第七章平面电磁波
电磁场平面电磁波
严格地说，理想的平面电磁波是不存在的，因 为只有无限大的波源才能激励出这样的波。但是 如果场点离波源足够远，那么空间曲面的很小一 部分就十分接近平面，在这一小范围内，波的传 播特性近似为平面波的传播特性。例如，距离发 射天线相当远的接收天线附近的电磁波，由于天 线辐射的球面波的等相位球面非常大，其局部可 近似为平面，因此可以近似地看成均匀平面波。
（6-3）
E Emie jkz Emr e jkz （6-4）
其中、是复常矢。上式第一项表示: 向正z方向传播
的波(则式中含因子的解，表示向正z方向传播波)。同理，第 二项表示: 向负z方向传播的波(含因子的解表示向负z方向传 播的波)。
在无界的无穷大空间，反射波不存在, 只需考虑
向正z方向传播的行波(traveling wave，是指没有反
we (z,t)
1
2
E
2 x
(
z,
t
)
E
2 y
(
z,
决定了电场与磁场之间的关系
Ex E y 120 r
Hy
Hx
r
式（6-8）和（6-6）说明：
（6-9）
均匀平面波的电场、磁场和传播方向 ez 三者彼此正 交，符合右手螺旋关系。既然电场强度和电磁强度 之间有式（6-8）的简单关系，所以讨论均匀平面 波问题时，只需讨论其电场（或磁场）即可。
阻抗 ，是实数，见式（6-9）。
(3)为简单起见，我们考察电场的一个分量Ex ，
由式（6-7）可写出其瞬时值表达式
第七章 平面电磁波典型例题
第七章 平面电磁波7.1 将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换。
()1 0x E e E = ()2 0jkz x E e jE e -=()3()()00cos 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+-解：()1 ()()00,,,Re cos x j j tx x x E x y z t e E e e e E t ϕωωϕ⎡⎤=⋅=+⎣⎦ ()2 ()200,,,Re cos 2j kz j t x x E x y z t e E ee e E t kz πωπω⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=⋅=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()3 ()()200,,,Re 2j t kz j t kz x y E x y z t e E ee E e πωω⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()0,,,2jkz x y E x y z t e e j E e -=-7.2 将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式()1 ()()0sin sin z jk z z x y E e E k x k y e -=⋅⋅()2()sin 02sin cos cos z jk x x E e j E k e θθθ-=⋅⋅ 解：()1 由式()7.1.2，可得瞬时值形式为()()0Re sin sin z jk z j tz x y E e E k x k y e e ω-⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦()()()0sin sin cos z x y z e E k x k y t k z ω=⋅⋅-()2 瞬时值形式为()sin 20Re 2sin cos cos z j jk j t x x E e E k e e e πθωθθ-⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦()02sin cos cos cos sin 2x x z e E k t k πθθωθ⎛⎫=⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()()02sin cos cos sin sin x x z e E k t k θθωθ=-⋅⋅⋅-7.3 一根半径为a ，出长度为L 的实心金属材料，载有均匀分布沿z 方向流动的恒定电流I 。
第七章-平面电磁波--1
示，即
Z Ex Hy
可见，平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。
当平面波在真空中传播时，其波阻抗以 Z0 表示，则
Z0
0 377 120π(Ω) 0
上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可
用矢量形式表示为
Hy
1 Z
ez
Ex
Ex
z
或
E x ZH y ez
Hy
对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此 这种电磁波称为横电磁波，或称为TEM波。以后我们将会遇 到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。
L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz 光纤通信： 1.55m ，1.33m ，0.85m ISM波段： 902~928MHz，2.4~2.4835GHz，5.725~5.850GHz
7.2 导电媒质中的平面波
若 0 ，则在无源区域中
若令
H E jE j( j )E
近似认为
1
2
1 1
2
2
那么
2
Zc
这些结果表明，电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减。电
导率 愈大，则振幅衰减愈大。
第二，若 ，良导体属于这种情况。此时可以近似认为
1
2
那么
πf 2
Zc
j (1 j) πf
此式表明，电场强度与磁场强度不同相，且因 较大，
典型业务 导航，声纳 导航，频标 AM, 海上通信 AM, 通信 TV, FM, MC TV, MC, GPS SDTV, 通信,雷达 通信, 雷达 光纤通信
中波调幅广播（AM）：550KHz~1650KHz 短波调幅广播（AM）：2MHz~30MHz 调频广播（FM）：88MHz~108MHz 电视频道（ TV）：50MHz~100MHz ; 170MHz~220MHz
平面电磁波
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 式(７ －３０) 中 • 为真空中的光速. 由于一切媒质的相对介电常数εｒ >１. 而且一般媒
质的相对磁导率μｒ≈１. 因此. 理想电介质中均匀平面波的相速通常 小于真空中的光速. 但是要注意. 电磁波的相速有时可以超过光速. 可 见. 相速不一定代表能量传播速度. • 式(７ －３０) 中 • 是频率为ｆ 的平面波在真空中传播时的波长.
