数学建模麻将问题
T2 中国麻将中的数学问题
T2 中国麻将中的数学问题七院一队：韩翔罗皓飞高欣飞编号：7503摘要麻将起源于中国，它不仅具有独特的游戏特点，而且具有集益智性、趣味性、博弈性于一体的运魅力及内涵丰富、底蕴悠长的东方文化特征，成为中国传统文化宝库中的一个重要组成部分。
越来越多的研究表明：麻将里面蕴藏着历史的、哲学的、数理的、心理的、逻辑学的、医学的等各门类的知识和秘密。
这里通过麻将规则中的番值、各种牌型的分析来计算，各种番值糊到的概率大小而分析番值种类的合理性和规律，并结合国家体育中心关于麻将比赛番值分布统计结果，此处建立一般的计算概率的模型，做出部分合理的必须的假设，计算出各种牌型出现的概率，模型能反映出概率的变化并利用既得概率，相比较分析出相应的比值，以及牌型规定番值的比，看两者是否成线性比，来看番值规定的合理性与规律，通过对模型的处理可得到大致的规律为：牌型发生的概率越小，其番值越大。
并且呈一定的线性比，但番值规定存在一定的不足不能很好的反映牌型发生的可能性大小。
一、问题重述麻将取胜得到的番值越大，概率就越小，试分别计算表中各种情况的概率。
二、假设1.比赛相对公平公正，参加人员水平相当，水平发挥正常，无意外情况发生；2.打牌、摸牌均是随机事件，且打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的；3.不使用字牌中的花牌；4.手中的牌与所有的牌性质一样，但因为手中的牌是人通过主观推断而留下来的牌，则其更有利，即更容易组成对子、顺子、刻子，其比随机事件更好。
即手中的牌有用率比打出的牌或未摸完的牌服从线性比，设其为P ；5.手中的牌能够成为刻子、顺子、对子等的概率与整副牌随机组成刻子、顺子、对子的概率成正比；6.各种可能的糊牌牌型是等可能的。
三、符号说明i C 代表番值 i P 对应番值i C 的概率四、问题分析先初步估计ijj i P P C C ，估计可能会有个别特殊例子。
模型中糊的番数越大则其相应的的概率越小，通过模型算出各番种的概率，比较各番种概率的比值，从而对番种分值确定的合理性做出判断，找出确定分值的误差。
数学娱乐(七)——一个麻将和牌问题
２０１０年 ６月
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣｌ】巨｜ＮＣＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＩＮＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳｎ
ＶｏＩ＿２８ Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１０
文章 编 号 ：１００４—１７２９（２０１０）０２—００９３—０６
数 学 娱 乐 （七 ）— — 一个 麻将 和牌 问题
表 １ 第 １组 ５群
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１ ２ ３ ４ ５ ７ ８ ９
Ｂ１取 出的数字
与 ｃ。组 成的 ５群 （９ ９），（１ １ １），（１ ２ ３），（４ ５ ６），（７ ８ ９） （２ ２），（１ １ １），（３ ４ ５），（６ ７ ８），（９ ９ ９） （１ １），（１ ２ ３），（３ ４ ５），（６ ７ ８），（９ ９ ９） （９ ９），（１ １ １），（２ ３ ４），（４ ５ ６），（７ ８ ９） （５ ５），（１ １ １），（２ ３ ４），（６ ７ ８），（９ ９ ９） （１ １），（１ ２ ３），（４ ５ ６），（６ ７ ８），（９ ９ ９） （９ ９），（１ １ １），（２ ３ ４），（５ ６ ７），（７ ８ ９） （８ ８），（１ １ １），（２ ３ ４），（５ ６ ７），（９ ９ ９） （１ １），（１ ２ ３），（４ ５ ６），（６ ７ ８），（９ ９ ９）
Ｃｌ＝｛１，１，１，２，３，４，５，６，７，８，９，９，９｝，
Ｃ２＝｛１，１，１，２，３，４，５，６，６，６，６，７，８｝，、
Ｃ３＝｛２，３，４，４，４，４，５，６，７，８，９，９，９｝，
