八年级数学下册17.2一元二次方程的解法第2课时公式法课件新版沪科版
D.
-1± 5 2
8.设 x1 是一元二次方程 2x2-4x= 较小的根,则( B ) 4 A.0<x1<1 B.-1<x1<0 C.-2<x1<-1 D.-2<x1<-3
5
综合能力提升练
9.将四个数 a,b,c,d 排成两行两列,两边各加一条竖直线记成 定义 x= ������ ������ =ad-bc,上述记号叫做二阶行列式,若 . ������-1 1-������ ������-1 ������ + 1
∵a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=1+4=5, ∴x=
-1± 5 , 2
-1+ 5 -1- 5 ∴x1= 2 ,x2= 2 .
综合能力提升练
7.若实数范围内定义一种运算“*”,使 a*b=( a+1 )2-ab,则方程 ( x+2 )*5=0 的根( D ) A.-2 B.-2,3 C.
-1± 3 2
4������± 36
17 .
知识要点基础练
知识点 2 运用公式法解一元二次方程 4.一元二次方程 x2-2x-1=0 的解是( B ) A.x1=x2=1 B.x1=1+ 2,x2=1- 2 C.x1=1+ 2,x2=-1- 2 D.x1=-1+ 2,x2=-1- 2 5.一元二次方程 x2-5x+5=0( 精确到 0.1 )的近似解是( 参考数据 3≈1.73, 5≈2.24 )( C ) A.x1≈1.6,x2≈3.4 B.x1≈-1.6,x2≈-3.4 C.x1≈3.6,x2≈1.4 D.x1≈-3.6,x2≈-1.4
代入求根公式得 y=
2 ∴y1=y2= 2 . 2± 0 , 2
1
1
拓展探究突破练
12.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0. ( 1 )用含m的代数式表示方程的根; ( 2 )在( 1 )的情况下,设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1<x2.若2x1=x2+1,求m的值.
解:( 1 )∵b2-4ac=( -4m )2-4( 4m2-9 )=36>0, 由求根公式可得 x= 2 ,∴x=2m±3. ( 2 )∵x1<x2,∴x1=2m-3,x2=2m+3. ∵2x1=x2+1, ∴2( 2m-3 )=2m+3+1,解得 m=5.
解:a=1,b=-4,c=1,b2-4ac=( -4 )2-4×1×1=12,
-( -4 )± 12 ∴x= 2×1 =2±
1
3,
∴x1=2+ 3≈3.73,x2=2- 3≈0.27.
( 2 )y2- 2y=-2.
解:将原方程化成一般形式得 y2- 2y+2=0.
1
∵a=1,b=- 2,c=2,b2-4ac=( - 2 )2-4×1×2=0,
知识要点基础练
6.用公式法解方程: ( 1 )2x2-4x-1=0; 解:∵a=2,b=-4,c=-1,b2-4ac=16+8=24,
4±2 6 2± 6 = , 4 2 2+ 6 2- 6 ∴x1= 2 ,x2= 2 .
∴x=
( 2 )x2+x=1. 解:原方程化为一般形式是 x2+x-1=0,
������
������
������ ������
,
������ ������
1± 13 2
=6,则
综合能力提升练
10.如图是一个正方体的表面展开图,已知该正方体相对面的两个数 ( 式 )的和相等,则被污染不清楚的 A 面上的数是 6+3 2或 6 − 3 2 .
