九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第3课时菱形的性质和判定的应用作业课件北师大版
A．4
12 B. 5
24 C. 5
D．5
12．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一 个钝角为 120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( D )
A．15°或 30° B．30°或 45° C．45°或 60° D．30°或 60°
13．如图，菱形 ABCD 的周长为 8 cm，高 AE 长为 3cm，则对角线 AC 和
(2)∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝12∠BAD＝30°，
∵∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝90°－30°＝60°， ∴∠AEF＝180°－∠DAO－∠AOE＝180°－30°－60°＝90°.
∵菱形 ABCD 的边长为 2，∠DAO＝30°， ∴OD＝12AD＝1，
∴AO＝ AD2－OD2＝ 3，
BD 的长之比为 1∶ 3
.
14．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝5，AC＝ 6，过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，则△BDE 的面积为 24 .
15．如图，在▱ABCD 中，EF 垂直平分 AC 交 BC 于 E，交 AD 于 F. (1)求证：四边形 AECF 为菱形； (2)若 AC⊥CD，AB＝6，BC＝10，求四边形 AECF 的面积．
解：(1)∵EF 垂直平分 AC，FA＝FC，EA＝EC. ∴∠AFE＝∠CFE， ∠AEF＝∠CEF. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC.∠AFE＝∠CEF＝∠AEF， ∴AF＝AE，AE＝EC＝CF＝FA， ∴四边形 AECF 是菱形
(2)∵AC⊥CD，AC⊥EF，
∴EF∥CD.又∵AB∥CD， ∴AB∥EF.∴四边形 ABEF 为平行四边形． ∴EF＝AB＝6.∵AC⊥CD，∴AB⊥AC.在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC ＝8. ∴四边形 AECF 的面积为12AC·EF＝12×8×6＝24
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，M，N，P，Q 分别是 AD，BC， BD，AC 的中点，连接 MN，PQ，请你探索 MN 与 PQ 的关系，并证明你的结论．
解：MN 与 PQ 互相垂直平分， 证明如下： 如图，连接 PM，MQ，NP，NQ. 在△DAB 中， ∵P，M 分别是 BD，AD 的中点， ∴PM＝12AB.
部分的面积为 12
.
5．已知菱形 ABCD 的周长为 16 cm，且相邻两内角之比是 1∶2，求菱形的 对角线的长和面积．
解：设 AC 与 BD 交于点 O， 由已知得 AB＝4 cm，∠BAD＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴BD＝4 cm， ∴AO＝2 3 cm，AC＝4 3 cm， ∴S 菱形＝12AC·BD＝8 3(cm2)
3．在菱形 ABCD 中，AE 垂直平分 BC，垂足为点 E，AB＝6，那么菱形 ABCD 的面积是 18 3 ，对角线 BD 的长是 6 3 .
4．如图，四边形 ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过 O 点的三条直
线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时，阴影
知识点 2：菱形的性质和判定的应用 6．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，已知△ABC 的周长是 15，则
菱形 ABCD 的周长是（ B ）
A．25 B．20 C．15 D．10
7．菱形的一个内角为 120°，边长为 8，那么它较短的对角线长为( C ) A．3 B．4 C．8 D．6
同理：PN＝12CD，MQ＝12CD， NQ＝12AB. 又∵AB＝CD，
∴PM＝PN＝NQ＝MQ，
∴四边形 MPNQ 是菱形， ∴MN 与 PQ 互相垂直平分
易错点：不能灵活应用菱形面积的两种求法而致错 11．(教材 P9 习题 3 变式)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，对角线 AC＝6， 若过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E，则 AE 的长为( C )
形 的面积为 6 3
.
