2020年高考数学一模试卷(理科)
2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)
2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．35．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升” )的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为( )立方分米．A ．40B ．853C ．30D ．7336．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( )A ．314B ．37C ．67D ．13287．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为 ，|2|a b +的取值范围为 ．15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是16．（5分）已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()i cm x166167160173178169158173体重()i kg y57 58 53 61 66 57 50 66（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：2211()1(nii i n ii yy R y==-=-∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-． （Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数3(13)2221313i i i z i i i-++=+=+=+++，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)在第一象限． 故选：A ．2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =【解答】解：集合{|||3}{|3P x x x x =>=<-或3}x >，2{|4}{|2Q x x x x =>=<-或2}x >，P Q ∴，故选：B ．3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：由 可得49a =，42log 6log c == 则 可知，1bc a >>>， 故选：B ．4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：由约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩作出可行域如图，化目标函数2z x y=+为直线方程的斜截式，122zy x=-+，由图可知，当直线122zy x=-+过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故选：D．5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”)的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为()立方分米．A．40B．853C．30D．733【解答】解：由三视图还原原几何体如图，要加工成如图所示散斗，则长方体木料长的最小值为4，宽的最小值为4，高的最小值为52， 则则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米． 故选：A ．6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( ) A ．314B ．37C ．67D ．1328【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，基本事件总数2828n C ==，取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：116212m C C ==，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m p n ===． 故选：B ．7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(2,0)F ，准线方程为：2x =-，作MA 垂直于y 轴交于A ，因为2MF FN =，所以可得F 为线段MN 的三等分点，即13NF MN =，由NFO NMA ∆∆∽，所以13OF MA =，即3326MA OF ==⨯=，所以||628MF =+=， 故选：A ．8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =【解答】解：由图象可知，当0x =时，0y ≠，故排除选项A ； 又对任意的x ，函数值0y ，故排除选项B ； 对选项D ，当12x π=>时，0y =，这与图象矛盾，综上，选项C 满足题意． 故选：C ．9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m【解答】解：设AB x =，由图利用直角三角形的性质可得：BC AB x ==，3BD x =， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：22236002600cos120x x x =+-⨯︒，化为：23001800000x x --=，解得600x =． 故选：B ．10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3 【解答】解：332cos sin sin 2,[2,2]0,[2,2]2222()2|cos |sin sin 2,2cos sin sin 2,[2,2)2sin 2,[2,2)2222x x x x k k x k k f x x x x k Zx x x x k k x x k k ππππππππππππππππ⎧⎧-+∈++∈++⎪⎪⎪⎪=+==∈⎨⎨⎪⎪+∈-++∈-++⎪⎪⎩⎩，其大致图象如图所示，①()f x 的图象不关于直线4x π=对称，即①错误；②()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增，即②正确； ③()f x 的最小正周期为2π，即③错误． 所以真命题只有②， 故选：B ．11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒【解答】解：作//AP DM ，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线， 由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时， 1PAD ∠取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60︒，此时，1D ∈平面ABC ，1D 不在平面ABC 上，1(0,60)PAD ∴∠∈︒︒，∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(0,60)θ∈︒︒．故选：D ．12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >【解答】解：如图所示：由题意可得A 中，2,[0,1]()|2|,(1,)x x f x x x ⎧∈=⎨-∈+∞⎩B 中，当12x 时，120x --，(2)(2)2()f x f x x f x -=--=，当23x <时，021x <-，(2)2()f x x f x --=，当34x <时，122x <-，(2)2(2)42()f x x x x f x -=--=--=，当4x ，22x -，恒有(2)()f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[0x ∈，)+∞，()f x x ，令()t f x =，则0t ，所以()f t t ，即(())()f f x f x ，故C 正确，D 不正确． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= ． 【解答】解：1y x nx =+，∴11y x'=+， 1|112x k y =∴='=+=，∴函数1y x nx =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，整理，得210x y --=． 故答案为：210x y --=．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π，|2|a b +的取值范围为 ． 【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，则[0θ∈，]π； 又||2a =，||1b =，所以22()()421cos 12cos 134cos a a b b a b a a b b a b θθθ++-=++-=+⨯⨯+⨯⨯-=+， 即34cos 1θ+， 解得1cos 2θ-； 则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π； 即2[3πθ∈，]π； 所以222(2)444421cos 488cos a b a a b b θθ+=++=+⨯⨯⨯+=+， 又cos [1θ∈-，1]2-，所以88cos [0θ+∈，4]，所以|2|a b +的取值范围是[0，2]． 故答案为：23π，[0，2]． 15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是 124125【解答】解：飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀． 某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45， 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： 0033411241()()55125P C =-=． 故答案为：124125．16．（5分）已知双曲线C 的方程为21x =，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 2【解答】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为F '，由双曲线C 可得(3,0)F ，(3,0)F '-，||NF =MNF ∆周长为||||||||||MN MF NF MN MF ++=++，由双曲线的定义可得||||22MF MF a '-==， 即有||||||||2MN MF MN MF '+=++， 当P 在左支上运动到M ，N ，F '共线时，||||MN MF '+取得最小值||NF '=则有MNF ∆周长的最小值为22=．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =， 设数列的首项为1a ，公差为d ， 则：1112335a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)n a n n =+-=．数列{}n b 满足：2124b b ==，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．① 所以1122111(24)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=-+．② ①-②得：1(22)(24)n n n n a b n b n b -=---， 由于n a n =， 整理得12nn b b -=（常数）， 所以数列{}n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列． 所以1222n n n b -=⨯=． 由于首项符合通项公式， 所以2n n b =．证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==， 所以212222n n nT =++⋯+①， 故2311122222n n nT +=++⋯+② ①-②得：211111(1)1111122()112222222212n n n n n n n n n n T +++-=++⋯+-=-=---， 所以112222n n n nT -=--<． 即122n c c c ++⋯+<．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以12ME AD =，//ME AD ，所以//BC ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以//CE BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂/平面BMD ， 所以//CE 平面BMD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1(2CQ =-，1-，1)，(1CE =-，0，1)，设平面CEQ 的法向量为(n x =，y ，)z ，列方程组00n CQ n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：120x y z x z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩其中一个法向量为(2n =，1，2)，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++++， 进而求得5cos θ=（15分） 19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．【解答】解：（1）由题意可得：222243a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）(1,)M m ，(2,0)A -，(2,0)B ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴直线AM 的方程为：(2)3my x =+， 联立方程22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+， 同理可得2414F my m =+，5AMF BME S S ∆∆=，即()5()ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-， 54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-，∴22412||5||4||1494m mm m m=-++，又0m ≠， 42161630m m ∴-+=，解得214m =或34， 点M 在椭圆内，∴234m <， ∴214m =， 12m ∴=±．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．【解答】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y x =-， 计算6ˆ570.816975.9 2.3e=-⨯+=-， 7ˆ500.815875.90.5e=-⨯+=-， 8ˆ660.817375.9 3.5e=-⨯+=； 完善下列残差表如下，计算22121()111(0.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.25)10.090.90226()nii i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-=-∑∑；所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈． （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y =，由8178880i i i x y ==∑，计算修订后8178880173661735877496i i i x y ='=-⨯+⨯=∑，又281226112i ix ==∑，168x =，修订后1(858.56658)57.58y '=⨯⨯-+=，所以1222177496816857.5ˆ0.6752261128168ni ix yi nixi x yn bxn --=-=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ57.50.67516855.9ay bx ='-=-⨯=-； 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-． 