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 式(７ －９) 是一个二阶常微分方程. 其通解为: • 式中第一项代表沿正ｚ 方向传播的波. 第二项代表沿负ｚ 方向传播的
波. 为了便于讨论平面波的波动特性. 仅考虑沿正ｚ 方向传播的波. 令 上式第二项为零. 即 • 式中. Ｅｘ０为ｚ ＝０ 处电场强度的有效值. Ｅｘ (ｚ) 对应的瞬时值为:
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 媒质电场强度与磁场强度的振幅之比称为波阻抗. 也称为媒质的特征 阻抗. 或者本征阻抗. 以Ｚｃ表示. 即
• 由上述讨论可知. 平面波的波阻抗为复数. 电场强度与磁场强度的空间 相位不同. 复能流密度的实部及虚部均不会为零. 意味着平面波在传播 过程中. 既有能量的单向传播. 又有能量的双向或交换传播.
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７. ２ 自由空间中的平面波
• 将ω ＝２πｆ 和式(７ －１９) 代入式(７ －２０). 得: • 式(７ －２１) 描述了平面波的相速ｖｐ、频率ｆ 与波长λ 之间的关系.
平面波的频率是由波源决定的. 它与源的频率始终相同. 但是平面波的 相速与媒质特性有关. 因此. 平面波的波长也与媒质特性有关. • 将式(７ －１４ａ) 代入式(７ －１８) 中. 得:
第七章 均匀平面电磁波
4 107 120 1 109 36
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性 5.波印廷矢量
E0 cos(t kz ) S E H a x E0 cos(t kz ) a y 2 E0 az cos2 (t kz )
②等相位面:任一固定时刻,相位相同的点组成的面.
③等相位面方程:
t kz x 常数
④显然随t增加,等相位面必向Z增加方向移动,也即某 一定的E x 值向Z增加的方向移动,也即整个波形向Z增 加方向移动,即向+Z方向传播的简谐波.
第七章 均匀平面电磁波
二.所以波动方程及解:
⑤等相位面上各点相位相等，随时间推移和位置变化始终=常数 等相位面垂直于传播方向(+Z). 小结：
大小上是波阻抗的倍数关系。
(3)瞬时值形式： 将此式乘 e jt取实部可得时域关系式(略)
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性
根据波动方程的解及电磁场关系式不妨设： E a x E 0 cos(t kz ) E0 H a y cos(t kz ) a y H 0 cos(t kz )
2 2 1 T T f
第七章 均匀平面电磁波
四.传播特性
4.波阻抗 电场与磁场复振幅之比,称平面波的波阻抗
E0 k k H0
一般为复数，在理想媒质中,η为实数,即此时 E和H 的相位相同，
如果是真空/空气，则为
0
0 0
第七章 均匀平面电磁波
三.电磁场的关系
E x E x0 cos(t kz x ) Re[Ex e ] 其中 E E e jkz
平面电磁波
平面电磁波1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2研究电磁波在特定情况下的激发和传播规律，就是从数学上求解麦克斯韦方程组或该特定条件下的波动方程组。
在某些特定条件下，可以将麦克斯韦方程组或波动方程组简化为简化模型，如传输线模型、集总参数等效电路模型等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
许多复杂的电磁波，如柱面波和球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然因此，均匀平面波是最简单、最基本的电磁波模式，所以我们从均匀平面波开始。
§6.1波动方程2.EJ2.1.电场波动方程：？Ett22h2j磁场波动方程?ht2??2如果媒质导电（意味着损耗），有j??e代入上面，则波动方程变为2.EE2e 2.tt2hh2h20T如果t是时谐电磁场，则场量用复矢量表示，然后2e?j???e??2??e?2.HJHH02采用复介电常数，j???(1?j22??，上面也可写成)??23在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
2.E2e 2.0t2h2h20T4在线性、均匀、各向同性和导电介质的被动区域，波动方程变为均匀方程。
2e?e?2e2?02.HH2小时2.0tt如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，并采用复介电常数，2.J2.（1？j2？e e？02??，上面也可写成)??22?h?h?????02注意，介电常数是一个复数，代表损耗。
5学习要求：推导，数学形式与物理意义的对应。
§6.2均匀平面电磁波1波动方程的均匀平面波解在真实的物理世界中没有均匀的平面波。
它需要无限的理想介质和无限的能量。
然而，远离场源的局部区域内的电磁波可被视为均匀平面波。
2.从均匀平面波的定义出发，我们可以假定电场只与同一坐标分量有关，如直角坐标系中的Z坐标。
接下来，我们首先用麦克斯韦方程证明均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电磁场分量，此时为Z分量）等于零；其次，给出了具有非零场分量的波动方程的通解，解释了波动的本质；然后推导了均匀平面波的传播特性。
第7章 正弦平面电磁波
电子科技大学