18．如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD＝60°，对角线 AC 与
BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F. (1)求证：△AOE≌△COF； (2)若∠EOD＝30°，求 CE 的长．
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AO＝CO，AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)
16．(2018·随州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边长为 2，
点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形 OABC 绕点
O 顺时针旋转 75°，得到四边形 OA′B′C′，则点 B 的对应点 B′的坐标为 ( 6，－ 6) ．
17．如图，将两条宽度都为 3 的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边
可求 AE＝CF＝32，
EF＝2OE＝ 3，
在 Rt△CEF 中，
CE＝ EF2＋CF2＝
（
3）2＋（32）2＝
21 2
第一章 特殊平行四边形
1．1 菱形的性质与判定 第3课时 菱形的性质和判定的应用
知识点 1: 菱形的面积 1．菱形的两条对角线的长为 a 和 b，且 a，b 满足(a－1)2＋ b－4＝0，那么
菱形的面积为（ B ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．(2018·黔西南州)已知一个菱形的边长为 2，较长的对角线长为 2 3，则 这个菱形的面积是 2 3 .
8．(2018·甘孜州)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
AC＝8，BD＝6，OE⊥AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 EF 的长为
24 5
.
9．如图，两条笔直的公路 l1，l2 相交于点 O，村庄 C 的村民在公路的旁边建 了三个加工厂 A，B，D，已知 AB＝BC＝CD＝DA＝5 km，村庄 C 到公路 l1 的距 离为 4 km，则村庄 C 到公路 l2 的距离是 4 km.
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定什么是菱形？素材北师大版(new)
什么是菱形？答案：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【举一反三】典题:菱形的一条对角线与边长相等，则这个菱形的内角分别是＿＿＿＿＿＿。
思路导引：菱形的一组邻边相等，所以四条边都相等,对角线与两邻边组成的三角形是等边三角形，所以菱形的一个内角为60°,其它三个内角为120°，60°,120°。
标准答案：60°,120°，60°，120°。
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北师大版九年级数学上册 知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
北师大版九年级上册数学全册教学课件
1 2
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AB AO2 BO2 32 62 3 5 cm.
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5 (cm)．
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形， 和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让 我们一起来学习吧.
讲授新课
一 菱形的性质
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角 大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等, 这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形 邻边相等
菱
形
归纳总结
定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则
△ABD的周长等于
（B）
A.18
B.16
C.15
D.14
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是 __3_c_m__.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝
___3_0_°__.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
1
九年级数学上（BS） 教学课件
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.了解菱形的概念及学其习与目平行标四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点 ）
北师大版数学九年级上册学案(全册)
第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。
②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。
教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。
教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。
【预习案】学习过程： 活动一：自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。
【探究案】2. 按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。
图中相等的线段有： 图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。
性质：证明：平行四边形菱形活动二：对比菱形与平行四边形的对角线菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8c m，求菱形的周长和面积。
【训练案】2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
课效检测：一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm，16cm，它的周长等于，面积等于。
（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是。
（3）已知：菱形的周长是20cm，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是。
（4）已知：菱形的周长是52 cm，一条对角线长是24 cm，则它的面积是。
二、解答题已知：如图，在菱形ABCD中，周长为8cm，∠BAD=1200 对角线AC，BD交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。
A第2课时 菱形的判定学习目标：1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算. 重点：掌握并会应用菱形的判定方法. 难点：菱形判定方法的应用.【预习案】课前预习你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？边：__________________________;______________________________ 角：__________________________;______________________________ 对角线：_____________________________________________________对称性：【探究案】1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD 是菱形. 证明：我发现, 的四边形是菱形。
北师版九年级数学上册课件 第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定 第3课时 菱形的性质和判定的应用
17．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°， 则四边形ABCD的面积为__6__3___．
18．(教材 P10 习题 5 变式)(2020·广州)如图，在△ABD 中，∠ABD＝∠ADB. (1)作点 A 关于 BD 的对称点 C； (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O. ①求证：四边形 ABCD 是菱形；
北师版
第一章 特殊平行四边形
1．1 菱形的性质与判定
第3课时 菱形的性质和判定的应用
1．菱形的两条对角线的长为 a 和 b，且 a，b 满足(a－1)2＋ b－4 ＝0， 那么菱形的面积为__2__．
2．(2020·营口)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 其中 OA＝1，OB＝2，则菱形 ABCD 的面积为_4__．
7．(2020·遵义)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，AC＝6，
过点 D 作 DE⊥BA，交 BA 的延长线于点 E，则线段 DE 的长为(D )
A．152
B．158
C．4 D．254
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6， 24
OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为____5___．
B．52 C．3 D．4
13．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一 个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( D)
A.15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
14．如图，菱形 ABCD 的周长为 8 cm，高 AE 长为 3 cm， 则对角线 AC 和 BD 的长之比为 __1_∶___3_____ ．
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定教学案1 新版北师大版
菱形的性质与判定（一）
学习目标:
1.通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质；
2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征.
