上海市2021届高考数学考点全归纳

2021上海高考数学考点笔记大全

1．上海高考数学重难点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。

难点：函数、数列、圆锥曲线。

2．上海高考数学考点：

（1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。

（2）不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。

（3）函数：函数的定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。

（4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、万能公式、辅助角公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、反三角函数、最

简三角方程。

（5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、坐标运算、数量积、三角形“四心”及其应用。

（6）数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。

⑺直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、直线与圆的位置关系。

（8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。

（9）立体几何与空间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何体的三视图与直观图、几何体的表面积与体积、空间向量。

（10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。

（11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中位数、众数、频率分布直方图。

（12）复数：复数的概念与运算、复数的平方根与立方根计算、实系数一元二次方程。

（13）矩阵与行列式初步：二元线性方程组、矩阵的基本运算、二阶行列式、三阶行列式、对角线法则、余子式与代数余子式。

（14）算法初步：流程图、算法语句、条件语句、循环语句。

第一章 集合和命题

1. 集合及其表示法

能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；

集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；

集合常用大写字母A B C 、、…表示，集合中的元素用小写字母a b c 、、…表示；如果a 是集合A 的元素，就 记作a A ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作a A ?，读作“a 不属于A ”；

数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作Ν，不包括零的自然数组成的集合，记作*Ν；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示

为+

-

+

-

+

-

Z Z Q Q R R 、、、、、；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合； 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作?.

集合的表示方法常用列举法和描述法；将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法 叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{|A x x =满足性质}p ，这种表示集合的方法叫做描述法.

2. 集合之间的关系

对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ?或B A ?，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”；空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若A B ?，不要遗漏A =?的情况；

对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集个数为21n -，非空真子集的个数为22n -；

用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；

对于两个集合A 和B ，如果A B ?且B A ?，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A B =，读作“集合A 等于 集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；

对于两个集合A 和B ，如果A B ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ?≠B 或B ?≠A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”

； 对于数集N Z Q R 、、、来说，有N ?≠Z ?≠Q ?≠R ；

3. 集合的运算 一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A B ，读作

“A 交B ”，即{A

B x x A =∈且}x B ∈；

由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作A B ，读作“A 并B ”

，即{A

B x x A =∈或}x B ∈；

在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；

设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作

U C A ，读作“A 补”，即{},U C A x x U x A =∈?；

德摩根定律：()U U U C A

B C A C B =；()U U U C A B C A C B =；

容斥原理：用||A 表示集合A 的元素个数，则||||||||A B A B A B =+-；

||||||||||||||||A B C A B C A B B C C

A A

B

C =++---+；

4. 命题 可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；

如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，记作αβ?，读作“α推出β”，换言之，αβ?表示以α为条件、β为结论的命题是真命题；

如果αβ?，并且βα?，那么记作αβ?，叫做α与β等价；推出关系满足传递性：αβ?，βγ?，那么αγ?；一个数学命题用条件α，结论β表示就是“如果α，那么β”，如果把结论和条件互相交换，就得到一个新命题“如果β，那么α”，这个命题叫做原命题的逆命题；

一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果把α、β的否定分别记作α、β，那么命题 “如果α，那么β”的否命题就是“如果α，那么β”；

如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到一个新命题， 我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果β，那么α”；

如果A 、B 是两个命题，A B ?，B A ?， 那么A 、B 叫做等价命题； 原命题与逆否命题是等价命题；

不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有三类：p 或q ，p 且q ，非p ；

一些常用结论的否定形式：

5. 充要条件 一般地，用、分别表示两个命题，如果命题成立，可以推出也成立，即β，那么α叫

做β的充分条件，β叫做α的必要条件；

一般地，用α、β分别表示两个命题，如果既有αβ?，又有βα?，即αβ?，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，这时我们就说，α是β的充分必要条件，简称充要条件；

设具有性质p 的对象组成集合A ，具有性质q 的对象组成集合B ，则 ① 若A B ?，则p 是q 的充分条件； ② 若A ?≠B ，则p 是q 的充分非必要条件； ③ 若A B ?，则p 是q 的必要条件； ④ 若A ?≠B ，则p 是q 的必要非充分条件； ⑤ 若A B =，则,p q 互为充要条件； 等价关系：“p q ?”?“A B ?”?“A

B A =”?“A B B =”

?“U U C B C A ?”?“U A C B =?”?“U C A B U =”

（注意考虑A =?的情况）；

第二章 不等式

1. 不等式的基本性质

性质1 如果,a b b c >>，那么a c >； 性质2 如果a b >，那么a c b c +>+；

性质3 如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <； 性质4 如果,a b c d >>，那么a c b d +>+； 性质5 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >；