Ｃ４＝｛２，３，４，４，４，４，５，６，６，６，６，７，８｝， Ｃ５：｛２，３，３，３，３，４，５，６，７，７，７，７，８｝．． 接 着验证 以上 的 ５组解 都能 组成 ５群 （见表 １—５）． 第 １组 ｃ，对应的 ，有不同的数字 １～９．
利用数学模型在赌博中取胜
利用数学模型在赌博中取胜在赌博中取胜是每个赌徒都梦寐以求的事情。
然而，由于赌博的本质是随机性，很难找到一种绝对有效的方法来确保胜利。
然而，通过利用数学模型，我们可以提高在赌博中取胜的概率。
在赌博领域，概率论和数理统计是最常用的数学工具。
通过深入了解这些理论并将其应用于赌博中，我们可以制定一些有效的策略。
首先，我们需要了解赌博游戏的数学模型。
例如，在骰子的游戏中，我们可以用概率来计算每个点数的出现概率。
在扑克牌游戏中，我们可以计算不同组合的概率以及概率分布。
通过了解这些概率，我们可以在赌博中做出更明智的决策。
其次，根据数学模型，我们可以计算出赌博游戏的期望收益。
期望收益是指在长期内平均每次下注所能获得的收益。
如果期望收益为正，则说明我们在长期内可以获得盈利。
如果期望收益为负，则说明赌博游戏对我们不利。
举个例子来说，我们可以考虑在轮盘赌中的应用。
轮盘赌是一个非常受欢迎的赌博游戏，也是应用数学模型的一个经典案例。
在轮盘赌中，我们可以通过计算每个下注选项的概率来制定我们的下注策略。
如果某个下注选项的概率较高，并且期望收益为正，那么我们可以在这个选项上下注。
此外，在某些赌博游戏中，我们可以通过数学模型来计算出最佳下注策略。
例如，在二十一点中，我们可以通过计算不同点数组合的概率和期望收益，来决定在每个点数组合下应该采取的最佳策略。
这样，我们可以最大化我们的胜率，降低输钱的风险。
然而，需要注意的是，数学模型并不能保证我们在每次赌博中都取胜。
赌博仍然是一个有风险的活动，不受数学模型的绝对控制。
数学模型只能提供参考和帮助，但并不能消除风险。
另外，我们也需要注意到，赌博仍然是一种博弈活动，我们的对手也在使用各种策略和技巧来争取胜利。
因此，即使我们利用数学模型制定了一种有效的策略，我们仍然需要保持冷静和谨慎，避免过于贪婪和冲动的行为。
总结起来，利用数学模型在赌博中取胜是可能的，但并不是绝对的。
通过了解赌博游戏的数学模型，我们可以制定更明智的下注策略，并提高在赌博中取胜的概率。
T2 中国麻将中的数学问题
T2 中国麻将中的数学问题七院一队：韩翔罗皓飞高欣飞编号：7503摘要麻将起源于中国，它不仅具有独特的游戏特点，而且具有集益智性、趣味性、博弈性于一体的运魅力及内涵丰富、底蕴悠长的东方文化特征，成为中国传统文化宝库中的一个重要组成部分。
越来越多的研究表明：麻将里面蕴藏着历史的、哲学的、数理的、心理的、逻辑学的、医学的等各门类的知识和秘密。
这里通过麻将规则中的番值、各种牌型的分析来计算，各种番值糊到的概率大小而分析番值种类的合理性和规律，并结合国家体育中心关于麻将比赛番值分布统计结果，此处建立一般的计算概率的模型，做出部分合理的必须的假设，计算出各种牌型出现的概率，模型能反映出概率的变化并利用既得概率，相比较分析出相应的比值，以及牌型规定番值的比，看两者是否成线性比，来看番值规定的合理性与规律，通过对模型的处理可得到大致的规律为：牌型发生的概率越小，其番值越大。
并且呈一定的线性比，但番值规定存在一定的不足不能很好的反映牌型发生的可能性大小。
一、问题重述麻将取胜得到的番值越大，概率就越小，试分别计算表中各种情况的概率。
二、假设1.比赛相对公平公正，参加人员水平相当，水平发挥正常，无意外情况发生；2.打牌、摸牌均是随机事件，且打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的；3.不使用字牌中的花牌；4.手中的牌与所有的牌性质一样，但因为手中的牌是人通过主观推断而留下来的牌，则其更有利，即更容易组成对子、顺子、刻子，其比随机事件更好。
即手中的牌有用率比打出的牌或未摸完的牌服从线性比，设其为P ；5.手中的牌能够成为刻子、顺子、对子等的概率与整副牌随机组成刻子、顺子、对子的概率成正比；6.各种可能的糊牌牌型是等可能的。
