7年级下册-第4讲 根式
七年级下数学根号知识点
七年级下数学根号知识点数学中，根号是常见的符号之一。
它的使用非常广泛，包括平方根、立方根、三次方根等等。
在初中数学中，同学们要学会如何使用根号，掌握根号的基本概念和计算方法。
本文将为大家详细介绍七年级下数学根号知识点。
一、根号的定义在初中数学中，根号通常表示“平方根”。
一个数的平方根就是另一个数的平方。
例如，数值为9的平方根是3，因为3×3=9。
数值为25的平方根是5，因为5×5=25。
数值为x的平方根可以用符号√x表示。
二、根号的基本性质根号有许多基本性质。
以下是几个常见的根号的性质：1.对于任何非负实数x和y，有√（xy）=√x × √y。
2.对于任何非负实数x和y，有√（x/y）=√x / √y。
3.对于任何非负实数x和y，有√x ± √y ≠ √（x±y）。
4.对于任何非负实数x，有√x²=x。
这些基本性质可以帮助同学们更好地理解根号运算的规律。
三、根号的计算方法1.整数的平方根对于整数的平方根，如果是完全平方数，则很容易求得它的平方根。
例如，数值为16的平方根是4，因为4×4=16。
如果一个数不是完全平方数，则需使用纵横相乘法求取它的近似值。
例如，如果要求数值为17的平方根，可以使用如下方法：- 以一个合适的整数P为基准值，如P = 4；- 将17与P的平方做差，得到3；- 求出（4+17÷4）÷2=4.25；- 将4.25的平方做差，得到0.0625；- 重复步骤3和4，得到更精确的根号近似值。
2.分式的根号对于类似√（a/b）这样的分式，可以采用以下方法化简：- 化简分子和分母；- 将原来存在于分式内的根号分别移到分母和分子；- 继续用已知的根号性质来化简。
例如，化简√（8/50）可以按照以下步骤进行：- 8的质因数分解为2×2×2，50的质因数分解为2×5×5；- 将2的因子分别移到分母和分子，得到√（2/25）；- 将根号移至分母，得到2/√25=2/5。
七年级根式知识点
七年级根式知识点在初中数学学习中，根式是一个重要的知识点。
七年级学生在学习根式时，需要掌握以下几个方面的内容：一、根式概念与含义根式就是指某数的根号表达式。
其中，被根号包围的数叫做被开方数，根号下的数字叫做指数。
如√16，其中16就是被开方数，2就是指数。
其中，根号下的数字必须是非负实数。
二、根式的化简1.相同底数的根式相加减√a + √a = 2√a√a - √a = 02.不同底数的根式运算a√b + c√d = √(ab) + √(cd)a√b - c√d = √(ab) - √(cd)(a+b)√c = a√c + b√c(a-b)√c = a√c - b√c3.奇数次根式的化简⎷(a × a × a) = a√a4.有理数与根式的运算有理数与根式相加减时，先将根式同底化，然后进行运算。
例如：4 + 2√3 - √3 = 4 + √35.分数的根式化分数的根式化主要是将分母中的根式化为整数，需要注意的是，不能改变原有的分数意义。
例如：7/√3 = 7√3/3三、根式的实际应用1.距离的计算在直角三角形中，勾股定理就是一个根式应用的典型例子，其中计算出的边长即为根式。
例如：在一个直角三角形中，已知一直角边长为6，另一直角边长为8，求斜边长。
按照勾股定理，可得：√(6²+8²) = √100 = 10所以，该直角三角形的斜边长为10。
2.面积的计算通过面积的计算，同样可以理解根式在实际应用中的作用。
例如：已知一个正方形的边长为6，求其面积。
按照正方形面积的公式，可得：边长×边长 = 6×6 = 36所以，该正方形的面积为36。
以上就是七年级学生需要掌握的根式知识点。
只有在理解根式的概念与含义的基础上，才能顺利掌握根式的化简方法，并且将根式应用到实际问题中去。
希望学生们能够在掌握根式知识点的同时，也能够善于思考，发挥自己的数学能力，解决各种问题。
根式ppt课件
等。
生物计算
在生物学中，根式可以用于计算 种群数量、生物生长率等，帮助
研究生物种群的变化规律。
04
根式的历史与发展
古代的根式概念
古代数学家对根式的初步认识
古埃及人和巴比伦人开始使用简单的平方根和立方根进行计算，但当时的根式 概念尚未形成系统。
根式化简的注意事项
01
02
03
运算顺序
遵循先乘除后加减的原则 ，同时注意括号内的运算 优先级。
符号问题
注意处理根式中的正负号 ，确保结果的正确性。
化简到最简形式
化简过程中不断简化，直 到无法再简化为最简形式 。
03
根式的应用
根式在数学中的应用
代数方程求解
根式是代数方程求解的重要工具 ，通过因式分解、公式法等技巧 ，可以将方程的解表示为根式的
现代的根式发展
代数方程的根式解法
现代数学中，代数方程的根式解法得到了广泛的应用，为解决复杂的数学问题提 供了有效的方法。
根式在数学与其他领域的应用
根式不仅在数学领域有广泛应用，还在物理、工程、计算机科学等领域发挥了重 要作用。
05
根式的扩展知识
二次根式的性质与化简
二次根式的性质
非负性、算术平方根、乘法下的 非负性。
