2019年高考理数全国卷3含答案
椭圆焦点三角形(解析版)
微专题：椭圆的焦点三角形初探
一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.
二．概念梳理:
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21FPF中，
（1）. cFFaPFPF2||,2||||2121.
（2）. 焦点三角形的周长为.22caL
①已知F1，F2是椭圆12222byax)0(ba的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长是________．
②椭圆12222byax)0(ba的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是a4
如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|＝2a－|AF1|，△ABF的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)，
∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，当且仅当|AF1|＝|AH|，即F1与H重合时，△AFB的周长最大，即最大周长为2(|AF|＋|AF1|)＝4a，
（3）.21221cos12||||PFFbPFPF.
（4）. 焦点三角形的面积为：2tansin||||212122121PFFbPFFPFPFS.
①设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，12FPF最大.
②．S＝12|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
（5）. 假设焦点21FPF的内切圆半径为r，则rcaS)(.
（6）.焦半径公式:设),(00yxP是椭圆上一点，那么01||exaPF，02||exaPF，
推导：根据两点间距离公式:20201)(||ycxPF，由于)0(,1220220babyax代入两点间距离公式可得)1()(||2202201axbcxPF，整理化简即可得01||exaPF. 同理可证得02||exaPF.
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)(含答案解析)
1 2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(三)
本试卷分必考和选考两部分．
必考部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．已知复数z满足(2+i)z=3+4i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为（ ）
A．2−i B．2+i C．1−2i D．1+2i
2．已知集合M={−1，0，1}，N={y|y=1+sin2x，x∈M}，则集合M∩N的真子集的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知变量x和y的统计数据如下表：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x+a，据此可以预测当x=15时，y=（ ）
A．7.8 B．8.2 C．9.6 D．8.5
4．若向量a，b满足|a|=3，|b|=2，a⊥(a−b)，则a与b的夹角为（ ）
A．2 B．23 C．6 D．56
5．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．{x∈R|0x2log3} B．{x∈R|−2x2}
C．{x∈R|0x2log3或x=2} D．{x∈R|−2x2log3或x=2} 2 6．设变量x，y满足10222270xyxyxy≥≥≤，z=2axy(0
A．1 B．12 C．22 D．32
7．已知双曲线2x−2y=1的左、右两个焦点分别是1F、2F，O为坐标原点，圆O是以12FF为直径的圆，直线l：53xyt=0与圆O有公共点，则实数t的取值范围是（ ）
2023年高考数学全真模拟(全国甲卷乙卷通用)理数03答案
试卷第1页，共18页
2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）
理科数学
（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
1．已知集合
31Axx
，
2
4Byyxx
，则AB
（）
A．
B．
4,
C．
2,
D．
0,2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式可解得集合
A，再根据函数值域求法可求得集合
B，由交
集运算即可得出结果.
【详解】由题意可得
2Axx
，
由函数值域可得
0Byy
，所以
2ABxx
．故选：C
2．某班40人一次外语测试的成绩如下表：
分数727375767880838791
人数1234108642
其中中位数为（）
A．78B．80C．79D．78和89
【答案】C
【分析】根据中位数的概念即可求得.
【详解】解：由题意得：所有成绩从小到大排列，第二十位是78，第二十一位是80，
则中位数为7880
79
2
.故选：C
3．若复数z
满足
1ii4z
，其中i为虚数单位，则z
的虚部为（）
A．2B．
2C．1D．
1
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算与减法运算得2iz，进而根据复数的概念求解即可.试卷第2页，共18页【详解】解：由题意可知
41i
4
ii2i
1i1i1iz
，所以，z
的虚部为1.
故选：C.
4．双曲线22
221(0,0)xy
ab
ab
，离心率为5
2，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方
程为（）
A．2
21
4y
xB．2
21
4x
y
C．22
1
23xy
D．22
1
32xy
【答案】B【分析】由离心率可得1
2b
a
，从而可得渐近线方程，根据焦点到渐近线的距离为1可
得c
，从而可求a
，故可得双曲线的方程.
【详解】由题可知5
空间三大角(向量法)
空间三大角
一、线线角
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（ ）
A．π2
B．π3 C．π4 D．π6
2.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（ ）
A．15 B．56 C．55 D．22
3.（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））如图，四边形ABCD为菱形，ⅠABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BEⅠ平面ABCD，DFⅠ平面ABCD，BE=2DF，AEⅠEC．
（1）证明：平面AECⅠ平面AFC；
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
二、线面角
1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.
（1）证明：平面PEF平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
2. （2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．
（1）证明：PO平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
3.（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））如图，四棱锥P−ABCD中，PAⅠ底面ABCD，ADⅠBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MNⅠ平面PAB;
（Ⅰ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
三、二面角
1（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM．
高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）最值问题之03数列篇
2020年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）
最值问题之数列篇
【例】【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，
Sn的最小值为__________．
【例】【2018全国卷Ⅱ】记nS为等差数列{}
na的前n项和，已知17a，315S．
(1)求{}
na的通项公式；
(2)求nS，并求nS的最小值．
【例】(2018江苏)已知集合*{|21,}AxxnnN，*{|2,}nBxxnN．将AB的所有元素从小到大
依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112
nnSa
成立的n的最小值为 ．
【例】（2016年全国I）设等比数列{}na满足1310aa，245aa，则12naaa的最大值为 .
