人教版高中数学必修二空间中直线与直线之间的位置关系 (1)
o
o
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b b′
a′ ″
O
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角 b b1 a a1 O θ O a
α
α
2、定义由等角定理解释：
为了简便，在求作异面直线所成的角 时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线 段的端点,线段的中点等)
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小 D1 C1 关系如何? 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180O A 那么这两个角相等或互补． 问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？ A1 D B1 C
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
否 平行、相交、异面
5、求异面直线所成的角的基本法则：
作平行线，构三角形
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3
3
, AD = 2
3
, AE = 2
H
G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
异面直线所成的角 异面直线的求法:
判定定理：过平面内一点与平面外一点 的直线，和这个平面内不经过 A 该点的直线是异面直线。
a
B
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
相交直线 平行直线 异面直线
练习1
A H
E
D G B F C
如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
求 (1)AE与BC所成的角？ (2)BE与CG所成的角？
(3)FO与BD所成的角？
(4)EC与BD所成的角？
解: (2)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
o o 又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
(3)连接FH， ∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o ∵HD = EA，EA = FB ∴HD = FB
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
平行直线
b
平行直线 （无公共点）
o
a b
相交直线 （有一个公共点）
新课探究
探究一
观察下列图形，说说空间中两条 直线的位置关系
e
螺 母
a
f
b c d
立交桥
思考：存在不存在一个平面同时过 上面两条直线？
一、空间两条直线的位置关系
a
a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
它们可能异面，可能相交，也可能平行。
3）异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. 如图：
b
a
(1)
A
a
a b
(3)
b
(2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4）异面直线的判定方法：
①不同在任何一个平面内。 ②既不相交也不平行的直线。
∥ ∥ ∥
H E
O
G F
D
A B
C
(4)EC与BD所成的角？
H E F
G
D
A B
C M
如图，空间四边形ABCD中,对角线 AC=10,BD=6,点M,N分别是AB,CD的中点, 且MN=7. 求:异面直线AC和BD所成角及其余弦值分别 为多少. A
例3
M
.G
D
N C
B
课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2
公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
二.空间直线的平行关系：
例1.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形， E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF， FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。
证明：连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理，FG ∥BD且FG = BD 2 ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任
一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线
所成的角(或夹角).
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
如图所示：正方体的棱所在的直线中， 直线A1B异面的有哪些？ D1 A1 D B1 C B C1
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
A
练习2
在长方体ABCD-EFGH中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC ② BD ③BH
H E D A B F
G
和BH是 和FH是 和DC是
相交 平行 异面
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 用平面来衬托
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理： 那么这两个角相等或互补． 平移，转化为相交直线所成的角 一作(找)二证三求
1.异面直线的定义
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做 异面直线。
1)异面直线既不平行也不相交 2)定义中“任何”是指两条直 线永远不具备确定平面的条件， 即是不可能找到一个平面同时 包含这两条直线；
分别在两个平面内的两条直线就叫异面直线,对吗？
a , b ,
b a
M
b
a
b
3、特例：
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两 条异面直线互相垂直。 O α 相交垂直（有垂足） 垂直 异面垂直（无垂足） α
O
D1
C1
B1
(1)如图，观察长方体 ABCD-A1B1C1D1，找出与棱AB 所在直线异面且互相垂直的棱. CC1、B1C1、DD1、A1D1
A1
D A
C B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？ 如果两平行线中一条与某条直线垂直， 那么另一条也与这条直线垂直。
直线 直线 直线
C
(2).与 体对角线BH 所在直线异面的棱共有 6 条?
