各拟合指数一览
结构方程模型中拟合度指标的选择与评价方法
结构方程模型中拟合度指标的选择与评价方法摘要：结构方程模型是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的关系。
在进行结构方程模型分析时，需要选择合适的拟合度指标来评价模型的拟合程度。
本文介绍了常见的拟合度指标及其评价方法，并探讨了在选择拟合度指标时需要考虑的因素。
关键词：结构方程模型；拟合度指标；评价方法；选择因素一、引言结构方程模型是一种常用的多变量统计分析方法，可以用于研究变量之间的关系。
结构方程模型可以分为两类：一类是指标式结构方程模型，另一类是路径式结构方程模型。
指标式结构方程模型又称为测量模型，它用于研究测量变量之间的关系；路径式结构方程模型用于研究变量之间的因果关系。
无论是指标式结构方程模型还是路径式结构方程模型，都需要进行模型拟合度检验。
模型拟合度指的是模型与实际数据的吻合程度，模型拟合度检验的目的是评估模型的可靠性和有效性。
本文将介绍常见的拟合度指标及其评价方法，并探讨在选择拟合度指标时需要考虑的因素。
二、常见的拟合度指标及其评价方法1.卡方检验卡方检验是最常用的结构方程模型拟合度检验方法之一。
卡方检验的原理是比较实际数据和模型预测数据之间的差异，如果差异较小，则说明模型拟合度较好。
卡方检验的统计量是卡方值，卡方值越小，说明实际数据与模型预测数据之间的差异越小，模型拟合度越好。
卡方检验的显著性水平通常设定为0.05或0.01。
如果卡方值小于设定的显著性水平，则说明模型拟合度良好。
卡方检验的缺点是它对样本量和指标个数非常敏感。
当样本量较大或指标个数较多时，卡方值往往会偏大，导致模型拟合度被低估。
因此，在使用卡方检验时，需要同时考虑其他拟合度指标。
2.均方根误差（Root Mean Square Error of Approximation，RMSEA）均方根误差是一种常用的结构方程模型拟合度指标。
均方根误差的计算方法为：$$ RMSEA =sqrt{frac{sum_{i=1}^{n}(y_i-hat{y_i})^2}{df(n-1)}} $$ 其中，$y_i$是实际数据，$hat{y_i}$是模型预测数据，$n$是样本量，$df$是自由度。
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节俭调整指数（Parsimony adjusted measures）
越接近1越好
同时受样本容量和估计的参数比率影响
奖励简约模型
（1）属于依照简约原则调整后的指数，为原来的指数乘以省俭比率；
（2）模型越简单，越不被惩罚。
（3）受样本容量同以上相对应的指标，同时受到估计参数与饱和参数值的影响
（2）在应用最小二乘法估计模型时比较差；
（3）可以用于比较嵌套模型；
（4）缺点：估计值变化很大，有时可以超出0~1的范围。
递增拟合指数IFI
相对拟合指数
>
样本容量小时一般低估
无法评估
（1）在应用最小二乘法估计模型时，优于TLI、NNFI。
（2）在最大似然估计时，在小样本和偏差大的模型估计中，容易错误惩罚简约模型，奖赏复杂模型，因此渐不常用。
SEM各拟合指标一览
指数名称
性质
拟合成功
建议值
样本容量影响
模型节俭评估
经验性评价
X2拟合优度检验（X2goodness-of-fit test）
绝对拟合指数
p>
受影响很大
无法评估
（1）样本容量很小时，容易接受劣势模型；样本容量大时，容易拒绝所有拟合很好的模型；
（2）在多个模型比较分析时非常有用；
拟合优度指数GFI
AIC（Akaikeinformation criterion）
信息标准指数
越小越好
不受影响
奖励简约模型
用于模型比较
CAIC(Consistent Akaike information criterion)
信息标准指数
越小越好
不受影响
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绝对拟合指数
<(<可接受)
受影响
可以评估
（1）基于总体差距的指数，多数学者推荐为常用拟合指数；
（2）比较敏感；
（3）惩罚复杂模型。
比较拟合指数CFI
相对拟合指数
>
不易受影响
无法评估
（1）应用不同的模型估计方法时很稳定；
（2）即使是对小样本模型拟合时表现也很好；
（3）在嵌套模型比较时很有用；
SEM各拟合指标一览
指数名称
性质
拟合成功
建议值
样本容量影响
模型节俭评估
经验性评价
X2拟合优度检验（X2goodness-of-fit test）
绝对拟合指数
p>
受影响很大
无法评估
（1）样本容量很小时，容易接受劣势模型；样本容量大时，容易拒绝所有拟合很好的模型；
（2）在多个模型比较分析时非常有用；
拟合优度指数GFI
规范拟合指数NFI
相对拟合指数
>
样本容量小时严重低估
无法评估
（1）对数据非正态和小样本容量非常敏感；
（2）不能控制自由度；
（3）受样本容量影响大，渐不使用；
Tucker-Lewis指数（TLI或NNFI）
相对拟合指数
>
样本容量小时一般低估
无法评估
（1）在最大似然估计时使用有较好稳定性，能正确对复杂模型进行惩罚，准确区分不同的模型，多数学者推荐；