21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈【解答】解：（1）设直线y x =与()y f x =相切于点0(P x ，02())ln ax b +， 2()af x ax b '=+， 002()1af x ax b '∴==+，02ax b a ∴+= (0)a >，又点P 在切线y x =上，002()ln ax b x ∴+=， 022ln a x ∴=，02222b a ax a aln a ∴=-=-，因此22222ab a a ln a =-(0)a >，设g （a ）22222a a ln a =-，0a >，g '∴（a ）2422(122)a aln a a ln a =-=-，令g '（a ）0>得，0a <<g '（a ）o <得，a > g ∴（a）在上单调递增，在，)+∞上单调递减， g ∴（a）的最大值为4e g =， ab ∴的最大值为4e ； （2）函数2()(1)(1)()(g x ax a axf x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，等价于方程22(1)(1)(1)ln ax ax a ax +=+++有两个不相等的实根，设1t ax =+，则等价于方程220lnt t at --= (0)t >有两个不同的解，即关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解， 设22()lnt t h t t -=，则2222()t lnt h t t --'=， 设2()22m t t lnt =--，由0t >可知()m t '=-， ()m t ∴在(0,)+∞上单调递减，又m （1）10=>，575()204164m ln =-<， ∴存在05(1,)4t ∈使得0()0m t =，即200220t lnt --=，∴20022lnt t +=， ∴当0(0,)t t ∈时，()0m t >，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当0(t t ∈，)+∞时，()0m t <，()0h t '<，函数()h t 单调递减，∴函数()h t 的极大值为220000000022229()2(,0)10lnt t t h t t t t t --===-∈-， 要使得关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解，则0()a h t <， 当1a =-时，设2()2p t lnt t t =-+， 则2()21p t t t'=-+，可知()p t在上单调递增，在，)+∞上单调递减， 又p （1）0=，0p >，p （e ）220e e =-+<， ()p t ∴有两个不同的零点，符合题意，a ∴的最大整数值为1-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．【解答】解：（1）1:4cos()3C πρθ=-，即22cos sin ρρθθ=+，化为直角坐标方程为22(1)(4x y -+=把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20a =经过圆心(1，解得2a =，故2C 的直角坐标方程为0x =．（2）由题意可得，当63ππα时，||4sin OA α=；||4cos()3OB πα=-；||4cos OC α=；||4sin()3OD πα=-， ∴设2()||||||||16sin cos 16cos()sin()8sin 28sin(2)12sin 2)3336f OA OB OC OD ππππαααααααααα=+=+--=--=+=+，当63ππα时，52266πππα+， 383sin(2)836πα+，故()f α的值域为[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求【解答】解：（Ⅰ）1()42324x f x x ⎧<⎪⇔⎨⎪-+⎩或1124x x ⎧<⎪⎨⎪⎩或1324x x ⎧⎨-⎩， 解得223x -， 故不等式()4f x 的解集为2{|2}3x x -（Ⅱ）132,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎪⎩，1()2min f x ∴=，即12m =， 又a ，b ，c R +∈且12a b c ++=，z 则2221a b c ++=，设x =yz =， 222x y xy +，2222121222xy x y a b a b +=+++=++，同理：2222yz a c ++，2222xz c a ++，2222222222228xy yz xz a b b c c a ∴++++++++++=，2222()222212121812x y z x y z xy yz xz a b c ∴++=+++++++++++=， 23x y z ∴++，即123，当且仅当16a b c ===时，取得最大值．。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设(1−i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}3.函数f(x)=|x|+1是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4.等差数列{a n}中，已知a7=9，S5=5，则S8的值是()A. 23B. 30C. 32D. 345.执行如图所示的程序框图，则当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为()A. 45B. 35C. 147D. 756.为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=()A. 26B. 24C. 20D. 137.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a8.(x2−3x+2)5的展开式中含x3的项的系数为()A. −1560B. −600C. 600D. 15609.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2410.若函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则f(x)的单调增区间为()A. B.C. D.11.如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)坐标为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A，B在双曲线C的左支上，o为坐标点，直线BO与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为____．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3…a n=n2+3n+2，则a4=(1)，a n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，D 是BC 的边上的点，cos∠BAD =35,cos∠ADC =−√55． (1)求sin B 的值；(2)若BD =2DC =2，求AC 的长．18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB =2AD =2，∠DAB =60°，PA =PC =2，且平面ACP ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：CB ⊥PD ；(Ⅱ)求二面角C −PB −A 的余弦值．20.已知函数f(x)=lnxx−1(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，▵F1PF2的面积为√3．(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了复数的概念，运算及几何意义，考查了学生的运算求解能力，属基础题． 由题意解得x ，y ，从而得出x +yi 在复平面内所对应的点所在象限．解：∵x ，y 是实数，∴(1−i)x =x −xi =1+yi ，∴{x =1−x =y ,解得x =1，y =−1，∴x +yi 在复平面内所对应的点为(1,−1)，位于第四象限，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≤−2或x ≥2}；∴A ∩B =(−∞,−2]∪{2}．故选：D ．3.答案：B解析：函数定义域为R ，f(−x)=|−x |+1=|x |+1=f(x)，∴f(x)是偶函数．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=9，S 5=5，∴a 1+6d =9，5a 1+ 5×4 2d =5，解得：a 1=−3，d =2，则S 8=8×(−3)+ 8×7 2×2=32．故选：C ．5.答案：D解析：本题主要考查了程序框图的应用，考查了函数解析式，属于基础题；根据题意得到f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44，f(6)=62−5=31，即可得解．解：因为y =f(x)={x 2−5,x ⩾6f(x +2),x <6, 则f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44；f(6)=62−5=31，所以f(3)+f(6)=75．故选D ．6.答案：D解析：解：由分层抽样得n 120+80+60=360，解得n =13，故选：D ．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.答案：C解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =log 2(log 38)<log 2(log 39)=log 22=1， ∴a >1>b ．故选：C ．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．解析：解：∵(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5=(C50x5−C51x4+C52x3−C53x2+C54x−1)(C50x5−2C51x4+4C52x3−8C53x2+16C54x−32).∴展开式中含x3的项的系数为：−36C53−24C53C54=−1560．故选：A．(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5，分别展开两个二项式，即可得到含x3的项的系数．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是基础题．9.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2−4my−4=0，由此能够求出直线AB的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2−4my−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，①因为|MF|=2|NF|，所以y1=−2y2，②，联立①和②，消去y1，y2，得m=±√24所以直线AB的斜率是±2√2.故选：B．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．先根据三角函数图象的平移规律及平移后的图象关于y轴对称，求出φ，得到f(x)的解析式，再求单解：函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数的图象，因为平移后的图象关于y轴对称，所以−2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=−1，φ=π6，所以，令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，k∈Z，因而函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．故选C．11.答案：B解析：本题考查三视图及多面体外接球的表面积，具有综合性，考查空间想象能力.正确找到直观图是解题关键．由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，然后根据三棱锥的体积公式求得．解：由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，可以看成长2宽1高1的长方体切除后剩下的，其外接球与长方体外接球相同．若该三棱锥的体积为，可得x=2．故外接球直径为√12+12+22=√6，半径为√62．故外接球表面积为．故选B．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握极值的充要条件，属于中档题． 首先对函数进行求导，然后根据极值条件进行求解，要注意进行检验． 解：求导可得，f′(x)=3x 2−2ax −b ， 由已知得{f ′(1)=0f (1)=10，即{3−2a −b =01−a −b +a 2=10解得a =−4，b =11或a =3,b =−3当a =3,b =−3时，f ′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2⩾0， 此时f(x)递增，函数f(x)不存在极值 故a =−4，b =11，即点(a,b)坐标为(−4,11) 故选B ．13.答案：−1解析：解：a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则2a ⃗ +b ⃗ =(1,0) (2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+0=−1． 故答案为：−1．直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．14.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d =r ，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2， 可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)， 即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)， 即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切， 可得d =√10=R ，解得：R =√105．故答案为√105．15.答案：2解析：本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题． 解：设B(m,n)，则直线BO 与双曲线的右支交于点 M(−m,−n)， 设A(x 0,y 0)，可得直线 AB 的斜率为y 0−nx 0−m ， 直线 AM 的斜率为y 0+nx 0+m；∴y 02−n 2x 02−m 2=b 2a 2x 02−b 2a 2n 2x 02−n 2=b 2a 2=3×1=3，∴e =√1+b2a 2=2，故答案为：216.答案：32{6,n =1n +2n,n >1解析：解：数列{a n }满足a 1⋅a 2⋅a 3…a n =n 2+3n +2， 当n =1时，a 1=1+3+2=6；当n >1时，a 1⋅a 2⋅a 3…a n−1=(n −1)2+3(n −1)+2=n 2+n −2； 所以a n =n 2+3n+2n 2+n =n+2n；所以a 4=4+24=32，a n ={6,n =1n+2n,n >1．故答案为：32，{6,n =1n+2n,n >1．在原数列递推式中，取n 为n −1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a 4的值． 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =√55，∠ADB ∈(0,π)，∴sin∠ADB =2√55，……………………2′ ∵cos∠BAD =35,∠BAD ∈(0,π)，∴sin∠BAD =45.……………………4′ ∴sinB =sin[π−(∠BAD +∠ADB)]=sin(∠BAD +∠ADB) =sin∠BADcos∠ADB +cos∠BADsin∠ADB =45×√55+35×2√55=2√55.………………………6′ (2)在△ABD 中，由正弦定理得：ADsinB =BDsin∠BAD ，即2√55=245，∴AD =√5.