1 1 T 1 H ) Re( E He j 2t )]dt Sav [ Re( E T 0 2 2 1 H ) Re( E 2
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第三节 理想介质中的均匀平面波
平面波：波阵面为平面的电磁波（等相位面为平面）。
m x xm y ym z zm
同理，可得：
jwt D Re[ D e ] m jwt e ] H Re[ H m jwt e ] B Re[ Bm
jwt J Re[ J m e ] Re[ m e ]
4、相位速度（波速）
如图所示电磁波向+z方 向传播，从波形上可以认 为是整个波形随着时间变 化向+z方向平移。
Ex
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t1
t2 t1
2π
0
π
3π
z
相位： t kz 0
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令 t kz 0＝const
两边对时间t去导数，得：
dz dz 1 k 0 vp dt dt k
频率： 2 f f 2 1 2 周期： T T f 3、波数k、波长与波矢量 k 波数k: 长为 2 距离内包含的波长数。 2 k
2、波的频率和周期
2 2 1 波长: k f 波矢量 k ：表征波传播特性的矢量 2 k k k 式中：k即为波数 k k 即为表示波传播方向的单位矢量。
2
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考虑一种简单情况，即电磁波电场沿x方向，波只沿z 方向传播，则由均匀平面波性质，知 E 只随z坐标变化。 则方程可以简化为：
电磁场与电磁波(第7章)1
ez Ex H x H y H z e y z (ex t e y t ez t ) z 0
由此可得
H x H z t t 0
H
x
H y Ex z t 和 H 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取
定义
无损耗介质是一种理想情况，在这里指电导率
0
平面波中的电场复数表示形式
E ex Ex ex E0 exp[i(t kz)]＝ex E0 exp[i(t kz / )]
理解
电场矢量的方向是 x 方向，电磁波则是沿 z 方向传播
波速为
v / k 1/ k / v
0
及
Jc 0
H E B t t B 0或 H 0 H E t
一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： D 0
( H ) ( D) ( E ) t t
7.3 平面电磁波在有损耗介质中的传播
定义
实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传 播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电 导率 0 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。 有损耗介质中出现的传导 电流会使在其中传播的电 磁波发生能量损耗，从而 导致波的幅值随着传播距 离的增大而下降。研究表 明，传播过程中幅值下降 的同时，波的相位也会发 生变化，致使整个传输波 的形状发生畸变，如图所 示 平面波在有耗介质中的传播
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
E i H H Jc i E E i E
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即得:
x
y
z
ax
Ex t
ay
E y t
az
Ez t
Hx Hy Hz
亦即:
ay
H x z
ax
H y z
ax
Ex t
ay
Ey t
az
Ez t
则:
H y Ex
1
z t
H x Ey
2
z t
Ez 0
3
t
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电磁场理论
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第七章
同理:将(7-2-1)代入麦氏第二方程:得
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电磁场理论
6
第七章
∵ 均 匀 平面波 波前平面场量振幅处处相等。 E(r,t1 ) axEx(z1,t1) ayEy (z1,t1) azEz (z1,t1)
故均匀平面波场量只是一维坐标变量 z 与时间 t
的函数。即
E (r,t) E(z,t)
(7-2-1)
H (r,t) H (z,t)
0
v 为电磁波动的速度
(7-2-3)
2H y (z,t) z 2
1 v2
2H y (z,t) t 2
0
15
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电磁场理论
11
ห้องสมุดไป่ตู้
第七章
滞后
1) 齐次波动方程解的形式： 位超前位
Ex (z,t) f1(t z v) f2 (t z v) Ex (z,t) Ex (z,t)
H y (z,t) f3(t z v) f4 (t z v) H y (z,t) H y (z,t)
•
•
2 H (r) ( j)2 H (r) 0
时谐场齐次波动方程
2
• E(r )
k2
• E(r )
0
2
• H
(r )
k2
• H
(r )
0
(7-1-3)
其中: k 2 2 2
v2
时间变量已消去.