分别是 ：CG、GF、FE、EA、AD、DC
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线
互相平行．
c
a
a
a b
b
c
d
e
c
α
则 a∥ c 。 若a∥b，b∥c，
a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …
三.异面直线所成的角
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E D F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
C B
A
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2
提示：有．
2．观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
问题 1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行． 问题 2：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等．
两直线位置关系的判定
[例 1] 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判 断下列直线的位置关系：
[导入新知]
1．异面直线 (1)定义：不同在 任何一个平面内 的两条直线． (2)异面直线的画法Biblioteka 2．空间两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行
异面直线
特点
同一平面内，有且只有 一公个共点 同一平面内， 没公有共点
不同在 任何一个平面内， 没公有共 点
[提出问题]
平行公理及等角定理
1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线互相平行．
2.探究空间中四边形的形状问题
[典例] 在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB， BC，CD，DA 的中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[随堂即时演练]
1．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面
的棱的条数是
()
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
(1) 直 线 A1B 与 直 线 D1C 的 位 置 关 系 是 ________；
(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
人教课标版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教案(1)-新版
2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2)60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D''∥A B''，AB∥A B''，那么直线AB与C D''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾． ∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c b a ,,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确,故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2)45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、． 能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】 60或30．探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C. 【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算． 【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ， 因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，11112OC A C ==，11322OE BD ===，1C E ===，所以2221111cos 2OC OE C E C OE OC OE +-∠===⋅，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角． 【答案】55。
高中数学人教版必修二：2.空间中直线与直线 之间的位置关系 课件
∴EH ∥BD且EH =
1 2
BD
E
同理，FG ∥BD且FG =
1Leabharlann 2 BD∴EH ∥FG且EH =FG
B
∴EFGH是一个平行四边形
H
D G
F
C
立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的
一种方法。 变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？
定理：空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
线段A1B所在直线与线CC段1所在 直线的位置关系如何？
D1
A1
C1 B1
D A
C B
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
D1 A1
C1 B1
D A
C B
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
3、已知正方体的棱长为a , M为AB的中 点,N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成
角的余弦值.
解：如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G，连BG. 有BG∥ C1N D1
则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中
BG=BE= 5 a,， EG = 6 a
2
空间中直线与直线之间的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
数学人教A版必修二2.空间中直线与直线之间的位置关系课件
问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补”。
在空间中,结论是否仍然成立呢?
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
F
E
4. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。
问题：在平面上,两条直线相交成4个角，我 们把其中不大于90°的角称为它们的夹角。
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a与b是异面直线
M
ab
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
异面直线直观图的画法
用平面衬托
m
m
l
l
m
l
m
l
2、空间两直线的位置关系：
(1) 从公共点的个数来看，可分为： ①有一个公共点：相交直线 ②没有公共点 平行直线
练习
如图，已知 AB长 CA D 方 BC体 D中， AB2 3,AD 2 3,AA2.
(1)BC和AC所成的角是多少度？ （2）AA和BC所成的角是多少度？
答案：
（1）45° （2）60°
如图，在四面体ABCD中，E，F分
别是棱AD，BC上的点,且 AE BF 1 已知AB=CD=3，EF 3 ,求E异D面直FC线A2B和
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画 呢?
b′
a′
O
平移法
a与b
5. 异面直线所成的角的定义
m
m
人教版高中数学必修二 空间中直线与直线之间的位置关系公开课优质教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. （四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 （五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。
人教新课标A版必修2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(共20张PPT)
巩固训练
练一练 异面直线的定义的理解
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交， 也可能平行。
b
a
a与b是异面直线
M
a
b
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
新课讲授
空间中直线与直线的位置关系
如图，已知两条异面直线a，b，
经过空间任一点O作直线a'∥a， b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a，b
H
G
E
22
3
D
2
3
A
(2) ∵BF∥AE
F C
B
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°.
达标训练
练一练 空间中点、线、面的位置关系
1．空间两直线平行是指它们（B ）
A．无交点
B．共面且无交点
C．和同一条直线垂直 D．以上都不对
2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角
的传递性
思考：初中学过的结论“在同一平面内垂直于 同一直线的两条直线平行”在空间中还成立吗？
不成立
新课讲授
等角定理
思考:在平面几何中有“如果一个角的两边和另 D' 一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或 A'
C' B'
互补”。在空间中,该结论是否仍然成立呢?
D
C
EA
B
在空间中，如果一个角的两边和
面直线BA' 与CC'的夹角,所以在正方体中异面直线BA' 与CC'的夹角为45° 。
人教A版高中数学必修2空间中直线与直线之间的位置关系-课件
a 例6：（P56）已知指数函数 f (x) a（x a ＞0且
≠1）的图象过点（3，π），求 f(0),f(1),f(3)的 值 .
解 ： 因 为 指 数 函 数 y = a x 的 图 像 经 过 点 （ 3 ， ） ， 所 以 f (3) .
1
x
即 a 3,解 得 a 3 ,于 是 f(x )3 .