……………9′在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos∠ADC =5+1+2×√5×1×√55=8，∴AC =2√2.………12′解析：(1)利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可． (2)利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC 的长．本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)用事件A i 表示第i 局比赛甲获胜，则A i 两两相互独立．P =P(A 1A 2+A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=23⋅23+13⋅23⋅23=1627． (Ⅱ)X 的取值分别为2，3，4，5， P(x =2)=23⋅23+13⋅13=59，P(x =3)=13⋅23⋅23+23⋅13⋅13=29， P(x =4)=23⋅13⋅23⋅23+13⋅23⋅13⋅13=1081， P(x =5)=23⋅13⋅23⋅13+13⋅23⋅13⋅23=881， 所以X 的分布列为X2345P 59291081881EX=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481．解析：(Ⅰ)用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率．(Ⅱ)X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19.答案：(I)证明：连接AC，BD，设交点为O，连接OP，则O是BD的中点，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO．∵AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴BD=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又BC//AD，∴BC⊥BD，又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PO∩BD=O，∴BC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD．(II)解：OA=√AD2+OD2=√72，∴PO=√PA2−OA2=32．以D为原点，以DA，DB，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是：(0,+∞)由已知f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)=0得，1−lnx =0，∴x =e ∵当0<x <e 时，f ′(x)=1−lnx x 2>0，当x >e 时，f ′(x)=1−lnx x <0∴函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减 故①当0<2m ≤e 即0<m ≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增 ∴f(x)max =f(2m)=ln(2m)2m−1，②当m ≥e 时，f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴f(x)max =f(m)=lnm m−1，③当m<e<2m，即e2<m<e时∴f(x)max=f(e)=1e−1．(3)由(1)知，当x∈(0,+∞)时，f(x)max=f(e)=1e−1，∴在(0,+∞)上恒有f(x)=lnxx −1≤1e−1，即lnxx ≤1e且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤1ex，∵1+nn >0,1+nn≠e，∴ln1+nn <1e⋅1+nn⇒ln(1+nn)e<1+nn即对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn恒成立．解析：(1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；(2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；(3)利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．21.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c．因为S▵F1PF2=12⋅2c⋅b=√3，所以bc=√3，又e=ca =12，a2=b2+c2，所以a=2，b=√3，c=1，所以C的方程为x24+y23=1．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点N(x0,y0)．当k=0时，t=0符合题意．当k ≠0时，由{y =k (x −1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 0=k (x 0−1)=−3k4k 2+3，即N (4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)．因为|TP |=|TQ |， 所以TN ⊥PQ ， 则k TN ⋅k =−1， 所以3k 4k 2+3t−4k 24k 2+3⋅k =−1， 故t =k 24k 2+3=14+3k 2，因为4+3k 2>4， 所以t ∈(0,14)．综上，t 的取值范围为[0,14)．解析：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．(1)由离心率可得a ，c 的关系，由面积可得bc 的关系，由求得a ，b ，故可得答案，(2)设直线PQ 的方程为y =k (x −1)，当k =0时，t =0符合题意．当k ≠0时，联立方程组可得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，结合韦达定理和k TN⋅k=−1，故可得t的取值范围．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x <1}； (2)当x ∈[−a2,1)时，f(x)=|x −2a|+2x +a ， f(x)<g(x)即为|x −2a|<3−a 恒成立， ∵0<a <3，∴3−a >0， ∴a −3<x −2a <3−a ，即3a −3<x <3+a 在x ∈[−a2,1)上恒成立， ∴{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解得0<a <67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|||2}A x N x =∈，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．162．若复数z 满足1iz i+=（其中i 为虚数单位），则z 在复平面的对应点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．定义在R 上的函数||1()()23x m f x -=-为偶函数，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则( )A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．3256．已知向量a ，b 的夹角为3π，且||1a =，|2|3a b -=，则||(b = ) A ．1B ．2C ．3D ．27．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．28．函数21()cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种( ) A ．60B ．90C ．120D ．15010．已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||(MN = )A ．163B ．83C ．2 D11．已知三棱锥P ABC -内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为( )ABCD12．2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，32515()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,3)C ．5(1,)3D ．5(,3)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线221x y xe x =-+在点(0,1)处的切线方程为 ． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆，圆A与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若3(2OM ON O =为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ．16．已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有122(n n a pa p p +=+-为常数，0p ≠且1)p ≠，若2a ，3a ，4a ，5{18a ∈-，6-，2-，6，11，30}，则1a 的所有可能取值的集合是 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设222(sin sin )()sin R A B a c C -=-． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若12b =，8c =，求sin A 的值．18．（12分）已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC的中点，点N 在校BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C --的正弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>2，且过点(1,0)C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点1(3-，0)的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||AB CM =．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水(A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为(01)p p <<．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放． 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验． 化验次数的期望值越小，则方案越“优“．（1）若22p 2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）①若22p =4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p 的取值范围．21．（12分）已知函数()x e f x x lnx x=--．（1）求()f x 的最大值；（2）若1()()1x f x x e bx x++-恒成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．[选修4-5不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++． （1）求不等式()f x m >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ，求m 的取值范围．2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|||2}A x N x =∈，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【思路分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算求出{0A B =，1}，从而可得出AB 子集的个数．【解析】：{|22}{0A x N x =∈-=，1，2}，{|1}B y y =，{0A B ∴=，1}，AB ∴的子集个数为224=个．故选：B ．【总结与归纳】本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的运算，集合子集个数的计算公式．2．若复数z 满足1iz i+=（其中i 为虚数单位），则z 在复平面的对应点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【思路分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：21(1)()1i i i z i i i ++-===--，z ∴在复平面的对应点的坐标为(1,1)-，在第四象限． 故选：D ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【思路分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解析】：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A 错误； 年接待游客量逐年增加，故B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C 正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确； 故选：A ．【总结与归纳】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．4．定义在R 上的函数||1()()23x m f x -=-为偶函数，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则( )A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【思路分析】根据题意偶函数的定义求出m 的值，写出()f x 的解析式，判断函数的单调性，再比较a 、b 、c 的大小．【解析】：定义在R 上的函数||1()()23x m f x -=-为偶函数，则()()f x f x -=，即||||11()2()233x m x m ----=-；所以0m =，所以||1()()23x f x =-，且在[0，)+∞上是单调减函数；又21log 12=-，13110()22<<，0m =；所以13211(log )(())(0)22f f f <<，即a b c <<． 故选：C ．【总结与归纳】本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，是基础题．5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165 B ．185 C ．10 D ．325【思路分析】设阴影部分的面积为S ，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率25P =；，又由几何概型可得9sP =，联立解可得答案．【解析】：根据题意，设阴影部分的面积为S ，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率800220005P ==；而9s P =，则295s =，解可得，185S =；故选：B ．【总结与归纳】本题考查用模拟方法估计概率的大小，涉及几何概型的应用，模拟方法求面积一般针对不规则的图形． 6．已知向量a ，b 的夹角为3π，且||1a =，|2|3a b -=，则||(b = ) A ．1B ．2C 3D ．2【思路分析】把|2|3a b -=两边平方，然后展开数量积求解． 【解析】：由|2|3a b -=，得2222|2|(2)4||4||3a b a b a a b b -=-=-+=， 又向量a ，b 的夹角为60︒，且||1a =，224141||cos60||3b b ∴⨯-⨯⨯︒+=， 整理得：2||2||10b b -+=，解得||1b =． 故选：A ．【总结与归纳】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对22||a a =的运用，是中档题． 