七年级数学下平面图形折叠问题
初一数学下学期培优训练小专题08 平行与折叠问题
初一数学下学期培优训练小专题08 平行与折叠问题【模型讲解】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E ，F 分别是边AC ，AB 上的点，连接EF ，将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，当A EF '△的边A F '与△ABC 的一边平行时，∠AEF 的度数是_____． 解：如图1，若A F BC ∥时，∴A FBB ，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴60B A FB ，∵将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，∴AFE A FE '∠=∠，∴∠BFE ＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ﹣60°＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ＝120°，∴∠AEF ＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设A F '与AB 交于点H ，若A F BC ∥时，∴∠BCA ＝∠FHA ＝90°，∴∠AFH ＝180°﹣∠AHF ﹣∠A ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴30AFE A FE ；∴∠AEF ＝180°﹣∠A ﹣∠AFE ＝120°；如图3，若A E AF ∥时，∴30A EB A ，∴150A EA ，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴75AEF A EF '∠=∠=︒；综上所述：30°或75°或120°．【模型演练】1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知20DAB ABC ∠-∠=︒，且DF CG ∥，则3DAB ABC ∠+∠=（ ）A ．180︒B ．150︒C ．160︒D ．200︒2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ，∠1=42°，则∠2的度数是（ ）A ．48°B ．45°C ．96°D ．40°3．如图所示的四种沿AB 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a ，b 互相平行的是（ ）A ．如图1，展开后测得∠1=∠2B ．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C ．如图3，测得∠1=∠2D ．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB ＝32°，则①32C EF '∠=︒；②∠AEC ＝148°；③∠BGE ＝64°；④∠BFD ＝116°，则下列结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿AB 折叠后，如图，测量得到：①14∠=∠；②BC BA =；③CA CB =；④3=4∠∠．其中能够判定两条边线EF 、GH 互相平行的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则1∠与α∠的关系式是（ ）A ．16012α∠=︒+∠B ．14512α∠=︒+∠C ．11902α∠+∠=︒D ．111202α∠+∠=︒ 7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ∥，且266∠=︒，则1∠的度数是______．8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 和CD ．若CD BE ∥，162∠=︒，则2∠的度数为______．9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜12（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．11．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△A'DE的一边与BC平行，则∠ADE 的度数____．12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．13．如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C D'平行于△ABC边时，∠CDB的大小为______．14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．16．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．17．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是B'、D，并且使HD'与B F'在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．18．有一条纸带ABCD ，现小强对纸带进行了下列操作：(1)为了检验纸带的两条边线AB 与CD 是否平行，小强如图①所示画了直线l 后，量得∠1=∠2，则AB CD ∥，理由为 ;(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E 在折线AD →DC 上运动，点F 是AB 上的动点，连接EF 将纸带沿着EF 折叠，使点A 的对应点A '落在DC 上，若CA F x '∠=，请用含x 的代数式来表示EAA ∠'的度数为 .（直接写出答案）19．综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探AB GH AH BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90︒，将长方形纸条沿直(1)如图1，长方形纸条ABGH中，,线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝70︒，则∠CDE＝；类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．