根式的几何应用
求线段长度、判断三角形形状、求图 形面积等。
THANK YOU
统计学应用
在统计学中，根式可以用 于计算平均数、标准差等 统计指标，帮助分析数据 和预测趋势。
工程领域应用
在工程领域，根式可以用 于计算材料强度、结构稳 定性等，保障工程项目的 安全性和可靠性。
根式在科学计算中的应用
最新人教版中考数学复习知识点梳理——第4课时 二次根式
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2. （2020南京）3的平方根是 A. 9 B. 3 C. - 3 D. ± 3
（D ）
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3. （2020常州）8的立方根为 A. 2 2 B. ±2 2 C. 2 D. ±2
（C）
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4. （2020黄冈）计算3 8 =____-_2___．
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续表
5. 二次根式的有关概念
（1）式子 a（a≥0） 叫做二次根式.注意:被开方数a只能是_非__负__数_ 概 ____. 念 定 （2）最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能_开__得__尽__方_ 理 的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数___相__同___的二 次根式，叫做同类二次根式.
A.
_3_a_+_b_ 6
=
_a_+_b_ 2
B.
2×
_a_+_b_ 3
=
_2_a_+_b_ 3
C. a2=a
D. |a|=a(a≥0)
（D ）
4. （2020广州）化简： 20 - 5 =____5____． 5. （2018广东）已知 a - b +|b-1|=0，则a+1=____2____． 6. （2018广东）一个正数的平方根分别是x+1和x-5，则x=____2____． 7. （2016广东）9的算术平方根是___3_____.
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考点2 二次根式有意义的条件(5年1考）
典型例题
1. （2020衢州）要使二次根式 x - 3 有意义，则x的值可以为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
第4讲 指数式、对数式的运算
答案：12
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第二章 函数概念与基本初等函数
16
指数幂的化简与求值(师生共研) 计算： (1)－338－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0； (2)（a14ab321b）234aa-b13b2 31(a>0，b>0)．
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第二章 函数概念与基本初等函数
8
3．对数 概念 性质
如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的__对__数___， 记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且 a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝___N____ (a>0，且 a≠1)
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第二章 函数概念与基本初等函数பைடு நூலகம்
5
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N＋，且 n>1)．
②n
a，n为奇数， an＝__|a_| _＝a－，aa，≥a0<，0，
n为偶数.
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第二章 函数概念与基本初等函数
6
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
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第二章 函数概念与基本初等函数
21
3．已知 x12＋x－12＝3，则 x2＋x－2＋3＝_______． 解析：由 x21＋x－12＝3，得 x＋x－1＋2＝9，所以 x＋x－1＝7，所以 x2＋x－2＋2＝49，所以 x2＋x－2＝47，所以 x2＋x－2＋3＝50.