三、符号说明i C 代表番值 i P 对应番值i C 的概率四、问题分析先初步估计ijj i P P C C ，估计可能会有个别特殊例子。
模型中糊的番数越大则其相应的的概率越小，通过模型算出各番种的概率，比较各番种概率的比值，从而对番种分值确定的合理性做出判断，找出确定分值的误差。
T2 中国麻将中的数学问题分析
T2 中国麻将中的数学问题七院一队：韩翔罗皓飞高欣飞编号：7503摘要麻将起源于中国，它不仅具有独特的游戏特点，而且具有集益智性、趣味性、博弈性于一体的运魅力及内涵丰富、底蕴悠长的东方文化特征，成为中国传统文化宝库中的一个重要组成部分。
越来越多的研究表明：麻将里面蕴藏着历史的、哲学的、数理的、心理的、逻辑学的、医学的等各门类的知识和秘密。
这里通过麻将规则中的番值、各种牌型的分析来计算，各种番值糊到的概率大小而分析番值种类的合理性和规律，并结合国家体育中心关于麻将比赛番值分布统计结果，此处建立一般的计算概率的模型，做出部分合理的必须的假设，计算出各种牌型出现的概率，模型能反映出概率的变化并利用既得概率，相比较分析出相应的比值，以及牌型规定番值的比，看两者是否成线性比，来看番值规定的合理性与规律，通过对模型的处理可得到大致的规律为：牌型发生的概率越小，其番值越大。
并且呈一定的线性比，但番值规定存在一定的不足不能很好的反映牌型发生的可能性大小。
一、问题重述麻将取胜得到的番值越大，概率就越小，试分别计算表中各种情况的概率。
二、假设1.比赛相对公平公正，参加人员水平相当，水平发挥正常，无意外情况发生；2.打牌、摸牌均是随机事件，且打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的；3.不使用字牌中的花牌；4.手中的牌与所有的牌性质一样，但因为手中的牌是人通过主观推断而留下来的牌，则其更有利，即更容易组成对子、顺子、刻子，其比随机事件更好。
即手中的牌有用率比打出的牌或未摸完的牌服从线性比，设其为P ；5.手中的牌能够成为刻子、顺子、对子等的概率与整副牌随机组成刻子、顺子、对子的概率成正比；6.各种可能的糊牌牌型是等可能的。
三、符号说明i C 代表番值 i P 对应番值i C 的概率四、问题分析先初步估计ijj i P P C C =，估计可能会有个别特殊例子。
模型中糊的番数越大则其相应的的概率越小，通过模型算出各番种的概率，比较各番种概率的比值，从而对番种分值确定的合理性做出判断，找出确定分值的误差。
概率论与数理统计：赌徒模型
ra rc
rap rc
1 r d0 1 rc
赌徒输光问题
4/5
当 p q 时，即 r 1，此时赌博是公平的，有
di di1 di2 d0
1 x0 xc (x0 x1) (x1 x2 ) (xc1 xc )
d0 d1 d2 dc1
c d0
d0
1 c
赌徒输光问题
1/5
甲、乙两人进行一系列赌博. 在每局赌博中， 甲赢的概率为 p ，乙赢的概率为q 1 p.每局 赌博后，输者付给赢者一元钱.设每局赌博的 结果都是相互独立的.假设在赌局开始时，甲 有初始赌博为 a 元，乙有初始赌本为 b 元. 赌博一直进行到一个人输光为止.求甲输光的 概率. (c a b)
r(1)di1j | (0) i
边由所概则xPPa界P此x以率有P1i当B{条得1dB当 为：Bxa|(dp|件q到xa|：n0ip(为(差1d(11)xqx1a))(xcr：)i分q，1cqp11时id方)ii即(iajp(dd，x程(|11x100a， 1q， 0r即(：()nqpdrcxrdxqx赌)1x2(ci)a10(10c时0d1)博1)d.)i0P)}，ix1不r， i(2ia有xB1i(公1xx01d|dqapqcP，， 平P， ， dc01x(r0若 若 若112时其 c0x)r(ix1(r1，jjja1他 1a1i)1)id1甲2情 d0piii)rd0ir1最ic形0111(0， 1，x终1或 1.0c0p||r输1rjc(((ii光0x0xdci)r)c的0c1cc)； ；1cii； xdc0)
p
p ，当 p q 时；
1 ( q )c
p
b， ab
当 p q 时.