答案与解析【模型讲解】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E ，F 分别是边AC ，AB 上的点，连接EF ，将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△，当A EF '△的边A F '与△ABC 的一边平行时，∠AEF 的度数是_____． 解：如图1，若A F BC ∥时，∴A FB B ，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60B A FB ，∵将△AEF 沿EF 折叠，得到A EF '△， ∴AFE A FE '∠=∠，∴∠BFE ＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ﹣60°＝180°﹣∠AFE ，∴∠AFE ＝120°，∴∠AEF ＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设A F '与AB 交于点H ，若A F BC ∥时，∴∠BCA ＝∠FHA ＝90°，∴∠AFH ＝180°﹣∠AHF ﹣∠A ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴30AFE A FE ；∴∠AEF ＝180°﹣∠A ﹣∠AFE ＝120°；如图3，若A E AF ∥时，∴30A EB A ，∴150A EA ，∵将△AEF 沿着EF 折叠，∴75AEF A EF '∠=∠=︒；综上所述：30°或75°或120°．【模型演练】1．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知20DAB ABC ∠-∠=︒，且∠+∠=（）∥，则3DAB ABCDF CGA．180︒B．150︒C．160︒D．200︒【答案】D【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．【解析】解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+20°，∵CD∥AB，∴∠ADM=∠DAB=x+20°=∠ADF，∵DF∥CG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，∴2x+2（x+20°）=180°，解得：x=35°，∴3∠DAB+∠ABC=3（x+20°）+x=4x+60°=200°，故选：D．【点评】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD BE，∠1=42°，则∠2的度数是（）A．48°B．45°C．96°D．40°【答案】C【分析】根据平行线的性质和折叠性质即可求解．【解析】解：如图，∵AG BE，AD BC，∴∠1=∠5，∠5=∠4∴∠4=∠1=42°，∵CD BE，∴∠4=∠3=42°，由折叠性质得：∠6=∠3＝42°，又∠6+∠3+∠2=180°，∴∠2=96°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．3．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°【答案】C【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【解析】A 、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以a b ∥；B 、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以a b ∥；C 、∠1=∠2不能判定a ，b 互相平行；D 、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以a b ∥．故选：C ．【点评】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．4．如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB ＝32°，则①32C EF '∠=︒；②∠AEC ＝148°；③∠BGE ＝64°；④∠BFD ＝116°，则下列结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．【解析】解：①∵AE ∥BG ，∠EFB =32°，∴C EF '∠=∠EFB =32°，故本小题正确；②∵AE ∥BG ，∠EFB =32°，∴∠AEF =180°-∠EFB =180°-32°=148°，∵∠AEF =∠AEC +∠GEF ，∴∠AEC ＜148°，故本小题错误；③∵C EF '∠=32°，∴∠GEF =C EF '∠=32°，∴C EG '∠=C EF '∠+∠GEF =32°+32°=64°，∵AE ∥BG ，∴∠BGE =C EG '∠=64°，故本小题正确；④∵∠BGE =64°，∴∠CGF =∠BGE =64°，∵DF ∥CG ，∴∠BFD =180°-∠CGF =180°-64°=116°，故本小题正确．综上，①③④正确，共3个．故选：C ．【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿AB 折叠后，如图，测量得到：①14∠=∠；②BC BA =；③CA CB =；④3=4∠∠．其中能够判定两条边线EF 、GH 互相平行的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由等腰三角形的性质可得12,∠=∠但是不能判定平行，可判断②，由等腰三角形的性质可得23,∠=∠再结合轴对称的性质可得2,ABH ∠=∠可判断③，由轴对称的性质可得34,ABH ∠=∠=∠但不能判定平行，从而可得答案．