福建省厦门外国语中学2020-2021学年第一学期高一期中考试数学试卷
2020-2021学年福建省厦门双十中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
福建省厦门双十中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.1.（2020双十高一11月期中考）如图，U 是全集，M 、P 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A.()U MC PB.M PC.()U C M PD.()()U U C M C P『答案』A『解析』由题易知阴影部分所表示的集合是()U MC P ，故选A.2.（2020双十高一11月期中考）函数()2f x x =-的定义域为（ ） A.[1,2)(2,)+∞ B (1,)+∞ C.[1,2)D.[1,)+∞『答案』A『解析』由题知10x -≥，解得1x ≥：20x -≠，解得2x ≠；两者取交集得[1,2)(2,)+∞，故选A.3.（2020双十高一11月期中考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（ ）A.(,)b c 和(,)c +∞内B.(,)a -∞和(,)a b 内C.(,)a b 和(,)b c 内D.(,)a -∞和(,)c +∞内『答案』C『解析』∵a b c <<，∴()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->，由函数零点存在判定定理可知：在区间(,)a b 和(,)b c 内分别存在一个零点；又函数()f x 是二次函数，最多有两个零点，因此函数()f x 的两个两个零点分别位于区间(,)a b 和(,)b c 内，故选C. 4.（2020双十高一11月期中考）设0.32a =，20.3b =，2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<『答案』B『解析』因为200.31<<，2log 0.30<，0.321>，所以20.32log 0.30.32<<，即c b a <<，故选B.5.（2020双十高一11月期中考）已知函数()f x 满足(1)lg f x x -=，则不等式()0f x <的解集为（ ） A.(,1)-∞B.(1,2)C.(,0)-∞D.(1,0)-『答案』D『解析』令1x t -=，∴1x t =+，10t +>，所以()lg(1)f t t =+，函数()f x 的解析式为：()lg(1)f x x =+，不等式()0f x <化为lg(1)0x +<，解得10x -<<，故选D. 6.（2020双十高一11月期中考）已知函数2()log f x x =的反函数为()g x ，则()1g x -的图像为（ ）A. B.C.D.『答案』C『解析』函数2()log f x x =的反函数为()2xg x =，11(1)222xxg x -⎛⎫-==⋅ ⎪⎝⎭，当0x =时，()11g =，再利用单调性可知图像为C ，故选C7.（2020双十高一11月期中考）某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为（ ） A.2mk B.4mk C.2mD.4m『答案』B『解析』由题知，224m x k m kmy kx m m -⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭，(0,0)k x m ><<，当且仅当x m x =-，即2mx =时，等号成立，故选B . 8.（2020双十高一11月期中考）已知函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(1,1]-内，函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(1,3)B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(1,3]D.[3,)+∞『答案』D『解析』1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，(1,0)x ∴∈-时，1(0,1)x +∈，则11()1(1)1f x f x x +==++，1()11f x x ∴=-+，若函数()()log (2)m g x f x x =-+有两个零点，则()log (2)m f x x =+有两个根，即()y f x =与log (2)m y x =+的图像有两个交点.函数图像如图所示，当01m <<时，函数log (2)m y x =+单调递减，此时不满足条件；当1m >时，函数log (2)m y x =+单调递增，若两函数有两个交点，则满足当1x =时，()11g ≤，即log 31m ≤，解得3m ≥，故选D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分.在答题卷上相应题目的答题区域内作答.9.（2020双十高一11月期中考）已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则下列结论正确的有（ ）A.(,0]A =-∞B.{}2 4C B x x x =<>R 或 C.{}02AC B x x =≤<R D.{}0 2 4AC B x x x =≤<>R 或『答案』BD『解析』因为011122x ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0x ≥，所以{}0A x x =≥，又因为2680x x -+≤解得24x ≤≤，所以{}24B x x =≤≤∣{}24C B x x x ∴=<>R 或，所以{}024A C B x x x =≤<>R 或，故选BD.10.（2020双十高一11月期中考）若函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，则()f x 一定（ ） A.是偶函数B.是奇函数C.在(,0)x ∈-∞上单调递减D.在(,0)x ∈-∞上单调递增『答案』BD『解析』由题知231041m m -+=，解得3m =或13m =，所以3()f x x =或13()f x x =，由幂函数性质知()f x 是奇函数且单调递增，故选BD.11.（2020双十高一11月期中考）已知34log log a b =，则下列结论正确的有（ ） A.1a b << B.1b a << C.01b a <<<D.01a b <<<『答案』AC『解析』由题知，当a ，1b >时343log log log a b b =<；∴a b <；当a ，1b <时343log log log a b b =>，∴a b >，故选AC.12.（2020双十高一11月期中考）关于函数21||()(0,1)x x f x a a a +=>≠，下列命题中正确的是（ ）A.函数图像关于y 轴对称B.当1a >时，函数在(0,)+∞上为增函数C.当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2a D.函数的值域是)2,a ⎡+∞⎣『答案』AC『解析』由题知，()f x 的定义域为{}0|x x ≠，且22()11||||()()x x x x f x aaf x -++--===，所以()f x 为偶函数，所以函数图像关于y 轴对称，故A 正确.令21,011()||1||||,0x x x xg x x x x x x x ⎧+>⎪+⎪==+=⎨⎪--<⎪⎩，当1x >时，()g x 为增函数，当01x <<时，()g x 为减函数；当1a >，函数x y a =为增函数，由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，故B 错误.由1||2||x x +≥，当且仅当||1x =时取等号，当01a <<时，函数xy a =为减函数，()f x 在(0,1)，(1,)+∞上为增函数，在(1,)+∞，(1,0)-上为减函数，故有最大值2a ，故C 正确.当01a <<时，值域为(20,a ⎤⎦；当1a >时，值域为)2,a ⎡+∞⎣，故D 错误. 故选AC.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.13.（2020双十高一11月期中考）已知21,0(),0x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若()4f x =，则x =______. 『答案』2x =-或5x =『解析』当0x ≥时，()4f x =，即14x -=，得5x =；当0x <时，()4f x =，即24x =，得2x =-；故2x =-或5x =.14.（2020双十高一11月期中考）化简41log 32+的值=______.『答案』『解析』2442log 3log 231log 3log 3log 412=2=222222+====15.（2020双十高一11月期中考）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为______.『答案』2400元『解析』由题知93181********⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭.16.（2020双十高一11月期中考）已知函数121()22x x f x --=+，某同学利用计算器，算得()f x 的部分x 与()f x 的值如下表：请你通过观察，研究后，写出关于()f x 的正确的一个性质______.（不包括定义域）『答案』关于(1,0)对称 『解析』由表格易知四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.17.（2020双十高一11月期中考）已知集合{}2210M x ax x =-++=只有一个元素，{A x y ==，{}221B y y x x ==-+-.（1）求AB ；（2）设N 是由a 可取的所有值组成的集合，试判断N 与AB 的关系.解:（1）由10x +≥，得1x ≥-，所以{}1A x x =≥-；由2221(1)y x x x =-+-=--，得0y ≤，所以{}0B y y =≤，所以[1,0]AB =-；（2）由题知，当0a =，方程210x +=只有一个实数解，符合题意；当0a ≠时，0∆=，解得1a =-，所以{1,0}N =-，所以()N AB ⊆.18.（2020双十高一11月期中考）我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.（1）据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国人口总数大约为多少亿（精确到亿）；（2）当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿.（参考数字：251.01 1.2824≈，lg 20.3010≈，lg70.8451≈，lg1.010.0043≈） 解:（1）由1995年底到2020年底，经过25年，由题知，到2020年底我国人口总数大约为2512(11%)12 1.282415⨯+≈⨯≈（亿）；（2）设需要经过x 年我国人口可达16亿，由题知14(11%)16x⨯+=，两边取对数得，lg14lg1.01lg16x +=，即有lg16lg143lg 2lg 730.30100.845114lg1.01lg1.010.0043x --⨯-==≈≈，则需要经过14年我国人口可达16亿.19.（2020双十高一11月期中考）已知函数1()422xx f x a +=--.（1）若()f x 的最小值为-3，求实数a 的值；（2）若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 解:（1）由题()21()4222222xx x x f x a a +=-⋅-=-⋅-，令2(0,]x t =∈+∞，所以222y t at =--，对称轴t a =，所以22223a a --=-，解得1a =±，又因为0t >，所以1a =；（2）由（1）知若()0f x <对任意的[0,1)x ∈恒成立，即2220y t at =--<对任意的[1,2)t ∈恒成立，即22122t t a t t ->=-对任意的[1,2)t ∈恒成立；易知12t y t=-是增函数，所以max 1(2)2y y <=， 所以12a ≥即1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 20.（2020双十高一11月期中考）函数2()f x x =和3()log (1)g x x =+的部分图像如图所示，设两函数的图像交于点(0,0)O ，()00,A x y .（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数； （2）求证：01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭： （3）请通过直观感知，求出使()()f x g x a >+对任何18x <<恒成立时，实数a 的取值范围.解:（1）1C 是3()log (1)g x x =+的图像，2C 是2()f x x =的图像； （2）证明：令23()()()log (1)F x f x g x x x =-=-+，因为331113log 1log 22424F ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为314433log 3log 27=，1433log 2log 16=，所以102F ⎛⎫<⎪⎝⎭；3(1)1log 20F =->；故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00F x =，即0x 是3()log (1)g x x =+与2()f x x =图像的交点； （3）由（2）知3(1)1log 20F =->，且由图知31log 2a <-，即()3,1log 2a ∈-∞-. 21.（2020双十高一11月期中考）定义在(0,)+∞的函数()f x 满足：①当1x >时，()2f x <-；②对任意x ，(0,)y ∈+∞，总有()()()2f xy f x f y =++. （1）求出()1f 的值；（2）解不等式()()14f x f x +->-；（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）. 解:（1）令1x y ==，则()()()2111f f f =++，所以()12f =-； （2）令1y x=，1x >，则有()()()21f f x f y =++，所以()()4f y f x =--；又因为1x >时，()2f x <-，所以()2f y >-；而()()14f x f x +->-可化为()()124f x x -->-，即()()12f x x ->-故0100(1)1x x x x >⎧⎪->⎨⎪<-<⎩，解得112x +<<，即x ⎛∈ ⎝⎭ （3）由题知12()log 2f x x =-.22.（2020双十高一11月期中考）已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明你的判断； （3）是否存在实数λ，使得当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--.若存在，求出λ的取值范围；若不存在说明理由.解:（1）因为函数222(1)()(1)()x x a x a x af x x x +++++==为偶函数，所以2222(1)(1)()x a x a x a x af x x x -+++++-==，即(1)1a a -+=+，所以1a =-； （2）当1a =-时，22211()1x f x x x -==-，则函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数.证明：设120x x <<，则()()()()1212122222211211x x x x f x f x x x x x -+-=-=，因为120x x << 所以120x x +>，120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在(0,)+∞上为增函数；同理可证()f x 在(,0)-∞上为减函数；（3）因为函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以若存在实数λ，使得当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--，则满足22112112f m m m f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩，即m ，n 是方程210x x λ-+=的两个不等的正根.则满足240010m n mn λλ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得2λ>，故存在2λ>，使得结论成立.。
2020-2021厦门市高一数学上期中试题(带答案)