七年级下册数学根号知识点
七年级下册数学根号知识点数学是一个用逻辑思维和推理的学科，其中根号是一种经常出现的数学符号，表示平方根。
在七年级下册的数学学习中，根号知识点具有重要的地位。
下面我们就来一起了解一下七年级下册数学根号知识点。
一、根号的概念根号是一个数学符号，用√表示，表示一个数的平方根。
根号有三个要素：被开方数、根指数、根号符号。
举个例子，√4=2，表示数4的平方根是2。
这里，4是被开方数，2是根号下面的数，代表开根号的指数是2。
二、根号的运算法则1. 基本运算法则：根号相乘等于根号内的数相乘，根号相加或者相减是不能直接计算的。
√a * √b = √(a * b)2. 约分运算法则：对于含有不完全平方数的根式，可以先将其中完全平方数的部分提取出来，等到所有指数都为偶数时再约分。
例如，√20=√(2 * 10)=2√5。
3. 有理化运算法则：含有分数的根式，可以通过有理化来进行简化。
例如，1/√2可以有理化得到√2/2。
三、根式的化简和计算1. 化简根号中的分式：将分式中的分子与分母都乘上同一个数，使得分母化为无理数，便可以将分母中的根式提出来，从而化简。
例如，(1+√2)/(1-√2)=(1+√2)^2/(1-√2)(1+√2)^2/(-1)=(3+2√2)/(-1)=-(2√2-3)。
2. 拆分根号：将根号当做因式，将其中的分式或不完全平方数拆分，可以提取出能够化简的部分。
例如，√24=√(2*2*2*3)=2√6。
四、应用举例1. 如何求根号的值？求一个数字的根号值需要用到口诀“以质乘积分解因数，成对写出每组因数，平方根外边成两因数，根号内写所剩无因数。
”例如，求√720的值，先将720分解因数，得到2*2*2*3*3*5=2^3*3^2*5，将这些因数分成一组一组，每一组互相成对，不多不少，于是可以得到2*2*3=12，根号内剩下5，因此得到答案为12√5。
2. 如何使用根号进行勾股定理？勾股定理是三角形中一种简单的定理，可以用来求解直角三角形中的各个边的长度。
数学2020年春季人教版教案 7年级-4 非负数的性质及应用
又-＜,-＜-，∴x=,y=或-.
当x=,y=时，x+y=+；当x=,y=-时，x+y=-，
故x+y的值为+或-.
5. 解：由条件，得a-1=0,ab-2=0，∴a=1,b=2，
∴原式＝＝1-＝.
练习册答案：
1. B
2. A
3. B
4. 1
5. 1
师：这个式子满足非负数的性质吗？思考一下，然后和同桌讨论一下.
2.教师指定学生汇报讲解，其他学生指正并补充.
生：由算术平方根的被开方数大于等于0可知1-y≥0，所以(1-y)≥0，这样就可以根据非负数的性质求解了……
答案：
解：∵-(y-1)=0,
∴+(1-y)=0.
∵1-y≥0，∴(1-y)≥0.
根据非负数的性质得x+1=0，1-y=0，
播放导入.
师：怎么样？大家来尝试一下？
生：……
师：合理的运用数学知识，可以有效的帮助我们减少损失，今天我们来学习非负数的性质的应用.
回顾
非负数：
定义：正数和零叫做非负数（记为a≥0).
常见非负数：｜a｜,a²,(a≥0).
性质：若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
二、合作探究
（一）探究类型之一 算术平方根的被开方数的非负性
生2：我们没有求x和y而是用第二个式子乘2减去第一个式子，这样就得到了关于x+y和m的关系，然后把x+y=199整体代入求出m的值.
答案：
解:∵x-199+y≥0,且199-x-y≥0,即x-199+y≤0,
∴x-199+y=0,∴x+y=199,
七年级数学根式知识点
根式是数学中的一种表示形式，表示一个数的平方根、立方根或更高次方根。
在七年级数学中，根式是一个重要的知识点。
本文将详细介绍七年级数学中根式的相关知识点，包括根式的定义、性质、化简和运算法则。
1.根式的定义根式是数学中一种特殊的表达方式，用来表示一个数的平方根、立方根以及更高次方根。
根式的基本形式为√a，表示一个数的平方根；∛a，表示一个数的立方根；n√a，表示一个数的n次方根。
2.根式的性质(1)非负数的平方根是非负数，即√a≥0；(2)0的平方根是0，即√0=0；(3)如果a≥b≥0，那么√a≥√b；(4)如果a≥b≥0，那么a^n≥b^n（n>1）；(5)如果a≥0，则a^n≥0（n为正整数）。
3.化简根式化简根式是指将根式中的根号前面的系数分解成完全平方数的形式。
例如：√12=√(4×3)=2√3化简根式的方法有两种：(1)分解法：将根号前面的数分解成质因数的乘积，然后将相同的因数提取出来；(2)合并法：将相同根号中的数相乘或相除，合并成一个根号。
4.根式的运算法则(1)加减法：根式相加减时，只有根号内的数相同且根号外的系数相同，才能进行加减运算，并保持根式不变。
例：√2+√2=2√2；(2)乘法：根式相乘时，将根号外的系数相乘，根号内的数相乘，并将结果写在一个根号下。
例：2√3×3√2=6√6；(3)除法：根式相除时，将根号外的系数相除，根号内的数相除，并将结果写在一个根号下。
例：4√15÷2√3=2√55.降幂法降幂法是指求一个数的n次方根时，将指数的次数逐渐降低，直至满足要求。
降幂法的实现步骤：(1)确定一个正数a和一个正整数n，其中a为待求的数；(2)设x是所求的数，满足x^n=a；(3)从指数的次数n开始，较大次数的指数逐渐降低，求得满足要求的数x。
例如，求9的四次方根：(1)令x为所求的数，满足x^4=9；(2)观察9的因数，发现9=3×3=3^2；(3)所以，x^4=(3^2)^2=3^4；(4)比较指数的次数，得到x=3。
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第四讲 根式
一、根式的理解
1.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )
A. x >-5
B. x <-5
C. x ≠-5
D. x ≥-5
2.下列命题:①(-1)2
的算术平方根是-1；②4的算术平方根是2；③一个数的算术平方根等于它本身,这个数是0；④π没有算术平方根.其中正确的个数有( ).