【解析】解：14,∠=∠∴,EF GH ∥ 故①符合题意；∵,BC BA =∴12,∠=∠ 不能得到,EF GH ∥ 故②不符合题意；∵,CA CB =∴23,∠=∠由折叠可得：3,ABH ∠=∠∴2,ABH ∠=∠∴EF GH ∥，故③符合题意； 34,3,ABH ∠=∠∠=∠∴34,ABH ∠=∠=∠ 不能得到,EF GH ∥ 故④不符合题意；故选B【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握“轴对称的性质与等腰三角形的性质及平行线的判定方法”是解本题的关键． 6．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．则1∠与α∠的关系式是（ ）A ．16012α∠=︒+∠B ．14512α∠=︒+∠C ．11902α∠+∠=︒D ．111202α∠+∠=︒ 【答案】C【分析】根据折叠性质，先得出3=4∠∠，根据AB CD ，得出12∠=∠，4α∠=∠，得出34α∠=∠=∠，根据234180∠+∠+∠=︒，得出12180α∠+∠=︒，即可得出结论．【解析】解：根据折叠可知，3=4∠∠，∵AB CD ，12∴∠=∠，4α∠=∠，∴34α∠=∠=∠，∵234180∠+∠+∠=︒，12180α∴∠+∠=︒，即11902α∠+∠=︒，故C 正确． 故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据题意得出12∠=∠，34α∠=∠=∠是解题的关键．7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若CD BE ∥，且266∠=︒，则1∠的度数是______．【答案】57°##57度【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到5431DCF ∠=∠=∠=∠=∠，再根据同旁内角互补可得4∠，进而得出1∠．【解析】解：如图，延长BC 到点F ，纸带对边互相平行，431∴∠=∠=∠，由折叠得，5DCF ∠=∠，∵CD BE ∥，4DCF ∴∠=∠，54∴∠=∠，245180∠+∠+∠=︒，6624180∴︒+∠=︒，即457∠=︒，157∴∠=︒．故答案为：57︒．【点评】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 和CD ．若CD BE ∥，162∠=︒，则2∠的度数为______． 【答案】68°##68度【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到21124BCD EBF ∠=∠=∠=︒，进而得出56CDA ∠=︒，再由折叠的性质得268∠=︒．【解析】解：如图，延长CB 到点F ，由折叠可得， 21124EBF ∠=∠=︒，∵//CD BE ，∴124BCD EBF ∠=∠=︒，纸带对边互相平行，∴//BC AD ，∴18012456CDA ∠=︒-︒=︒，由折叠可得，2=180-268CDA ∠︒∠=︒，故答案为：68︒．【点评】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．9．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．【答案】22°##22度【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．【解析】延长CE，交AD与点F，如图，∥，∠DEC=90°，根据题意有：AD BC∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，∵∠1=68°，∴∠DFE=90°-∠1=22°，∴∠2=22°，故答案为：22°．【点评】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．10．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜12（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．【答案】28°或74°或118°【分析】分三种情况，分别画出图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，即可求解．∥时，【解析】解：当BD EF由折叠得，∠B =∠F =32°，∠BED =∠DEF ，∵BD EF ∥，∴∠B =∠CEF =32°，∴∠BEF =180°-32°=148°，∴111487422BDE BED DEF BEF ∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒； 当AC EF ∥时，∵AC EF ∥，∴∠BEF =∠C =60°，∴113022BED FED BEF C ∠=∠=∠=∠=︒， ∴1801803230118BDE B BED ︒∠=-∠-∠=-︒-=︒︒︒；当AC EF ∥时，∴∠CEF =∠C =60°，∴∠BGD =∠CEF +∠F =92°，∴∠BDG =180°-∠B -∠BGD =56°，∴56211228BDG BDE =∠=︒⨯=∠︒； 综上所述，∠BDE 为28°或74°或118°．故答案为：28°或74°或118°【点评】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置，且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知∠C ＝90°，∠A ＝34°.若保持△A 'DE 的一边与BC 平行，则∠ADE 的度数____．【答案】45°或28°【分析】根据题意，分A E BC '∥，∥A D BC '两种情况分析，根据平行线的性质与三角形的内角和定理即可求解．【解析】解：∵将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置， ∴当ED BC ∥时，经过折叠A '在AC 上，不符题意，依题意，,A A ADE A DE ''∠=∠∠=∠，①当A E BC '∥，9090A EB B A A ''∴∠=∠=︒-∠=︒-∠90AFD A EF '∴∠=∠=︒()11902822ADE ADF A ∴∠=∠=︒-∠=︒ ②当∥A D BC '时，90ADF C ∴∠=∠=︒1452ADE ADF ∠=∠=︒ 故答案为：45°或28°【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握三角形的外角的性质，内角和定理，平行线的性质是解题的关键．