2020-2021厦门市高一数学上期中试题(带答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭4．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U5．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5] 7．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A．32B．23-C．23D．32-9．已知定义在R上的函数()21()x mf x m-=-为实数为偶函数,记0.5(log3),a f=2b(log5),c(2)f f m==,则,,a b c,的大小关系为（）A．a b c<<B．c a b<<C．a c b<<D．c b a<< 10．已知函数(),1log,1xaa xf xx x⎧≤=⎨>⎩（1a>且1a≠），若()12f=，则12f f⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）A．1-B．12-C．12D．211．设集合2{|430}A x x x=-+<，{|230}B x x=->，则A B=I（）A．3(3,)2--B．3(3,)2-C．3(1,)2D．3(,3)212．设a＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R=+++-∈的最小值为0，则实数a=_________.14．设函数21()ln(1||)1f x xx=+-+，则使得()(21)f x f x>-成立的x的取值范围是_____.15．已知函数()32f x x x=+，若()()2330f a a f a-+-<，则实数a的取值范围是__________．16．若幂函数()af x x=的图象经过点1(3)9，，则2a-=__________.17．某企业去年的年产量为a，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b﹪，则第x()x N*∈年的年产量为y=______.18．已知()f x是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x>，()f x的图象如图所示，那么()f x的值域是______．19．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．20．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题21．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 22．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域23．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．24．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？25．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．26．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．5．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.7．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())(2)log 222f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数解析：1(1)3， 【解析】试题分析：由题意得，函数21()ln(1)1f x x x =+-+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得113x <<. 考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.15．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内16．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 17．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2， 第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.18．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．19．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-【解析】 【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<.因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.20．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】 【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--， 所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2) 【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题21．（1）()1124xf x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅,因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124xf x f x -=--=+⋅,（2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x-⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭, 所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故1352017100920182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题.22．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域. 【详解】解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，即22113212(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=，则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下： 设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数，所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-，故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.23．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】 【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ． 【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．24．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 .【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> .（2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元 当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 25．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}． 【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 26．（1）2()1f x x x =-+（2）1m <- 【解析】 【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2min (31)x x -+，2min (31)m x x <-+即可.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---， 所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==， 所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立， 即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立. 设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-. 则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-. 【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.。
厦门市2020—2021学年度第一学期高一年级质量检测数学试卷(答案)定稿
厦门市2020-2021学年度第一学期高一年级质量检测数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．A 4．B 5．C （教材P140．3） 6．B 7．A （教材P222．例6） 8．B （教材P58．10）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．ABD 10．CD 11．BC 12．BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2 14．π 15．32；22（教师用书P52．12） 16．1316． （教材P231问题、教材P245例2） 解析：以枢轮中心为原点建立坐标系，则P 点纵坐标：1πππ1.7sin 1.7cos 21515y x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；水面纵坐标：2 1.190.017y x =−−， P 点进入水中，则1.7cos 1.190.01715x x π⎛⎫<−− ⎪⎝⎭，即cos 0.70.0115x x π⎛⎫<−− ⎪⎝⎭，作出cos 15y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭和0.70.01y x =−−的图象，在[]10,15存在一个交点，令()cos 0.70.0115h x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为()120h >，()130h <，所以点P 至少经过13分钟进入水中．四、解答题：本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题考查函数的基本性质、二次不等式、韦达定理等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、数形结合等思想．满分10分．解：由()()2+2(2)g x f x x x b x c ==+++···················································· 1分 因为()g x 为偶函数，所以()g x 对称轴202b x +=−=，得2b =−． 所以2()2f x x x c =−+ ··············································································· 4分 方案一：选条件①．因为()f x 的对称轴为1x =，且开口向上 ························································ 5分 所以当2x =−时，()f x 取得最大值5····························································· 7分 所以()2445f c −=++=，解得3c =− ························································ 9分所以2()23f x x x =−− ··············································································· 10分 方案二：选条件②．因为()0f x ≤的解集为{}1，且函数()f x 图象开口向上，所以()f x 有且仅有一个零点为1 ··································································· ７分 所以(1)120f c =−+= ·············································································· ８分 所以1c = ································································································· 9分 所以2()2+1f x x x =−················································································· 10分 方案三：选条件③．因为12,x x 为方程220x x c −+=的两根． 所以440c ∆=−，即1c ．且12+2x x =，12x x c = ··············································································· 7分 所以222121212()24210x x x x x x c +=+−=−= ················································ 8分 解得3c =− ······························································································· 9分 所以2()23f x x x =−− ··············································································· 10分 18．本题考查三角函数的图象和性质等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查数形结合，化归与转化等数学思想． 本题满分12分． 解：（1）由图可知，πππ4362T ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭ ····························································· 1分 解得2πT = ······························································································ 2分 因为2πT ω=，所以1ω=············································································· 3分 所以()()sin f x x ϕ=+．因为()f x 的图象过点π,06⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以πsin =06ϕ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭···································· 4分 所以ππ6k ϕ−+=，Z k ∈得ππ6k ϕ=+， 因为π2ϕ<，所以π=6ϕ ············································································· 5分所以()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭·············································································· 6分 （2）解法一：由题意，()πsin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭·················································· 8分 令π26t x =+，因为0πx ≤≤，所以π13π66t ≤≤············································· 9分 由()12g x =，得1sin 2t =，得π6t =，5π6，13π6． 即ππ266x +=或5π6或13π6，解得0x =，π3，π． 所以方程()12g x =在[]0,π的解为0，π3，π ················································· 12分 解法二：令()12g x =，得1ππ22π66x k +=+，1Z k ∈或2π5π22π66x k +=+，2Z k ∈ ··············································································································· 8分 解得1πx k =，1Z k ∈或2ππ3x k =+，2Z k ∈ ·················································· 10分 因为[]0,πx ∈，所以0x =，π3，π 所以方程()12g x =在[]0,π的解为0，π3，π ················································· 12分 19． （教材P161．