综合能力提升练
11.用公式法解方程: ( 1 )x2-4x+1=0( 3≈1.732,结果精确到 0.01 );
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
知识要点基础练
知识点1 一元二次方程的求根公式
1.用公式法解方程3x( x-2 )=5时,对应a,b,c的值分别是( C ) A.3,-2,5 B.3,-6,5 C.3,-6,-5 D.3,6,-5 2.一元二次方程x2-2x-c=0能用公式法求解的前提是( C ) A.c=1 B.c≥1 C.c≥-1 D.c≤-1 3.方程( 2x+1 )( x+2 )=1化成一般形式是 2x2+5x+1=0 ,b2-4ac=
1一元二次方程的解法2.公式法PPT课件(沪科版)
用公式法解一元二次方程
1．(4 分)用公式法解方程 3x2－ 2＝12x 时，a，b，c 的值分别是( B )
A．a＝3，b＝ 2，c＝12 B．a＝3，b＝－12，c＝－ 2
C．a＝3，b＝12，c＝－ 2 D．a＝3，b＝－ 2，c＝12
2．(4 分)用公式法解方程 3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( D )
1．一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b_2_－__4_a_c_≥_时0 ，它
－b± b2－4ac
的根为x＝______2_a_____． 2．用公式法解一元二次方程的思路应是：(1)将方程化成一__般__情__势__；(2)
确定_____a_，__b_，__c_______的值；(3)求出_b_2_－__4_a_c_的值；(4)当b_2_－__4_a_c≥__0时， 可直接用求根公式求出它的根．
四清导航
15 (3)(x－1)(x＋3)＋5＝0.
将原方程化为标准形式，得 x2＋2x＋2＝0，a＝1，b＝2，c＝2，b2－4ac＝22－4×1×2＝－ 4<0，∴原方程无实数根 14.错误，b＝－7 而不是 b＝7，正确的解是 x1＝7＋611＝3，x2＝ 7－611＝－23
四清导航
14．(8 分)判断下列方程的解法有无错误，若有错误，请改正． 解方程：3(x＋1)(x－2)＝4x 解：方程变形，得 3(x2－x－2)＝4x， 即 3x2－7x－6＝0.这里 a＝3，b＝7，c＝－6. ∴x＝－7± 72＋6 4×3×6＝－76±11. ∴x1＝－3，x2＝23.
四清导航
11．当 a≠0 且 b2－4ac≥0 时，下列方程：①ax2＋bx＋c＝0；②ax2－bx＋c＝0；③ax2＋
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、2配方法新版沪科版
8．【合肥瑶海区期中】若方程x2－8x＋m＝0可以通过配方
写成(x－n)2＝6的形式，则x2＋8x＋m＝5可以配成( D )
A．(x－n＋5)2＝1
B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
9．【原创题】若x2＋4与2x－12为某个正数的两个不同的 平方根，则这个正数为_6_4_或__4_0_0___________．
6．【中考·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0， 配方正确的是( A )
A.x－342＝1176 C.x－322＝143
B.x－342＝12 D.x－322＝141
7．【中考·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
【点拨】∵2x2＋8x－32＝0，∴x2＋4x＝16，∴x2＋4x＋ 4＝20， ∴(x＋2)2＝20，∴p＝2，q＝－20， ∴直线表达式为y＝2x－20，∴直线经过第一、三、四象 限，不经过第二象限．
14．用配方法解方程：(2x＋3)(x－6)＝16.
解：(2x＋3)(x－6)＝16，
2x2－9x＝34，x2－92x＝17，
2．【2021·丽水】用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方
结果正确的是( D )
A．(x－2)2＝5
B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5
D．(x＋2)2＝3
3．用配方法解方程2x2－x－6＝0开始错误的步骤是(
2x2－x＝6，
① ··
C
)
x2－12x＝3，
②
八年级数学下册《17.2.2一元二次方程的解法公式法》课件2 (新版)沪科版
(1).2x2 4x 1 0 (2).3x2 12x 1 0 3
第二页，共10页。
公式(gōngshì)法
一般(yībān)地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）
当b2 4ac 0时,它的根是 : x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
第八页，共10页。
小结(xiǎojié)
用公式法解一元二次方程的一般(yībān)步骤：
（1）把方程化成一般(yībān)形式，并写出a，b，c的值．
（2）求出b2-4ac的值．
（3）代入求根公式 ：x -b
（a≠0， b2-4ac≥0）
b2 4ac 2a
（4）写出方程的解：
x1=？， x2=？
17．2一元二次方程的解法(jiě fǎ)
公式(gōngshì)法
第一页，共10页。
回顾与复习
一、用配方(pèi fāng)解一元二次方程的步骤是什 么？
移项：把常数(chángshù)项移到方程的右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方：根据平方根意义，方程两边开平方； 求解：解一元一次方程； 定解：写出原方程的解．
上面这个(zhè ge)式子称为一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
第三页，共10页。
公式(gōngshì)
法
例1、用公式(gōngshì)法解方程 5x2-4x-12=0
解： a 5，b 4，c 12
1．变形：化已知方 程(fāngchéng)为一般
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.