12．如图，将一条两边互相平行的纸带按图折叠，则α的度数等于______．【答案】75°##75度【分析】由平行线的性质可知∠2=∠1，由折叠的性质可知2α+30=180，列方程求解．【解析】解：∵AD BC ，∴∠2=∠1=30°，∴2α+30=180，∴α=75，故答案为：75°．【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．根据折叠性质及互补关系列出方程是解题的关键． 13．如图，在△ABC 中，∠A ＝56°，∠C ＝46°，D 是线段AC 上一个动点，连接BD ，把△BCD 沿BD 折叠，点C 落在同一平面内的点C '处，当C D '平行于△ABC 边时，∠CDB 的大小为______．【答案】67︒或118︒【分析】先根据折叠的性质可得C DB CDB '∠=∠，设(0)C DB CDB x x '∠=∠=>，再分①C D AB '∥和C D BC '两种情况，画出相应的图形，利用平行线的性质、平角的定义建立方程，解方程即可得．【解析】解：由折叠的性质得：C DB CDB '∠=∠，设(0)C DB CDB x x '∠=∠=>，由题意，分以下两种情况：①如图，当C D AB '∥时，56C D A A '∴∠=∠=︒，56ADB C C D DB x A '∴∠=∠-=-'∠︒，180ADB CDB ∠+∠=︒，56180x x ∴-︒+=︒，解得118x =︒，即118CDB ∠=︒；②如图，当C D BC '时，46C D C A '∴∠=∠=︒，180CDB D C C D B A ∠+∠+'=∠︒'，46180x x ∴++︒=︒，解得67x =︒，即67CDB ∠=︒；综上，CDB ∠的大小为67︒或118︒，故答案为：67︒或118︒．【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用，正确分两种情况，并画出图形是解题关键．14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）．【答案】90°-12x°32x°-90°【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF=∠EFB，∠EFB=12∠EHB，最后计算出∠EFB=90°-12x°；（2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'=90°+12x°，再次折叠经计算求出∠EFC"=32x°-90°．【解析】解：（1）如图1所示，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，又∵∠DEF=∠D'EF，∴∠D'EF=∠EFB，又∵∠EHB=∠D'EF+∠EFB，∴∠EFB=12∠EHB，又∵∠AED'=x°，∴∠EHB=180°-x°∴∠EFB=12（180°-2）=90°-12x°故答案为：90°-12x°；(2)如图2所示，∵∠EFB+∠EFC'=180°，∴∠EFC=∠EFC'=180°-（90°-12x°）=90°+12x°，又∵∠EFC'=2∠EFB+∠EFC"，∴∠EFC"=∠EFC'-2∠EFB=90°+12x°-2（90°-12x°）=32x°-90°，故答案为：32x°-90°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．15．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝_____°．【答案】130【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′DC=80°，进而得到∠BD B′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．【解析】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，∵EB′∥BC，∴∠B′=∠B′DC=80°，∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，∴∠BDE =∠B ′DE =50°，∴∠CDE ＝180°-∠BDE =130°．故答案为：130【点评】本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．16．如图，将一张上、下两边平行（即AB ∥CD ）的纸带沿直线MN 折叠，EF 为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF 的度数． 【答案】(1)见解析(2)117︒【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；（2）先利用12∠=∠求出1∠，再利用AEF OEF ∠=∠求出OEF ∠，最后利用关系式1BEF OEF ∠=∠+∠求解即可．（1）解：证明：∵ABCD ， ∴1EOF ∠=∠．∵A E C F ''∥，∴2EOF ∠=∠，∴12∠=∠．（2）∵12∠=∠，∠2＝54°∴154∠=︒．根据折叠的性质知：AEF OEF ∠=∠，∴2AEO OEF ∠=∠．又∵1180AEO ∠+∠=︒，即21180OEF ∠+∠=︒，∴()11801632OEF ∠=︒-∠=︒， ∴1117BEF OEF ∠=∠+∠=︒．【点评】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键． 17．如图，把长方形ABCD 的两角折叠，折痕分别为EF 、HG ，点B 、D 折叠后的对应点分别是B '、D ，并且使HD '与B F '在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF 、GH 也相互平行．【答案】见解析【分析】先根据折叠得出DHG D HG '∠=∠，BFE B FE '∠=∠，再根据平行线的性质得出DHF BFH ∠=∠，即可得出D HG B FE ''∠=∠，最后根据平行线的判定得出结论．【解析】证明：根据折叠可知，DHG D HG '∠=∠，BFE B FE '∠=∠，∵长方形的两组对边分别平行，即AD BC ∥∴DHF BFH ∠=∠，∵12D HG DHF '∠=∠，12B FE BFH '∠=∠， ∴D HG B FE ''∠=∠，∴EF GH ∥．