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电磁场理论
5
第七章
7.2 理想介质中的均匀平面波
一、理想介质中的均匀平面波： 0 电、磁
10 利用方程 5 有： 对无界空间
2) 物理意义：f1(t z v)、 f3(t z v) 表示沿 z 方向
凡是能向前 传播的波（入射波） Ex , H y 。
传播的波都
为行波。 f2 (t z v)、 f4 (t z v)表示沿 z 方向
传播的波（反射波） Ex , H y 。
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电磁场理论
12
第七章
3) Ex ,Hy 之间的关系：
(r
,t)
2H (r t 2
,
t)
J
(r
,
t)
(7-1-1)
其中, E.H 一般情况下,有三个分量,且每个分量都可以 是三 维坐 标变量 r及时间 t 的函数. 即
E axEx(x, y, z,t) ayEy (x, y, z,t) azEz (x, y, z,t)
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2
第七章
二、齐次波动方程：
若考虑无源理想介质--------自由空间,则
J 0 0 0
故非齐次波动方程(7-1-1)
齐次波动方程
2
E(r ,
t
2
H
(r ,
) 2 t)
E(r , t) 2Ht2(r, t t2
0 )
0
(7-1-2)
5
8
其中: E axEx(x, y, z,t) ayEy(x, y, z,t) azEz(x, y, z,t)
t)
ay
Ey
(z,
t)
az Ez
(z,
t)
三个标量方程
H(z,t) axHx(z,t) ayHy(z,t) azHz(z,t)
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8
第七章
4、Ex , Ey , Ez , H x , H y , H z
将(77-2-a1)x代入ay麦氏a第z 一方程:
并非 H完 全 相D互独立E：
H axHx(x, y, z,t) ayHy(x, y, z,t) azHz(x, y, z,t)
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电磁场理论
3
第七章
三、齐次亥姆霍兹方程
若时变电 磁 场为时谐 (变)电磁场：则
E(r
,t)
Em ( Re
rE)mc(ors)e(jte
e )
e jt
• Re E
m
(r )e
1、均匀平面波： 波前平面场量振幅处处相等。
2、沿 z 轴方向传播的均匀平面波：
E(r,t) axEx(x, y, z,t) ayEy(x, y, z,t) azEz (x, y, z,t)
设时刻 t t1 ，波前面位于
z z1
，则
E(r,t1) axEx (x, y, z1,t1) ayEy (x, y, z1,t1) azEz (x, y, z1,t1)
Ey H x
z
t
4
Ex H y
5
z
t
H z 0
6
13
分析: t
1) 由 3 、 6 若不计对时间 t 为恒定的分量,则:
Ez (z,t) 0 Hz (z,t) 0
纵向
其物理意义为：电场、磁场均无平行传播方向的分量。
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横电磁波
10
9
第七章
2) 由 1 、 5 发现： Ex 只与 H y 相关。非独立
9
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电磁场理论
7
第七章
3、均匀平面波（ z 方向传播）的齐次波动方程：
将 (7-2-1) 代入 (7-1-2) 有：
2E(z,t) z 2
1 v2
2E(z,t) t 2
0
3
(7-2-2)
2H (z,t) z 2
1 v2
2H (z,t) t 2
0
11
其中：
E(
z,
t)
ax
Ex
(z,
第七章
第七章 平面电磁波
电磁波：时变电磁场在媒质中以速度
v
1
向远处传播。
平面电磁波：波前面（等相位面）是
平面的波。
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1
第七章
7.1 波动方程
一、非齐次波动方程：
在2E均(匀r,、t)线 性、各2E向t(r2同,t性) 媒质中J(，rt,由t)麦氏1方程(导r,出t)：
2H
3)
由
2
、4
发现： E y只与 H x相关。非独立
沿 z 方向传播的
5、设 E (r,t) axEx (z,t) 均匀平面波
H(r,t) ayH y (z,t) 电场只有 x 分量，
则齐次波动方程（7-2-2）为： 8 磁场只有 y 分量。
2 Ex (z, t) z 2
1 v2
2 Ex (z, t) t 2
jt
复有 效值 矢量
Re
2
• E(r )e
jt
简记为:
E(r , t)
2
• E(r ,
t)e
jt
• E(r )e
jt
同理:
H (r,t)
2
• H
(r ,
t
)e
jt
• H
(r )e
jt
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电磁场理论
4
第七章
则齐次波动方程的场量以复数形式代入时为: 3
•
•
2 E(r) ( j)2 E(r) 0