形式;
2．确定系数：
b b2 4ac x
17.2(3)一元二次方程的解法求根公式法(沪科版)
解（1） a=1，b=3，c=2
b2-4ac=32-4×1×2=1＞0
∴
3 1 x 2 1
∴x1=-1，x2=-2
典型例题
例1
用公式法解下列方程： ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
解（2）移项，得2x2-7x-4=0 a=2，b=-7，c=-4
ax bx c 0 (a 0) 在一元二次方程 中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是 2 由于 b 4ac无意义。
2
概念巩固
1.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0) 2 x 3x 4 0 ， 25 形式为_______________ b2-4ac=___
2.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正 确的是（ D ）
12 144 12 A.x= 2
12 144 12 C.x= 2
12 144 12 B.x= 2
12 144 48 D.x= 6
=
典型例题
例1 用公式法解下列方程。 ⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
当 当
b 4ac
2
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解
作业设计
课本: 练习第1、2题 习题18.2第4题
下课了!Biblioteka 结束寄语配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
沪科版数学八年级下册17.2《一元二次方程的解法》(第2课时)ppt课件
（写出原方程的解）
像这种先把一元二次方程的左边配成一
个完全平方式，然后用直接开平方法求
解的方法，这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
灿若寒星
例1.用配方法解下列方程： （1）x²-4x-1=0;（2）2x²-3x-1=0.
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全 平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求 解
3.那么如何解方程x²+2灿x若-1寒星=0呢？
(1)x²+2x+=(x1+)²²
1
(2)x²-8x+=(x4-)²²
4
(3)y²+5y+=(y(+5)²) 2
(3)x²-x+(5)²=(x-)²;（4）x²+px+()²=(x+)². 2
2.用配方法解下列方程： （1）x²+x-1=0；（2）x²-3x-2=0；
（3）2x²+5x-1=0；（4）3x²-6x+1=0.
灿若寒星
1.如果mx²+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关 于x的完全平方式，则m等于（） A.1B.-1C.1或9D.-1或9
1 2
移项，得x²-x=.
3 2
1 2
配方，得x²-x+3()²=+3()²，
变形，得(x-)²=2, 3 4 17
1 2
3 4
开平分,得x-=± 4 16 3
沪科版八年级数学下册课件17.2 一元二次方程的解法(2)-公式法 (共21张PPT)
ax2+bx+c=0（a≠0)
解：把方程两边都除以a，得：
x2 b x c 0 aa
移项，得：
x2 b x c
a
a
配方，得：Biblioteka x2b ax
b 2a
2
c a
b 2a
2
即：
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0,4a2＞0
当b2-4ac≥0时，
b2 4ac 4a 2
0
将配方后的方程两边开平方，得：
2a
解：a=2，b=7，c=-4
b2 4ac 72 4 2 (4) 81＞0
x
7 81 21
79 2
x1
1 2
,x2
4
例 2 用公式法解下列方程： x2 3 2 3x
x b b2 4ac 2a
解：将原方程化成标准形式，得：
x2 2 3x 3 0 a 1,b= - 2 3,c=3
步骤：
（1）把方程化成一般形式 ax2+bx+c＝0(a≠0)； （2）把常数项移到方程的左边； （3）把方程两边都除以二次项系数，将二次项 系数化为1； （4）配方，把方程两边都加上一次项系数一半 的平方，然后化成形如(x+m)2＝n；
（5）用直接开平方法求解.
一起用配方法解下面这 个一元二次方程吧~
4、写出方程的解： x1、x2
动手试一试！
1.把下列方程化成ax2+bx+c=0的形式，并写出 其中a，b，c的值：
(1)x2－5x=2；
(2)3x2－1=2x；
(3)2x(x－1)=x+4； (4)(x+1)2=3x－2. 解：化成ax2+bx+c=0的形式后分别为：
17.2一元二次方程的解法--公式法
第1页，共30页。
知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方， 求解，定根
2、用配方法解下例方程
（1）2x2 7x 2 0
（2）2x2 4x 5 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦， 能否研究出一种更好的方法？
1. 3
第23页，共30页。
一、由配方法解一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
(b2 4ac 0)
第24页，共30页。
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c (整系数
,a为正的） 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，并判断是否大于,等于
x1
1,
x2
2 3
.