7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a ，b 的值并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 3a =，1b = 1n =92a =，2b =不满足条件a b ，执行循环体，2n =，274a =，4b = 不满足条件a b ，执行循环体，3n =，818a =，8b =不满足条件a b ，执行循环体，4n =，24316a =，16b =此时，满足条件a b ，退出循环，输出n 的值为4．故选：B ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．函数21()cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】利用排除法，即可得出结论．【解析】：由题意，21()cos()()21x x f x x f x --+-=-=--，函数是奇函数，排除A ，B ；0x +→，()f x →+∞，排除D ．故选：C ．【总结与归纳】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种( ) A ．60B ．90C ．120D ．150【思路分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者由分步计数原理计算可得答案； 【解析】：根据题意，分2步进行分析 ①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有3115212210C C C A =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有2215312215C C C A =种分组方法， 则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况； 所以不同的安排方式则有256150⨯=种， 故选：D ．【总结与归纳】本题考耷排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论；10．已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||(MN = )A ．163B ．83C ．2D 83【思路分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线22y x =的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB 的长．【解析】：抛物线2:2C y x =的焦点为1(2F ，0)，准线为1:2l x =-，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，M ，N 到准线的距离分别为M d ，N d ，由抛物线的定义可知11||2M MF d x ==+，21||2N NF d x ==+，于是12||||||1MN MF NF x x =+=++． 3PF MF =，∴直线MN 的斜率为3±，1(2F ，0)， ∴直线PF 的方程为13()2y x =±-，将13()2y x =±-，代入方程22y x =，并化简得2122030x x -+=，1253x x ∴+=，于是1258||||||1133MN MF NF x x =+=++=+=．故选：B ．【总结与归纳】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知三棱锥P ABC -内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，3球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为( )A 15B 15C 15D 15【思路分析】设AB 中点为N ，可证CN ⊥平面PAB ，故NPC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，求解三角形得答案．【解析】：设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，则2416S R ππ==球，故2R =， 设M 为ABC ∆的中心，N 为AB 的中点，则OM ⊥平面ABC ，且2OC =，由ABC ∆332NC =，1MC =，223OM OC OM ∴=-PA ⊥平面ABC ，故223PA OM ==，且PA CN ⊥，51PN ∴，又CN AB ⊥，AB PA A =，CN ∴⊥平面PAB ，则15PC =3152sin 15NC NPC PC ∴∠===．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，线面垂直的判定，直线与平面所成角的求法，属于中档题．12．2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，32515()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,3)C ．5(1,)3D ．5(,3)3【思路分析】求出函数()g x 的极值点，结合函数()y f x =的图象和()y g x =的图象，分类讨论，确定m 的范围． 【解析】：令()t g x =，32515()244g x x x m =-++，2215151515()(2)(2)4244g x x x x x x x '=-=-=-， 当(,0)x ∈-∞，(2,)+∞时，函数()g x 递增，当(0,2)x ∈时，函数()g x 递减， 函数()g x 有极大值(0)2g m =+，极小值g （2）3m =-， 若(())y f g x m =-有9个零点，画出图象如下：观察函数()y f t =与y m =的交点，当0m <时，1t >，此时函数()y f t =与y m =最多由3个交点，故不成立，当0m =时，112t =-，22t =，(0)2g =，g （2）3=-，1()g x t =，有三个解，()2g x =有2个解，共5个解不成立； 当3m >时，显然不成立；故要使函数有9个零点，03m <<，根据图象，每个y t =最多与()y g x =有三个交点，要有9个交点，只能每个t 都要有3个交点，当03m <<，()y f t =与y m =的交点，1122t -<<-，2112t -<<，31t >，(0)2(2g m =+∈，5)，g （2）3(3,0)m =-∈-，显然3()g x t =，有三个解，2()g x t =，要有三个解132m -<-，即52m <，1()g x t =有三个解32m -<-，即1m <，综上，(0,1)m ∈， 故选：A ．【总结与归纳】本题考查函数的零点和方程的解的关系，涉及的参数讨论难度较大，综合性强，注意图象与函数的零点，方程的根的结合，中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线221x y xe x =-+在点(0,1)处的切线方程为 1y x =+ ． 【思路分析】求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程． 【解析】：求导函数可得，(1)4x y x e x '=+- 当0x =时，1y '=∴曲线221x y xe x =-+在点(0,1)处的切线方程为1y x -=，即1y x =+．故答案为：1y x =+．【总结与归纳】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题．14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若10a ≠，213a a =，则105SS = 4 ．【思路分析】根据213a a =，可得公差12d a =，然后利用等差数列的前n 项和公式将105SS 用1a表示，化简即可．【解析】：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 由10a ≠，213a a =可得，12d a =， ∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d +=+11112(218)428a a a a +==+，故答案为：4．【总结与归纳】本题考查等差数列前n 项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆，圆A与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若3(2OM ON O =为坐标原点），则双曲线C 的离心率为．【思路分析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解析】：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．则点A 到渐近线0bx ay -=的距离为||AB =r b =，2||b BN c∴=，32OM ON =，25||5||b OB BN c∴==， ||OA a =，42222225b a b a c c∴=+，2242225a c b a b ∴=+，2224()25a c b b ∴-=， 2222555a b c a ∴==-，即2265a c =，=，c e a ∴==， ．【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用：离心率的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．16．已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有122(n n a pa p p +=+-为常数，0p ≠且1)p ≠，若2a ，3a ，4a ，5{18a ∈-，6-，2-，6，11，30}，则1a 的所有可能取值的集合是 {0，2-，66}- ．【思路分析】本题先将递推式进行变形，然后令2n n b a =+，则1n n b pb +=．根据题干有2b ，3b ，4b ，5{16b ∈-，4-，0，8，13，32}．此时只有三种情形：①23450b b b b ====，②根据等比数列的特点有24b =-，38b =，416b =-，532b =，此时2p =-；③当232b =，316b =-，48b =，54b =-时，12p =-．分别求出三种情形下1a 的值即可得到结果．【解析】：由题意，对任意*n N ∈，均有12(2)n n a p a +-=+， 构造数列{}n b ：令2n n b a =+，则1n n b pb +=． 故数列{}n b 是一个以p 为公比的等比数列．2a ，3a ，4a ，5{18a ∈-，6-，2-，6，11，30}， 2b ∴，3b ，4b ，5{16b ∈-，4-，0，8，13，32}．①当23450b b b b ====时，p 可取不为0或1的任意值，满足题意． 此时，23452a a a a ====-，12a =-；②当24b =-，38b =，416b =-，532b =时，2p =-．此时，21422b b p -===-，112220a b =-=-=；③当232b =，316b =-，48b =，54b =-时，12p =-．此时，21326412b b p ===--，11264266a b =-=--=-． 1a ∴的所有可能取值的集合是{0，2-，66}-．故答案为：{0，2-，66}-．【总结与归纳】本题主要考查数列的递推式，以及由递推式得出数列的特点，等比数列的性质，本题属中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设222(sin sin )()sin R A B a c C -=-． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若12b =，8c =，求sin A 的值．【思路分析】()I 由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B ，进而可求B ，()II 由已知及正弦定理，sin sin b cB C=，可求cos C ，然后结合诱导公式及两角和的正弦公式可求． 【解析】：(22)2(sin sin )()sin I R A B a c C -=-，2222(sin sin )()sin 2R R A B a c C R ∴-=-， 即：222a c b ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==．因为0B π<<，所以3B π∠=，()II 若12b =，8c =，由正弦定理，sin sin b cB C=，3sin 3C =， 由b c >，故C ∠为锐角，6cos 3C =，∴3613323sin sin()sin()323236A B C C π+=+=+=+=． 【总结与归纳】本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理及诱导公式在解三角形中的应用，属于中档试题．18．（12分）已知三棱锥M ABC -中，22MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC的中点，点N 在校BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C --的正弦值．【思路分析】（1）只需证明OB AC ⊥及OB OM ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可． 【解析】：(1)如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥． 在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且6OM =． 在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB += 根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥， 故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示．因为22MA MB MC AC ====，2AB BC == 则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M ， 由23BN BC =所以，222(N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则252252(,,0)(,,)0,333(0,2,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z y z ⎧==+=⎪⎨⎪==+=⎩令3y =，得(53,3,1)m =--，因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB =为平面AMC 的法向量， 所以(53,3,1)m =--与(2,0,0)OB =所成角的余弦为5653cos ,79279m OB --<>==．所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1()7979m OB -<>=-==【总结与归纳】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法，考查空间向量在立体几何中运用，属于常规题目．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，且过点(1,0)C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点1(3-，0)的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||AB CM =．【思路分析】()I 由题意知1b =，c a =222a b c =+解得，a ，然后求解椭圆方程． （Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积判断求解即可．【解析】：()I 由题意知1b =，c a =又因为222a b c =+解得，a =所以椭圆方程为2212y x +=．（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y由221312x ty y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22(918)12160t y ty +--=，且△0>． 