性质6 如果0a b >>，那么110a b <<； 性质7 如果0a b >>，那么n n

a b >(*)n ∈N ；

性质8 如果0a b >>n n

a b >

(*,1)n n ∈>N ；

2. 不等式的解法

（1）一元二次不等式 对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是2

0ax bx c ++>或2

0ax bx c ++<（0a ≠）；一般地，设一元二次不等式为

20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >），当对应的一元二次方程20ax bx c ++=的根的判别式240b ac ?=->时，先求出方程20ax bx c ++=的两个实数根12,x x （不妨设12x x <），于是不等式20ax bx c ++>的解集为

1{|x x x <或2}x x >，不等式20ax bx c ++<的解集为12{|}x x x x <<；

不等式的解集经常用区间来表示，设,a b 都为实数，并且a b <，我们规定：

① 集合{|}x a x b ≤≤叫做闭区间，表示为[,]a b ； ② 集合{|}x a x b <<叫做开区间，表示为(,)a b ； ③ 集合{|}x a x b ≤<或{|}x a x b <≤叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b 或(,]a b ；

④ 实数集R 表示为(,)-∞+∞，集合{|}x x a ≥、{|}x x a >、{|}x x b ≤和{|}x x b <分别用区间[,)a +∞、(,)a +∞、(,]b -∞和(,)b -∞表示；a 与b 也叫做区间的端点，

“+∞”读作“正无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”；

前面讨论的是判别式0?>的情形，当0?<时，抛物线2

y ax bx c =++(0)a >与x 轴没有交点，整个图像都在x 轴的上方，于是不等式2

0ax bx c ++>的解集为实数集R ，不等式2

0ax bx c ++<的解集为空集?；

当0?=时，抛物线2

y ax bx c =++(0)a >与x 轴两个交点重合，即122b

x x a

==-

， 除了这一个点外，抛物线的其余部分都在x 轴的上方，于是不等式2

0ax bx c ++>的解集为

(,)(,)22b b

a a

-∞--+∞，不等式20ax bx c ++<的解集为空集?；

（2）高次不等式

高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：

① 等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积（未知数系数一定是正数）； ② 把各因式的根标在数轴上； ③ 从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集； 如图：123()()()0x x x x x x ---≥（假设123x x x <<）的解为123[,][,)x x x x ∈+∞；

（3）分式不等式

型如

()0()f x x ?>（或0≥）或()

0()

f x x ?<（或0≤）（其中()f x 、()x ?为整式且()0x ?≠） 的不等式称为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式；

()0()()0()f x f x x x ??>??>，()0()()0()f x f x x x ??

0()

f x x ?≥（或0≤）()()0f x x ???≥（或0≤）且()0x ?≠； （4）含绝对值不等式 ||x 表示实数x 在数轴上所对应的点到原点的距离；所以，不等式||x a <(0)a >的解集为(,)a a -，类似地，不等式||x a >(0)a >的解集为(,)

(,)a a -∞-+∞；解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，

一般有如下方法：① 定义法；② 零点分段法；③ 平方法；④ 数形结合法；

绝对值不等式的性质：||||||||||a b a b a b -≤±≤+ （5）无理不等式

只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理不等式，关键是转化为有理不等式；

()0,()0,()()f x g x f x g x >?≥≥>；

2()()0,()0,()[()]g x f x g x f x g x >?≥≥>或()0,()0f x g x ≥<；

（6）指数对数不等式

解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数； ① 当1a >时，()

()()()f x g x a

a f x g x >?>，

log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>>；

② 当01a <<时，()

()()()f x g x a

a f x g x >?<，

log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<<

3. 基本不等式

基本不等式1 对任意实数a 和b ，有22

2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立； 基本不等式2 对任意正数a 和b

，有

2

a b

+≥，当且仅当a b =时等号成立； 推论1 若,,a b c +

∈R ，则33

3

3a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时等号成立； 推论2 若,,a b c +

∈R

，则3

a b c ++≥a b c ==时等号成立； 推论3

12n a a a n

+++≥…*,,1i n a i n +∈∈≤≤N R ；

均值不等式

2112a b a b

+≥≥+，,a b +

∈R ；

柯西不等式 22222

()()()a b c d ac bd ++≥+；

注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；

4. 不等式的证明

（1）比较法

要证明a b >，只要证明0a b ->，同样，要证明a b <，只要证明0a b -<，这种证明不等式的方法叫做比较法； 用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立； （2）分析法

