江西高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学 第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i(2i)z =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【测量目标】复数的四则运算及复数的几何意义.【考查方式】给出复数z ,通过计算化简判断复数的实部和虚部对应的象限. 【参考答案】D【试题解析】因为i(2i)z =--12i =-，所以复数z 对应的点在第四象限.2.若集合A =｛x ∈R |ax 2+ax +1＝0｝其中只有一个元素，则a = （ ）A.4B.2C.0D.0或4 【测量目标】集合的 基本运算和性质【考查方式】用描述法给出集合A ，通过集合的性质分类讨论确定未知字母的值. 【参考答案】A【试题解析】当0a =时，方程化为10=，无解，集合A 为空集,不符合题意；（步骤1） 当0a ≠时，由240a a =-=，解得4a =.（步骤2）3. sincos 23αα==若 （ ）A. 23-B. 13-C. 13D.23【测量目标】三角恒等变换.【考查方式】给出角的正弦值，求解角的余弦值. 【参考答案】C【试题解析】2221cos 12sin12(12333=-=-⨯=-=αα4.集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 ( )A ．23 B.13 C.12 D.16【测量目标】随机事件的概率和古典概型【考查方式】通过给出的两个集合列出所有可能的基本事件，利用古典概型求出满足条件事件的概率. 【参考答案】C【试题解析】从A,B 各任取一个数有（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3）6个基本事件，（步骤1） 满足两数之和等于4的有（2,2,），（3,1）2个基本事件，所以21.63P ==（步骤2）5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ( )（第5题图）A.08B.07C.02D.01 【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】通过读取表格数据，有随机数表法的随机抽样过程得到结果.. 【参考答案】D【试题解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体编号是01.6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是 （ ） A.1-） B. （1-，0） C.（0，1） D.（1，【测量目标】分式不等式的解法和不等式组的解法.【考查方式】给出含有分式的不等式转化为不等式组，解出未知数. 【参考答案】A【试题解析】由21x x x <<可得21,1,x x x x⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩（步骤1）即2310,10,x xx x⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得10101x <x<x x <-⎧⎨<>⎩或或综合知 1.x <-（步骤2）7.阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )(第7题图)A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜11 【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】给定程序框图，通过推理判断得出输出的结果. 【参考答案】B【试题解析】根据程序框图，2,22+1=5,i S ==⨯不满足条件；（步骤1）3,23+2=8,i S ==⨯不满足条件；（步骤2）4,24+1=9,i S ==⨯此时输出4i =，所以填9S <.（步骤3）8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 ( ) A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π(第8题图)【测量目标】由几何体的三视图求体积.【考查方式】将三视图还原为原来的几何体，再利用几何体体积公式求解体积. 【参考答案】A【试题解析】由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体.长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积211045π32=200+9π.2V =⨯⨯+⨯⨯⨯9. 已知点A （2，0），抛物线C ：42x =y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相【考查方式】已知抛物线方程和已知点，建立直线与抛物线之间的位置关系， 求解线段长度的比例. 【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的定义和相识三角形的判定及性质求解.如图所示，由抛物线定义知,MF MH =所以::.MF MH MH MN =（步骤1） （第9题图） 由于MHN ∽FOA ,则12MH OF HN OA ==，则:MH MN =:MF MH =. （步骤2）10.如图.已知12l l ⊥，圆心在1l 上、半径为1m 的圆O 在t =0时与2l 相切于点A ，圆O 沿1l 以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x，令cos y x=，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s ）的函数()yf t =的图象大致为 ( )（第10题图） 【测量目标】弧长公式、倍角公式.【考查方式】通过数形结合把圆心角α、弧长x 与时间t 联系起来，建立关于时间的函数关系式从而判断函数图象.【参考答案】B【试题解析】通过圆心角α将弧长x 与时间t 联系起来.(第10题图)圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则x α=，（步骤1） 如图所示，cos1,2t α=-即cos1,2xt =-则222cos 2cos 12(1)12(1)1(01).2xy x t t t==-=--=--剟其图象为开口向上，在[]0,1上的一段抛物线.（步骤2）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线1y x α=+（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= . 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出已知两点和曲线函数关系式，利用导数的几何意义，求出函数关系式中未知字母的值.