则12212212,91816,918t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩又因为11(1,)CA x y =-，22(1,)CB x y =-，2212121212121222444161641216(1)(1)()()(1)()(1)0333991839189t t CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y t t t -=--+=--+=+-++=+-+=++，所以CA CB ⊥．因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =．【总结与归纳】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水(A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为(01)p p <<．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放． 现有以下四种方案：方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验． 化验次数的期望值越小，则方案越“优“．（1）若p 2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）①若p =4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p 的取值范围．【思路分析】(1)利用概率的乘法，求解混合样本达标的概率，根据对立事件原理，求解不达标的概率．(2)()i 方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：方案二的检测次数记为2ξ，2ξ的可能取值为2，4，6．求出概率，得到分布列，求解期望；方案四：混在一起检测，记检测次数为4ξ可取1，5．求出概率得到分布列，求解期望；比较期望选择方案四最“优”．()ii 方案三：设化验次数为3η，3η可取2，5．求出概率得到分布列，然后求解期望， 方案四：设化验次数为4η，4η可取1，5，求出概率得到分布列，然后求解期望，34343()()5354E E p p p ηη<⇔-<-⇔<．故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．【解析】：(1)该混合样本达标的概率是289=，所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=．(2)()i 方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由（1）知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19．故方案二的检测次数记为2ξ，2ξ的可能取值为2，4，6．可求得方案二的期望为219822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为4ξ，4ξ可取1，5．可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=． 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．)ii 方案三：设化验次数为3η，3η可取2，5．3333()25(1)53E p p p η=+-=-； 4η，4η可取1，54444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<． 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”． 【总结与归纳】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，对立事件的概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21．（12分）已知函数()x e f x x lnx x=--．（1）求()f x 的最大值；（2）若1()()1x f x x e bx x++-恒成立，求实数b 的取值范围．【思路分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值即可．（2）1()()1xf x x e bx x++-⇔1()x min xe lnx x b x --+⇔，令1()x xe lnx x x x ϕ--+=，2()x x e lnxx xϕ+'=，令2()x h x x e lnx =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()0x h x x e lnx =+=，推出()x ϕ在0(0,)x 减，在0(x ，)+∞增，求出最小值得到2b ． 【解析】：（1）()xe f x x lnx x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x ---'=--=， 由1x e x x +>，()f x 在(0，1]增，在(1,)+∞减，()max f x f =（1）1e =-．（2）111()()1110()x x x x x x x min e e xe lnx x xe lnx xf x x e bx lnx x xe bx lnx x xe bx b bx x x x x--+--+++-⇔-+-++-⇔-++--⇔⇔，令1()x xe lnx x x x ϕ--+=，2()x x e lnxx xϕ+'=，令2()x h x x e lnx =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0x →，()h x →-∞，h （1）0()e h x =>在(0,1)存在零点0x ，即02000()0x h x x e lnx =+=，0001200000010()()ln x x x lnx x e lnx x e ln e x x +=⇔=-=， 由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001x ln lnx x ==-，即001x e x =， ()x ϕ在0(0,)x 减，在0(x ，)+∞增，00000000111()2x min x e lnx x x x x x x ϕ--++-+===， 所以2b ．【总结与归纳】本题考查了导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，同时考查了恒成立问题及二阶求导问题，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．【思路分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解析】：()I 将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =， 所以曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=． （Ⅱ）不妨设点A ，B 的极坐标分别为1212(,),(,),0,02A B πρθρθρρ+>>， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 2212111174312ρρ+=+=，即22117||||12OA OB +=．【总结与归纳】本题考察知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++．（1）求不等式()f x m >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ，求m 的取值范围．【思路分析】（1）可由不等式()f x m >得出|1|21|x x ->+，两边平方，然后解出x 的范围即可；（2）可设1221()|1||21|31221x x g x x x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=--+=--<⎨⎪-->⎪⎪⎩，可求出(2)(0)0g g -==，(3)1g -=-，(4)2g -=-，g （1）3=-，根据()g x 的单调性及恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n 可得出(3)0(4)0f f -⎧⎨-<⎩，从而可求出m 的范围． 【解析】：（1）由()f x m >，得|1||21|0x x --+>，即|1||21|x x ->+，不等式两边同时平方，得22(1)(21)x x ->+，即220x x +<，解得20x -<<，∴不等式()f x m >的解集为{|20}x x -<<；（2）设()|1||21|g x x x =--+，1221()31221x x g x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=--<⎨⎪-->⎪⎪⎩， (2)(0)0g g -==，(3)1g -=-，(4)2g -=-，g （1）3=-，又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ，∴(3)0(4)0f f -⎧⎨-<⎩，即1020m m -+⎧⎨-+<⎩，解得12m <， 故m 的取值范围为[1，2)．【总结与归纳】本题考查了绝对值不等式的解法，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数、分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于中档题．。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广东省高考数学一模试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ） A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3}2．复数z =4+3i3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1B ．2C ．5D ．13．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．﹣7B ．3C ．5D ．74．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数f （x ）＝cos （2x ﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或以上6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A．1920003cm3B．1600003cm3C．160003cm3D．640003cm37．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．已知(1+xm)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1＝3，a2＝4，则m＝（）A．1B．3C．2D．49．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且∠PAQ=5π6，则该双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．√213D．√1310．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足2√S n=a n+1，则数列{a n﹣7}的前n项和T n的最小值为（）A．−494B．−72C．72D．﹣1211．已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（）A．3227√3πB．323πC．329√3πD．163π12．已知f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f（1）＝0，且当x∈（0，π2）时，f（x）+f′（x）tan x＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，π2）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（−π2，﹣1）∪（1，π2）D．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）＝mx2lnx，若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线ex+y+2020＝0平行，则m ＝ ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，若数列{b n }满足b n •S n ＝1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10= ．15．已知A （3，0），B （0，1），C （﹣1，2），若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|最大值为 ．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线2√2x ﹣y ﹣3＝0的距离的最小值为 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A2． （1）求内角A 的大小；（2）若AB ＝5，BC ＝7，求BC 边上的高．18．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB ＝1，AA 1＝2．（1）证明：CD ∥平面A 1EB ； （2）求二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值．19．已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x ＝2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点． （1）求证：OP →⋅OM →为定值；（2）是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 20．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内存在零点，求实数m的取值范围．21．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a（0＜a＜0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．（1）证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P（ξ＝1）的值最大．（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i＝1，2，3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i＝P（ξ＝i）（i＝1，2，3），且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B ，即可判断结论．解：∵集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}， 要满足A ∩∁U B ＝{1，2}； 则1，2∉B ，故符合条件的选项为C ． 故选：C ． 2．复数z =4+3i3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1B ．2C ．5D ．1【分析】利用复数的运算法则即可得出． 解：∵z =4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i ， ∴复数z =4+3i3−4i 的虚部是1， 故选：D ．3．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．﹣7B ．3C ．5D ．7【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分：由{x =2x −y =−1，得A （2，3）， 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大，z 越大， 由图数形结合可得当动直线过点A 时，z 最大＝2×2+3＝7． 故选：D ．4．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．