12）本题考查函数单调性的证明及其应用，对数函数的图象与性质，对数不等式的求解等知识，考查分类讨论、化归与转化等思想．解：（1）()f x 是减函数 ··············································································· 1分 证明如下：12,R x x ∀∈，且12x x < 则121211()()1+21+2x x f x f x −=− ·································································· ２分 211222(1+2)(1+2)x x x x −=································································· 4分 因为12x x <，所以21220x x −>，又因为11+20x >，21+20x > ··························· 5分所以12()()0f x f x −>，即12()()f x f x >．所以()f x 是减函数 ····················································································· 6分 （2）由题意得()1log 2(1)3a f f >=，由（1）知()f x 是减函数 ························· 7分 所以log 21a < ··························································································· 8分 当1a >时，由log 21log a a a <=，得2a >，所以2a > ··································· 10分 当01a <<时，由log 21log a a a <=，得2a <，所以01a <<． 综上所述：a 的取值范围为()()0,12,+∞ ······················································ 12分 20． （教材P255．22）本题考查三角函数图象与性质，诱导公式． 考查运算求解，推理论证能力． 考查化归与转化，数形结合等数学思想． 本题满分12分．解：（1）()112cos 2222f x x x m =+++ ················································ 2分 1sin 262x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭·························································· 3分当ππ22π62x k +=−+，Z k ∈，即ππ3x k =−+，Z k ∈时，()f x 的最小值为132m −=−，得52m =− ······················································ 4分 因为()sin 226f x x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，令26z x π=+，函数sin 2y z =−的单调递减区间是π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ ······················· 5分 且由ππ3π2π22π262k x k +++，得π2ππ+π63k x k + 所以函数()f x 的单调递减区间是π2ππ+,π63k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ ······························· 6分 （2）由题意得：πsin sin 2202a x x ⎛⎫++−< ⎪⎝⎭在()0,π上恒成立 所以sin cos 220a x x +−<在()0,π上恒成立 ·················································· 7分所以2sin 12sin 0a x x −−<在()0,π上恒成立 ················································· 8分 因为()0,πx ∈，所以(]sin 0,1x ∈ ································································· 9分 所以22sin 112sin sin sin x a x x x+<=+在()0,π上恒成立 又因为12sin 22sin x x +，当且仅当12sin sin x x =，即π4x =或3π4时，等号成立．所以a 的取值范围为(−∞ ···································································· 12分 21．（教材P156．11）本题考查指数函数模型应用，对数运算等知识；考查运算求解和推理论证等能力、应用意识与创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想．本题满分12分． 解：（1）记20172019−年全球年产生数据量的年增长率分别为1p ，2p ，3p 依题意得12610.4418p =−≈，23310.2726p =−≈，34110.2433p =−≈ ················ 3分 所以()10.440.270.240.323p =++≈ ··························································· 4分 又因为18a = ···························································································· 5分 所以()()18(10.32)18 1.32N ttf t t =⨯+=⨯∈ ················································ 6分 （2）设从2020年起，经过n 年我国的数据量将达到全球数据总量的30%，由（1）知2020年全球年产生数据量为418 1.32⨯ ············································· 7分 依题意得()440.218 1.32(10.5)18 1.320.3nn +⨯⨯⨯+⨯⨯ ···································· 9分所以 1.53 1.322n⎛⎫ ⎪⎝⎭即 1.51.323lg3lg 3lg 20.4770.3010.1762log3.21.52lg 3lg 2lg1.320.4770.3010.1210.055lg 1.32n −−==≈==−−−−··············································································································· 11分答：估计到2024年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%． ······················· 12分 22．本题考查函数单调性与最值、零点与基本不等式等基本知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化、函数与方程、分类讨论等数学思想方法． 解：(1) 因为(1)xy a a =>，1y x=−在(0,)+∞上单调递增.............................................. 1分所以1()(1)xf x a a x=−>在(0,)+∞上单调递增 ................................................................. 2分 所以()f x 在[1,2]的最大值为()2122f a =− ....................................................................... 3分所以21722a −=，所以2a = ................................................................................................... 4分（2）证明：因为(,0)x ∈−∞，所以1()0xf x a x=−>所以1()xf x a x =−在(,0)−∞不存在零点 ............................................................................. 5分由(1)得1()xf x a x=−在(0,)+∞上单调递增，又因为11()0a f a a a=−<，(1)10f a =−>，所以()f x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且01(,1)x a∈ ......................................................... 7分方法一：因为010xa x −=，所以001x x a =，00log 0a x x += .......................................... 8分 因为01(,1)x a ∈，所以012x x +>， 所以0012x x −<，00001log (2)log log a a a x x x x −<=−= .............................................. 10分 由001x x a=，00log (2)a x x −<所以02200000log (2)22x a x x x ax x −+−<+− ................................................................... 11分因为001x <<，所以2002x x +<，得证． ........................................................................ 12分方法二：因为010x a x −=，有001x x a = 所以02200000log (2)2log (2)2x a a x x x ax x −+−=−+− ..................................................... 8分因为()log (2)a g x x =−在1(,1)a 单调递减， 所以01log (2)log (2)a a x a−<−， 当1a >时，12a a +>，所以12a a−< 有1log (2)log 1a a a a−<=，即0log (2)1a x −< ................................................................ 10分因为2()2h x x =−在1(,1)a单调递增，所以2021x −<− .................................................. 11分所以200log (2)20a x x −+−<，得证 .................................................................................. 12分。
赋值与构造法解抽象函数综合大题
专题 赋值与构造法解抽象函数综合大题知识点一、赋值求函数值1.已知：函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，对一切实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+成立，且()31f =.（1）求()1f 的值；2.（北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学期中）已知函数()f x 满足：,a b R ∀∈，均有()()()f a b f a f b +=+，且()24f =．（1）求()0f ，()4f 的值；3.（广西桂林市逸仙中学2020-2021学年高一上学期期中）已知函数()f x 在其定义域(0,)+∞，(2)1f =，且对任意正数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立. （1）求(8)f 的值；4.（四川省乐山市乐山外国语学校2020-2021学年高一上学期期中）定义在R 上的函数()f x 是单调函数，满足()36f =，且()()()f x y f x f y +=+，（x ，y R ∈）. （1）求()0f ，()1f ；知识点二、抽象函数证明或判断奇偶性证明奇偶性，实质就是赋值。
通过以下几道例题的第一问，分析出赋值规律。
1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f （0），f （1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x 和-x ，如f （x+y ），可令y= -x ，f （xy ），可令y= -1等等3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
实际授课，是实验探索第2条来推导赋值第1条。
1.（抽象式子特征：积→和）（安徽省六安市皖西中学2020-2021学年高一上学期期中）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足：①,(,0)(0,)x y ∀∈-∞⋃+∞，()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x >且(2)1f =．（1）判断函数()f x 的奇偶性；2.（抽象式子特征：和→和）（福建省厦门第一中学2020-2021学年高一上学期期中）定义在R 上的连续函数对任意实数x ，y ，恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3f =-.（1）求证：()f x 为奇函数；3.（抽象式子特征：特殊的复杂式子）（浙江省温州中学2020-2021学年高一上学期期中）定义在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭都有()()()1()()f x f y f x y f x f y ，且当102x <<时，()0f x >．（1）判断()f x 的奇偶性并证明；4.（抽象式子特征：和→和+常数）（长春市东北师大附中2020-2021学年上学期期中）若定义在R 上的函数()f x 满足：1x ∀，2x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=++成立，且当0x >时，()1f x >-. （1）求证：()1f x +为奇函数；5.（抽象式子特征：和→复杂）（广西南宁三中2020-2021学年高一（上）期中）定义在()1,1-上的函数()f x ，对任意(),1,1x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；6.（抽象式子特征：积→积）（贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市第一中学2019-2020学年高一上学期期中）已知函数()f x 的值满足()0f x >（当0x ≠时），对任意实数x ，y 都有()()() f xy f x f y =⋅，且()11f -=，()279f =，当01x <<时，()()0,1f x ∈.（1）求()1f 的值，判断()f x 的奇偶性并证明；7.（抽象式子特征：积→和）（安徽省黄山市祁门县第一中学2019-2020学年高一期中）函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+. （1）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；8.（抽象式子特征：和与差→积）（西藏自治区山南市第二高级中学2019-2020学年高一上学期期中）定义在R 上的函数()f x ，对任意的,x y R ∈，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且(0)0f ≠. （1）求证：(0)1f =； （2）求证：()f x 是偶函数.知识点三、判断单调性证明单调性，实质就是构造定义法，在12x x <时，构造证明出21()()f x f x -正负。