【参考答案】2【试题解析】因为1'y xαα-=⋅，所以在点（1,2）处的切线斜率,k α=则切线方程为2(1).y x α-=-（步骤一）又切线过原点，故02(01)α-=-，解得 2.α=（步骤二）12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈*N ）等于 . 【测量目标】等比数列的概念及其前n 项和公式.【考查方式】给出关于等比数列的实际问题，利用等比数列公式求解. 【参考答案】6【试题解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和11(1)2(12)2 2.112n n n n a q S q +--===---（步骤1）由122100,n +-…得12102.n +…（步骤2）由于67264,2128,==则17,n +…即 6.n …（步骤3）13设()3cos3,f x x x =+，若对任意实数x 都有|()f x |≤a ，则实数a 的取值范围是 . 【测量目标】辅助角公式化简和不等式的恒成立.【考查方式】给出三角函数，根据三角函数的值域确定未知数的取值范围. 【参考答案】[)2,+∞【试题解析】由于π()sin 3cos 32sin(3),6f x x x x =+=+则π()2sin(3)2,6f x x =+…（步骤1）要使()f x a …恒成立，则 2.a …（步骤2）14.若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线1y =相切，则圆C 的方程是 . 【测量目标】圆与直线的位置关系及圆的弦的性质.【考查方式】给出未知圆的轨迹经过的已知点和已知直线的位置关系，求解圆的方程. 【参考答案】22325(2)()24x y -++=【试题解析】根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解. 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点（0,0）和（4,0），所以设圆心为（2,m ）.（步骤1）又因为圆与直线1y =1,m =-（步骤2） 所以22421,m m m +=-+解得3,2m =-所以圆的方程为22325(2)().24x y -++=（步骤3）15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a 上，且AB //CD ,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .（第15题图）【测量目标】线面垂直的判定和线面平行的判定.【考查方式】给出已知正方体和正四面体棱长之间的位置关系，判断正四面体的一条棱与正方体各个面的位置关系.【参考答案】4【试题解析】根据直线与平面的位置关系求解.取CD 的中点H ,连接EH 、FH .（步骤1）在正四面体CDEF 中，由于,,CD EH CD HF ⊥⊥所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥面EFH ,（步骤2）则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交.（步骤3）三．解答题本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(1)n nb n a =+，求数列｛n b ｝的前n 项和T n .【测量目标】数列的通项公式和数列的前n 项和的求法.【考查方式】给出n a 与n 之间的关系式，化简得到通项公式n a ；根据求出的n a ，求出n b 的前n 项和n T .【试题解析】解：(21)20n n n n a n a n a n a ---=2（1）由得（-2)(+1）=0（步骤1） 由于｛n a ｝是正项数列，则2n a n =.（步骤2）（2）由（1）知2n a n =，故11111()(1)(1)(2)21n n b n a n n n n ===-+++（步骤3）11111111(1...)(1)222312122nT n n n n ∴=-+-++-=-=+++n （步骤4）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，sin A sin B+sin B sin C+cos2B=1.（1）求证：a ，b ，c 成等差数列；（2） 若C ab的值. 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角函数恒等关系式，利用正弦定理余弦定理把已知条件中角的关系转化为边的关系，从而证明三角形三边成等差数列求出边的值.【试题解析】解：（1）由已知得sin A sin B +sin B sin C +1-2sin 2B =1.故sin A sin B+sin B sin C =2sin 2B （步骤1）因为sin B 不为0，所以sin A +sin C =2sin B （步骤2）再由正弦定理得2,a c b +=所以a ，b ，c 成等差数列.（步骤3）（2）由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222π(2)2cos3b a a b ac -=+-化简得35a b =.（步骤4）18．（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O 为起点，再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X =0就去唱歌，若X <0就去下棋.（第18题图）（1） 写出数量积X 的所有可能取值 （2） 分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率 【测量目标】向量的数量积，随机事件古典概型.【考查方式】构造数学模型把向量与概率相结合，考查随机事件发生概率. 【试题解析】解：（1） X 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1. （2）数量积为-2的只有25OA OA ∙一种（步骤1）数量积为-1的有15OA OA ∙，1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种（步骤2）数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种（步骤3）数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种（步骤4） 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715P =（步骤5） 因为去唱歌的概率为2415P =，所以小波不去唱歌的概率2411111515P P =-=-=（步骤6）19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB //CD ，AD ⊥AB ，AB =2，AD =2，1AA =3，E 为CD 上一点，DE =1，EC =3（1） 证明：BE ⊥平面11BB C C ; （2） 求点1B 到平面11EA C 的距离【测量目标】立体几何【考查方式】给出直四棱柱棱长的值及其之间的位置关系，证明直线与平面之间的位置关系及点到平面的距离. 