初始赌本 对方初始赌本 每局赢的概率最终输光的概率
数学建模-扑克牌问题
第一章数学建模作业问题重述在扑克牌中任选27张出来，任选一张牌，将这张牌加入牌堆并将此牌堆重洗。
之后将牌依次发成三堆，知晓选中牌在那堆后合起牌堆，重复三次。
要求最后所选牌在特定位置。
一、模型假设与符号说明（1）假设所选牌在牌堆中第n个位置。
（2）假设第一次合牌时，所选牌所在的牌堆从上到下第x个放置（x<=3）。
（3）假设第二次合牌时，所选牌所在的牌堆从上到下第y个放置（y<=3）。
（4）假设第三次合牌时，所选牌所在的牌堆从上到下第z个放置（z<=3）。
二、建立模型第一次操作之后，这张扑克牌在n mod 3 组，第n/3张。
依此类推，每一次操作之后都是这样的规律。
这个魔术的关键在于总牌数是27，每一组都有9张牌。
一开始所选牌的位置是n/3，如果是整数，那么还是n/3，否则结果为（n/3取整数+1）。
第一次分牌堆时牌在n/3处。
第一次合牌时所选牌在（n/3+9（x-1））处。
第二次分牌时所选牌在（n/3+9（x-1））/3处。
第二次合牌时所选牌在（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1）处。
第三次分牌时所选牌在（（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1））/3处。
第三次合牌时所选牌在（（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1）/3）+9（z-1）处。
三、模型求解解方程（（（n/3+9（x-1））/3）+9（y-1）/3）+9（z-1）得原式=n/27+(x-1)+3(y-1)+9(z-1)由于n<=27,所以n/27=1由于x<=3,所以(x-1)取值为0,1,2。
由于y<=3,所以(y-1)取值为0,1,2。
由于z<=3,所以(z-1)取值为0,1,2。
由x,y,z取值不同，一共有3*3*3=27种可能，值为1到27。
四、模型评价与分析我次次所做的数学模型所做的变量太多，过程有些繁琐，有些不合心意。
五、模型应用做这个魔术时，当所选幸运数字为1时，可以选择将所选牌所在牌堆在三次合牌时都放在最上方，第一个就是所选牌。
桥牌中的数学(概率)
作为桥牌具有科学性的强有力的证据便是概率计算在桥牌中得到了广泛的运用。
当你有几种途径达到同一目的时，你会做何选择？选择的依据又是什么？科学的选择应该是依据事物出现的概率选择机会大的。
打桥牌时最受到关注的是：这52张牌在4位牌手之间的分配情况，对牌张分配的探测与判断是否正确，决定了叫牌与打牌的成功或失败（稍后可以看到）。
分到一名牌手手中的牌有多少种不同的组合呢？由排列组合可知：分到第一名牌手手中的组合数=C1 =635，013，559，600分到第二名牌手手中的组合数=C2 =8，122，425，444分到第三名牌手手中的组合数=C3 =10，400，600分到第四名牌手手中的组合数=1我们再看看桥牌实战中的概率计算。
打桥牌是一种非常复杂、十分有趣极具挑战性的运动，由于牌张分布的变化无穷，当做一个定约时究竟选择哪条路线是胜算，往往捉摸不定，必须将几种打法细加比较，择善而从之。
S：7 5H：3D：8 6 5 4C：K Q 8 7 4北南S：A K 4H：A 10 9 6 2D：A K 3C：A 5定约3NT，西首攻S J。
你有大牌赢墩为：S 2墩、H1墩、D2墩、C3墩，共8墩。
为完成3NT只差1墩，这1墩可来自1. 指望D敌方作3-3分配；2. 指望C敌方作3-2分配；3. 先指望D敌方作3-3分配，若不是则指望C敌方作3-2分配；下面分别计算3条途径的概率1. D敌方作3-3分配的概率P1=36%2. C敌方作3-2分配的概率P2=68%3. 这是一个复合事件，概率为P3=P1+（1-P1）=80%显然，途径3成功几率最大，应按途径3的思路坐庄打牌。