解：当0＜x＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．5．将函数f（x）＝cos（2x﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个或以上【分析】先根据平移法则求出平移后的图象解析式，再根据零点定义即可求出．【解答】解；设函数f（x）＝cos（2x﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数为g （x ），∴g （x ）＝f （x +1）＝cos （2x +1） 令t ＝2x +1，x ∈[0，12]，∴t ∈[1，2]由g （x ）＝0，所以2x +1=π2，方程只有一个解． 故选：B ．6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ） A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3， ∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N （98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544 A ．1500名B ．1700名C ．4500名D ．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论． 解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N （98，100）．∵μ＝98，σ＝10， ∴P （ξ≥108）＝1﹣P （ξ＜108）＝1﹣Φ（108−9810）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%． ∴9450×15.87%≈1500 故选：A ．8．已知(1+xm )n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1＝3，a 2＝4，则m ＝（ ） A ．1B ．3C ．2D ．4【分析】根据通项求出第二、三项的系数，列方程组求出m 的值． 解：二项式展开式的通项为：T k+1=1m k C nk x k ． 当k ＝1，2时，可得{a 1=1m C n 1=3a 2=1m2C n 2=4，解得n ＝9，m ＝3． 故选：B ．9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，且∠PAQ =5π6，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√213D ．√13【分析】由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P ，Q 的坐标，得到∠F 2AQ =π3，则tan π3=b 2a=√3，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y =bax ，联立{y =ba xx 2+y 2=c2，解得x P ＝﹣a ，x Q ＝a ，∴Q （a ，b ），且AP ⊥x 轴，∵∠PAQ =5π6，∴∠F 2AQ =π3，则tanπ3=b 2a=√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝12a 2，得e 2＝13，即e =√13． 故选：D ．10．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2√S n =a n +1，则数列{a n ﹣7}的前n 项和T n 的最小值为（ ） A ．−494B ．−72C ．72D ．﹣12【分析】根据a n ＝S n ﹣S n ﹣1求得数列{a n }的通项公式，则可以推出a n ﹣7＝2n ﹣8，通过分组求和法求得数列{a n ﹣7}的前n 项和T n ，通过二次函数的最值求得T n 的最小值． 解：2√S n =a n +1， ∴S n =(a n +12)2，S n−1=(a n−1+12)2， a n ＝S n ﹣S n ﹣1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−14，化简得：2（a n +a n ﹣1）=a n 2−a n−12，正项数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2． n ＝1时，2√S 1=a 1+1， ∴a 1＝1．∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． a n ＝1+2×（n ﹣1）＝2n ﹣1． a n ﹣7＝2n ﹣8，T n ＝2×1﹣8+2×2﹣8+2×3﹣8+…+2n ﹣8 =2×n(n+1)2−8n =n 2﹣7n =(n −72)2−494， ∵n ∈N *，n ＝3或n ＝4时，T n 的最小值为﹣12． 故选：D ．11．已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为（）A．3227√3πB．323πC．329√3πD．163π【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中有勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√4−1=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD中，R2＝r2+（PD﹣R）2，即R2＝1+（√3−R）2，解得：R=√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故选：A．12．已知f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f（1）＝0，且当x∈（0，π2）时，f（x）+f′（x）tan x＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，π2）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（−π2，﹣1）∪（1，π2）D．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g（x）＝f（x）sin x，g′（x）＝[f（x）+f′（x）tan x]•cos x，当x∈（0，π2）时，根据f（x）+f′（x）tan x＞0，可得函数g（x）单调递增．又g（1）＝0，可得x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）sin x＜0，sin x＜0，解得f（x）＜0．x＝0时，f（0）＝0，舍去．根据f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g（x）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行， ∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13． 故答案为：−13．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，若数列{b n }满足b n •S n ＝1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10= 2046 ．【分析】数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，利用求和公式：S n ．由数列{b n }满足b n •S n ＝1，可得b n =1S n．进而得出b n +1b n，再利用等比数列的求和公式即可得出．解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，∴S n =2n−12−1=2n ﹣1．若数列{b n }满足b n •S n ＝1，∴b n =1S n=12n−1． ∴b n +1b n=2n ．则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=2+22+……+210=2(210−1)2−1=211﹣2＝2046．故答案为：2046．15．已知A （3，0），B （0，1），C （﹣1，2），若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|最大值为 √13+1 ．【分析】根据|AP →|=1，易知P 点在以A （3，0）为圆心，1为半径的圆上，设P （3+cos θ，sin θ），通过坐标表示出OB →+OC →+OP →，再根据模长公式求解．解：由题，点P 满足|AP →|=1，说明P 点在以A （3，0）为圆心，1为半径的圆上， 设P （3+cos θ，sin θ），则OB →+OC →+OP →=（2+cos θ，3+sin θ），∴||=√(2+cosθ)2+(3+sinθ)2=√14+2√13sin(θ+φ)（tan φ=23），根据三角函数的值域，可知|OB →+OC →+OP →|最大值为√13+1． 故答案为：√13+1．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线2√2x ﹣y ﹣3＝0的距离的最小值为√23．【分析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，由题意求出直线l 的方程，代入抛物线的方程求出A ，B 的坐标，由题意求出M 的坐标，求出线段AF 的中垂线，及AM 的中垂线，两条直线的交点为三角形AMF 的外接圆的圆心，及半径，求出圆心到直线√2x −y ﹣3＝0的距离d ，则可得圆上到直线的最小距离为d ﹣r ． 解：由抛物线的方程可得焦点F （0，1），准线方程y ＝﹣1， 因为直线l 过点F 且倾斜角为5π6，则直线l 的方程为：y =−√33x +1，直线与抛物线联立{y =−√33x +1x 2=4y，整理可得x 2+4√33x ﹣4＝0，解得x 1=2√3，x 2=6√3，可得y 1=13，y 2＝3， 即A （√3，3），由题意可得M （√3，﹣1），可得△ABF 的外接圆的圆心N 直线线段AM 的中垂线上，y ＝1上，又在线段AF 的中垂线上，而AF 的中点（−√3，2），y ﹣2=√3（x +√3）即y =√3x +5， 联立{y =1y =√3x +5解得：N （√3，1），所以圆心坐标为（√3，1），半径r =4√33，圆心到直线的距离d =|−4√2√3−1−3|√3=4√23+4√33，所以外接圆上的点到直线的距离√2x ﹣y ﹣3＝0的最小距离为d ﹣r =4√23，故答案为：4√23．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A 2． （1）求内角A 的大小；（2）若AB ＝5，BC ＝7，求BC 边上的高．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果． （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）在△ABC 中，sin （B +C ）＝sin A ，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A 2． 所以√3sinA =1−cosA ，则：sin(A +π6)=12，由于A ∈（0，π），所以A +π6∈(π6，7π6)， 则：A =2π3．（2）由于A =2π3，AB ＝5，BC ＝7， 由余弦定理得：72＝AC 2+52﹣10AC ，解得AC ＝3（﹣8舍去）． 则：S △ABC =12×AB ×AC ×sin 2π3=15√34．设BC 边上的高为h ，所以12×BC ×h =15√34，解得h =15√314．18．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB ＝1，AA 1＝2．（1）证明：CD ∥平面A 1EB ； （2）求二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值．【分析】（1）取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ，推导出四边形CDEF 是平行四边形，从而CD ∥=EF ，由此能证明CD ∥平面A 1EB ． （2）推导出CD 、BD 、DF 两两垂直，以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值． 解：（1）证明：取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ， ∵D 、F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF ∥=12A 1A ，∵A 1A ∥=C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF ∥=EC ， ∴四边形CDEF 是平行四边形，∴CD ∥=EF ， ∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD ∥平面A 1EB ．（2）解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ， ∴A 1A ⊥CD ，由（1）知DF ∥A 1A ，∴CD 、BD 、DF 两两垂直，∴以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），B （12，0，0），E （0，√32，1），A 1（−12，0，2），∴BE →=（−12，√32，1），DE →=（0，√32，1），A 1E →=（12，√32，﹣1），设平面A 1DE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅A 1E →=12x +√32y −z =0n →⋅DE →=√32y +z =0，取z =√3，得n →=（4√3，﹣2，√3）， 设平面A 1BE 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅A 1E →=12a +√32b −c =0m →⋅BE →=−12a +√32b +c =0，取c ＝1，得m →=（2，0，1）， 设二面角B ﹣A 1E ﹣D 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=9√3355．∴二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值为9√3355．19．已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x ＝2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点．（1）求证：OP →⋅OM →为定值；（2）是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 【分析】（1）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设M ，P 的坐标，可得AP ，AM 的斜率相等，求出数量积OP →⋅OM →，由k AP •k BP =y 02x 02−4=−12，可得M ，P 的坐标的关系，进而可得OP →⋅OM →为定值．（2）假设存在Q 满足条件，因为以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ →⋅BP →=0，由（1）可得整理得n （x 0﹣2）＝0，再由x 0≠2可得n ＝0，解：（1）证明：由椭圆的方程可得：A （﹣2，0），B （2，0），设M （2，m ），P （x 0，y 0），（m ≠0，x 0≠±2）， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42，又k AP =y 0x 0+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y 0x 0−2，所以k AP •k BP =y 02x 02−4=−12， 又m 4⋅y 0x 0−2=−12，整理可得2x 0+my 0＝4，所以OP →⋅OM →=2x 0+my 0＝4为定值．（2）假设存在定点Q （n ，0）满足要求，设M （2，m ），P （x 0，y 0），（m ≠0，x 0≠±2），则以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ →⋅BP →=0， 所以（n ﹣2，﹣m ）•（x 0﹣2，y 0）＝nx 0﹣2n ﹣2x 0+4﹣my 0＝0，① 由（1）得2x 0+my 0＝4，②，由①②可得n （x 0﹣2）＝0，因为x 0≠2，解得n ＝0，所以存在x 轴上的定点Q （0，0），使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．