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等和内错角相等两直线平行，是解题的关键．18．有一条纸带ABCD ，现小强对纸带进行了下列操作：(1)为了检验纸带的两条边线AB 与CD 是否平行，小强如图①所示画了直线l 后，量得∠1=∠2，则AB CD ∥，理由为 ;(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；(3)如图③，已知这是一条长方形纸带，点E 在折线AD →DC 上运动，点F 是AB 上的动点，连接EF 将纸带沿着EF 折叠，使点A 的对应点A '落在DC 上，若CA F x '∠=，请用含x 的代数式来表示EAA ∠'的度数为 .（直接写出答案）【答案】(1)同位角相等，两直线平行(2)=α∠︒55(3)12x 或1902x ︒- 【分析】(1)根据平行线的判定方法即可解决问题；(2)如图②−1中，证明∠α=∠4即可解决问题；(3)分两种情形：如图③−1中，证明∠DEA ′=2∠EAA ′，∠DEA ′=∠CA ′F 即可；如图③−2中，证明∠EA ′F =2∠EAA ′即可解决问题．（1）解：如图①中，∵∠1=∠2，∴AB CD ∥(同位角相等两直线平行)，故答案为：同位角相等，两直线平行；（2）解：如图②−1中，由翻折的性质可知，∠3=∠4，∵CD AB∥，∴∠α=∠3，∴∠α=∠4，∵∠1=∠2=70°，∴1(18070)552α∠=⨯︒-︒=︒；（3）解：如图③−1中，由翻折可知，EA=EA′，∠EA′F=∠DAB=90°，∴∠EAA′=∠EA′A，∴∠DEA′=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵∠DEA′+∠DA′E=90°，∠DA′E+∠CA′F=90°，∴∠DEA′=∠CA′F，∴∠CA′F=2∠DAA′，∴1122 EAA CA F x ∠'=∠'=；如图③−2中，由翻折可知，EA=EA′，F A=F A′，∴∠EAA′=∠EA′A，∠F AA′=∠F A′A，∵AB CD∥，∴∠EA′A=∠F AA′，∴∠EAA′=∠AA′F，∴∠EA′F=2∠EAA′，∵∠CA′F+∠EA′F=180°，∴2∠EAA′=180°−x，∴1902 EAA x ∠'=︒-，故答案为：12x或1902x︒-．【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．19．综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH 中，,AB GH AH BG ，∠A ＝∠B ＝∠G ＝∠H ＝90︒，将长方形纸条沿直线CD 折上，点A 落在A '处，点B 落在B '处，B 'C 交AH 于点E ，若∠ECG ＝70︒，则∠CDE ＝ ； 类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC 对折，点H 落在直线EC 上的H '处，点G 落在G '处得到折痕EF ，则折痕EF 与CD 有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G '作BG 的平行线MN ，请你猜想∠ECF 和∠H 'G 'M 的数量关系，并说明理由． EF CD ，理由见解析ECF H G '+∠【分析】（1）先根据折叠的性质可得线的性质即可得；先根据折叠的性质可得O MN 于O O BG ，根据平行线的性质可得90EH O G ''∠+∠=︒，最后根据等量代换即可得出结论．）解：由折叠的性质得：BCD ∠70ECG ∠=︒BCD ∴∠=AH BG ，CDE BCD ∴∠=∠故答案为：55︒．（2）解：EF CD ，理由如下：由折叠的性质得：AH BG ，BCE HEC ∠=∠∴，ECD CEF ∴∠=∠，EF CD ∴．（3）解：90ECF H G M ''∠+∠=︒，理由如下：如图，过点H '作H O MN '于O ，H G M OH G ''''∴∠=∠，又MN BG ，H O BG '∴，ECF EH O '∴∠=∠，由折叠的性质得：90EH G H ''∠=∠=︒，90EH O OH G '''∴∠+∠=︒，90ECF H G M ''∴∠+∠=︒．【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
七年级数学展开与折叠
在机械制造中，经常需要将零件展开成平面图形进行加工和制造。这样可以提高加工精度 和效率，也可以减少材料浪费和降低成本。同时，在机械装配过程中，也需要将零件按照 一定规律进行折叠和组装。
02
平面图形展开与折叠
正方形和长方形展开
正方形展开
正方形可以沿着对角线或者中垂线展开成一个直线 段或者两个相等的直角三角形。
物理理论的数学化
许多物理理论最终需要转化为数学 模型以便进行更深入的分析和研究， 如量子力学和广义相对论等。
数学在化学中的应用
化学计量学
数学在化学计量学中有着广泛应 用，如化学方程式的配平、摩尔
质量的计算等。
化学反应动力学
数学方法可以帮助研究化学反应 的速率和机理，如反应速率常数
的确定、反应机理的推导等。
圆形和扇形展开后，其各边长度和角 度关系可能会发生变化。同时，圆形 和扇形的面积和周长也会发生变化。
扇形展开
扇形是圆的一部分，可以沿着半径或者圆弧 展开，得到一个平面图形。根据展开方式的 不同，可以得到不同的形状，如三角形、梯 形等。
03
立体图形展开与折叠
正方体和长方体展开
正方体展开
正方体有6个面，12条棱，8个顶 点，可以展开成6个相连的正方形 。展开后，相对的面不相邻。
实现变废为宝
利用废旧纸张、布料等材 料进行展开与折叠的手工 制作，可以实现资源的再 利用，具有环保意义。
05
拓展内容：数学在其他领域的应用
数学在物理中的应用
描述物理现象
数学语言可以精确描述物理现象， 例如牛顿第二定律 F=ma 就用数 学表达式阐明了力和加速度之间
的关系。
解决物理问题
数学方法如微积分、常微分方程等 被广泛应用于解决物理问题，如求 解运动方程、分析电磁场等。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一数学折叠问题是一种典型的几何问题，它涉及到图形在空间中的变换和计算。