从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立，这种证明方法叫做分析法；

（3）综合法

从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这种方法叫做综合法； （4）放缩法

在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之和变小（或变大），或 把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫做放缩法； （5）换元法

根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法； （6）判别式法

根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判别式的取值范围来证明不等式； （7）分解法

按照一定的法则，把一个数（或式）分解为几个数（或式），使复杂的问题转化为简单易解的基本问题，然后各个击破，从而证明不等式的一种方法； （8）反证法 （9）数学归纳法

5. 线性规划

在线性规划问题中，,x y 所应满足的条件叫做线性约束条件，要求最值的函数叫做线性目标函数，把在线性约束条件下寻求线性目标函数的最大（小）值的问题叫做线性规划问题；建立线性规划模型的一般步骤如下：① 根据题意设未知量,,x y z 等；② 建立线性目标函数；③ 找出未知量满足的不等式，得未知量的线性约束条件；

在线性规划问题中，满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，所有可行解构成的区域叫做可行域；它是二元一次不等式组的解集所表示的一个平面区域；

在线性规划问题中，使目标函数达到最大（小）值的可行解叫做最优解；

例 求满足下列约束条件的目标函数f x y =+的最小值：24

230,0x y x y x y +≥??

+≥??≥≥?

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：

由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<

表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值： 法一：角点法：

如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-

+,z

B

为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；

②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =

或;y b

z x a

-=-

③“距离”型：22

z x y =+或z =

22()()z x a y b =-+-或z =

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

第三章 函数的基本性质

1. 函数概念与运算 （1）函数概念

在某个变化过程中有两个变量,x y ，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，

y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数，记作()y f x =，x D ∈，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；

求函数定义域时，主要考虑以下因素：

① 分母不为零；② 偶次方根号内大于等于零；③ 真数大于零；④ 实际意义；

求定义域时，遵循“括号内范围一致”原则；当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，通常这个过程叫做建模； （2）函数的和与积

一般地，已知两个函数1()()y f x x D =∈，2()()y g x x D =∈，设1

2D D D =，并且D ≠?，那么当x D

∈时，()y f x =与()y g x =都有意义，于是把函数()()y f x g x =+()x D ∈叫做函数()y f x =与()y g x =的和；类

似于求两个函数的和，我们也可以求两个函数的积，同样考虑两函数的公共定义域后，可以定义两个函数的积；

2. 函数的基本性质

（1）奇偶性

一般地，如果对于函数()y f x =的定义域D 内的任意实数x ，都有()()f x f x -=，那么就把函数()y f x = 叫做偶函数；如果函数()y f x =()x D ∈是偶函数，那么()y f x =的图像关于y 轴成轴对称图形，反过来，如果 一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数；

如果对于函数()y f x =的定义域D 内的任意实数x ，都有()()f x f x -=-，那么就把函数()y f x =叫做 奇函数；如果函数()y f x =()x D ∈是奇函数，那么()y f x =的图像关于原点成中心对称图形，反过来，

如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数； 由上可知，函数定义域D 关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件；

奇偶性分类：① 奇函数；② 偶函数；③ 既是奇函数又是偶函数；④ 非奇非偶函数；

奇偶性常用性质结论：

① 奇函数()y f x =在0x =处有意义(0)0f ?=；② 奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称； ③ 对于多项式函数1

2()n

n f x ax bx

cx dx e -=+++++…；

若()f x 是奇函数()f x ?偶次项的系数全为零； 若()f x 是偶函数()f x ?奇次项的系数全为零；

④ ()y f x a =+为奇函数()()f x a f x a ?-+=-+； ()y f x a =+为偶函数()()f x a f x a ?-+=+； ⑤ ()y f x =为奇函数()()f x a f x a ?+=---； ()y f x =为偶函数()()f x a f x a ?+=--； ⑥ 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和； 即：()()()()

()22

f x f x f x f x f x --+-=

+

； 复合函数奇偶性：

① 对于(())f g x ，同奇则奇，有偶则偶；

② 奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇； （2）单调性

一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12

x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数，简称增函数；如果对于属于这个区间

I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调

减函数，简称减函数；

如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么说函数()y f x =在区间I 上是单调函数，区间I 叫做函数()y f x =的单调区间；

证明单调性步骤：① 在定义域上任取12x x <；② 作差12()()f x f x -；③ 变形判断； 单调性常用性质结论：

① 在对称的两个区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反；② 互为反函数的两个函数有相同的单调性

复合函数单调性：

① 对于(())f g x ，同增异减；② 增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增＝减； 注意：单调性是函数局部的性质，奇偶性是整体的性质； （3）最值

一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作min 0()y f x =；如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≤都 成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作max 0()y f x =； 求函数最值的方法：