学习过程:
一、自主学习:
自学课本例题以上的内容,完成下列问题:
1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？
？
菱形
平行四边形
的四边形叫做菱形,生活中的菱形有 .
2.按探究步骤剪下一个四边形.
①所得四边形为什么一定是菱形？
②菱形为什么是轴对称图形？
有对称轴.
图中相等的线段有:
图中相等的角有:
③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明.
性质:
证明:
二、课堂检测:
1.菱形的两条对角线长分别是12cm,16cm,它的周长等于 ,面积等于。
2.菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3:2,菱形的四个内角是 .
3.已知:菱形的周长是20cm,两个相邻的角的度数比为1:2,则较短的对角线长是。
4.已知:菱形的周长是52 cm,一条对角线长是24 cm,则它的面积是。
5．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
6.在菱形ABCD中,CE⊥AB,E为垂足,BC=2,BE=1,求菱形的周长和面积.
7.已知:如图,在菱形ABCD中,周长为8cm,∠BAD=1200 对角线AC,BD交于点O,求这个菱形的对角线长和面
积。
A
B
C D
O。
北师大版九年级数学上册全册教案
第一章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时菱形的性质【知识与技能】理解菱形的概念，掌握菱形的性质.【过程与方法】经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.【情感态度】培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.【教学重点】理解并掌握菱形的性质.【教学难点】形成推理的能力.一、情境导入,初步认识四人为一小组先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等，然后进行全班性交流.引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.二、思考探究，获取新知教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.思考：1.这是一个什么样的图形呢？2.有几条对称轴？3.对称轴之间有什么位置关系？4.菱形中有哪些相等的线段？【教学说明】充分地利用学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情.【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.三、运用新知，深化理解1.见教材P3第1题.2.见教材P3例1 .3.如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A.15B.153 2C.7.5D.153【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形的一条对角线等于菱形的边长.4.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.求证：DE=12 BE.分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE=12 BE.证明：方法一：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∠DBC=30°，∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE=90°，∴DE=12 BE.方法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，∴四边形ACED是菱形，∴DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴BC=EC=DE，即C为BE的中点，∴DE=BC=12 BE.【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长.分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2，又∵OE⊥AB，∠ABD=60°，∴∠BOE=30°，∴BE=1.【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.学生自主完成，如有一定难度可相互交流，最后由教师总结.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作补充.1.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2 题.2.完成练习册中相应练习.本节课中，重在探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用.第2课时菱形的判定【知识与技能】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.【过程与方法】经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法.【情感态度】培养良好的思维意识以及推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.【教学重点】菱形的两个判定方法.【教学难点】判定方法的证明及运用.一、情境导入，初步认识回顾：（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形.（2）菱形的性质：性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角.（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.用以温故而知新.二、思考探究，获取新知活动1按下列步骤画出一个平行四边形：(1)画一条线段长AC=6cm；(2)取AC的中点O,再以点O为中点画另一条线段BD=8cm,且使BD⊥AC；(3)顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.猜猜你画的是什么四边形?【归纳结论】菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直.【教学说明】首先教师活动让学生观察，然后让学生自己动手亲自体验活动从而猜想出结论来.已知：在□ABCD中，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC ⊥BD，∴□ABCD是菱形.活动2画一画：作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形.【教学说明】让学生亲自动手体验活动，猜想出结论来并进行证明.从而加深印象.三、运用新知，深化理解1.见教材P6例2 .2.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG 与FH交点于O，则图中的菱形共有（B）A.4个B.5个C.6个D.7个3.下列说法正确的是（B）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD.求证：AD=CE；证明：∵MN是AC的垂直平分线.∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE.5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，∵∠ACE=∠ECF，∴△AEC≌△FEC，∴AC=FC，∵CG=CG，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAG =∠CFG =∠B，∴GF∥AE，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AG∥EF，故四边形AGFE是平行四边形又∵AG=GF（或AE=EF），∴平行四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.【教学说明】让学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.四、师生互动、课堂小结1.师生共同回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.2”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性，而且通过动手做一做，然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.