3.下列说法:①4的平方根是±2 ;②16的算术平方根是4 ;③-5是25的平方根;④-27的立方根是-3.其中正确的有( )
个
个
个
个
4.下列说法中正确的是( )
6 B. 16的平方根是±2 C. -8的立方根是2 的算术平方根是-2
5.2(3)-的值为( )
或-3
6.一个数的算术平方根比它本身大,那么这个数一定( )
A.大于0
B.大于1
C.大于0且小于1
D.不能确定 的立方根与4的算术平方根的和为( )
或-4
8.下列说法正确的是( )
A. -1的平方根是-1
B.若x 2
＝9,则x=3 没有平方根 是(-6)2
的算术平方根
9.下列各数:2
33 3.14640.707017
π-、 、 、 、 、、2.030030003……中,无理数有( )
个 个 个
个 10.计算:33664+-=（ ）
或-10
或-14 11. 一个数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )
A.1x +
B.1x +
C.21x +
D.1x +
12.(1)9的平方根为 ;(2)(-1)2
的算术平方根为 ;(3)25的算术平方根为 _;(4)-8的立方根为 . ＝5,则21x -＝ ; 3x ＝-3，则1x -＝ 的立方根的倒数是 .
15. 一个数的算术平方根等于它本身,则这个数为_ . 16.已知2222221111
1
111111,11,112612122334++
=++=++=……根据此规律，若221111190a b ++=，则a 2+b 2= . 17.已知①222
2+33＝；②333=3+388+；③444=4+1515……依些规律，若1010
m m n n
=+,则m+n ＝ . 二、求平方根与立方根
18.，求3x+6y 的立方根.
19.2，求2x+5的算术平方根.
20.已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的平方根.
21.已知x-2的平方根是±2，3x＋y＋1的立方根是3，求x2+y2的平方根.
22.已知a、b、c三个数满足下列条件：a是算术平方根最小的正整数，b2=b3求a+b+c的立方根.
三、利用根式的性质求值
23.已知实数a、b满足20
b+=.
（1）求a、b的值；
（2）求
.
24. 0，求x+y的值.
25.已知4
y,求-x y的值.
26.已知4-a 与2a-5是一个正数的平方根，求这个正数.
27.已知31,13,2a b a b =-=++=且，求a,b 的值.
28.已知，a 是51-的整数部分，b 是53+的小数部分，求2a-b 的值.
29.已知，332334y x --与互为相反数，且xy ≠0，求x y
的值.
30.已知，7+3与3-7的小数部分分别为a 、b ，求a-b 的值.
31.已知实数，a,b,c 满足1022a b c a b b +-=2+++(+2008)(-6)，求代数式ab+bc 的值.
四、根式的综合
32.设[x)表示大于x 的最小整数，如[3)＝4，[＝-1，则下列结论中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)①[0)＝0；②[x)－x 的最小值是0；③[x)－x 的最大值是0；④存在实数x ，使[x)－x=成立.
33.任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4,[
]＝1,现对72进行如下操作：
，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，解决下列问题：
①对81只需进行 次操作后变为1；
②只需进行3次操作后变为1的所有正整数，最大的是多少。