① 利用基本初等函数的值域：反比例函数、一次函数、二次函数、幂指对函数等； ② 配方法：主要用于二次函数求最值；

③ 换元法：无理函数，复合函数等，包括三角换元，注意新变量的取值范围； ④ 数形结合法：利用函数图像求最值，或根据几何意义（斜率、距离等）； ⑤ 单调性法：结合函数单调性求最值；

⑥ 不等式法：利用常见的基本不等式，注意一正二定三相等； ⑦ 分离常数法：分式函数；

⑧ 判别式法：定义域为R ，有二次项的分式方程，

⑨ 转化法：利用某些式子的有界性进行转化求最值；或转化成求反函数的定义域； ⑩ 其他法：包括向量法、构造法、平方法、导数法等； （4）零点

一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，如果存在实数c ()c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做 函数()y f x =()x D ∈的零点；实际上，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的解，也就是函数()y f x =的 图像与x 轴的交点的横坐标；通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步 逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法；

零点定理：若()()0f m f n <，则方程()0f x =在区间(,)m n 内至少有一个实根； （5）周期性

一般地，对于函数()f x ，如果存在一个常数T (0)T ≠，使得当x 取定义域D 内的任意值时，都有

()()f x T f x +=成立，那么函数()f x 叫做周期函数，常数T 叫做函数()f x 的周期，对于一个周期函数()f x 来说，

如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数()f x 的最小正周期； 周期性的判断：

① ()()f x a f x a +=-，2T a =；()()f x a f x b +=+，T a b =-；

② ()()f x a f x +=-，1()()f x a f x +=±

，1()

()1()

f x f x a f x -+=+，2T a =； ③ 1()1()f x a f x +=-或1

()1()

f x f x a =-+，3T a =；

④ 1()()1()f x f x a f x -+=-

+，1()

()1()

f x f x a f x ++=-，4T a =；

⑤ ()()()()f x f x a f x f x a ++=+，2T a =；

()()(2)()()(2)f x f x a f x a f x f x a f x a ++++=++，3T a =；

1()()()()()()n f x f x a f x na f x f x a f x na ++++++=?++项

……，(1)T n a =+；

（6）对称性 ① 一个函数的对称性

对于函数()y f x =，若()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立，则函数对称轴是x a =；若

()()f a x f b x +=-恒成立，则函数对称轴是2

a b

x +=

； 若()()0f a x f a x ++-=或()(2)0f x f a x +-=恒成立，则函数对称中心是(,0)a ；若

()()2f a x f a x b ++-=，则函数的对称中心是(,)a b ；

注意：括号内相减得常数，一般有周期性；括号内相加得常数，一般有对称性； ② 两个函数的对称性

函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图像关于直线x a =对称； 函数()y f x a =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2

b a

x -=

对称； 函数()y f x =与函数2(2)b y f a x -=-的图像关于点(,)a b 对称；

3. 函数的图像变换

（1）平移变换

① 左加右减 ()()a y f x y f x a =????

?→=+左移个单位；()()a y f x y f x a =?????→=-右移个单位

； ② 上加下减 ()()b y f x y f x b =????

?→=+上移个单位

；()()b y f x y f x b =?????→=-下移个单位

； （2）伸缩变换

① 1

()()y f x y f x ω

ω=??????????

→=纵坐标不变，横坐标变为原来的倍

(0)ω>； ② ()()A y f x y Af x =??????????

→=横坐标不变，纵坐标变为原来的倍

(0)A >； （3）翻折变换

① ()|()|y f x y f x =→=；函数()y f x =图像在x 轴上方的部分保持不变，将函数()y f x =图像在x 轴下方的部分对称翻折到x 轴上方；

② ()(||)y f x y f x =→=；保留()y f x =图像在y 轴右边的部分，并将y 轴右边的部分沿y 轴对称翻折到y 轴左边，替代原有的y 轴左边图像； （4）对称变换

函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；

函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于原点对称； 函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图像关于直线x a =对称；

函数()y f x a =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2

b a

x -=对称； 函数()y f x =与函数2(2)b y f a x -=-的图像关于点(,)a b 对称；

第四章 幂函数、指数函数和对数函数

1. 幂函数

一般地，函数k

y x =（k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数； 幂函数k

y x =（k ∈Q ）的性质：

① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如果与坐标轴相交，则交点一定是原点； ② 所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都经过点(1,1)；