【试题解析】解.（1）证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，（步骤1） 则2,1,2BF AD EF AB DE FC ===-==（步骤2）在Rt 3Rt 6BFE BE BFC BC △中，＝，△中，＝（步骤3）在2229BCE BE BC EC +△中，因为＝＝，故BE BC ⊥（步骤4） 由1BB ⊥平面ABCD ，得1BE BB ⊥，所以BE ⊥平面11BB C C （步骤5） （2）三棱锥111E A B C -的体积1111123A B C V AA S ∙△＝＝6）在111Rt A D C △中221111112AC A D D C +＝=3，（步骤7） （第19题图） 同理，22112EC EC CC +＝=3，222113EA AD ED AA ++＝=28） 由余弦定理的111125cos ,sin 33AC E=AC E=∠∴∠ 因此11111111sin 52A C E S AC EC AC E =⨯⨯⨯∠=△3设点1B 到平面11EA C 的距离为d ，则三棱锥111B EA C -的体积.11153A EC V d S d ∙∙△＝＝1052,d d ==（步骤9）20.（本小题满分13分）椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的离心率32e =，3a b +=(1) 求椭圆C 的方程；(2) 如图，A,B,D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m k -为定值.(第20题图)【测量目标】椭圆方程，直线与椭圆之间的位置关系.【考查方式】给出椭圆离心率及a 、b 的关系，求出椭圆方程，已知直线与椭圆之间的位置关系，求两条直线斜率的关系式为定值.【试题解析】解：(1)因为2c e a ==故22222222314c a b b e a a a -===-=， 所以2a b =（步骤1）再由3a b +=得a =2,b =1,（步骤2）∴椭圆C 的方程为2214x y +=：（步骤3）（2）因为B （2，0），点P 不为椭圆顶点，则直线1)2BP y k x k k ≠≠±方程为=(-2)(0且① （步骤4）将①代入2214x y +=，222(41)161640,k x k x k +-+-=22164,241B p B k x x x k -==+， 222824,4141P P k k x y k k -∴==-++，得222824(,)4141k k P k k --++（步骤5） 又直线AD 的方程为112y x =+ ②（步骤6）①与②联立解得424(,)2121k kM k k +--（步骤7）由222824(0,1),(,),(,0)4141k k D P N x k k --++三点共线可解得42(,0)21k N k --（步骤8）所以MN 的斜率为m =214k +，则211222k m k k +-=-=（定值）（步骤9）21．（本小题满分14分）设函数1,0()1(1),11x x a af x x a x a ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪-⎩剟… a 为 常数且a ∈（0，1）.（1） 当a =12时，求1(())3f f ；（2） 若0x 满足0(())f f x = 0x ,但0()f x ≠0x ，则称0x 为()f x 的二阶周期点，证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点12,x x ；（3） 对于（2）中12,x x ，设11(,(()))A x f f x ，22(,(()))B x f f x ,2(,0)C a ，记△ABC 的面积为S （a ），求()S a 在区间[13上的最大值和最小值.【测量目标】分段函数求值，利用导数求函数最值.【考查方式】给出分段函数关系式，根据自变量的取值和二阶周期点的定义利用数形结合，求出二阶周期点及函数最值. 【试题解析】解：（1）当12a =时，121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝（步骤1） （2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧⎪⎪⎪-<⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+⎪-⎩剟…剟（步骤2）当20x a 剟时，由21x x a=解得0x =,由于()00f =,故0x =不是()f x 的二阶周期点；（步骤3）当2a x a <…时由1()(1)a x x a a -=-解得21ax a a =-++2(,),a a ∈（步骤4） 因222211()1111a a af a a a a a a a a a =∙=≠-++-++-++-++ 故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点；（步骤5） 当21a x a a <<-+时，由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+（步骤6） 因1111()(1)2122f a a a a =∙-=----故12x a=-不是()f x 的二阶周期点；（步骤7） 当211a a x -+剟时，1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+（步骤8）因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =∙-=≠-++--++-++-++ 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点.（步骤9）因此，函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++.（步骤10） （3）由（2）得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++ 则2322221(1)1(222)(),'()212(1)a a a a a a S a S a a a a a ---+=∙=∙-++-++（步骤11） 因为a 在[13内，故'()0S a >，则()S a 在区间11[]32，上单调递增，（步骤12）故()S a 在区间11[]32，上最小值为11333S ()=，最大值为11220S ()=.（步骤13）。