第3课时菱形的性质与判定的运用【知识与技能】能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.【过程与方法】经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化的思想.【情感态度】培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.【教学重点】利用菱形性质定理与判定定理解决一些相关问题.【教学难点】菱形性质的探究.一、情境导入，初步认识活动：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形的一个内角吗？【教学说明】通过折纸活动激发学生的兴趣，同时对于菱形的相关判定方法也进行了巩固.二、思考探究，获取新知如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？拓展：若纸条的宽度是4cm ，∠ABC=60°，你会求菱形的面积吗？你有几种不同的方法？与同学交流.【归纳结论】菱形面积的计算公式：①如图，S 菱形ABCD =AB ·DE ，即菱形的面积等于底乘高；②S 菱形ABCD =12AC ·BD ，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.【教学说明】对菱形性质的归纳是学生对菱形特征的认识、是知识的一次升华，有助于培养学生的概括能力，突出教学重点.三、运用新知，深化理解如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的重点.（1）求证：四边形BDEF 是菱形；（2）若AB=10cm ，求菱形BDEF 的周长.解：（1）证明：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点，∴EF=12BC ，EF ∥CB. 又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴DE=12AB ，DE ∥AB, ∴四边形BDEF 是平行四边形.又∵AB=BC ，∴EF=DE ，∴四边形BDEF 是菱形.（2）∵F 是AB 的中点，∴BF=12AB.又∵AB=10cm，∴BF=5cm.∵四边形BDEF是菱形，∴BD=DE=EF=BF，∴四边形BDEF的周长为4×5=20（cm）.【教学说明】菱形的性质与判定的综合应用，一般先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的区别与联系.四、师生互动、课堂小结通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.通过复习回顾菱形的性质和判定，唤醒学生的记忆，然后给学生设置好一个个有梯度的问题，调动学生的求知欲，树立勇于战胜自我的信念.2 矩形的性质与判定第1课时矩形的性质【知识与技能】了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.【过程与方法】经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.【情感态度】培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用.【教学难点】理解矩形的特殊性.一、情境导入，初步认识将收集来的有关长方形的图片给学生观察，让学生进行感性认识，引入新课——矩形.【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值.二、思考探究，获取新知1.拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）2.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形?【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质.思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点.【归纳结论】矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.3.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？4.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，求AO与BD的数量关系.【归纳结论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【教学说明】引导学生尽可能多地发现结论，养成善于观察的好习惯.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.分析：因为矩形是特殊的平行四边形，它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）.2.已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm ，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.分析：因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.解：（1）设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2+82=（x+4）2，解得x=6. 则AD=6cm.（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE·DB＝AD·AB，解得AE ＝4.8cm.3.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE=EF.分析：CE、EF分别是BC，AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°.∴∠B=∠AFD.又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）.∴AF=BE.∴EF=EC.此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.【教学说明】给予学生足够的时间，让学生独立思考，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形.4.若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为22或20 cm.解：本题需分两种情况解答.即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分线分一边为3cm和4cm.当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm.【教学说明】本题考查的是矩形的基本性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形的性质.2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.4”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生的视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生更容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握.第2课时矩形的判定【知识与技能】1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.【过程与方法】经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.【情感态度】培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.【教学重点】理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.【教学难点】定理的证明方法及运用.一、情境导入，初步认识事例引入：小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.二、思考探究，获取新知动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.思考：1.