③ 若0k >，幂函数图像都经过点(0,0)和(1,1)，在第一象限内递增；若0k <，幂函数图像只经过点(1,1)，在第一象限内递减；

注意：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，再根据奇偶性完成整个图像；

2. 指数函数

一般地，函数x

y a =(0a >且1)a ≠叫做指数函数，自变量x 叫做指数，a 叫做底数，函数的定义域是R ；

指数运算法则：x y x y a a a

+?=(0,,)a x y >∈R ； ()x y xy a a =(0,,)a x y >∈R ；

()x

x

x

a b a b ?=?(,0,)a b x >∈R ；

一般地，指数函数x

y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图像如图所示：

指数函数有下列性质：

性质1 指数函数x

y a =的函数值恒大于零，定义域为R ，值域(0,)+∞； 性质2 指数函数x y a =的图像经过点(0,1)；

性质3 函数x

y a =(1)a >在R 上递增，函数x

y a =(01)a <<在R 上递减；

3. 对数及其运算

一般地，如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即b

a N =，那么

b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数；

根据对数定义，可知：①零和负数没有对数，真数大于零；②1的对数为0，即log 10a =；③底的对数等于1，即log 1a a =；④对数恒等式：log a N

a

N =成立；

通常将以10为底的对数叫做常用对数，常用对数10log N 简记作lg N ；以无理数 2.71828...e =为底的对数叫做自然对数，自然对数log e N 简记作ln N ；

对数运算性质：如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么：

log log log ()a a a M N MN +=；log log log a a a

M M N N

-=；log log n

a a M n M =； 对数换底公式：log log log a

b a N

N b

=（其中0,1,0,1,0a a b b N >≠>≠>）；

常用恒等式：① log a N

a

N =；② log N a a N =；③ log log 1a b b a ?=；

④ log log log log a b c a b c d d ??=；⑤ log log m n

a a n

b b m

=

； 4. 反函数

一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1

()x f y -=，在习

惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1

()y f

x -=()x A ∈；

反函数的判定：

① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；定义域上的单调函数必有反函数； ② 周期函数不存在反函数；定义域为非单元素的偶函数不存在反函数； 反函数的性质：

① 原函数()y f x =和反函数1

()y f

x -=的图像关于直线y x =对称；若点(,)a b 在原

函数()y f x =上，则点(,)b a 必在其反函数1

()y f

x -=上；

② 函数()y f x =与1

()y f

x -=互为反函数；原函数()y f x =的定义域是它反函数

1()y f x -=的值域；原函数()y f x =的值域是它反函数1()y f x -=的定义域；

③ 原函数与反函数具有对应相同的单调性；奇函数的反函数也是奇函数； 求反函数步骤：

① 用y 表示x ，即求出1

()x f

y -=；② ,x y 互换，即写出1()y f x -=；

③ 确定反函数定义域；注意事项：若函数()y f ax b =+存在反函数，则其反函数为1

1[()]y f x b a

-=

-，而不是1()y f ax b -=+，函数1()y f ax b -=+是1

[()]y f x b a =-的反函数；

5. 对数函数

一般地，对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠就是指数函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数；因为x

y a =的值域

是(0,)+∞，所以，函数log a y x =的定义域是(0,)+∞；

对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠在1a >及01a <<两种情形下的图像如图所示：

对数函数log a y x =(0a >且1)a ≠的性质：

性质1 对数函数log a y x =的图像都在y 轴的右方，定义域(0,)+∞，值域为R ； 性质2 对数函数log a y x =的图像都经过点(1,0)；

性质3 对数函数log a y x =(1)a >，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <； 对数函数log a y x = (01)a <<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >；

性质4 对数函数log a y x =(1)a >在(0,)+∞上是增函数，log a y x = (01)a <<在(0,)+∞上是减函数；

6. 指数对数方程

我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在解指数方程时，常利用指数函数的性质：a a α

β

αβ=?=，其中0a >且1a ≠，将指数方程化为整式方程求解；

在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程；解对数方程时，必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能产生增解；

解指数对数方程的基本思路是通过“化成相同底数”“换元”等方法转化成整式方程；

7. 抽象函数

抽象函数的解法：

① 赋值法；如赋值0x =、1x =±、y x =±、0x y ==等； ② 结构变换法；如1122()[()]f x f x x x =-+、1

122

()(

)x f x f x x =?等；

第五章 三角比

1. 角的概念与度量

一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的；特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角；

在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限；当角的终边在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限；我们把所有与角α有重合终边的角

（包括角α本身）的集合表示为{|360,}k k ββα=??+∈Z ；

在平面几何里，我们把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制；

我们也可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧或圆弧所对的圆心角的大小；把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度；用“弧 度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；

如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值l r 就是角α的弧度数的绝对值，即l

r

α=，这里α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零；