20．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内存在零点，求实数m的取值范围．【分析】（1）将m＝0带入，求导得f′（x）＝e x﹣e，再求出函数f（x）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x），对函数g（x）求导后，分m＝0，m＜0及m＞0讨论，m＝0时容易得出结论，m＜0时运用零点存在性定理可得出结论，m＞0时运用放缩思想，先证明e x＞ex，进而可得f（x）＞0在（0，1）上恒成立，由此得出结论，以上情况综合，即可求得实数m的取值范围．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，①当m＝0时，f（1）＝0，由（1）知f（x）在区间（0，1）上没有零点；②当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在零点；③当m＞0，x∈（0，1）时，令h（x）＝e x﹣ex，则h′（x）＝e x﹣e，∵在x∈（0，1）上，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴h（x）＞h（1）＝0，即e x＞ex，∴f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2＞ex+（m﹣e）x﹣mx2＝m（x﹣x2）＞0，∴f（x）在（0，1）上没有零点；综上，要使f（x）在（0，1）上内存在零点，则m的取值范围为（﹣∞，0）．21．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a（0＜a＜0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．（1）证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P（ξ＝1）的值最大．（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i＝1，2，3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i＝P（ξ＝i）（i＝1，2，3），且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【分析】（1）每个勘探小组共有3名人员，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再依据相互独立事件的概率求出每个ξ的取值所对应的概率，并用作差法逐一比较P（ξ＝1）与P（ξ＝0）、P（ξ＝2）、P（ξ＝3）的大小关系即可得证；（2）先根据（1）中的结论比较P（ξ＝2）和P（ξ＝3）的大小，可得到t1＞t2＞t3，故而可猜想出结论，再进行证明．证明时，设三个小组A i（i＝1，2，3）按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η＝1，2，3，然后求出η的分布列和数学期望，只需证明数学期望E（η）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2≥3﹣2t1﹣t2+t1t2成立即可，这一过程采用的是作差法，其中用到了因式分解的相关技巧．解：（1）由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣0.6）•（1﹣a）2＝0.4（1﹣a）2，P（ξ＝1）=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P（ξ＝2）=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P（ξ＝3）＝0.6a2．∵0＜a＜0.4，∴P（ξ＝1）﹣P（ξ＝0）＝0.2（1﹣a）（1+3a）＞0，P（ξ＝1）﹣P（ξ＝2）＝0.2（3a2﹣8a+3）＞0，P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝﹣0.2（4a2+2a﹣3）＞0，∴概率P（ξ＝1）的值最大．（2）由（1）可知，当0＜a＜0.4时，有t1＝P（ξ＝1）的值最大，且t2﹣t3＝P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）＝0.2a（6﹣7a）＞0，∴t1＞t2＞t3，∴应当以A1，A2，A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1，p2，p3为t1，t2，t3（t1＞t2＞t3）的任意一个排列，即若三个小组A i（i＝1，2，3）按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η＝1，2，3，且η的分布列为η123P p1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）∴数学期望E（η）＝p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2下面证明E（η）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2≥3﹣2t1﹣t2+t1t2成立，∵（3﹣2p1﹣p2+p1p2）﹣（3﹣2t1﹣t2+t1t2）＝2（t1﹣p1）+（t2﹣p2）+p1p2﹣p1t2+p1t2﹣t1t2＝2（t1﹣p1）+（t2﹣p2）+p1（p2﹣t2）+t2（p1﹣t1）＝（2﹣t2）（t1﹣p1）+（1﹣p1）（t2﹣p2）≥（1﹣p1）（t1﹣p1）+（1﹣p1）（t2﹣p2）＝（1﹣p1）[（t1+t2）﹣（p1+p2）]≥0，∴按照完成任务概率从大到小的A1，A2，A3的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=|1−2×(−2)−1|√1+(−2)2=4√5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=√5．由于点O到C1的距离d2=√12+(−2)2=√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×√5√5=35．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。
2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)
2绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z =1+i ,则22z z -=()A ．0B ．1C ．D ．2解：z =1+i ⇒z 2-2z=z (z -2)=(1+i )(i -1)=i 2-12=-2⇒|z 2-2z|=2.选D ．2．设集合A ={x |x 2-4≤0}，B ={x |2x +a ≤0},且A∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4解：A=[-2,2],B=(-∞,2a -],A ∩B=[-2,1]⇒2a-=1⇒a=-2.选B ．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514 B.512- C.514+ D.512解：设正四棱锥的底面边长为a ,高为h ，斜高为b ,则222211154210224b b b ab h b a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⇒--=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（舍负）.选 C.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．9解：91262pp +=⇒=.选C.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi ,yi )（i =1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A .y =a +bxB .y =a +bx 2C .y =a +bexD ．y =a +b ln x解：选D ．6.函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为（）A ．y =-2x -1B ．y =-2x +1C .y =2x -3D ．y =2x +1解：'32'()46,(1)1,(1)2f x x x f k f =-=-==-∴切线方程为(1)2(1)y x --=--,即21y x =-+.选B ．7.设函数f (x )=cos()6x πω+在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.109πB.76πC.43π D.32π解：由图可知T<π-(-π)<2T,即222212πππωωω<<⨯⇒<<又42,962k k Z πππωπ⎛⎫-+=-∈ ⎪⎝⎭⇒92(2),43k k Z ω=-∈∴当0k =时，32ω=，从而43T π=，选C ．8.()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20解：()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含x 3y 3的项为22234455y xC x y C x yx +∴()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为245515C C +=,选C ．9．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α=（）A.53B.23 C.13 D.593cos2α-8cos α=5⇒3（2cos 2α-1）-8cos α-5=0⇒（3cos α+2)(cos α-2)=0∴cos α=23-这里α∈(0,π)，所以2225sin 1cos 1()33αα=-=--，选A.10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，O 1为△ABC 的外接圆．若O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π解：设AB =BC =AC =OO 1=a ，则O 1A=33a r =又22234123O S r a πππ⎛⎫===⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ ，从而24r =在Rt∆O 1OA 中，22216R a r =+=2464S R ππ==球选A.11.已知M ::x 2+y 2-2x -2y -2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM ||AB|最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x -y -1=0B ．2x +y -1=0C ．2x -y +1=0D ．2x +y +1=0解：22:(1)(1)4M x y -+-= 的圆心为M （1，1），半径为2PA ，PB 是 M 的切线，设PM ∩AB=C ，则PA ⊥AM ，PM ⊥ABAC AMRt PAM Rt ACM PA PM∆∆⇒= ，即1224ACAM PM AB AM PA PA PA PM =⇒== 当|PM||AB |最小时，PA 最小，此时，PM ⊥l ，AB //l,22521PM ==+由2AM MC MP = ，即225MC =，得5MC =∴555PC PM MC =-==设AB:2x+y+c =0155c =⇒=∴AB:2x+y+1=0，选D ．12.若242log 42log aba b +=+，则（）A ．a ＞2bB ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2解：显然2()2log xf x x =+是R +上的增函数若a <2b ，则()(2)f a f b <，即2222log 2log 2aba b +<+………………………❶又22422log 42log 2log a b b a b b+=+=+………………………………………❷❶-❷得220log 2log 1b b <-=怛成立，选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，集合，则A. B. C. D.2.下列函数中为奇函数的是A. B. C. D.3.已知复数，则z的共轨复数A. B. C. D.4.已知是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是A. B.C. D.5.将直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的方程为A. B.C. D.6.已知数列为等比数列，若，，则A. B. 8 C. D. 167.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.已知过原点O的直线l与曲线C：相切，则l的斜率为A. B. C. D. e9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数或表示零时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为A. B. C. D.10.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则的最小面积为A. 1B.C. 2D. 411.已知定义在R上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：；函数在上有且仅有3个极值点；函数在上单调递增；函数的最小正周期是2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点，A，C，为顶点的四面体中，棱AC、的中点分别为E、F，若，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记为等差数列的前n项和，若，则数列的公差为______．14.某地为了解居民的每日总用电量万度与气温之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温19139每日总用电量万度24343864经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为时，该地当日总用电量万度为______．15.已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为______．16.已知点、分别为双曲线C：的左、右焦点，点为C的渐近线与圆的一个交点，O为坐标原点，若直线与C的右支交于点N，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数．求函数的最小正周期；已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求的面积．18.已知三棱柱的所有棱长都相等，平面平面ABC，C.求证：平面；求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线交于点N．求椭圆C的方程；是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．20.某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉即减去一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为；每答对一题加分，答错既不加分也不减分；答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？参考数据：；若，则，，．21.已知函数．当时，求的导函数在上的零点个数；若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，，，，，弧所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．分别写出，的极坐标方程：点E，F位于曲线上，且，求面积的取值范围．23.已知．若，求实数t的取值范围；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，集合，故选：C．