2012年江西省高考数学试卷(文科)
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【解答】
解：函数 ，则 ，
∴ （ ） ，
故选 ．
4.
【答案】
B
【考点】
二倍角的正切公式
【解析】
将已知等式左边的分子分母同时除以 ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于 的方程，求出方程的解得到 的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将 的值代入即可求出值．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
2012年江西省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若复数 （ 为虚数单位） 是 的共轭复数，则 的虚部为（）
A.
B.
C.
D.
2.若全集 ，则集合 的补集 为（）
A.
B.
C.
D.
3.设函数 ，则 （ ）
A.
B.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求多面体 的体积．
20.已知三点 ， ， ，曲线 上任意一点 满足 •
（1）求曲线 的方程；
（2）点 是曲线 上动点，曲线 在点 处的切线为 ，点 的坐标是 ， 与 ， 分别交于点 ， ，求 与 的面积之比．
21.已知函数 在 上单调递减且满足 ， ．
（1）求 取值范围；
C.
D.
4.若 ，则
A.
B.
C.
D.
5.观察下列事实 的不同整数解 的个数为 ， 的不同整数解 的个数为 ， 的不同整数解 的个数为 …．则 的不同整数解 的个数为（）
A.
B.
C.
D.
6.小波一星期的总开支分布图如图 所示，一星期的食品开支如图 所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）
A.
（1）求 ；
（2）求数列 的前 项和 ．
18.如图，从 ， ， , ， ， 这 个点中随机选取 个点．
（1）求这 点与原点 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求这 点与原点 共面的概率．
19.如图，在梯形 中， ， ， 是线段 上的两点，且 ， ， ， ， ， ．现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合与点 ，得到多面体 ．
（2）设 ，求 在 上的最大值和最小值．
参考答案与试题解析
2012年江西省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】
由 ，由此得出结论．
【解答】
解：由题意可得 ，故 的虚部为 ，
【解析】
由题意，可先将函数 化为 ，再解出 ， 两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案
【解答】
解：
又 ， ，
∴ ，
故 选项正确
故选
10.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象变化
【解析】
由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.不等式 的解集是________．
12.设单位向量 ， ．若 ，则 ________．
13.等比数列 的前 项和为 ，公比不为 ．若 ，且对任意的 都有 ，则 ________．
14.过直线 上点 作圆 的两条切线，若两条切线的夹角是 ，则点 的坐标是________．
15.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ， ．
17.已知数列 的前 项和 （其中 ， 为常数），且 ， ．
则 ．
故选 .
5.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
【解析】
观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为 ，公差为 的等差数列，则所求为第 项，可计算得结果．
【解答】
解：观察可得不同整数解的个数 ， ， ，…可以构成一个首项为 ，公差为 的等差数列，
通项公式为 ，则所求为第 项，所以
故选 ．
6.
【答案】
C
【考点】
D
【考点】
由三视图求面积、体积
【解析】
先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果
【解答】
解：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为 ，下底边为 ，高为 ，
∴棱柱的底面积为 ，
棱柱的高为
∴此几何体的体积为
故选
8.
故选 ．
2.
【答案】
C
【考点】
补集及其运算
【解析】
先一元二次不等式的解法以及带绝对值不等式的解法求出全集 以及集合 ，再结合补集的定义求出结论．
【解答】
解：因为：全集 ，
∵ ，
∴集合 ，
所以： ．
故选： ．
3.
【答案】
D
【考点】
求函ຫໍສະໝຸດ Baidu的值
【解析】
由条件求出 ，结合函数解析式求出 （ ） ，计算求得结果．
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
椭圆的性质
【解析】
由题意可得， ， ， ，由 ， ， 成等比数列可得到 ，从而得到答案．
【解答】
设该椭圆的半焦距为 ，由题意可得， ， ， ，
∵ ， ， 成等比数列，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即此椭圆的离心率为 ．
9.
【答案】
C
【考点】
二倍角的余弦公式
对数的运算性质
余弦函数的定义域和值域
分布的意义和作用
【解析】
计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比
【解答】
解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为 ，
∵一星期的食品开支占总开支的百分比为 ，
∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ．
故选： ．
7.
【答案】
B.
C.
D.不能确定
7.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
A.
B.
C.
D.
8.椭圆 的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 ， ．若 ， ， 成等比数列，则此椭圆的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
9.已知 ，若 ， ，则（）
A.
B.
C.
D.
10.如图， （单位： ）， （单位： ）， 与 的夹角为 ，以 为圆心， 为半径作圆弧 与线段 延长线交与点 ．甲、乙两质点同时从点 出发，甲先以速度 （单位： ）沿线段 行至点 ，再以速度 （单位： ）沿圆弧 行至点 后停止；乙以速率 （单位： ）沿线段 行至 点后停止．设 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 ，则函数 的图象大致是（）
解：函数 ，则 ，
∴ （ ） ，
故选 ．
4.