2020-2021学年福建省厦门外国语学校高一上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年福建省厦门外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（1，2）C．[﹣1，2）D．∅2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝x3（x＞0）C．D．y＝x|x|3．（5分）已知函数，则＝（）A．4B．C．﹣4D．4．（5分）命题为“∀x∈[1，2]，2x2﹣a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤1B．a≤2C．a≤3D．a≤45．（5分）设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）7．（5分）已知函数，若f（a）+f（a﹣1）＞0，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，2）8．（5分）已知f（x）＝|e x﹣1|+1，若函数g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A的是（）A．B．y＝|x﹣2|+1C．y＝log2（2x）+1D．y＝2x﹣110．（5分）若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（）A．2B．3C．4D．511．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若0＜a＜1，则a3＜aC．若a＞b＞0，则D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab212．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f（x）＝成为狄利克雷函数，则关于f（x），下列说法正确的是（）A．f（x）≥0B．f（f（x））＝1C．函数f（x）是偶函数D．f（x）﹣x3＝0有2个实数根三、填空题（共4小题）.13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m﹣1为偶函数，则m＝．14．（5分）已知函数f（x）＝log a（﹣x+1）（a＞0且a≠1）在[﹣2，0]上的值域是[﹣1，0]，则a＝15．（5分）当x∈（1，3）时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）＝|lgx|+2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围是．四、解答题：本小题共6小题，共70分。
2020-2021学年福建省厦门外国语学校高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省厦门外国语学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{B x y ==，则A B =（ ）A ．[)1,2B ．()1,2C ．[)1,2-D ．φ【答案】A【分析】分别计算集合A 和B ，再计算AB .【详解】{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{{}1B x y x x ===≥，A B =[)1,2.故选：A.2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．()30y xx =>C ．1y x x=+D ．y x x =【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义可判断选项A 、B 为非奇非偶函数，根据减函数的定义可以判断出C 在(0,1)上为减函数，这便可判断A ，B ，C 这三个选项错误，而根据奇函数的定义及二次函数、分段函数的单调性可判断D 正确． 【详解】解：A ．1y x =+为非奇非偶函数，∴该选项错误；.B ()30y x x =>为非奇非偶函数，∴该选项错误；1.C y x x=+，为奇函数，该函数在()0,1和()1,0-上为减函数，在()1,+∞和(),1-∞-上为增函数，∴该选项错误；D ．22x x y x x x x ⎧==⎨-<⎩，显然该函数为奇函数； 0x 时，2yx 为增函数，0x <时，2y x =-为增函数，且22x x >-；∴该函数在R 上为增函数，即该选项正确．故选：D ．3．已知函数()2log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ） A ．4 B ．14 C ．4-D ．14-【答案】B【分析】根据函数解析式，根据对数运算先求14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】根据函数解析式得，211log 244f ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 又()2124124f f f -⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】关键点睛：求解指数运算，对数运算是解决本题的关键.4．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤ D ．4a ≤【答案】A【分析】“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为22,[1,2]x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案．【详解】若“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得22,[1,2]x a x ≥∈恒成立 只需()2min22a x≤=，所以1a ≤时，[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，以及探求命题的充分不必要条件，属于常考题型．5．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则 （ ） A ．b a c << B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】根据指、对数的单调性直接将,,a b c 的范围求出来，然后再比较大小.【详解】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>；3.100.80.81c =<=；所以c a b <<， 故选D.【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值1分析法（与1比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.6．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 7．已知函数()32log 2xf x x-=+， 若()()10f a f a +->， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,2-D ．()1,2-【答案】B【分析】由函数()f x 的解析式，求得函数的定义域，再根据函数的奇偶性和复合函数的单调性，得出函数()f x 为奇函数且为单调递减函数，再根据函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()32log 2x f x x -=+有意义，则满足202x x ->+，即202x x -<+，解得12x -<<，又由()()3322log log 22x xf x f x x x+--==-=--+，所以函数()f x 为奇函数， 令()24241222x x g x x x x---===-+++，可得函数()g x 为单调递减函数， 根据复合函数的单调性，可得函数()f x 为定义域上的单调递减函数， 因为()()10f a f a +->，即()()1(1)f a f a f a >--=-，则满足222121a a a a-<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得112a -<<.故选：B.【点睛】求解函数不等式的方法：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 8．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)-- B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】A【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可．【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．二、多选题9．已知函数()()1101x f x a a a -=+>≠,的图象恒过点A ，则下列函数图象也过点A的是（ ） A ．12y x =- B ．21y x =-+ C ．()2log 21y x =+ D ．12x y -=【答案】ABC【分析】根据指数函数的性质，得出()f x 的图象恒过点(1,2)A ，再结合选项中函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数()()1101x f x aa a -=+>≠,，令1x =，可得()0112f a =+=，即函数()f x 的图象恒过点(1,2)A ，A 中，函数12y x =-+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；B 中，函数21y x =-+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；C 中，函数()2log 21y x =+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)C ，满足题意；D 中，函数12x y -=，令1x =时，可得1y =，此时函数不过点(1,2)，不满足题意. 故选：ABC.10．（多选）若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】ABC【分析】作出函数244y x x =--的部分图像，由图像与题中条件，即可得出结果.【详解】函数244y x x =--的部分图像如图，(0)(4)4f f ==-，(2)8f =-.因为函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[84]--，， 所以m 的取值范围是[2]4，， 故选ABC .【点睛】本题主要考查由二次函数的定义域与值域求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,R a b c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则3a a <C ．若0a b >>，则11b ba a+>+ D ．若c b a <<且0ac <，则22cb ab <【答案】BC【分析】利用特殊值法，不等式的性质，作差法判断． 【详解】解：A ，不成立，比如2a =-，1b =，B ，成立，01a <<，21a <，2(1)0a a -<，即3a a <，C ，成立，()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，所以11b b a a+>+， D ，不成立，若0b =，00<，不成立，故选：BC ．【点睛】考查不等式的性质，和作差法，特殊值法在比较不等式中的应用，属于基础题． 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数()1,0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数 成为狄利克雷函数，则关于()f x ，下列说法正确的是（ ） A ．()0f x ≥B ．(())1f f x =C ．函数()f x 是偶函数D ．3()0-=f x x 有2个实数根【答案】ABC【分析】根据狄利克雷函数的定义，一一判断即可； 【详解】解： 对于A ：当x 为有理数时，()1f x =；当x 为无理数时，()0f x =()0f x ∴≥，故A 正确；对于B ：当x 为有理数时，()1f x =；当x 为无理数时，()0f x =∴当x 为有理数时，()()()11f f x f ==；当x 为无理数时，()()()01f f x f ==即不管x 是有理数还是无理数，均有(())1f f x =，故B 正确； 对于C ：有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=，故C 正确；对于D ：当x 为有理数时，()1f x =；因为3()0-=f x x ，所以310x -=，解得1x =符合题意，当x 为无理数时，()0f x =，因为3()0-=f x x ，所以300x -=，解得0x =，矛盾，故3()0-=f x x 只有一个实数根，故D 错误；故选：ABC三、填空题13．已知幂函数()()2157m f x m m x-=-+为偶函数，则实数m 的值为_____【答案】3【分析】根据幂函数定义可构造方程求得m ，将m 的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果. 【详解】()f x 为幂函数2571m m ∴-+=， 解得：2m =或3m =；当2m =时，()f x x =为奇函数，不合题意； 当3m =时，()2f x x =为偶函数，综上所述：3m =； 故答案为：3.【点睛】关键点睛：明确幂函数的定义为形式定义，从而根据定义构造方程是解决本题的关键.14．已知函数()log (1)(0a f x x a =-+>且1)a ≠在[2,0]-上的值域是[1,0]-，则a =__________．【答案】13【分析】因为(0)0f =，且()f x 是单调函数，所以(2)1f -=-，进而求得答案． 【详解】因为(0)0f =，且()f x 是单调函数，所以(2)log (21)1a f -=+=-，所以13a =.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数问题，属于简单题．15．当(1,3)x ∈时，不等式240x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_____________． 【答案】4m <【分析】将不等式240x mx -+>分离常数m 得到24x m x+<，利用基本不等式求得24+x x在区间(1,3)上的最小值，由此求得m 的取值范围. 【详解】240x mx -+>，且(1,3)x ∈，所以原不等式等价于24x m x+<，不等式恒成立，则2min 4x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由2444x x x x +=+≥=，当且仅当2(1,3)x =∈时，2min44x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以正确答案为4m <．故答案为：4m <【点睛】本小题主要考查一元二次方程恒成立，考查基本不等式求最值，属于中档题. 16．已知函数()|lg |2f x x =+,若实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是__________. 【答案】(3,)+∞【分析】根据对数的运算性质把函数()|lg |2f x x =+的解析式写成分段函数的形式，并判断出单调性，结合已知0b a >>、()()f a f b =可以确定实数,a b 的取值范围以及它们之间的关系，根据这个关系可以把代数式2+a b 写成关于,a b 中一个变量的形式，再构造新函数，用单调性的定义判断出新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可.【详解】因为lg 2,1()lg 2lg 2,01x x f x x x x +≥⎧=+=⎨-+<<⎩， 因为两段函数均为单调函数，实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =， 所以有01a b <<<；又()()f a f b =，所以lg lg a b =，于是lg lg a b =-，则1a b=，所以122+=+a b b b； 令 1()2,1=+>g x x x x，任取121x x <<， 则()()()1212121212111222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，12120->x x ， 因此()()()121212120g x g x x x x x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭， 所以函数1()2=+g x x x在(1,)+∞上单调递增； 因此()(1)3>=g x g ，即23+>a b . 故答案为：(3,)+∞【点睛】本题考查了利用消元法、构造新函数法求代数式的取值范围问题，考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，考查了单调性定义的应用，考查了数学运算能力.四、解答题 17．求值： （1）211log 33(0.008)2+2lg 5lg 4+-++（2） 已知13x x -+=， 求1122x x -+的值． 【答案】（1）10π+； （2【分析】（1）根据指数幂与对数的运算法则，即可求解； （2）由2112112()2x x x x--=+++，代入即可求解.【详解】（1）根据指数幂与对数的运算法则，可得：211log 33(0.008)2+2lg 5lg 4+-++2log 313522+2(lg 5lg 2)π=-++⋅+3523+210ππ=-++⨯=+.（2）因为13x x-+=，可得1122112111122)2(25x x x x x xx x ----=++⋅+++==，又由112200,x x ->>，所以1122x x -+=18．设全集U =R ，集合{}lg()0A x x a =->，{}2340B x x x =--<． （1）当1a =时，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）(,2]-∞-.【分析】（1）当1a =时确定集合A ，根据交集的定义求解. （2）由A B A ⋃=得B A ⊆，得出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由lg(1)0x ->得11x ->，解得2x >， 所以(2,)A =+∞，由{}2340B x x x =--<解得[]1,4B =-， 所以(2,4]A B ⋂=.