桥牌中的概率有三种，原始概率、早期概率、与后续概率。
当你拿起一手牌，审察手里的13张牌，开始叫牌时，根据手中的所持牌型，就可以估计到四门花色的牌子张在其他三家的通常分配的百分比，这时的概率是先验的、原始的可以名之为原始概率。
在叫牌进程中，由于同伴的应叫，敌方的争叫、不叫或加倍为你提供了许多信息，假设你做庄，当明手的牌摊下后，你可看到26张牌，结合敌方的首攻，你可以更加具体地各门牌张在敌方手上的分布概率，这时的概率可以称之为早期概率。
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B 题 麻将问题摘要麻将，又名麻雀牌，三种基础花色的名字叫做“万、条、筒”。
在中国麻将竞赛规则下，本题主要通过玩家和牌情况，推断其牌型即为“见万就和”的极致牌型问题。
至于问题一，玩家牌型的问题。
我们在尽量简化麻将模型与本题的契合度的情况下，在去除掉麻将繁琐的牌数及规则以后，运用集合及逐步分析的方法，借鉴常微分方程中picard 逐步逼近法的证明方法，通过引理及定理的证明，从而建立了非常简单的C B A +=的集合模型，并在我们模型的条件下找到了适合的5种解。
9}6,7,8,9,9,1,2,3,4,5,,1,{11=C ；8}6,6,6,6,7,1,2,3,4,5,,1,{12=C ；,9,9,9},4,5,6,7,8{2,3,4,4,43=C ；,6,7,8},4,5,6,6,6{2,3,4,4,44=C ；}8,7,7,7,7,6,5,4,3,3,3,3,2{5=C 。
至于问题二：玩家牌型的唯一性问题，在借鉴了问题一中得数学模型及牌型解得情况下，通过麻将规则及本题的和牌规则验证了5组解得合理性及可实现性，我们得到了玩家唯一的牌型9}6,7,8,9,9,1,2,3,4,5,,1,{11=C ，即满足题意的玩家牌型是唯一的，术语：九莲宝灯。
关键词：九莲宝灯，见万就和，数学建模麻将问题，逐步分析法。
一个麻将玩家手中的牌，使得他摸到或吃到任何一张“万”牌都和。
问这个玩家手里是什么牌？要求给出算法，并考虑唯一性的问题。
不能光给答案。
根据中国麻将竞赛规则，筛选出来一定的牌，然后通过集合的笛卡尔积，根据和牌的牌型，整理出可能的排列组合，然后对相关的组合进行验证，得出玩家手中的牌。
通过反证法，证明牌型的唯一性问题。
二、模型假设● 模型和牌的规则是建立在中国麻将竞赛规则的标准之上的。
● 通过相关资料的证明，本题中的相关数据与字牌及花牌没有联系，故模型中不考虑东南西北中发白及花牌的影响，只考虑91-万、条、筒。
● 又万、条、筒的性质在本文中是等价的，则本文中仅以万为例来分析牌型。
● 模型中支持一杠多用，为了简化模型难度，从而假设文中不考虑明杠与暗杠。
● 模型过程中忽略了实际打牌过程中的总体大局的考虑。
三、符号约定A ：9,9,9,9},2,1,1,2,2,2,,1,{1 =A 代表91-万共36张牌的集合。
B ：A 的子集，共23个元素。
C ：A 的子集，共13个元素，同时代表玩家未和牌时的牌型。
n ：代表介于3与7万之间的牌或3与7之间的整数。
S ：A 集合能够构成的所有1组13张万子解中缺少n 的某一个。
1S ：S 中所有满足大于1小于1-n 的牌的集合。
2S ：S 中所有满足大于1+n 小于9的牌的集合。
麻将，作为一种大众化的游戏，群众在玩乐时必定也会考虑它的社会责任等影响，如它的公平性，是否会被不法份子利用，或对玩者心理造成恶性影响等。
经过各种资料的查询，本题用专业术语来讲称为“见万就和”或者叫做“九莲宝灯”，我们首先对问题进行初步研究，在最理想的情况下——排出了人为因素的影响，本文主要从它和牌的基本原理入手，尽量简化麻将模型，转化为数学集合及排列组合的问题。