【例】（2015四川）设数列{}
na的前n项和12
nnSaa，且123,1,aaa成等差数列
（1）求数列{}
na的通项公式；
（2）记数列1
{}
na的前n项和nT，求得1
|1|
1000nT成立的n的最小值。
有关数列中最大项的问题：
【例】（2020·海南中学高三月考）已知等差数列
na的首项及公差均为正数，令2020
nnnba
a *,2020nnN，当kb是数列
nb的最大项时，k（ ）
A．1100 B．1001 C．1011 D．1010
有关等差数列前n和中的最值问题：
【例】等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
数列与不等式恒成立相结合的最值问题：
【例】（2020·山西实验中学高三）已知数列
na的前n项和122n
nnSa，若不等式223(5)
nnna，
对nN恒成立，则整数的最大值为______．
数列与基本不等式相结合的最值问题：
【例】（2020·江西高三模拟）已知正项等比数列
2019届高考理数小题专练：(10)圆锥曲线
小题专练（10）圆锥曲线
1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)
(
)
【解析】选B.原方程等价于或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分(含交点),后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.
2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,
故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,
所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,
由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD内接于椭圆x24＋y22＝1，直线AB的斜率k1＝1，则直线AD的斜率k2＝( )
A.12 B．－12 C．－14 D．－2
[解析] 解法一：设AB的中点为G，由椭圆与平行四边形的对称性知O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x214＋y212＝1，x224＋y222＝1，两式相减是x1－x2x1＋x24＝－y1－y2y1＋y22，整理得x1＋x22y1＋y2＝－y1－y2x1－x2＝－k1＝－1，即y1＋y2x1＋x2＝
－12.
又Gx1＋x22，y1＋y22，所以kOG＝y1＋y22－0x1＋x22－0＝－12，
即k2＝－12，故选B.
解法二：设直线AB的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D(－x2，－y2)．则直线AD的斜率k2＝y1＋y2x1＋x2＝x1＋x2＋2tx1＋x2＝1＋2tx1＋x2.联立 y＝x＋t，x2＋2y2－4＝0，消去y得3x2＋4tx＋2t2－4＝0，则x1＋x2＝－4t3，
专题3.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)
第三篇 三角函数与解三角形
专题3.5 正弦定理和余弦定理
【考纲要求】
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
【命题趋势】
正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.
【核心素养】
本讲的内容主要考查数学运算，直观想象的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．正弦定理
asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
a＝2RsinA b＝2RsinB c＝2RsinC，
sin A＝a2R sin B＝b2R sin C＝c2R，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A，
a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
4.在△ABC中，已知a，b和A，解三角形时解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a
Ab a≤b
解的个数 ______ ______ ______ ______ ______ ______
【素养清单•常用结论】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos
C；
(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.
专题11 用导数求切线高考真题赏析(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练
专题11:用导数求切线高考真题赏析(解析版）
一、单选题
1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
函数43()2fxxx的图像在点(1(1))f，处的切线方程为（ ）
A．21yx B．21yx
C．23yx D．21yx
【答案】B
【分析】
求得函数yfx的导数fx，计算出1f和1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
432fxxx，3246fxxx，11f，12f，
因此，所求切线的方程为121yx，即21yx.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+12 C．y=12x+1 D．y=12x+12
【答案】D
【分析】
根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00x，
函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，
设直线l的方程为00012yxxxx，即0020xxyx， 由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，
两边平方并整理得2005410xx，解得01x，015x（舍），
则直线l的方程为210xy，即1122yx.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）
设函数321fxxaxax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点00，处的切线方程为( )
高考近5年全国卷一理科数学含(详细答案).pdf
1 绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
(新课标Ⅰ卷)
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．设，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解
该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比
例．得到如下饼图：
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2 则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ）
A． B． C． D．12
5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切
线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点
在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，
则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．2
8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两
点，则（ ）
2023年高考数学全真模拟(全国甲卷乙卷通用)理数03
试卷第1页，共5页
2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）
理科数学
（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
1．已知集合
31Axx
，
2
4Byyxx
，则AB
（）
A．
B．
4,
C．
2,
D．
0,2
2．某班40人一次外语测试的成绩如下表：
分数727375767880838791
人数1234108642
其中中位数为（）
A．78B．80C．79D．78和89
3．若复数z
满足
1ii4z
，其中i为虚数单位，则z
的虚部为（）
A．2B．
2C．1D．
1
4．双曲线22
221(0,0)xy
abab，离心率为5
2，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方
程为（）
A．221
4y
xB．2
21
4x
y
C．22
1
23xy
D．22
1
32xy
5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重
要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，
表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.
下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm），则三视图中
A，
B两点在
实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3
，21.4
）试卷第2页，共5
页A．8.4B．9.8C．10.4D．11.2
6．已知定义在
R上的函数
21xm
fx
（m为实数）是偶函数，记
0.5log3a
，
2log5bf
，()cfm
，则a、b、c的大小关系为（）
A．abc
B．
acbC．c
D．cba
7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）
A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