（2）{}{}lg()01A x x a x x a =->=+，{}2340B x x x =--<得{}|14B x x =-<<，由A B A ⋃=得B A ⊆，所以(1,4)(1,)a -⊆++∞， 所以11a ≤-+，解得2a ≤-， 所以实数a 的取值范围是(,2]-∞-.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，注意正确求解集合，再者就是能正确判断集合之间的关系. 19．已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的取值范围；【答案】（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）1{}[0,)4-+∞.【分析】（1）当5a =时，得到21()log (5)f x x=+，根据()0f x >，得出不等式151x+>，即可求解； （2）化简()221log ()g x a x x=+⋅（其中0x >），根据函数()g x 只有一个零点，得到方程210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当5a =时，21()log (5)f x x=+， 由()0f x >，即21log (5)0x +>，可得151x+>，解得14x <-或0x >，即不等式()0f x >的解集为1(,)(0,)4-∞-+∞. （2）由()()22222112log log ()2log log ()g x f x x a x a x xx=+=++=+⋅（其中0x >）， 因为函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，即()0g x =只有一个根， 即21()1a x x+⋅=在(0,)+∞上只有一个解， 即210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，①当0a =时，方程10x -=，解得1x =，复合题意； ②当0a ≠时，设函数21y ax x =+-当0a >时，此时函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意； 当0a <时，要使得函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴只有一个交点，则满足102140a a ⎧->⎪⎨⎪∆=+=⎩，解得14a =- ，综上可得，实数a 的取值范围是1{}[0,)4-+∞. 【点睛】根据函数的零点求参数的范围的求解策略：1、转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；2、列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）；3、结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围；20．为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，[30,50]x ∈，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】（1）工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损；（2）当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．【分析】（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数()[]160040,30,50y P x x x x x==+-∈，然后利用均值不等式解决问题 【详解】（1）当[]30,50x ∈时，设该工厂获利S ， 则()()222040160030700S x x x x =--+=---，所以当[]30,50x ∈时，max 7000S =-<，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损． （2）由题易知，二氧化碳的平均处理成本()[]160040,30,50y P x x x x x==+-∈，当[]30,50x ∈时，()1600404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =时等号成立， 故()P x 取得最小值为()4040P =，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．【点睛】本题主要考察抽离出函数模型去解决问题，在做题的过程中采用均值不等式求解最值问题，在利用均值不等式时一定注意“一正”“二定”“三相等”条件的验证 21．已知奇函数()()410,12xf x a a a a=->≠+． （1）求a 的值，并求函数()f x 的值域；（2）若函数()()12xy m mf x =+-在区间(]2,log 3x ∈-∞上有两个不同的零点，求m 的取值范围．【答案】（1）2a =，值域为(1,1)-；（2）65⎤-⎥⎝⎦ 【分析】（1）根据函数()f x 是奇函数，定义域为R ，推出(0)0f =，得2a =．再检验一下当2a =时，是否满足奇函数的定义()()0f x f x ，再利用分离变量法求出函数的值域．（2）令2x t =，(0t ∈，3]，则问题可以转化为方程2(1)0m t t m +++=在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根，由0∆>，解得m ，若在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根还得对m 分类讨论；【详解】解：（1）因为函数()f x 是奇函数，定义域为R ， 所以(0)0f =，所以4102a-=+，解得2a =． 当2a =时，142()112221x x f x +=-=-++，可得()()0f x f x ，则()f x 为奇函数，所以142()112221x x f x +=-=-++，即2121x y =-+，变形可表示为1201xy y --=>-，解得11y -<<， 所以()f x 的值域为(1,1)-．（2）根据题意可得方程(1)2()0x m mf x +-=在区间(x ∈-∞，2log 3]上有两个不同的根，即方程2(1)2[1]021xx m m +--=+在区间(x ∈-∞，2log 3]上有两个不同的根， 令2x t =，(0t ∈，3]， 则方程2(1)[1]01m t m t +--=+在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根， 即2(1)0m t t m +++=在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根，214(1)4410m m m m ∆=-+=--+>m <<，当0m <<(1)000(1)9301032(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++>⎨⎪⎪<-<+⎪⎩，不等式组无解，0m <<时，(1)000(1)9301032(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++<⎨⎪⎪<-<+⎪⎩65m <-．综上所述m 的取值范围为得65⎤-⎥⎝⎦． 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．22．已知函数22,01,()ln ,1x x f x x x e-≤<⎧=⎨≤≤⎩，其中e 为自然对数的底数． （1）求(())f f e 的值；（2）作出函数()()1F x f x =-的图象，并指出单调递减区间(无需证明) ； （3）若实数0x 满足00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的二阶不动点，求函数()f x 的二阶不动点的个数．【答案】（1）(())1f f e =；（2）图象见解析，递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）3【分析】（1）分段函数求值，根据x 的范围代入即可；（2）画出函数图象，结合图象求出函数单调性；（3）写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数 【详解】解：（1）因为1e >，所以1()2f e ln e ==，所以1(())()12f f e f ==． （2）()|()1|F x f x =-，所以函数图象如下所示：递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）根据题意，012x，(())(22)f f x ln x =-，当112x <<，(())42f f x x =-，当1x e ，(())22f f x lnx =-，当012x时，由(())(22)f f x ln x x =-=，记()(22)g x ln x x =--，则()g x 在1[0,]2上单调递减，且(0)20g ln =>，11()022g =-<，故()g x 在1[0,]2上有唯一零点1x ，即函数()f x 在1[0,]2上有唯一的二阶不动点1x ．当112x <<时，由(())42f f x x x =-=，得到方程的根为223x =，即函数()f x 在1(,1)2上有唯一的二阶不动点223x =．当1x e 时，由(())22f f x lnx x =-=，记()22h x lnx x =--，则()h x 在[1，]e 上单调递减，且()110h =>， ()0h e e =-<，故()h x 在[1，]e 上有唯一零点3x ，即函数()f x 在[1，]e 上有唯一的二阶不动点3x ． 综上所述，函数()f x 的二阶不动点有3个．【点睛】（1）这是分段函数求值，基础题；（2）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（3）这道题难点是要写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数，一定注意x 的范围．。
厦门第一中学2020-2021学年高一上学期入学测试数学试题(含答案和解析)
厦门_中2020级高一入学数学适应性练习C ⅛试时同为刃分钟.本卷満分】00分〉r 堆择莎G ¢10小題，毎JB 4分，卄40分〉 1. ^y-^y 分解因式时，应提取的公因式是（）a×a i ÷ffl 2Γ -IaC. (α-l)2=α2-l有两个事件，事件总 拋掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数'事件D 367人中至少有2人生日 相同.下列说法正确的是（）4. 如图，AABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，则（an 厶1的值是（）5. 在某次演讲比赛中.五位评委给选手切同打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最窈分，平均分 为*去掉一个最低分，平均分为屮 同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为二，则（ ）A. y> z>xB. x>z>yC. y>x> Z D ・ z> y>x6. 屈C 的周长 HQB 的中点.MC = A^ = 5,则^ABC 的面积是（>A. 24B. 20C. 15 D ・不确定7 •如图，"EC 中.厶lCff = 90o,Z4 = 30°,∕g=16,点P 是斜边ARh 任怠一点■过点P 作理丄力/垂足为A 交边ZC （或边仞》于点0设AP = x. ^APQ 的而积为”则y 与蛊之间的函数图象大致 A.C. 3X L y 3D. 3x 1y λ 2. 下列计算正确的是（ A. (α 塔F= a 7b i B. -2⅛(4α-l) = -8σ⅛-2⅛ A. 事件儿〃都是随机事件 B. 事件/、E 都是必然爭件 C. 事件/是随机事件，事件〃是必然事件 D. 事件Zl 是必然事件，事件〃是随机事件2√10 亍3√O208.如图，已知册是半呵00的直径，/是EE 廷长线上一点・/C 切半圆OO 于点D,月C 丄力C 于点 G DFlEB 于总F,若Be = 2DF = 6∙则OO 的半径为( )9.如图，正三角形ABC 的边长为4,过点〃的直线/丄屈，且“ABC 与⑷C 关于直线Z 对称.D 为线段Bek 一动点，则4DYD 的最小值是( )A. 4馆 B ・6√2 C ・8 D ・4+ 2若10.二次函数y=α√ + ⅛Λ+c 的图象如图所示，对称轴是直线x = l.下列结论=① a be < 0: (2)3a÷c>0; (3)(Λ + C )2 -⅛2<0 ； ®a + b<m(am^b)(川为实数)・其中结CA ∙ 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二琪空莎(共4小题.毎题4分，计16分)12.如图，在A ABC 中，Z√ =40o , ZB = ZC, BP=CE, BD = CP,则SEE= ________________________13.如图，在平面直角坐标系中，蓋形屈CD 的顶点力、左往反比例函数^=-(⅛>0,Λ>0)的图象上, 己知久B 的横坐标分别为I 、4,且对角线X 轴，若菱形ABCD 的面积为30.则A 的值为 __________________________ .11・己知 3H 4 (Jr-I)(X-2)A R TrTT 则实数八一-论正确的个数为( )14.平面直克坐标系HOy中，已知点@0)在直线j=2rjr÷c2+2(c>0)上.且满足，十⅛2-2(l÷25c)+4c2+A=0,则C= ____________ •三.(共5小題，计44分〉15.（木题8分）为了解某县建档立卡贫困户对准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机 捕取了部分贫国户进行了调査（把调查结果分为四个等级，A 级：非常满意：B 级三满意：C 级；基本满意： D 级；不满盘人并将调査结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的怕息解决下列问题;（1＞本次抽样调查测试的建档立卡贫困户户数是 _______________〈2》图1中，Na 的度数是 ______________,并把图2条形图补充完整；〔3＞某县建档立卡贫困户有IOOOO 户.如果全部参加这次满意度调查，请你估计满意（B 级）人数约为多 少户？U ）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为G b 9 G M, W ）中随机选取两户，调査它们对扶贫政 策的满意度，谙用列表或树状图的方法求出选中贫困户e 的概率・3乂 — y = 2a —516∙ “杪分〉己2 y 的方程组｛“Ii+3的解都为正数・（1＞当α=2时，解此方程组：（2＞求α的取值范圉：（3＞己知α+方一4,且6＞0, Z= Ia -36 P 茨二的取值范围.17.（本題P 分）已知& F 分别在正方形ABCD 的边CD ∙ AD±f CD=4CE. ZEFB = ZFBC 9求1& （木題8分）如图1, 4B 是O O 的直径・£是朋延长线上一点，EC 切OO 于点G OP 丄Ao 交AC 于点P 交EC 的延长线于点D・猜准扶甘謂翳D D(1)求证；δPCD是等腰三角形；(2)CG丄力B于"点，交OO于G点，过D点作BF〃EC,交G)O于点F,交CG于0点，连接AF,3如国2.若SitlE=工，CQ = S9求力F值•519.(本題12分)己知二次函数y = χ2÷⅛r-c的图彖经过两点F(l,α), Q(2,10α).(1)如果弘b,疋都是整数，AC <b<Ka , Λ,b,€■的值，(2)设二次函数y = x2^bx-c的觀象与天轴的交点为A、B.与y轴的交点为C9如果关于X的方程√÷M-^=0的两个根都是整数，求厶ABC的面枳•厦门一中2020级离一入学数学适应性竦习鑫考答案一・选择禺（共M 小品每题4分，计恥分）1. B2. C3. C4. A5. A6. A7. D8. D9. C IO- C二、 壇空圈供4小圈毎题4分，计16分〉11. 1 2 12. 70° 13. y 14.三、 解答窗〈共5小圈 计g 分〉（须写出详»1的枠g ⅛t 程） 15.（本題8分）(1) 60(2) 54"(3) 3500 λ（4）所有可能出现的结果共有10种.选中e 的结果有4种4 2：■P （选中小=—=-10 516・（木題8分）①次2 +②得7工二7,即Jf=I,把兀=1代入①得.3-> = -l,即y = 4,ZJ-I>0 α+2> 0则原不等式组的解集为α>l:(3) Vd7 + 5 = 4, ⅛>0Λ ⅛ = 4 — α > O pV α>LΛ 1 <Λ <4, ∖t 2α — 3⅛ = 2a — 3(4—α) = 5α— I2,z= 2a —3b 、 解；<1）当a =2时.方程组为彳 3jc-y = -lx^2y = 9此方程的解为 x=l丁 = 4（2）解这个方程组的解为三 x = a-∖y = a +2tt-7<z<8・8 分17.(本題g 分) 如图，延长EF 交BC 的延长线于八设恥的中点为6连2,则OT 丄BFI 四边形ABCD 是正方形，不妨设其边长为4・・.ADHBC 上 A = ZBOT = 90°.'.AAFB = ΛOBT—BAFs^JOB2・•・ BF I = 2AF ・ BT设 Cr=k易证 REFSbCET :∙ DF=U ∙ AF=4-3k, BT = 4#Λ42÷(4+ 3^)2 = 2 X(4 —弘)(4 + k)15A 2-8⅛=O QΛJt = 或0 (舍去)Λtan∠ABF = ^=2AB 4 518.〈本题8分〉^OB = -BF OS BT解：(1)连接OC,≡11V EC切09于点C,：,OC丄DE∙,・•・ Zl-t-Z3 = 90°,又* OP丄O/,ΛZ2 + Z4=90o,-OA = OC,Λ Z1 = Z2,・•• Z3=Z4,又V∠4 = ∠5,,ΛZ3=Z5,ΛDP= DC,即为等腰三角形.(2)如图2,连接OC、BC，Λ DE与OO相切于点E,Λ ZOCS+ Z5CE= 90°,・•・ OC=OB,Λ ZOCB = ZOBC,Λ ZOBC^ ZBCE = 90°, 又VCG 丄√fg,ΛZOSC÷Z5CG = 90°lΛ ZBCE = ZBCG ,V BFHDE,Λ ZBCE = ZQBC,Λ ABCG= ZQEC.:∙ QC = QB = 5,V BF 〃DE,Λ ZABF= ZE,3V SinE = —，5Λ Sin ZABF = |,XOH=3、M=4,设QO的半径为r,：・在bOCH 中,^=81 + (r-4)2,解得：r = 10f3又VZ4∕B = 900, Sin ZABF = |,AJF= 12. 8 分19.(本题12分)解二点P(I卫)、ρ(2JOa)在二次函^y = X I^bX^^的图象上, 故l+bγ=α, 4A-2b-c=10« ,解得b = %-3, e=‰-2≡8n — 2 < 9,J—3(1)由CVbV&7知"9α — 3 < 8α解得1 vα∙<3,又“为整数.所以α = 2上=9α-3 = 15f c=8α-2 = 14;(2)设m ”是方程的两个整数根，且nι≤n.由根与系数的关系可得f ni = -b=3-9a∙ mn = -c = 2~^f消去血得9∕nπ-8(wz÷π) = -6,两边同时乘以9,得8b_720+龙)=_54,分解因式,得帥_8)(%_8) = 10・又g 〃是整数.所以后而三组解舍去, 故ZM = 1, ZT= 2. 因此 P b = -{m + Λ) = —= —mn = —2 , 二次函数的解析式为卩=，一3工+2・易求得点/、〃的坐标为(1,0)和(2,0),的坐标为(0,2). 所以^ABC 的面枳为∣×(2-1)×2=1. 12分 解得 9血一8 =1 /M = I/1 = 2 或“ ：9加一8 = 一10,9Π-8=-1 Tl =— 9 1 JTl = - 32 Λ =—3 或“ 9m —8 = —510m =— 9 13 n =— 或电 9加一8 = 2。