在初中阶段，数学折叠问题不仅能帮助学生巩固几何知识，还能提高他们的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将从数学折叠问题的概念、应用场景、解决方法以及在初中的教学意义等方面进行详细阐述。
一、数学折叠问题的概念与基本原理数学折叠问题是指在平面或空间几何中，通过对一个图形进行折叠，使其变为另一个图形的问题。
在这个过程中，图形的形状、大小和位置可能会发生变化。
解决数学折叠问题需要掌握图形的折叠原理，了解图形的各个部分之间的关系。
二、数学折叠问题的应用场景数学折叠问题在日常生活和学术研究中具有广泛的应用。
例如，在建筑、设计和制造领域，数学折叠问题可以帮助我们更好地理解和分析空间结构；在数学和物理研究中，数学折叠问题有助于探究图形的变换和性质。
三、解决数学折叠问题的方法与技巧解决数学折叠问题有以下几种方法：1.观察法：通过观察图形的特征，找到图形之间的联系和规律。
2.折叠法：将图形按照折叠线进行折叠，分析折叠前后的图形关系。
3.方程法：建立数学模型，利用方程求解图形折叠问题。
4.几何变换法：利用平移、旋转等几何变换，将问题转化为已知图形的性质。
四、数学折叠问题在初中的教学意义数学折叠问题在初中阶段的教学具有重要意义。
通过解决数学折叠问题，学生可以：1.加深对几何图形的理解和掌握；2.提高空间想象力和逻辑思维能力；3.培养观察、分析和解决问题的能力；4.巩固和拓展数学知识，为高中阶段的学习打下基础。
五、提高初中生数学折叠问题能力的建议1.多做练习：通过大量练习，熟练掌握数学折叠问题的解题技巧；2.培养空间想象力：通过观察和折叠实物，提高空间想象力；3.学会分类和归纳：将数学折叠问题进行分类，总结规律；4.及时请教老师：在遇到难题时，及时向老师请教，确保掌握数学折叠问题的解题方法。
初中几何折叠问题的三种解法
初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。
在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。
方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。
它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 将纸张按照比例剪成相应大小。
3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。
4. 计算所需参数并得出答案。
优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。
同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。
缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。
同时也容易出现误差和偏差。
方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。
它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。
缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。
它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。
缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。
七年级数学折叠问题
七年级数学折叠问题一、折叠问题知识点1. 折叠性质折叠前后图形全等，对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形纸片折叠，折叠线两侧的部分是全等的，那么折叠前后的边长和角度关系不变。
折叠问题常常与轴对称图形相关联，折叠线就是对称轴。
2. 在坐标平面中的折叠如果是在平面直角坐标系中的图形折叠，我们可以利用坐标的性质来解决问题。
例如，已知一个点公式关于某条直线（如公式）折叠后的坐标变化规律。
点公式关于公式对称的点的坐标为公式。
3. 在多边形中的折叠在多边形（如三角形、四边形等）的折叠中，常常会涉及到角度的计算、边长的计算以及面积的计算等。
比如在四边形公式中，将公式沿着公式折叠，如果公式，那么折叠后公式，因为折叠前后对应角相等。
对于边长计算，如果公式，折叠后公式点与公式点重合，且公式是折痕，那么公式（折叠前后对应边相等）。
二、典型题目及解析1. 题目如图，将长方形公式沿公式折叠，使点公式落在公式边上的公式点处，如果公式，求公式的度数。
解析因为四边形公式是长方形，所以公式。
已知公式，那么公式。
由于公式与公式关于公式折叠，所以公式，则公式。
所以公式。
2. 题目有一张矩形纸片公式，公式，公式，将纸片沿公式折叠，使点公式与点公式重合，求公式的长。
解析连接公式，因为四边形公式是矩形，根据勾股定理可得公式。
因为点公式与点公式重合，公式是折痕，所以公式垂直平分公式，设公式与公式相交于点公式。
则公式。
因为公式（公式，公式）。
所以公式，即公式，解得公式。
所以公式。
七年级数学下册平行线【折叠问题】专项练习题+答案
七年级数学下册平行线【折叠问题】专项练习题+答案1、把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠CDF=38°，则∠EFD的度数是（ B ）A.72°B.64°C.48°D.52°ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，四边形纸片ABCD的周长为（ B ）A.20B.24C.32D.48解：由折叠的（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）性质知，AF=AB，EF=BE. 所以四边形纸片ABCD的周长等于△AFD和△ECF的周长和为18+6=24. 故四边形纸片ABCD的周长为24.3.将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．则下列说法错误的是（ D ）A.AE⊥MNB.AM=EMC.∠BNO=∠FNOD.∠OEF=90°解：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．∠BAM和∠FEM是对应角，所以∠BNO=∠FNO，∠BAM=∠FEM=90°，4.