为能够较为容易地得到理想的，最能体现实际情况的结果，我们有必要从简入繁，从易入难分析讨论。
先忽略东南西北中发白以及花牌等因素，在不考虑万、条、筒区别的情况下通过数学排列组合求出近似结果，然后再一一添加各类因素，逐渐逼近理想结果。
我们对问题进行更加深入地研究分析，通过对麻将规则的理解及和牌形式的分析，我们简单的将麻将牌和其和牌看做三个集合的加减问题A为麻将牌集，C B A +=,C 为玩家牌型共13张，B 为其补集，通过建立相应的排列组合，从而求得C 的不同的取法。
五、模型的建立与求解5.1.1模型的建立中国麻将竞赛规则下的和牌的基本牌型 ：（1）11、123、123、123、123（2）11、123、123、123、111（1111）（3）11、123、123、111、111（1111）（4）11、123、111、111、111（1111）（5）11、111、111、111、111（1111）本题转化成等价的、抽象的数学问题：集合9,9,9,9},2,1,1,2,2,2,,1,{1A =代表91-万共36张牌，C B A +=，子集B有23个数字，子集C 有13个数字，要求B 的任何1个数字加上C 的13个数字组成5群，1群是相同的2个数字，其余每群是相同的3个数字或者连续的3个数字，试求C 有几种不同取法？（即)}2,2,2(),2,2,2(),2,2,2(),2,2,2(),1,1{(1_=+B C 其中)1,1(表示相同的2个牌，)2,2,2(表示连续的3张牌或者3张相同的牌，此时处于和牌的情况）从常微分方程picard 逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的基本原理中，比对得出了此题的基本模型。
从对两个引理的证明中，我们引出了一个定理的证明，通过对定理的证明，我们得到了符合题目要求的C 的5个取法，然后运用实际理论的验证，排除掉不合理的部分，从而得到了正确的玩家牌型。
5.1.2模型的求解定义1：凡是符合麻将和牌问题的l3张万字牌称为1组解或称1组13张万字解．定义2：只差所需要的一张牌即能和牌的状态称为听牌，此时的解称为听解。
集合C 必然处于听牌状态。
关于13张万字听解对于1万～9万中任何1张都是和牌时发生的情况叙述如下（1万～9万分别用1-9数字来表示）：和的牌 和牌时相对应的牌型1 （1 1） （1 1 1） （12 3）2 （2 2） （2 2 2） （1 2 3） （23 4）3 （3 3） （3 3 3） （1 2 3） （2 3 4） （34 5）4 （4 4） （4 4 4） （2 3 4） （3 4 5） （45 6）5 （5 5） （5 5 5） （3 4 5） （4 5 6） （56 7）6 （6 6） （6 6 6） （4 5 6） （5 6 7） （67 8）7 （7 7） （7 7 7） （5 6 7） （6 7 8） （7 8 9）8 （8 8） （8 8 8） （6 7 8） （7 8 9）9 （9 9） （9 9 9） （7 8 9）表格 1以上所有不同情况共有3+4+5*5+4+3=39种，39种中有2*9+3*30=108张，除去使得和牌的39张后，把剩下的69张按照牌名、出现次数进行统计(见下图)。
每张牌出现次数的平均值为7327969≥=，大于平均值的有3万，4万，5万，6万，7万，它们在麻将和牌问题中具有相对重要的权数，获得下述结果。
引理1 任何1组13张万字解都有3，4，5，6，7。
（反证法） 证明：假设1组13张万子解中没有n 万()Z n n ∈≤≤,73,S 表示所有1组13张万子解中缺少n 万的某一个。
由于缺少了n 万，所以n 前后将构不成连续的3张。
