补偿器选择与计算

补偿器分析本文讨论降压式Buck DC‐DC 补偿器的选择和参数计算。

1. Type II 补偿器Type II 补偿器如图 1所示：U i (s)U o (s)图 1 Type II 补偿器其传递函数为：()()()()+==-⎛⎫++ ⎪+⎝⎭21122121121.1o c i sR C U s G s C C U s sR C C sR C C(1)在设计的时候，一般>>12C C ，公式(1)可以简化为：()()+≈-+2122111.1c sR C G s sR C sR C(2)传递函数的零点为ω=211z R C ；极点为原点和ω=221p R C 。

Type II 补偿器的波特如图 2所示，当频率在ωz – ωp 之间，幅度增益近似于常数2120log R R ⎛⎫⎪⎝⎭，最大角度提升(PhaseBoost)为90o 。

图 2 Type II 补偿器波特图如果将穿越频率ωc 设定为对数坐标中的中点，即ωωω+=log log log 2z pc ，可得：ω=c(3)定义K 因子(K‐Factor)为：=K (4)由(3)和(4)，零极点ωz 、ωc 可写成：ωωωω⎧=⎪⎨⎪=⎩.c z p c K K (5)当ωω=c 时，补偿器有的相位为：()ϕω--=--111tan tan 90.o c c j K K(6)Type II 补偿器的最小相位为‐90o 。

定义相位提升(phase boost)θBoost 为：()θϕω--=--=-11190tan tan .o Boost c c j K K(7)由于存在着这样的反三角函数关系：--+=111tan tan 90.o K K(8)由(7)和(8)，可得：tan .452o Boost K θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(9)相位裕量为ϕm ，开环传递函数的相位为()vd c j ϕω，那么Boost θ为：()90.o Boost vd c m j θϕωϕ=--+(10)2. Type III 补偿器Type III 补偿器如图 3所示：U i U o (s)图 3 Type III 补偿器其传递函数为：()()()()()()()()21123122121331211.11o c i sR C s RR C U s G s C C U s sR C C sR sR C C C +++==-⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭(11)在设计的时候，一般>>12C C 。

公式(1)可以简化为：()()()()()()2112311223311.11csR C s R R C G s sR C sR C sR C +++=++ (12)传递函数的零点为1211z R C ω≈，()21231z R R C ω=+；极点为原点，1221p R C ω=，2331p R C ω=。

Type III 补偿器的波特如图 4所示，当频率在ωz1 – ωz2之间，幅度增益近似于常数2120log R R ⎛⎫⎪⎝⎭；当频率在ωp1 – ωp2之间，幅度增益近似于常数132320log R R R R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最大角度提升(Phase Boost)为180o 。

ω(rad/s)ω(rad/s)Gain(dB)Phase20log(R 2/R 1‐9090o20log(R 2/R 3图 4 Type III 补偿器波特图为了进一步简化Type III 设计，我们设定两个原（极）点频率相隔很近，即：12z z z ωωω≈=，12p p p ωωω≈=。

在这种假定下，Type III 补偿器的近似波特图为：Gain(dB)Phase20log(R 2/R 1‐90o90o20log(R 2/R 3图 5 Type III 补偿器简化波特图类似的，将穿越频率ωc 设定为对数坐标中的中点，即ωωω+=log log log 2z pc ，可得：ω=c(13)定义K 因子(K‐Factor)为：.pzK ωω=(14)由(13)和(14)，零极点ωz 、ωp 可写成：.zpc ωω⎧=⎪⎨⎪=⎩ (15)当ωω=c 时，补偿器有的相位为：()112tan 2tan 90.o c c j ϕω--=-- (16)相位提升(phase boost)θBoost 为：()11902tan 2tan o Boost c c j θϕω--=--=- (17)由(17)和(8)，可得：2tan .454o BoostK θ⎛⎫=+⎪⎝⎭(18)Type III 补偿器在ωc 处的幅度增益为：121.c c G R C ω=(19)同理，Boost θ为：()90.o Boost vd c m j θϕωϕ=--+(20)3. 如何选择补偿器i.确定开环传递函数补偿器的选择由需要控制的对象决定，这里以Buck 为例：+-V in +-v o图 6 Buck DC ‐DC 电路其小信号传递函数为：()()()()()+==⎡⎤+++++++⎣⎦22221211.in o o vd o o o o sCr V R V s G s d R r R r R r s R r C L Cr s LC (21)假设1O R r 、2O R r ，可将(21)简化为：()()22121.1in vd o sCr V G s L r C r C s s LC R +≈⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦(22)显然，Buck 传递函数有一个由输出电容和其等效串联电阻ESR 决定的零点ωvd_z ：_21.vd z Cr ω=(23)将s j ω=代入(22)的分母，()()()2_1_12__2112.vd p vd p vd p vd p oL G j j r r C R u j u ωωωωωωως⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥=-+++ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦=-+ (24)其中_vd p ω=。

(24)的幅度和相位分别为： ()()()()24210120log 10log 12.40log 1u G j u u u u ωςς⎧⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎩ (25)()112012tan .18011G o u u j u u ςϕω-⎧==⎨--⎩ (26)一般来说，__vd p vd z ωω<，则Buck 传递函数的波特图为：ω(rad/s)ω(rad/s)Gain(dB)Phase20log(V in ‐180o‐90o图 7 Buck 传递函数的波特图ii. 确定穿越频率ωc穿越频率越高，系统的响应速度越快，但是对开关噪声的衰减降低。

同时根据奈奎斯特采样定理，穿越频率ωc 必须小于开关频率ωs 的一半。

在实际设计中ωc 一般取ωs 的1/5到1/10。

iii.系统稳定条件闭环传递函数在ωc 的幅度增益为0dB ，斜率为‐20dB/dec 。

相位裕量至少45o 以上。

iv.不同条件下的补偿器选择条件A ：__2vd p vd z c s ωωωω<<<如图 7所示，Buck 传递函数在ωc 附近的幅度斜率为‐20dB/dec 。

为了让闭环传递函数的幅度斜率为‐20dB/dec ，补偿器的幅度斜率应当为0。

由图 2所示，可以采用Type II 补偿器。

条件B ：__vd p c vd z s ωωωω<<<如图 7所示，Buck 传递函数在ωc 附近的幅度斜率为‐40dB/dec 。

为了让闭环传递函数的幅度斜率为‐20dB/dec ，补偿器的幅度斜率应当为+20dB/dec 。

由图 5所示，可以采用Type III 补偿器。

条件C ：__vd p c vd z s ωωωω<<< 同条件B ，应当选用Type III 补偿器。

4. 控制电路设计流程i.确定穿越频率ωc理论上，穿越频率ωc 应小于Buck 开关频率ωs 的一半。

实际应用中，ωω<5c s 。

ii. 求解开环传递函数在穿越频率处的幅度增益()ω20log vd c G j 和相位()vd c j ϕω。

iii.确定补偿器增益补偿器的增益应为()()-20log 20log vd c PWM G j V ω+。

其中V PWM 为PWM 的最大振幅。

iv.确定开环传递函数相位裕量一般将相位裕量ϕm 至少设置为45o 。

v.计算K 值根据(9)和(10)，或者(18)和(20)，计算K 值 vi.计算电阻、电容值如果先确定一个电阻值，比如R 1，那么其他参数也可以确定了。