随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？2.当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做准备.【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.证明：（见教材P14例题）矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.【教学说明】培养学生的归纳总结能力，同时也训练了学生的语言表达能力和分析问题的能力.三、运用新知，深化理解1. 对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.解析：矩形的判定定理有：（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形.2.下列说法正确的是（D ）A.一组对边平行且相等的四边形是矩形B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形解析：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；B、一组对边平行且相等并有一个角是直角的四边形是矩形，故B错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故C 错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确.【教学说明】让学生口答第1、2道题，训练学生的语言表达能力.3.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH是矩形.解：∵∠HAB+∠HBA=90°.∴∠H=90°.同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°∴四边形EFGH是矩形.【教学说明】在黑板上展示第3题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.5”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说明得到的矩形判定进行的重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的数学认识，激发学生的数学情感，促进学生数学水平的提高.第3课时矩形的性质与判定的运用【知识与技能】熟练运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【过程与方法】经历从性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、证明，体会数学知识之间的联系和区别.【情感态度】通过严谨的推理，强化学生的规范意识.【教学重点】灵活运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【教学难点】利用矩形的相关性质构造新的图形，进而对知识进行转化.一、情境导入，初步认识如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.【教学说明】通过例题感受知识的应用的同时体会知识之间的联系及转化，并通过规范的步骤强调教学推理的严谨性.二、思考探究，获取新知已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.【思考】在上例中，连接DE，交AC于点F.（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.【教学说明】让学生感受矩形与等腰三角形之间的联系，感受知识转化在解决问题中的作用.三、运用新知，深化理解1.见教材P16~P17例3.2.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，过点O的直线EF分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（B ）3.（一题多解）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？解：解法一：能.如图所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H.可得四边形PHDE是矩形，∴PE=DH，PH∥BD∴∠HPC=∠B又∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠HPC=∠FCP.又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°∴△PHC≌△CFP∴PF=HC∴DH+HC=PE+PF即：DC=PE+PF.解法二：能.如图，延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为点H，如图所示，可得四边形HEDC是矩形，∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB∴∠HCP=∠B.∴△PHC≌△PFC∴PH=PF∴PE+PF=DC.【教学说明】通过应用性的练习，巩固基础知识的同时，感受知识的综合运用在解题过程中的重要性，使所学知识进行深化.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.6”中第1、2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课在复习前一节课内容的基础上利用矩形的性质和判定解决具体问题，在例题的选择和设计上，追寻知识向能力的转化，让学生主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时训练学生清晰、有条理地表达自己的思考过程，从而培养学生的推理能力和分析问题的能力.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质【知识与技能】使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.【过程与方法】学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力，促进其逐步掌握说理的基本方法.【情感态度】通过分析正方形的概念、性质与矩形、菱形的概念、性质的联系和区别，对学生进行辩证唯物主义教育.【教学重点】正方形的性质.【教学难点】正方形的性质.一、情境导入，初步认识1.在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2.展示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？【教学说明】学生回答后，再展示图片，使学生感受到生活中到处存在数学，激发学习热情.【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.二、思考探究，获取新知1.做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形.2.观察：这个正方形具有哪些性质？【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识.【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.三、运用新知，深化理解1.见教材P21例1 .2.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数为（）A.12B.13C.26D.30解析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成102的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对.故选C.3.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为（1，0）和（1，1）.（只写一组）解析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标.∵正方形ABCD 的点A（0，1），点B（0，0），∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）.4.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，所以可得∠EAF=45°.解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG+∠FAG=12（∠DAG+ ∠BAG）=12∠DAB=45°，故∠EAF=45°【教学说明】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.5.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°.（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数.分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG.利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠DFA=90°-∠DAF=75°，∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，∴∠EFC=30°.【教学说明】学生独立完成以培养学生的独立意识.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正方形有哪些性质？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.7”中第2 、3题.2.完成练习册中相应练习.本课虽然是学习正方形的性质，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性。