【答案】
B
【考点】
二倍角的正切公式
【解析】
将已知等式左边的分子分母同时除以 ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于 的方程，求出方程的解得到 的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将 的值代入即可求出值．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
2012年江西省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若复数 （ 为虚数单位） 是 的共轭复数，则 的虚部为（）
A.
B.
C.
D.
2.若全集 ，则集合 的补集 为（）
A.
B.
C.
D.
3.设函数 ，则 （ ）
A.
B.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求多面体 的体积．
20.已知三点 ， ， ，曲线 上任意一点 满足 •
（1）求曲线 的方程；
（2）点 是曲线 上动点，曲线 在点 处的切线为 ，点 的坐标是 ， 与 ， 分别交于点 ， ，求 与 的面积之比．
21.已知函数 在 上单调递减且满足 ， ．
（1）求 取值范围；
C.
D.
4.若 ，则
A.
B.
C.
D.
5.观察下列事实 的不同整数解 的个数为 ， 的不同整数解 的个数为 ， 的不同整数解 的个数为 …．则 的不同整数解 的个数为（）
A.
B.
C.
D.
6.小波一星期的总开支分布图如图 所示，一星期的食品开支如图 所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）
A.
（1）求 ；
（2）求数列 的前 项和 ．
18.如图，从 ， ， , ， ， 这 个点中随机选取 个点．
（1）求这 点与原点 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求这 点与原点 共面的概率．
19.如图，在梯形 中， ， ， 是线段 上的两点，且 ， ， ， ， ， ．现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合与点 ，得到多面体 ．
（2）设 ，求 在 上的最大值和最小值．
参考答案与试题解析
2012年江西省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】
由 ，由此得出结论．
【解答】
解：由题意可得 ，故 的虚部为 ，
【解析】
由题意，可先将函数 化为 ，再解出 ， 两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案
【解答】
解：
又 ， ，
∴ ，
故 选项正确
故选
10.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象变化
【解析】
由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.不等式 的解集是________．
12.设单位向量 ， ．若 ，则 ________．
13.等比数列 的前 项和为 ，公比不为 ．若 ，且对任意的 都有 ，则 ________．
14.过直线 上点 作圆 的两条切线，若两条切线的夹角是 ，则点 的坐标是________．
15.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ， ．
17.已知数列 的前 项和 （其中 ， 为常数），且 ， ．
则 ．
故选 .
5.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
【解析】
观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为 ，公差为 的等差数列，则所求为第 项，可计算得结果．
【解答】
解：观察可得不同整数解的个数 ， ， ，…可以构成一个首项为 ，公差为 的等差数列，
通项公式为 ，则所求为第 项，所以
故选 ．
6.
【答案】
C
【考点】
D
【考点】
由三视图求面积、体积
【解析】
先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果
【解答】
解：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为 ，下底边为 ，高为 ，
∴棱柱的底面积为 ，
棱柱的高为
∴此几何体的体积为
故选
8.
故选 ．
2.
【答案】
C
【考点】
补集及其运算
【解析】
先一元二次不等式的解法以及带绝对值不等式的解法求出全集 以及集合 ，再结合补集的定义求出结论．
【解答】
解：因为：全集 ，
∵ ，
∴集合 ，
所以： ．
故选： ．
3.
【答案】
D
【考点】
求函ຫໍສະໝຸດ Baidu的值
【解析】
由条件求出 ，结合函数解析式求出 （ ） ，计算求得结果．
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
椭圆的性质
【解析】
由题意可得， ， ， ，由 ， ， 成等比数列可得到 ，从而得到答案．
【解答】
设该椭圆的半焦距为 ，由题意可得， ， ， ，
∵ ， ， 成等比数列，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即此椭圆的离心率为 ．
9.
【答案】
C
【考点】
二倍角的余弦公式
对数的运算性质
余弦函数的定义域和值域
分布的意义和作用
【解析】
计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比
【解答】
解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为 ，
∵一星期的食品开支占总开支的百分比为 ，
∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ．
故选： ．
7.
【答案】
B.
C.
D.不能确定
7.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
A.
B.
C.
D.
8.椭圆 的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 ， ．若 ， ， 成等比数列，则此椭圆的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
9.已知 ，若 ， ，则（）
A.
B.
C.
D.
10.如图， （单位： ）， （单位： ）， 与 的夹角为 ，以 为圆心， 为半径作圆弧 与线段 延长线交与点 ．甲、乙两质点同时从点 出发，甲先以速度 （单位： ）沿线段 行至点 ，再以速度 （单位： ）沿圆弧 行至点 后停止；乙以速率 （单位： ）沿线段 行至 点后停止．设 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 ，则函数 的图象大致是（）