所 以 ， f( 0 )0 1 ， f( 1 )1 3 3， f( 3 ) 1 1 .
问：你能说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例7、比较下列各组中两个值的大小：
① 1 .7 2.5 1 . 7 3 ② 0.80.1 0.80.2
同底的
单调法：构造 函数，利用函 数的单调性
2x … 8 4
2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
y 3x 与
y
(
1 3
)
x
y 3－x
x … -2.5 -2 -1 -0.5 0
3 x … 0.06 0.1 0.3 0.6 1 3 x … 15.6 9 3 1.7 1
0.5 1 2 2.5 … 1.7 3 9 15.6 … 0.6 0.3 0.1 0.06 …
当x＞0时，y＞1 当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时， 0＜y＜1 当x＜0时， y＞1
布置作业
* 习题2.1 A组第5、6、9题。 * 做好复习与预习工作。
2、变形训练：已知下列不等式 , 比较 m和 n
的大小 : (l) 2 m 〈 2 n (2) 0.2m 〉 0.2 n
(3) a m〈 a n （ a＞0）
3、P58 第2、3小题
3.指数函数的图象和性质
人教版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件
思考：当l1Ìα,l2Ìβ能不能就说一定是异面直线
呢？
两条相交直线 确定一个平面
5/27/2020
注意：只有不在 任何一个平面内的两 条直线才叫做异面直 线.
为了表示异面直线不共面的特点，作图时， 通常用一个或两个平面衬托．
5/27/2020
空间中两条直线的位置关系：
相交直线：同 一平面内，有 且只有一个公 共点
5/27/2020
如图：已知正方体ABCD-A'B'C'D' (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ (2)直线BA'和CC'的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?
解：(3)直线AB,BC,CD,DA, A'B',B'C',C'D', D'A',分别与直线AA' 垂直.
5/27/2020
平行直线：同 一平面内，没 有公共点
异面直线：不同 在任何一个平面 内，没有公共点
相交直线和平行直线属于共面直线
5/27/2020
如图是一个正方体的展开图，如果将它
还原为正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条
线
3
段所在直线是异面直线的有
对D-A'B'C'D' 中，BB'∥AA',DD'∥AA',那么BB'与DD'平行 吗？
B`C`=AD= 2 3B,B'= AA'=2, 所以BC'= 4，∠B'BC'= 60° 因此,异面直线AA'和BC'所成 的角是60°
高中数学人教A版必修二空间中直线与直线之间的位置关系
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a、b是两条异面直线， 在空间中 任选 一点O， 过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
b a′ ？ OP a
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成角θ的取值范围：（0，π ]
A
H
E
D G
B
F
C
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补.
A
B
C
D
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,
那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
解：直线 a 与 c 的位置关系有三种，如图所示． 直线 a 与 c 可能平行(如图①所示)，也可能相交(如图 ②所示)，还可能异面(如图③所示).
[变式训练] 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1
中，判断下列直线的位置关系： ①直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； ②直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； ③直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； ④直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
位置关系是( )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
解析：若直线 a 和 b 共面，则由题意可知 a∥b；若 a
和 b 不共面，则由题意可知 a 与 b 是异面直线．
人教版高中数学必修二：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 PPT
一交桥
六角螺母
D
C
A
B
二(1) 异面直线的定义:
我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。 想一想:如何通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时, 通常用一个或两个平面衬托。如下图:
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1与b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角。
bb
•
a'
O
平
•O ＇
a
移
法
ab
a
b a'
•
O
假如两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。
异面直线a与b所成的角的范围:090o
强调:1)范围(0, 900] 2)与0的位置无关 ; 3)为了方便点O选取应有利于解
相交直线有几对?
平行直线有几对?
想一想:在空间中两条直线的 位置关系？
(2)空间两直线的位置关系:
(1)从公共点的数目来看,可分为:
①有且只有一个公共点——两直线相交
l1
A l2
记 作 ： l1 l2A
l1
两直线平行
l2
②没有公共点
记作：l1 //l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲,可分为:
证明： 连结BD
A
∵ EH是△ABD的中位线
∴EH ∥BD且EH = 1 BD
同理，FG
2 ∥BD且FG
=
1
BD
2
∴EH ∥FG且EH =FG
H
E
D G
B
F