北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》第3课时示范公开课教学设计
第一章特殊的平行四边形1 菱形的性质与判定第3课时一、教学目标1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.运用菱形知识解决具体问题，培养逻辑推理能力和演绎能力.3.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.4.体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会菱形的图形美，提高学生的学习兴趣.二、教学重难点重点：理解并掌握菱形的面积公式.难点：运用菱形的性质定理与判定定理解决具体问题..三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：先提出问题让学生自由说一说，并填写表格，动画出示图形和符号语言.问题1：什么是菱形，菱形的性质有哪些？预设答案：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质，是轴对称图形②菱形的四条边都相等③菱形的对角线互相垂直且平分追问：菱形的判定方法有哪些？预设答案：菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②四边都相等的四边形是菱形③对角线互相垂直的平行四边形是菱形【试一试】如图所示：在 ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：_________________ .添加方式2：_________________ .预设答案：方式1：一组邻边相等；方式2：AC⊥BD【合作探究】预设答案：求菜地的面积实际上是求菱形的面积.想一想：菱形的面积怎么求？预设答案：菱形是特殊的平行四边形，可以根据求平行四边形的面积方法来求.教师引导学生作出菱形另一边上的高，并交流反馈.预设答案：过点A作AE⊥BC于点ES菱形ABCD=底×高=BC·AE追问：你还有别的方法吗？教师提示学生，菱形的对角线具有什么样的关系，能否从对角线的角度进行探究.【思考】菱形的对角线互相垂直，能否利用对角线来计算菱形的面积呢？预设答案：每一条对角线将菱形分成两个全等的三角形.解：⊥四边形ABCD是菱形，⊥AC⊥BD,⊥S菱形ABCD=S⊥ABC+S⊥ADC=1122AC BO AC DO ⋅+⋅()1=21=2AC BO DO AC BD +⋅追问：你发现了什么？ 【归纳】求菱形面积的方法：菱形的面积=底×高菱形的面积=对角线乘积的一半.【典型例题】预设答案:重叠的部分ABCD是菱形.思考：说一说你的理由？预设答案：根据纸条的两长边互相平行得ABCD是平行四边形；再由纸条等宽得两条邻边上的高相等，进而利用平行四边形的面积得两邻边相等;从而可证ABCD是菱形.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第9页。
北师大版九年级数学上册全册课件
AC BD, ABO 1 ABC 1 60 30
2
2
在RtOAB中, AO 1 AB 1 20 10 m
2
2
BO AB2 AO2 202 102 300 m
花坛的两条小路长
AC 2 AO 20m
BD 2BO 34.64m 花坛的面积
S菱形ABCD
1 2
证明：在AOB中， AB 5，OA 2，OB 1，
A
C
O
AB2 AO2 OB2. AOB是直角三角形，AOB是直角. AC BD.
A 12
7D 8
O
菱形ABCD中
5 B6
34 C
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA 全等三角形有：
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
菱形的四条边相等
3个特性：特在“边、对角线、对称性”
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
北师大版 九年级上册
情景导入
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边 形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断 一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.
1.菱形是轴对称图形吗？ 2.菱形有几条对称轴？ 3.对称轴之间有什么位置关系？ 4.你能看出图中哪些线段和角相等？
A 12
7D 8Байду номын сангаас
O
菱形ABCD中
5 B6
34 C
相等的线段：AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》特殊平行四边形课件ppt
第八页，共十五页。
菱形是特殊的平行四边形，它除具有 平行四边形的所有性质外，还有平行四边 形所没有的特殊性质：
定理
菱形的四条边都相等。
定理
菱形的两条对角线互相垂直。
第九页，共十五页。
如图1-2，在菱形ABCD中，对 角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的
边长AB和对角线AC的长。
（2）菱形中有哪些相等的线段？
第四页，共十五页。
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形 领条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂 直。
• 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
第五页，共十五页。
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
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证明： （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等） 又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
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（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD
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随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O. 已知AB=5cm， AO=4cm ，求 BD的长.
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第十三页Байду номын сангаас共十五页。
课堂小结
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是 菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是 两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分。 3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质 可以进行计算和推理。