厦门外国语学校高一上学期第一次月考数学试题-含答案
厦门外国语学校2021-2022学年高一上学期（10月）第一次月考数学试卷考试时间：2小时，满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共55分)1．(本题5分)设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ） A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8} 2．(本题5分)已知函数()2log 13(0x a y a x a -=+-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则()2f =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．(本题5分)若函数()y f x =的定义域为R ，则()y f x =为偶函数的一个充要条件是（ ）A ．对任意x ∈R ，都有()0f x =成立；B ．函数()y f x =的图像关于原点成中心对称；C ．存在某个0x R ∈，使得()()000f x f x --=；D ．对任意给定的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.4．(本题5分)下列区间中，包含函数()121f x log x x=+的零点的是（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,15．(本题5分)定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0f x =在闭区间[],T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．56．(本题5分)已知a ＝log 0.53，b ＝20.3，c ＝0.30.5，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c 7．(本题5分)设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(本题5分)已知函数()2log ,11,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩则不等式()1f x ≤的解集为（ ） A ．(],2-∞B ．(](],01,2-∞⋃C ．[]0,2D ．(][],01,2-∞9．(本题5分)方程2(2)50x m x m +-+-=的两根一个根大于2，另一个根小于2，则m 的取值范围是（ ）A ．(,5)-∞-B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(5,)-+∞10．(本题5分)若函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a11x +的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．(本题5分)设函数:f R R →满足()01f =，且对任意x 、y R ∈都有()()12f xy f y y -=--，则()2019f =（ ）A ．2020B ．2018-C ．2019D ．2018二、多选题(共5分)12．(本题5分)已知c a >，若函数2()2f x x x b =-+有两个零点,c d ，()|ln |g x x d =-有两个零点,a b ，则下列选项正确的有（ ）A ．1d b <<B ．2a b cd +>C ．ad bc >D ．log log a b c d > 第II 卷（非选择题）三、填空题(共20分)13．(本题5分)已知函数22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨--+<⎩，A ＝{x |t ≤x ≤t +1}，B ＝{x ||f (x )|≥1}，若集合A ∩B 只含有一个元素，则实数t 的取值范围是____．14．(本题5分)已知13x x ，则3322x x -+的值为__________． 15．(本题5分)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()222,1,log ,1,x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，则()1 04f f f ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为___________. 16．(本题5分)设函数()842lg 2x x xx a f x ++⋅=，a R ∈，若当(),1x ∈-∞时，()f x 都有意义，则a 的取值范围是________．四、解答题(共70分)17．(本题10分)已知全集U =R ，集合2311x A x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}B x x a =≥. （1）求A ；（2）若A B ，求实数a 的取值范围.18．(本题10分)已知函数()()()[)12log 1,1,35,3,x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎪-∈+∞⎩.（1）在给定直角坐标系内直接画出f (x )的草图(不用列表描点)，并由图象写出函数f (x)的单调减区间；（2）当m 为何值时f (x )-m =0有两个不同的零点.19．(本题12分)已知函数f （x ）1x =+lg 4x x-．判断并证明函数f （x ）的单调性； 20．(本题12分)如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后原地等待.设1t t =时乙到达P 地.2t t =时乙到达Q 地.（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3千米？说明理由.21．(本题12分)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋Q ＝14a ＋120．设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．（1）求f (50)的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？22．(本题14分)已知函数()f x A ，函数()201()x g x x =≤≤的值域为集合B .（1）求A B ；（2） 若集合{|21}C x a x a =≤≤-，且C B B =，求实数a 的取值范围.外国语学校第一次月考参考答案及解析1．C【分析】根据集合交集的运算可直接求出结果.【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =.故选：C2．B【分析】先求得函数()2log 13(0x a y a x a -=+-+>且1)a ≠的定点，再根据点P 在幂函数的图象上，求得幂函数的解析式即可.【详解】令2x =，得4y =，所以函数()2log 13(0x a y a x a -=+-+>且1)a ≠的图像恒过定点()2,4P ，设幂函数为()a f x x =，因为点P 在幂函数()a f x x =的图象上，所以24a =，解得2a =，所以()2224f ==，故选：B3．D【分析】利用偶函数的定义进行判断即可【详解】对于A ，对任意x ∈R ，都有()0f x =成立，可得()f x 为偶函数且()f x 为奇函数，而当()f x 为偶函数时，不一定有对任意x ∈R ，()0f x =，所以A 错误，对于B ，当函数()y f x =的图像关于原点成中心对称，可知()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，所以B 错误，对于CD ，由偶函数的定义可知，对于任意x ∈R ，都有()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，所以当()f x 为偶函数时，任意x ∈R ，()()0f x f x --=，反之，当任意x ∈R ，()()0f x f x --=，则()f x 为偶函数，所以C 错误，D 正确，故选：D4．C【分析】利用零点存在性定理，即可求解.【详解】解:函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且()()1110,2102f f =>=-+<， ()f x ∴的零点在()1,2内.故选：C5．D【分析】利用()f x 是奇函数，又是周期函数，计算出方程()0f x =在闭区间[],T T -上必有的几个根即可作答.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又T 是()f x 的一个正周期，则()()(0)0f T f T f -===，又()()()()2222T T T T f f f T f -=-=-+=，于是得()()022T T f f -==， 因此，,,0,,22T T T T --都是方程()0f x =在闭区间[],T T -上的根， 所以n 可能为5.故选：D6．A【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵log 0.53＜log 0.51＝0，∵a ＜0，∵20.3＞20＝1，∵b ＞1，∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∵0＜c ＜1，∵a ＜c ＜b ，故选：A ．7．B【分析】根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案.【详解】由函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值， 所以当1x >时，()0f x '<；1x =时，()0f x '=；1x <时，()0f x '>；所以当0x <时，()0y xf x '=->，当01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，当1x >时，()0y xf x '=->，可得选项B 符合题意.故选：B ．8．D【分析】分别讨论1≥x 和1x <时，利用对数函数的单调性以及解分式不等式，即可求解.【详解】当1≥x 时，不等式()1f x ≤即()22log 1log 2f x x =≤=，可得12x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：12x ≤≤； 当1x <时，不等式()1f x ≤即()111f x x =≤-，即01x x ≤-，所以01x x ≥-， 解得：0x ≤或1≥x （舍），所以0x ≤，综上所述：不等式()1f x ≤的解集为(][],01,2-∞， 故选：D.9．A【分析】令2()(2)5f x x m x m =+-+-，由题意得()20f <，从而即可解得m 的取值范围．【详解】解：令2()(2)5f x x m x m =+-+-，因为方程2(2)50x m x m +-+-=的两根一个根大于2，另一个根小于2， 所以()20f <，即()242(2)50f m m =+-+-<，解得5m <-，所以m 的取值范围是(,5)-∞-，故选：A ．10．D根据函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)可求出a 的值，把a 的值代入函数()g x 的解析式，从而根据函数()g x 的定义域及单调性排除选项. 【详解】由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，所以a所以)()1g x x ==-+， 因为函数()g x 的定义域为()1,-+∞，且函数()g x 在定义域内单调递减，所以排除选项A ，B ，C. 故选：D. 11．A 【分析】令0x y ==得出()11f -=-，再令0x =可得出()1f y y =+，即可求出()2019f 的值. 【详解】对任意x 、y R ∈都有()()12f xy f y y -=--，且()01f =， 令0x y ==，得()()102121f f -=-=-=-，令0x =，可得()()121f f y y -=--=-，()1f y y ∴=+， 因此，()2019201912020f =+=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用赋值法求抽象函数值，解题的关键就是利用赋值法求出函数()y f x =的解析式，考查运算求解能力，属于中等题. 12．AB由已知分析得选项A 正确，利用基本不等式证明选项B 正确；利用不等式性质得到选项C 错误，利用作差法得到选出D 错误. 【详解】因为函数2()2f x x x b =-+有两个零点,c d ， 所以440,1b b ∆=->∴<，所以2,1c d cd b +==<， 令()|ln |g x x d =-=0，所|ln |x d =有两个零点,a b ，所以0,|ln ||ln |d a b d >==，所以1a >， 因为,1c a c >∴>，所以01d <<， 因为bd b c=<，所以选项A 正确； 因为ln ,ln ,ln ln 0,ln()0,1b d a d a b ab ab -==∴+=∴=∴=，所以2,a b +>=因为1,22cd b cd =<∴<， 所以2a b cd +>，所以选项B 正确；因为0,0,c a b d bc ad >>>>∴>，所以选项C 错误； 11log log log log log log log log 0a b a a aa a ac d c d c cd b d-=-=-==<， 所以log log a b c d <，所以选项D 错误. 故选：AB关键点睛：解答本题的关键在于证明10c a b d >>>>>. 13．0＜t ＜1 【分析】首先整理集合B ，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不等式，求出不等式的解集，进一步求出集合B 的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到t 的值． 【详解】22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧-+=⎨--+<⎩要解|f (x )|≥1，需要分类来看， 当x ≥0时，|2x 2﹣4x +1|≥1 ∵2x 2﹣4x +1≥1或2x 2﹣4x +1≤-1 ∵x ≥2或x ≤0或x ＝1，又x ≥0 ∵x ≥2或x ＝1或x ＝0． 当x ＜0时，|﹣2x 2﹣4x +1|≥1 ∵﹣2x 2﹣4x +1≥1或﹣2x 2﹣4x +1≤﹣1∵﹣2≤x ≤0或1x 或1x ≤-又x ＜0 ∵﹣2≤x ＜0或1x ≤-综上可知B ＝{x |-2≤x ≤0或1x ≤-x ≥2或x ＝1} ∵集合A ∩B 只含有一个元素， ∵t ＞0且t +1＜2 ∵0＜t ＜1故答案为：0＜t ＜114．【分析】根据指数的幂运算，先求出1122x x -+，再由立方和公式，将所求式子因式分解，进而可得出结果. 【详解】 因为13xx，所以21112225x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵1122x x -+=∵())331112222131x xx x x x ---⎛⎫+=+-+=-= ⎪⎝⎭故答案为： 15．