如图，先将正方形ABCD对折，折痕为EF，将这个正方形展平后，再分别将A，B 折叠到折痕EF，使点A，B都与折痕EF上的点G重合，则下列说法错误的是（ B ）A.∠MGD=90°B.∠DGF=∠MGEC.DG=CGD.∠BCN=∠GCN解：将A，B折叠到折痕EF，使点A，B都与折痕EF上的点G重合，则直线MD，NC 分别是对称轴，根据轴对称图形中，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）对应线段相等，对应角相等，5.图1的长方形ABCD中，点E在AD边上，AD∥BC，∠A=∠D=90°，∠BEA=60°．（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）现分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向折过去，图2为对折后A，B，C，D，E五点在同一平面上的位置图．若，则∠BCE的度数为（ D ）A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°解：分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向翻折，则直线BE，CE分别是对称轴，6.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是多少cm．（ D ）A.26B.16C.18D.22由轴对称图形的性质，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）得AD=CD，AE=CE．7.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，将△ABC对折，使A与B重合，折痕为DE，（电子版关注微信公众号：初一数学语文英语）若△BCD的周长为27cm，则BC的长为多少cm．（ C ）A.10B.9C.7D.138.在Rt△ABC中，CD=3cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上，且与BE重合，△ABD的面积是12cm²，则AB的长是多少cm（ A ）A.8B.4C.9D.3。
七年级折叠问题知识点梳理
七年级折叠问题知识点梳理折叠问题是数学中的一种经典问题，也是考察对数学知识的理解和实际应用能力的重要领域。
在初中数学中，折叠问题也是一个重要的知识点，需要深入理解和掌握。
本文将对七年级折叠问题知识点进行梳理和整理，以帮助同学们更好地掌握这一知识点，从而在考试中取得更好的成绩。
一、基本概念折叠问题是指在平面图形上切割一条或数条线，然后将剩余部分按照指定的顺序进行折叠，并寻求可能出现的图形形态。
常出现的几何图形包括三角形、正方形、长方形等。
二、折叠的基本操作1. 折叠轴：指在平面图形上折叠的参考线，通常为直线。
2. 对称轴：指原图形和折叠后图形的对称轴，它们的交点处是折叠轴。
3. 折线：指从折叠轴起到图形边缘的折叠线段。
4. 折叠方向：指折叠时图形所向的方向，可以是向上、向下、向左或向右。
5. 折痕：指在图形上产生的折叠痕迹。
三、折叠问题的解题方法在解决折叠问题时，首先要对给定图形和折叠过程进行分析，然后选择合适的方法进行求解，一般有以下几种方法：1. 利用对称性：可以利用图形对称性进行折叠，其中对称轴可以作为折叠轴，而对称轴两侧的部分可以通过折叠得到图形的其他部分。
2. 利用折线的特性：根据折线的特性可以确定图形的边长和角度，从而得到图形的面积和形状。
3. 综合使用多种方法：在解决较为复杂的折叠问题时，可以综合使用多种方法，包括对称性、折线特性、面积等多个方面，灵活应用不同的方法。
四、折叠问题的实际应用折叠问题在实际生活中也有广泛的应用，例如在制作纸质建筑模型时，需要根据图纸进行折叠，从而得到复杂的建筑结构；在设计3D打印模型时，需要将平面图形折叠成三维立体模型，从而进行后续加工等。
总之，折叠问题是数学中非常重要的一个知识点，需要同学们用心理解和掌握，善于运用不同的方法解决问题，在实际应用中也能够得心应手。
希望本文对七年级学生们的学习有所帮助，祝愿大家在数学学习中取得更好的成绩。
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初一数学中的折叠问题 张文彩 折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。
初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。
下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。
一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。
例1.如图，将矩形ABCD 沿AE 对折，使点D 落在点F 处，若∠CEF=60°，则∠EAF 等于（ ）；∠AED 的大小为 （ ）
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
解析：根据折叠的性质，折叠的角等于原图形中的角，也就是∠DEA=∠FEA ；再根据平角的度数是180°和条件∠CEF=60°，先求出∠DEA ，然后根据三角形内角和是180°求出∠DAE ，最后求出∠EAF 。
解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21
（180°-60°）=60°．
在Rt △ADE 中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．
∵△EAF 由△EAD 翻折而成，
∴∠EAF=∠EAD=30°．
故选D ．
例2. 将矩形ABCD 沿折线EF 折叠后点B 恰好落在CD 边上的点H 处，且 ∠CHE=40°，求∠EFB 的度数．
解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE. 因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。
解：根据折叠的性质：∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE
