所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。
和=（11+99）×45÷2=2475答案：24755. 数列1、5、9、13、……，这串数列中，前91个数和是多少？分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：末项=1+（91-1）×4=361和=（1+361）×91÷2=16471答案：164716. 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。
如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中11a =， 2d =，15n a =，所以151218n =-÷+=（）， 所以，白色方格数是：1238188236++++=+⨯÷=L （）黑色方格数是：1237177228++++=+⨯÷=L （）。
答案：287. 20052006200720082009201020112008++++++÷=（） 。
分析：根据中项定理知：200520062007200820092010201120087++++++=⨯,所以原式 2008720087=⨯÷=。
答案：7。
8. 把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列。
平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。
即：最大的数为38。
答案：389.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
分析：解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000答案：100010. 在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．12100110010025050L（），+++=+⨯÷=L（），所有不能被9整除的自然数和：9182799999112594++++=+⨯÷=-=．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有505059444561~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。