6 【分析】利用奇函数求()0f 及化简14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用分段函数代入即可计算得解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 又2111log 2444f f⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()10206064f ff f ⎡⎤⎛⎫-+=+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：6 16．[)0,+∞ 【分析】()()842lg lg 422x x xx x xa f x a ++⋅==++，则原题等价于420x x a ++>在(),1x ∈-∞上恒成立，分离a ，计算()42x x-+的最大值可求出a 的范围.【详解】解：()()842lg lg 422x x xx x xa f x a ++⋅==++， 则原题等价于420x x a ++>在(),1x ∈-∞上恒成立，变形为()42x xa >-+，对任意(),1x ∈-∞成立，即()()max42x xa >-+，令2xt =，()0,2t ∈，则有()221124g t t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，在()0,2上单调递减；()()6,0g t ∴∈- 所以0a ≥.故答案为：[)0,+∞． 【点睛】本题考查与二次函数相关的复合函数问题以及恒成立问题的解法，属于中档题. 方法点睛：（1）恒成立有解问题，首选变量分离； （2）求最值时要检验端点值是否成立. 17．（1）()4,1A =-;（2）,4]-∞-（. 【分析】（1）解分式不等式求得集合A .（2）根据A B 列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】 （1）232341,10,041111x x x x x x x +++<-<<⇔-<<---，所以()4,1A =-.（2）由于A B ，所以4a ≤-，即a 的取值范围是(],4-∞-. 18．(1)图象答案见解析，单调减区间是(1,3)-；(2)(2,)-+∞. 【分析】(1)根据给定分段函数，分段画出函数的图象，写出单调区间即可； (2)结合函数的图象，判断函数的最值，然后求解m 的范围即可. 【详解】(1)函数12log (1),(1,3)()5,[3,)x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨⎪-∈+∞⎩的图象如图：函数f (x )在(1,3)-上是减函数，在[3,)+∞是增函数， 所以函数f (x )的单调减区间是(1,3)-；(2)由(1)知，()12log 1y x =+在()1,3x ∈-的值域是(2,)-+∞，5y x =-在[)3,x ∈+∞的值域是[2,)-+∞，x =3时，函数取得最小值-2，由函数f (x )的图象可得：f (x )-m =0有两个不同的零点时，m >-2， 所以当m ∵(2,)-+∞时，f (x )-m =0有两个不同的零点. 19．f （x ）在（0，4）上单调递减，证明见解析 【分析】可得出f （x ）的定义域为（0，4），由复合函数单调性和函数加减的单调性可判断f （x ）在（0，4）上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的x 1，x 2∵（0，4），并且x 1＜x 2，然后作差，通分，得出f （x 1）﹣f （x 2）()()1221122144x x x x lg x x x x --=+-，然后说明f （x 1）＞f （x 2）即可； 【详解】由题意，040x x x ≠⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得04x <<故f （x ）的定义域为（0，4）令441x u x x -==-，lg y u =，由于41u x=-在（0，4）单调递减，lg y u =在(0,)+∞单调递增，因此4lgxy x-=在（0，4）单调递减，又1y x =在（0，4）单调递减，故f （x ）1x =+4lgx x -在（0，4）上单调递减，证明如下： 设0＜x 1＜x 2＜4，则： ()()()()121221121122122144411lg lg lg 4x x x x x x f x f x x x x x x x x x -----=+--=+-， ∵0＜x 1＜x 2＜4，∵x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4﹣x 1＞4﹣x 2＞0，12214114x xx x --＞，＞， ∵()()()()1212211221214401lg 044x x x x x x x x x x x x -----＞，＞，＞， ∵f （x 1）＞f （x 2），∵f （x ）在（0，4）上单调递减20．（1）38h，8千米；（2）3788()755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩，没有超过，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，易得138t h =，假设此时甲运动到点R ，再根据余弦定理求解即可；（2）根据题意，分当178t t ≤≤时，乙在PQ 上的N 点，设甲在M 点，进而根据余弦定理得()f t =718t <≤时，()55f t t =-，进而根据函数单调性求最值即可. 【详解】解：（1）根据题意，1t t =时，乙到达P 地，由于速度为8千米/小时，3OP =千米， 所以138t h =，设此时甲运动到点R ，则158OR =千米，如图所以1()f t PR ===千米. （2）当178t t ≤≤时，乙在PQ 上的N 点，设甲在M 点，如图所以78NQ t =-，55MQ t =-，所以()f t == 当718t <≤时，乙在Q 点不动，设此时甲在M 点， 所以()55f t t =-.所以3788()755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩. 所以当3788t ≤≤时，3()5f t ⎡==⎢⎣⎦， 当718t <≤时，5()0,8f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以当318t ≤≤，()f t3<故()f t 的最大值没有超过了3千米.21．（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大． 【分析】（1）由(50)(50)(150)f P Q =+计算可得；（2）由已知列出函数式()()(200)f x P x Q x =+-，注意定义域，然后换元t =，化为二次函数，由二次函数知识得最大值． 【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋14×150＋120＝277.5． （2）由题知，f (x )＝80＋14 (200－x )＋120＝－14x ＋250，依题意得20,20020,x x ≥⎧⎨->⎩ 解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋250(20≤x ≤180)．令t t 2＝x ，t ，y＝－14t 2＋＋250＝－14(t －2＋282，当t ＝即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元． 22．（1）{}2；（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）求函数的定义域求得集合A ，求函数的值域求得集合B ，由此求得A B . （2）对a 进行分类讨论，结合C B ⊆求得a 的取值范围. 【详解】（1）()2log 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥，[)2,A ∴=+∞.对于函数()2xg x =，该函数为增函数， 因为01x ≤≤，则122x ≤≤， 即()12g x ≤≤， []1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=；（2）C B B =，C B ∴⊆.当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件；当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得312a ≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)
厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知i 为虚数单位若复数A.1B.-1C.iD.2．水平放置的的直观图如图所示,是中边的中点,且平行于轴,则,,对应于原中的线段AB ,AD ,AC ,对于这三条线段,正确的判断是( )A.最短的是ADB.最短的是ACC. D.3．在中，角A ，B ，C所对边分别为a ，b ，c ，且，，( )A. B.或 C. D.或4．设m,n 是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若,,则 B.若,,则C.若,,则D.若,,则5．中,a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边,若,则形状是( )C.等腰直角三角形 D.不能确定三角形的形状6．已知向量,,若向量在向量上的投影向量(z =i-ABC △D 'A B C '''△B C ''A D ''y 'A B ''A D ''A C ''ABC △AB AC >AD AC>ABC △a =1=45A =︒B =30︒30︒150︒60︒60︒120︒αβαβ⊥//m αm β⊥αβ⊥m α⊂m β⊥//m αn α⊥m n⊥m n ⊥//m αn α⊥ABC △ABCS =△0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ABC △()2,1a = (),3b λ= b a(10,5c = 2a =)A.7B. C.7．如图,在直三棱柱中,,P 为线段的中点,Q 为线段（包括端点）上一点,则的面积的最大值为( )8．已知平面向量,D.3是其共轭复数,则下列命题中错误的是( )A.B.若,则C.若D.若是关于x 的方程的一个根,则10．已知的内接四边形中,,,下列说法正确的是( )A.的面积为11．如图,点P 是棱长为2的正方体的表面上一个动点,F 是线段的中点,则( )111ABC A B C -12AB BC CA AA ====11A B 1C P BCQ △a ,a b += +1+22||z z =||1z =|1i z --1(12i)z =-13i -20(,)x px q p q ++=∈R 8q =-O e ABCD 2AB =6BC =4AD CD ==A =ABCD 4CD ⋅=-1111ABCD A B C D -11A BA.若点P 满足,则动点的轨迹长度为B.当点P 在棱上时,C.当直线AP 与AB所成的角为时,点P 的轨迹长度为D.当P在底面上运动,且满足平面时,线段PF 长度最大值为________________.13．如图,为了测量河对岸的塔高AB ,某测量队选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .现测量得,米,在点C ,D 处测得塔顶A 的仰角分别为,,则塔高_________________米.四、双空题14．已知正四棱锥的所有棱长都为2,点E 在侧棱SC 上且,过点E 且垂直于SC 的平面截该棱锥,得到截面多边形H ,则H 的边数为_____________,H 的面积为_______________.1AP B C ⊥P 4+1DD 1AP PC +45︒π+ABCD //PF 11B CD i =120CDB ∠=︒30CD =30︒45︒AB =S ABCD -14SE SC =五、解答题15．如图,在中,,点E 为中点,点F 为上的三等分点,且靠近点C ,设.(1)用,表示,;(2)如果,,且,求.16．记的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知.(1)求角A 的大小;(2)若D 点在线段BC 上,且AD 平分,若,且17．如图,四棱锥的侧面是边长为2的正三角形,底面为矩形,且平面平面,M ,N 分别为,的中点,直线PC 与面所成角的正切值为(1)证明：平面;(2)证明：.18．在中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,请从下列条件中选择一个条件作答：①②③ABC △25AD AB =AC BC CA a = CB b = a b EF CD 60ACB ∠=︒2AC =CD EF ⊥||CDABC △22cos b c a C -=BAC ∠2BD CD =AD =P ABCD -PAD ABCD PAD ⊥ABCD AB PC ABCD //MN PAD DM PC ⊥ABC △2co si s 2n si 1cos 2c 2n os C B A B C +=+-cos sin2A aB b c +=2c s o b ab C=+(1)求A 的大小(2)若(3)若的边DE ,EF ,FD 上（不含端点）,若面积的最大值为19．如图,在矩形中,,,M 是线段AD 上的一动点,将沿着BM 折起,使点A 到达点的位置,满足点平面且点在平面内的射影E 落在线段BC 上.(1)当点M 与端点D 重合时,证明：平面;(2)当的余弦值;(3)设直线CD 与平面所成的角为,二面角的平面角为,求的最大值.ABC △b =DEF DEF △ABCD 1AB =BC =ABM △A 'A '∉BCDM A 'BCDM A B '⊥A CD 'AM =A BM C '--A BM 'αA BM C '--β2sin cos αβ⋅参考答案1．答案：A 解析：因为复数,所以z 的虚部是1,故选：A.2．答案：A解析:因为平行于轴,所以在中,,又因为是中边的中点,所以D 是BC 的中点,所以.故选:A 3．答案：A注意到，由大边对大角有，所以故选：A.4．答案：C 解析：如图所示对于A,设平面为平面,平面为平面,m 为,则,,则,故A 错;对于B,设平面为平面,平面为平面,m 为,则,,则,故B 错;52i 2iz ==+-A D ''y 'ABC △AD BC ⊥D 'A B C '''△B C ''AB AC AD =>==B =b a <B A <30B =︒αABCD β11BCC B 11B C αβ⊥//m αm β⊂αABCD β11BCC B AD αβ⊥m α⊂//m β对于C,过m 作平面与平面交于直线b ,,则,,可得,则,故C 正确;对于D,设平面为平面,为m ,为n ,则,,则,故D 错.故选：C.5．答案：C解析：如图所示,在边、上分别取点D 、E ,使以、为邻边作平行四边形,则,因此平行四边形为菱形,平分,则有,即,于是得是等腰三角形,即,令直线交于点O ,则O 是边的中点,,而,因此有,从而得,所以是等腰直角三角形.故选：C 6．答案：D解析：由题意可得,向量在向量,,解得,则,,故选：D.γα//m α//m b n α⊥n b ⊥m n ⊥αABCD 11A B 11B C m n ⊥//m α//n αAB AC AD = AE = AD AE ADFE AF AD AE =+ADFE AF BAC ∠0BC =0AF BC ⋅=AF BC ⊥ABC △b c =AF BC BC 12ABC S a AO =⋅△2222144ABCa b c S a+-==△1122AO a BC ==π2BAC ∠=ABC △b)()2,110,5=5=11λ=()11,3b = ()27,1b a -= 2a ==7．答案：A解析：取AB的中点E,连接CE,过Q作,垂足为M,过M作,垂足为N,连接QN,PE,则,且由直三棱柱的性质知平面ABC,所以平面ABC,MN,平面ABC,则,,且,QM,平面QMN,所以平面QMN,且平面QMN,则,可知当且仅当点Q与点P重合时,等号成立,所以故选：A.8．答案：C解析：设,,如图,由题意,即在平行四边形中,,求的最大值.延长至,使,则,QM CE⊥MN BC⊥1////QM CC PE1QM CC PE===2=1CC⊥QM⊥BC⊂QM MN⊥QM BC⊥QM MN M=MN⊂BC⊥QN⊂BC QN⊥QN==≤△2=a OA=b OB=a b OC+=OACB1OA=OCA∠=ABOA OD OA AD=CD AB=由正弦定理,O,A,C 三点所在外接圆的直径,所以,设圆心为G ,如图,所以可知,,所以由余弦定理可得则由图象可知故选：C.9．答案：ACD解析：设,其中a ,,A ：,故故A 错误;B ：因为,由复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心的单位圆上,而表示圆上的点到点的距离,又圆心到所以圆上的点到,故B 正确;C ：因为误;D ：是关于x 的方程的一个根,所以,整理可得,所以,解得,,故D 错误;故选：ACD.10．答案：ABD解析：在的内接四边形中,连接,,,,,22sin OAR OCA==∠1R =GOD ∠=1=2OD =DG ==1CD DG R ≤+=+i z a b =+i a b =-b ∈R ()222i 2i z a b a ab =+=+-222a b =+22||z z ≠||1z =|1i |z --()1,1()1,1()1,11+2(12i)z =-3+13i -20(,)x px q p q ++=∈R ()()213i 13i 0p q -+-+=()()836i 0p q p +-+--=80360p q p +-=⎧⎨--=⎩2p =-10q =O e ABCD BD 2AB =6BC =4AD CD ==πC A =-对于A,由余弦定理得,,即,解得,则A 正确;对于B,,四边形的面积B 正确;对于C,由选项A 知,由正弦定理得的半径对于D,取中点E ,连接,则,,同理,所以,D 正确.故选：ABD.11．