∵∠CHE=40°，∴∠FHC=90°+40°=130°
∵CD∥BA, ∴∠EFH=180-∠FHC=50度
∴∠BFE=∠EFH=50÷2=25°。
．把一张长方形纸条按图6－10的方式折叠后，量得∠AOB'＝110°，则∠B'OC＝_______．
例3.将长方形ABCD沿着BD折叠，得到△BC/D,使C/D与AB交于点E，若∠1=35°，则∠2的度数为（）
A.20°
B.30°
C.35°
D.55°
解析：这道题目是沿矩形对角线折叠一角。
解题方法是根据矩形的性质：对边平行，四个角都是直角，和三角形内角和是180°。
可以先求出∠DBC=90°-35°
=55°，∠DBA=∠1=35°。
再由折叠性质得∠DBC/=∠DBC=55°，所以∠2=∠DBC/-∠DBA=20°
二．沿矩形内部的一条斜线段折叠，求一个角的度数问题。
常用的方法是：邻补角互补，折叠得到的角等于原来的角，平行线的性质。
例4.（2015安阳期末）把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）
解析：根据平角的定义可以先求出∠1的邻补角=130度，再根据折叠的性质可以求出∠BFE=65度。
最后由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，既可以求出∠AEF=180-∠BFE=115度。
解：∵∠1=50°
∴2∠BFE=130度；∴∠BFE=65度
∵AD∥BC, ∴∠AEF=180-∠BFE=115度
例5.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=70°，求∠AED′的度数．
解析：根据折叠性质∠DEF=∠D′EF,根据两直线平行，内错角相等可以求得∠EFB=∠DEF=70°；所以∠DED′=140°，最后根据邻补角互补既可以求得∠AED′的度数。
解：∵AD∥BC, ∴∠DEF=∠EFB=70°
根据折叠性质∠DEF=∠D′EF=70°；∴∠DED′=140°；
∴∠AED′=180°-∠DED′=40°
例6.把一张长方形ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点，点D、C分别落在D′、C′位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG和∠BGE的
度数。
解：∵AD∥BC, ∴∠DEF=∠EFG=55°
由折叠可知∠DEF=∠FEG=55°
∴∠EDG=110°，
∴∠AEG=180°-∠EDG=70°
∵AD∥BC，∴∠BGE=180°-∠AEG=110°
三．折叠宽度相等纸条，已知一个角的度数，求另一个角的度数。
常用的方法：平行线的性质，邻补角的性质。
例7.将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=______度．
解：根据两直线平行，同位角相等，和邻补角互补的性质，∠1=180°-2×64°=52°例8.将一张长方形纸条按下图所示的方法折叠，则∠1的度数为______．
解：根据两直线平行，内错角相等，和折叠的性质：2∠1=130°。
所以∠1=65°例8. 有一条直的等宽纸带，按如图折叠时，纸带重叠部分中的∠α为（）度．A. 75 B. 70 C. 60 D. 80
解析：根据根据两直线平行，同位角相等，
∠EBH=30°，再由邻补角互补，可以求出∠EBH的邻补角等于150度，然后根据折叠的性质可以求出
∠ABH=∠α的内错角=75°，所以∠α=75°。
例9.如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=60°，
则∠2= 度。
解析：根据平行线的性质，和已知条件∠1=60°可以求出∠1的内错角=60°，再根据折叠的性质，∠2的邻补角就是2∠1=120°
所以∠2=60°
例9
四．折叠平行四边形，求角度的问题
常用的方法有：除了根据折叠性质之外还要根据平行线的性质，和三角形内角和是180度来解决问题。
例10。
将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，
使点B落在点B/处，若∠1=∠2=44°，则∠B=
（）
A．66°B．104°C．114°D．124°
解析：∵DC∥AB
∴∠1=∠B/AB=44°，
根据折叠可知∠BAC=∠B/AC=∠B/AB的一半=22°
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=114°
五．除了折叠之外还有三角板与矩形纸片的放置问题，解决这类问题的方法也是运用平行线的性质和三角板特殊角的问题来解决。
例11.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠3＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠5-∠2＝90°，其中正确的个数是（? ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：直角三角板三个角都是特殊的角，除了90°的角外还有30°，45°，60°的角。
比如这道例题中三角板的三个角分别是45°，45°，90°。
纸条的对边位置关系是平行关系，所以就有
∠2=∠1，∠3=∠4，∠5+∠4＝180°，∠2+∠4＝90°，再由邻补角互补，∠3+∠5＝180°，所以就能推出，（2）（3）正确。
对于第（4）需要进行推导一下。
因为∠5+∠4＝180°，∠2+∠4＝90°，所以∠5+∠4=90°+∠2+∠4，所以∠5-∠2＝90°也是正确的。
所以正确的结论是（2）（3）（4）选C
例12（2016安阳期末）如图a，ABCD是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°
（2）若∠DEF=α，把图3中∠CFE用α表示．
解析：（1）图a，因为AD∥BC，∠DEF=26°，所以∠DEF=∠BFE=26°，图b ∠AEG=180°-26°×2=128°=∠EGF=∠GFD
图c ∠CFE=∠GFD-∠BFE=128°-26°=102°
（2）图a，因为AD∥BC，∠DEF=α，所以∠DEF=∠BFE=α，
图b ∠AEG=180°-α×2=180°-2α=∠EGF=∠GFD
图c ∠CFE=∠GFD-∠BFE=180°-2α-α=180°-3α。