求出集合A，集合B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为R，有，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于C，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于D，，有，解可得，即其定义域为，有，为奇函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．3.答案：C解析：解：，复数，的共轨复数．故选：C．直接利用复数运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：A解析：解：函数对数和在上单调递增，且，，又，，故选：A．利用对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5.答案：D解析：解：直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，设直线的斜率为k，则根据到角公式的应用，，解得，所以直线的方程为，整理得．故选：D．直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：A解析：解：数列为等比数列，若，所以：，由于，所以，整理得．故选：A．直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：D解析：解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故．故选：D．首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由题意设切点为，，．，由切线过原点得，所以，所以．故选：B．设切点为，然后利用导数求出切线方程，将代入即可求出切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．9.答案：C解析：解：选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，这个数能被3整除的概率为．故选：C．基本事件总数，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：设，，设P在x轴上方，由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，联立直线与抛物线的方程，整理可得，，，因为M为PF的中点，所以，所以，所以，故选：B．由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立球心两根之和及两根之积，可得PF的中点M的纵坐标，由，整理可得由，而为定值可得的面积的最小值本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：曲线关于点对称，所以：；又因为其图象关于直线对称，所以：，；由可得：即，；因为数在上有且仅有3个零点，所以，即，；由可得；，，又，；；所以易知；错误；令，则，；令，则可取，1，2；，，；正确；令；；当时，为的一个递增区间，而，在上单调递增，正确；；；错误．综上所述，其中正确的结论为；故选：A．先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题目．12.答案：B解析：解：如图，由已知可得，，且，平面，是AC的中点，到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，同理可知，到点、D的距离相等的点位于平面ACF内，球心O到点A，，C，D的距离相等，球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上．球心O落在线段EF上不含端点E、，显然，由题意，，则，且．，，则，显然，，即．又，．故选：B．由题意画出图形，可证平面，得到球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合，，可得线段EF长度的取值范围．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．13.答案：解析：解：设等差数列的公差为d．，，则数列的公差．故答案为：．利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：32解析：解：由题意可知：，，所以，解得．线性回归方程，预测气温为时，可得．故答案为：32．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．15.答案：3解析：解：以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，．故答案为：3．以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出C、D、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍，考查学生的运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，由题意可得，直线与圆O相切于点M，且，由双曲线的定义可知，，，且，，即，，又，联立解得，即．故答案为：．由题意画出图形，可得直线与圆O相切于点M，且，再由双曲线的定义及隐含条件列式求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：，函数的最小正周期；，，，，即，由正弦定理以及可得，由余弦定理可得，可得，，．解析：根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出；先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，根据三角形的面积公式可得．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：设直线与直线交于点G，连结，四边形是菱形，，，G为的中点，，，平面．解：取BC中点O为坐标原点，如图，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱柱的棱长为2，则1，，0，，0，，，0，，1，，2，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面的一个法向量为b，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：设直线与直线交于点G，连结，推导出，，由此能证明平面．取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.答案：解：由题意可得，即，，，解得，，则椭圆C的方程为；假设存在实数，使得为定值．由题意可得直线l的斜率存在，由，可设直线l的方程为，，联立，可得，由韦达定理可得，即，，即，将代入，可得，则，若为定值，则，解得，此时为定值，所以存在实数，使得为定值．解析：由题意可得，运用椭圆的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到椭圆方程；假设存在实数，使得为定值．可设直线l的方程为，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将代入，求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思维能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：人，其中成绩优良的人数为人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，则恰有1人预赛成绩优良的概率：．由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，又由，，，估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：，即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由于，当时，取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．解析：求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：易知，显然，所以是的一个零点，令，则时，，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为，又，且，所以在上存在唯一零点，则在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为3；不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于设，当时，，令则，已知，，且，则在，上单调递减，在上单调地增，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，则，显然函数为偶函数，故函数在上的最大值为1，因此，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．解析：易知，显然，对导函数求导得到，在单调递减，在单调地增，则可得在上存在唯一零点，所以在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，故共3个零点；条件等价于不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，则若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于，构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围．本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题．22.答案：解：由题意可知：的极坐标方程为．记圆弧AD所在圆的圆心易得极点O在圆弧AD上．设为上任意一点，则在中，可得所以：，的极坐标方程为和设点，点，，所以，．所以．由于，所以．故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧，本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，取等号的条件为，解得，即实数t的取值范围为；证明：易知，，，，．解析：利用绝对值不等式的性质可得，解出即可；利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。
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2020年高考数学一模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分） i是虚数单位，复数的虚部为（）
A . 2i
B . -2
C . i
D . 1
2. （2分）已知集合，则
A .
B .
C .
D .
3. （2分）三个数0.60.7 ， 0.70.6 ， log0.76的大小顺序是（）
A . ＜＜
B . ＜＜
C . ＜＜
D . ＜＜
4. （2分）在中，,，则面积为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q：∃x∈R，sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是（）
A . p∧q
B . p∨q
C . （￢p）∨q
D . （￢p）∧（￢q）
6. （2分）(2017·揭阳模拟) 某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）
A . 3
B . 4
C . 6
D . 12
7. （2分）阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
8. （2分） (2017高二下·黄陵开学考) 若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点P 在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）
A . 11
B . 9
C . 5
D . 3
9. （2分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A . f（x）=sinx
B . f（x）=+1
C . f（x）=lnx
D . f（x）=cosx
10. （2分）数列的前项和为（）．
A .
B .
C .
D .
11. （2分）如图是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣，]上的图象，将该图象向右平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于直线x=对称，则m的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）函数在x=1处取得极值，则等于（）
A . 2
B . -2
C . 4
D . -4
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2017高二下·赤峰期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则
________．
14. （1分）(2017·上海模拟) 若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为________．
15. （1分）(2017·泸州模拟) 当实数x，y满足不等式组时，ax+y+a+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
16. （2分）(2019·浙江模拟) 设数列{an}的前n项和为Sn ．若S2＝6，an+1＝3Sn+2，n∈N* ，则a2＝________，S5＝________．
三、解答题 (共7题；共60分)
17. （5分） (2017高一下·西安期中) 已知函数y=acosx+b的最大值为1，最小值为﹣3，试确定
的递增区间．
18. （10分）每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2016年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．
（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；
（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为元，求的分布列和数学期望．
19. （10分）(2017·鞍山模拟) 如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边且AD= ，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若在线段AC上存在一点E，使ED与平面BCD成30°角，试求二面角A﹣BD﹣E的大小．
20. （10分） (2017高二上·佳木斯月考) 若椭圆上有一动点，到椭圆的两焦点的距离之和等于，椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于不同两点，（0为坐标原点），且，求实数的取值范围.
21. （10分） (2018高二下·如东月考) 已知函数，（）
（1）若，求曲线在处的切线方程.
（2）对任意，总存在，使得（其中为的导数）成立，求实数的取值范围.
22. （5分）(2017·福州模拟) 在极坐标系中，曲线C1：ρsin2θ=4cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x
轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为：，（θ∈[﹣， ]），曲线C：
（t为参数）．
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）C与C1相交于A，B，与C2相切于点Q，求|AQ|﹣|BQ|的值．
23. （10分）已知函数 .（1）
若不等式恒成立,求 a 的取值范围;（2）
当 a=2 时,求：不等式的解集.
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、21-1、
21-2、
22-1、23-1、
23-2、。