答案：ACD解析：对于A,易知平面,平面,故动点P 的轨迹为矩形,动点P 的轨迹长度为矩形的周长,即为,故A 正确;对于B,以为轴将平面顺时针旋转,如图,则222222cos 2cos AD AB AD AB A BD CD CB CD CB C +-⋅==+-⋅222224224cos 46246cos A A +-⨯⨯=++⨯⨯cos A =πA <<A =π3C =ABCD 11246422ABD CBD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=V V BD ==O e 2sin BD R A ===BC OE OE BC ⊥21()182BO BC BE EO BC BC ⋅=+⋅== 21142BO BD BD ⋅== (1)4184BO CD BO B BC D =-⋅⋅=-=-1B C ⊥11ABC D A ∈11ABC D 11ABC D 11ABC D 41DD 11AA D D 90︒1AC ===对于C ：连接AC ,,以B 为圆心,为半径画弧,如图1所示,当点P 在线段,和弧上时,直线与所成的角为,又弧,故点P 的轨迹长度为对于D,取,,,,,的中点分别为O,R,N,M,T,H ,连接,,,,,,,,如图2所示,因为,平面,平面,故平面,,平面,平面,故平面;又,,平面,故平面平面;又,,故平面与平面是同一个平面.则点P 的轨迹为线段：在三角形中,则,1AB 1BB ¼1B C AC 1AB ¼1B C AP AB 45︒1AC AB ======¼1B C 2π2π⨯=π+11A D 1D D DC CB 1BB AB OR QF FT TM MN NR FH HN HM 1//FT D C FT ⊄11D B C 1D C ⊂11D B C //FT 11D B C 1//TM B C TM ⊄11D B C 1B C ⊂11D B C //TM 11D B C FT TM T = FT TM ⊂FTM //FTM 11D B C //QF NM //QR TM //RN FTFTMNRQ FTM MN FNM FN FM NM =======2228FM MN FN +==故三角形是以为直角的直角三角形;故长度的最大值为故选：ACD.12．答案：1 ,可得.故答案为：1.13．答案：30米解析：在直角中,因为,可得,在直角中,因为,可得,在中,因为,,由余弦定理得,即,可得,解得或（舍去）,即塔的高度为米.故答案为：30米.解析：取中点F ,,且,,平面,可知平面,根据平面的基本性质,作平面与平面平行,如图为五边形.因为,可得,FNM FMN ∠max FP FN ==FP 2023i i ==-()()()()1i 1i 1i 1i 1i 1i z ---===-++-i =1ADB △45ADB ∠=︒AB BD =ABC △30ACB ∠=︒BC =BCD △120CDB ∠=︒30CD =2222cos120BC CD BD CD BD =+-⋅︒2221330230()2AB AB AB =+-⨯⨯⨯-21530150AB AB --⨯=30AB =15AB =-30SC BF SC ⊥DF SC ⊥BF DF F = BF DF ⊂BDF SC ⊥BDF BDF PEMNQ 14SE SC ==12BF ==112SB ==12112PB BQ PQ ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭12NQ MP BD ===则所以又因为与的夹角为与夹角,而与垂直,易知且,,即为矩形,则可得15．答案：(1),解析：(1)因为,所以,;(2)因为,所以,,又,所以,16．答案：(1)(2)cos DFB ∠==DFB ∠==12EMP S ==V MN NQ SA BD SA BD PQ PM ⊥//PM NQ PM NQ =PMNQ 1PMNQ S ==EMP PQMN S S S =+==△3255CD a b =+ 1132EF b a =- 25AD AB = ()223232555555CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b =+=+=+-=+=+ 11113232EF CF CE CB CA b a =-=-=- CD EF ⊥231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22310a -= 360ACB ∠=︒12332a b ⋅=⋅⋅= ==π3A =a =sinb B ==所以,即,可得,整理可得,因为在中,,所以,所以(2)因为,所以由,,整理可得,①因为为角平分线,所以,在在又,所以,,②由①②可得,在中,由余弦定理可得22cos 2sin sin 2sin cos b c a C B C A C -=⇒-=()2sin sin 2sin cos A C C A C +-=2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=()sin 2cos 10C A -=ABC △sin 0C >cos A =πA <<A =BAC ∠=BAC BAD CAD ∠=∠=ABD ACD ABC S S S +=△△△π1π1πsin sin sin 62623AD AB AD AC AB AC ⋅+⋅=⋅=b c bc +=AD BAD CAD ∠=∠△=ACD △=πBDA ADC ∠=-∠sin sin BDA ADC ∠=∠222BD AB AC c b CD==⇒=⇒=3,32b c ==ABC △解得17．答案：(1)证明见解析;(2)证明见解析;解析：(1)证明：取边中点E,连接,,因为M,N分别为,的中点,由三角形中位线的性质可得,平面,所以平面,又底面为矩形,所以且相等,所以四边形为平行四边形,所以,平面,所以平面,因为,,平面,又,,平面,所以平面平面,又平面,所以平面.(2)取中点N,连接,,,因为侧面是边长为2的正三角形,所以,又平面平面,平面平面,所以平面,又平面,222π2cos3BC AC AB AC AB=+-⋅=a BC===CD NE MEAB PC//NE PDPD⊂PAD//NE PADABCD//DE AMADEM//ME ADAD⊂PAD//ME PADME NE E=MN NE⊂MNE PD AD D=PD AD⊂PAD //MNE PADMN⊂MNE//MN PADAD DM PN CNPAD PN AD⊥PAD⊥ABCD PAD⋂ABCD AD=PN⊥ABCDNC⊂ABCD所以,即为直线PC 与面所成的线面角,又直线PC 与面所以所以,又,所以底面为正方形,平面,所以在正方形中,易得,,而,,,,且,平面,平面,因为平面,18．答案：(1)(2)(3)解析：(1)选择①：因为,所以,化简可得,由正弦定理可得,由余弦定理可得PN NC ⊥PCN ∠ABCD tan PCN ∠==2PN == CN =2CD ==1DN =ABCD DM ⊂ABCD PN DM⊥ABCD DAM CDN ≌△△ADM DCN ∴∠=∠90ADM MDC ∠+∠=︒90DCN MDC ∴∠+∠=︒DM CN ∴⊥PN CN N = PN CN ⊂PCN DM ∴⊥PCN PC ⊂PCN DM PC∴⊥π3A =1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭c =2co si s 2n si 1cos 2c 2n os C B A B C +=+-()2222sin sin 12sin 112sin 12sin B C C A B +-=+---222sin sin sin sin sin B C C B A -=-222222122b c a bc c b a bc +--=-⇒=222cos 2b c a A bc +-==又,所以选②：因为,由正弦定理可得,所以,又,,可得解得（舍去）,因为所以选③：因为,且,所以,即,由正弦定理可得,又,所以,因为,所以又,所以0πA <<A =cos sin 2A aB b c +=()sin cos sin sinsin sin sin cos cos sin 2A A B B C A B A B A B +==+=+sin sin cos sin 2A B A B =()0,πB ∈sin 0B ≠2sincos 12sin 2A A ==-sin 2A =12A =-(0,πA ∈π0,2⎛ ⎝=A =2c s o b S ab C =+in 12s S ab C =21sin c 2os b ab C ab C =+sin cos b C a C =+sin sin sin cos B A C A C =+()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+cos sin sin A C A C =sin 0C ≠tan A =()0,πA ∈A =由(1)可得,因为为锐角三角形,所以,,.(3)由（1）可得面积的最大值为的最大值为因为因为,设,则,在2πsin sin 13sin sin tan B C B B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭====B C +=2π3B =-ABC △π0π22ππ6032B B B ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩(111,2tan 22B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1,22⎫⎪⎭A ==DEF 2πsin 3DE DE =⇒=CBA ∠=DAC BAE +∠=DAC ACD ∠+∠=ACD BAE =∠ACD BAE α∠=∠=2π3ABE α∠=-ACD △=,在所以,其中所以当时,取得最大值,所以,解得或19．答案：(1)证明见解析解析：(1)当点M 与端点D 重合时,由可知,=sin AD α=ABE △==2πsin sin π3sin 3c DE AD AE αα⎛⎫=+=+⨯- ⎪⎝⎭12π12π2πsin sin cos cos sin ππ333sin sin 33c c c ααααα⎤⎛⎫⎫=+-=+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦()1πsin 3αθ=+tan θ=()sin 1αθ+=DE ==2321c +=c =c =-90BAD ∠=︒A B A D ''⊥由题意知平面,平面,所以,又,,平面,平面,所以平面,又平面,可知,平面,平面,所以平面.(2)作于,连接,,由题意,折起后由题意可得,平面,因为平面,所以,又,,平面,所以平面,所以A,O,E 三点共线,所以为二面角的平面角,因为,在中,由三角形面积相等可得A E '⊥BCD CD ⊂BCD A E CD '⊥BC CD ⊥AE BC E '= A E '⊂A BC 'BC ⊂A BC 'CD ⊥A BC 'A B '⊂A BC 'A B CD '⊥A D CD D '= CD ⊂A CD 'A D '⊂A CD 'A B '⊥A CD 'AO BM ⊥O A O 'AE A O BM '⊥A E '⊥ABCD BM ⊂ABCD A E BM '⊥A E A O A '''= A E 'A O '⊂A OE 'BM ⊥A OE 'A OE '∠A BM C '--1AB =AM =Rt BAM △BM ==AB AM AO BM ⋅===又因为所以在中,即二面角(3)过点E 做交于Q ,所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角,由(2)可知平面,平面,所以平面平面,作,垂足为H ,平面平面,平面,可得平面,连接,是直线与平面所成的角,即,因为设,,因为在中,斜边大于直角边,即,AOB ABE ∽△△=2AB AE AO ===OE AE AO =-==Rt A EO '△cos OE A OE A O ∠===''A BM C '--//EQ CD BM EQ A BM 'CD A BM 'BM ⊥A OE 'BM ⊂A BM 'A BM '⊥A OE 'EH A O '⊥A BM ' A OE OE '=EH ⊂A OE 'EH ⊥A BM 'HQ EQH ∠EQ A BM 'EOH α∠=ABE ABM ∽△△=AM t =0t <<1BE t =BM ==AO A O '==Rt A OE '△A O OE '>>t <<A E '==在中由等面积因为,,所以是二面角平面角,即,时“＝”成立,故A OE '△A E OE EH A O '⋅=='EQ =22211EH EQ t α⎛⎫==- ⎪⎝⎭A O BM '⊥OE BM ⊥A OE '∠A BM C '--A OE β'∠=cos OE A O β=='2222211111sin cos 124t t tαβ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2sin cos αβ⋅。
福建省厦门市外国语学校2024-2025学年高三上学期10月阶段检测数学试卷
福建省厦门市外国语学校2024-2025学年高三上学期10月阶段检测数学试卷一、单选题1．已知ABC V 的外接圆面积为3π，π3A ∠=，则BC =（ ）. A ．14 B ．4 C ．3 D ．322．函数()()cos sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π3．设函数21log (2),1()2,1x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 10)f f -+=（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A B C ．D ．25．已知集合()264{|},1()1log {|}12x x x a A x B x --==<+<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,6-B ．[]3,6-C ．()(),36,-∞-⋃+∞D ．(][),36,-∞-+∞U6．函数()22ln 1f x x a x =-+在()3,a a -上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）A ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[)3,4D ．[]3,47cos703λ︒+︒=，则λ的值为（ ）AB ．C ．D ．8．已知函数()()221sin 1x xf x x --=+，()()10g x ax a =+≠，若()y f x =和()y g x =图象存在3个交点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则123y y y ++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列命题正确的有（ ）A ．函数()1f x x x=-为增函数 B ．函数()2f x 定义域为[]22-,，则()2f x 的定义域为[]0,2 C ．函数())ln f x x =是定义在R 上的奇函数 D ．已知函数()lg f x x k =-存在两个零点1x ，2x ，则12x x k =10．已知1x >，1y >，且()()1e11e y x x y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ） A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln 3x y +< 11．设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的图象关于π4x =对称 C ．()f x的最小值为D ．方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题12．已知π4x =是函数()cos f x x a x +的一条对称轴，则()f x 的最大值为. 13．已知函数()21,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()1y f f x =-的所有零点构成的集合为. 14．已知O e 的半径是1，点P满足OP =直线PA 与O e 相切于点A ，直线PB 与O e 交于,B C 两点，D 为BC 的中点，设π04APC αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则PD =（结果用α表示）；当α=时，PA PD ⋅u u u r u u u r 取得最大值.四、解答题15．已知()sin f x x a x =+，曲线()y f x =在点()π,πP 处的切线斜率为2.(1)求a 的值；(2)求不等式()()1320f x f x ++->的解集.16．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点P ．(1)求BAC ∠；(2)若AD =BE ＝2，cos DPE ∠=ABC V 的面积． 17．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知,,a b c 成公比为q 的等比数列．(1)求q 的取值范围；(2)求tan tan 22A C 的取值范围． 18．设函数()()210f x x ax a a =-+->.(1)求不等式()()1f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为1a -，求实数a 的取值范围；(3)当[]0,x m ∈时，对任意的正实数a ，不等式()()121f x x a ≤+-恒成立，求m 的最大值. 19．已知函数()f x ，()g x ，若存在实数m ，n ，使得()()0f m g n +=，则称()f x 与()g x 为“互补函数”，m ，n 为“互补数”.(1)判断函数()()10h x x x x =+>与()e x g x x =是否为“互补函数”，并说明理由. (2)已知函数()1e x x f x -=，()e xg x x =为“互补函数”，且m ，n 为“互补数”. （i ）当2m n +=时，求m ；（ii ）当[)0,1m n +∈时，求m n -的范围.。