第19页，共30页。
随堂 练习
2.用公式法解下列方程：
(1)2x2-x-1=0
解: a 2,b 1,c 1 b2 4ac 1 8 9 0
x 1 9 13 22 4
x1
1,
x2
1. 2
(2)x2+1.5=-3x
解 : x2 3x 1.5 0 a 1,b 3,c 1.5 b2 4ac 9 6 3 0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解方程x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、c的 值是什么？
a= 1，b= 4，c = -2.
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24. 0
一元二次方程的解法(公式法)(沪科版)
17.2 一元二次方程的解法（公式法）教学内容：求根公式法解一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
学习重点：求根公式的推导和公式法的应用学习难点：一元二次方程求根公式的推导教学过程（一） 创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。
教师：下面我们先用配方法解下列一元二次方程学生：（每组一题，每组派一名同学板演）1．22x -4x-1=0 2. 2x +1.5=-3x完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为2)(m x =n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生：独立思考（二）新知探索教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
学生：动手亲自解方程02=++c bx ax （a ≠0）找一名同学板演。
教师：巡视，作个别点评，辅导。
教师：现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （a ≠0）bx ax +2=-c移项：2x +b a x=-ca将二次项的系数化为1：2x +x a b 2+2)(a b =-c a +2)2(a b 即2)(a b x +=2244b ac a - 配方：开平方运算思考：有条件限制吗？学生: 有 当2244b aca -≥0时,才可以开平方 教师：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生：（思考、回答）因为a ≠0所以４a2 ＞0，如果使2244b aca -≥0，那么只有ac b 42-≥0教师：如果 ac b 42-<0 时，可以进行开平方运算吗？学生：不可以，因为负数没有平方根教师：同学们推导的都很好，那么我们来总结一下，在用配方法解02=++c bx ax （a ≠0）时，需注意什么？学生：畅所欲言 --------发挥学生的主动性归纳总结：对于02=++c bx ax （a ≠0），当 ac b 42-≥ 0 时，在这里我们把称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。
八年级数学下册《17.2.2一元二次方程的解法公式法》教案1 (新版)沪科版
《17.2.2 一元二次方程的解法-公式法》教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x +1=0 （2）4x 2-3x =52（老师点评）总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x +m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx +c =0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a-- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x 1、x 2=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x -1=0 （2）5x +2=3x 2（3）（x -2）（3x -5）=0 （4）4x 2-3x +1=0三、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m +1）22m x +（m -2）x -1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？四、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．。
【数学课件】八下数学17.2一元二次方程的解法之因式分解法(沪科版)
（1） 4x2 -9=0 （2） x2+3x=0 （3） 3x（x+2）=5（x+2） （4）（3x+1）2 - 5=0
合作探究
解方程 x2+x=0
你可以有哪些方法解这个方程？ 除了配 方法、公式法外，还有没有更简便的方法解 这个方程呢？
x2+x=0 解：原方程整理得 x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1
2 x +3x=0
巩固练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(1) x( x 2) 0 x1 0, x2 2 (2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
可以发现，如果两个因 式的积等于0，那么这 两个因式中至少有一个 等于0；如果两个因式 中有一个等于0，那么 它们的积就等于0.
上述解法中，通过因式分解，将一
个一元二次方程化为两个一元一次方程
来求解方法叫做因式分解法。
分解因式法:
当一元二次方程的一边是0,而另一边易 于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以 用分解因式的方法求解.
分析：（1）对于缺少一次项的，化为一般形式后形如 a x2+c=0（a≠0），当ac≤0时，总可以用因式分解法或开平 方法求解；当ac＞0时，方程无实数根。
（2）对于缺少常数项的，化为一般形式后形如a
x2+bx=0（a≠0），
进行因式分解，总有一根为0.
合作探究 解方程:
(1) (2) 3x(x+2)=5(x+2) (3) 4x2 -9=0 2 (4) (3x+1) - 5=0