故可以将1组13张万子解分为两个集合1S 和2S 如下:}11,{1-≤≤∈=n x S x x S ，}91,{2≤≤+∈=x n S x x S ,21S S S += S1的张数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S2的张数 13 12 11 10 9 8 76 5 4 3 2 1 0表格 2由表1我们得到了关于和牌的一个性质：性质1 在当前模型下，当1S 张数少于8张时，若加入1~9中的任何一张都能和牌，即现在的和牌能以九莲宝灯的形式出现，1S 的张数只能有2,3,5,6张这几种情况的一种。
证明：假设和牌时可以为1,4,7张。
① 当1S 为1张时，若加入n 后的任意一张均构不成和牌的条件② 当1S 为4张时，则这四张牌有五种可能的情形，第一种情形是四张牌相同，第二种情形是三张相同，第三种情形是两张相同另两张也相同，第四种情形是两张相同另两张不同，第五种情形是四张牌均不相同，对第一种情况来说加入n 前的任何一种不同与这张牌的任何一种牌，均不会构成和牌的情形，对于第二种情形加入n 后的任何牌后则1S 中的不同与其他三张的那一张牌均不能与任何牌连成顺子或将牌，第三、四、五种情形中加入n 后的人一张牌均构不成表一中的和牌情况，所以九莲宝灯的和牌情况中1S 的牌的张数不可能会出现五张牌③ 当1S 为7张时，若加入n 后的任何一种牌数，因为没有n 的出现1S 的7张牌均不能构成和牌所要求的或是顺子或是将和三张连续的情形从而所以九莲宝灯的和牌情况中1S 的牌的张数不可能会出现七张牌因此九莲宝灯的和牌情况中1S 的张数中不会出现1、5、7的情形，从而命题的证。
分出5部分来证明引理1：1) 1S 的张数等于0，3，6时，从1，2，⋯，(n-1)万中取任一张加入13张后应该和牌，由性质1得1S 的张数等于1，4，7无法形成和牌，发生矛盾，所以不能出现这种情况。
2) 1S 的张数等于1，4，7时，从n+1，n+2，⋯，9万中取任一张加入13张后应该和牌，由性质1得1S 的张数等于1，4，7依然无法形成和牌，发生矛盾，所以不能出现这种情况。
3) 1S 的张数等于2时，可能是相同的2张或者不相同的2张。
前者从1,2，…，（n-1）中除去与之相同的牌后，在剩下的牌中任取1张；后者从a+1，a+2，…，9中任取1张，这样出现的14张均无法和牌，发生矛盾，所以1S 不能取2张。
4) 1S 的张数等于5时，出现多种情况；4张相同，1张相异；3张相同，另2张相同；3张相同，2张相异；2张相同，3张不相同；5张各不相同等．不论如何，总能从1，2，…，（n-1）或者（n+1），(n+2)，…，9万中取出1张，一方面，13张加上1张应该是和牌，与另一方面，13张加上1张破坏和牌，产生矛盾，以致1S 的张数不能等于5。
5) 1S 的张数等于8，9，10，11，12，13时，相应的2S 的张数等于5，4，3，2，1，0。
采用类似的证法得出2S 的张数不能等于0，1，2，3，4，5。
综上得，引理得证。
进一步的得出了引理2引理2 任何1组l3张万字解(除去引理1中的5张外)还有2万，8万。
证明：① 假设1组13张万字解中没有2万，对于1万而言的和牌，l3张中有5种情况；Ⅰ、没有1万；Ⅱ、1万1张；Ⅲ、1张2张；Ⅳ、1万3张；Ⅴ、1万4张。
Ⅰ、当没有1万时，13张中加入1张1万应该和牌．由于没有2万，显然不能和牌，发生矛盾，所以不能没有1万。
Ⅱ、当1万1张时，13张中加入1张n 万(3≤n ≤9)应该和牌，因无2万孤独的1万显然无法和牌，发生矛盾，所以1万1张不能出现。
Ⅲ、当1万2张时，13张中加入1张1万出现和牌，此时出现3张1万，必有一对将牌，记为(n 万n 万)，(3≤n ≤9)．由此可知l3张中有1万2张，n 万2张，其余9张牌组成3付牌，听的牌是1万，n 万．现在13张中加入1张2万应该和牌，显然又无法和牌，发生矛盾，所以1万2张不能出现。