（3）坚实的理论比可靠的数据更重要！
信息标准指数
越小越好
受影响
奖励简约模型
（1）用于模型比较；
（2）在样本较小时，支持简约模型；随着样本数的增大转而支持较复杂但解释力更强的模型。
指数函数曲线拟合公式
指数函数曲线拟合公式
指数函数曲线拟合公式是一种用于拟合指数函数曲线的数学公式。
指数函数是
一种常见的数学函数形式，其特点是自变量的指数部分增长或减小得十分迅速，适用于描述呈现指数增长或衰减趋势的数据。
拟合指数函数曲线的目的是找到最佳的数学公式来描述一组数据点，使得模型
与实际数据尽可能吻合。
这样可以通过拟合曲线来预测未知数据的趋势或进行数据分析。
常见的指数函数曲线拟合公式是指数函数的一般形式：
y = a * e^(bx)
其中，y表示因变量，x表示自变量，a和b是拟合参数，e表示自然对数的底。
为了得到最佳的拟合结果，可以利用最小二乘法进行拟合。
最小二乘法是一种
常用的拟合方法，通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的误差平方和来确定最佳拟合参数。
在实际应用中，可以利用数学软件或编程语言进行指数函数曲线拟合。
例如，
使用Python编程语言可以使用SciPy库中的curve_fit函数进行指数函数曲线拟合。
该函数可以根据给定的数据点和适当的初始参数估计，自动调整参数值以获得最佳的拟合结果。
总之，指数函数曲线拟合公式是一种用于拟合指数函数曲线的数学公式。
通过
拟合曲线，我们可以获得数据的趋势信息，进行未知数据的预测和数据分析。
拟合过程可以利用最小二乘法等方法进行，以获得最佳的拟合结果。
拟合函数种类
拟合函数种类中的特定函数拟合函数是数学中的一个重要概念，指的是用一个已知的函数去逼近一组离散数据点，以求得一个与这组数据点最接近的函数。
在实际应用中，拟合函数被广泛应用于数据分析、曲线拟合、模型建立等领域。
本文将详细介绍拟合函数种类中的特定函数，包括多项式拟合、指数拟合、对数拟合、幂函数拟合和三角函数拟合。
我们将依次介绍每种拟合函数的定义、用途和工作方式。
1. 多项式拟合定义：多项式拟合是指用一个多项式去逼近一组离散数据点。
多项式是由常数项和各次幂的单项式相加而成，形如：f(x)=a n x n+a n−1x n−1+...+a2x2+a1x+a0。
用途：多项式拟合广泛应用于曲线拟合和数据分析领域。
通过寻找最佳的多项式系数，可以将离散数据点之间的关系转化为连续曲线，从而更好地描述和预测数据。
工作方式：多项式拟合的工作方式通常是通过最小二乘法来确定多项式的系数。
最小二乘法是一种寻找使得拟合曲线与实际数据点之间误差平方和最小的方法。
通过最小化误差平方和，可以得到最佳的多项式系数，从而实现对数据的拟合。
2. 指数拟合定义：指数拟合是指用一个指数函数去逼近一组离散数据点。
指数函数形如：f(x)=ae bx，其中a和b为参数。
用途：指数拟合常用于描述具有指数增长或衰减趋势的数据。
例如，在生物学、物理学、经济学等领域，很多现象都符合指数规律，因此可以使用指数拟合来分析和预测这些现象。
工作方式：指数拟合通常使用非线性最小二乘法进行求解。
非线性最小二乘法是将实际数据点代入到目标函数中，并通过调整参数a和b来使得目标函数与实际数据点之间的误差平方和最小化。
通过迭代计算，可以得到最佳的参数值，从而实现对数据的拟合。
3. 对数拟合定义：对数拟合是指用一个对数函数去逼近一组离散数据点。
对数函数形如：f(x)=alog(bx)，其中a和b为参数。
用途：对数拟合常用于描述具有对数增长或衰减趋势的数据。
在许多领域中，例如生物学、经济学和物理学等，很多现象都符合对数规律，因此可以使用对数拟合来分析和预测这些现象。
验证性因素分析的几个指标
简约拟合指数的应用场景
模型比较
通过比较不同模型的简约拟合指数，可以判断哪个模型更符合数 据。
模型修正
如果发现简约拟合指数不佳，可以对模型进行修正，再次进行拟合。
模型选择
在多个备选模型中，可以根据简约拟合指数的大小选择最优模型。
简约拟合指数的优缺点
优点
简约拟合指数能够综合考虑模型的复 杂度和拟合效果，适用于多种模型比 较和选择。
VS
缺点
对样本大小较为敏感，样本量较小时可能 导致误判；对极端数据较为敏感，极端数 据可能导致误判；不能完全确定哪个模型 是最好的选择，需要结合其他指标和理论 依据进行综合判断。
PART 05
绝对拟合指数的介绍
常用的绝对拟合指数
01
02
03
04
05
卡方值（χ²）
拟合优度指数 （GFI）
调整拟合优度指 比较拟合指数
考虑模型复杂度与样本大小的拟合指数，值越小表示拟合越好。
贝叶斯信息准则（BIC）
考虑模型复杂度和样本大小的拟合指数，值越小表示拟合越好。
PART 03
拟合指数的介绍
常用的拟合指数
χ²统计量（Chi-Square Statistic）：衡量模型与数据 的拟合程度，值越小表示拟合越好。
输标02入题
比较拟合指数（Comparative Fit Index，CFI）：用 于比较观测模型与基准模型，值越接近1表示拟合越 好。
验证性因素分析是一种结构方程模型（SEM）的分析方法，用于检验理论模型中各 个潜在变量之间的关系是否与实际数据一致。
它通过拟合指数和拟合优度统计量来评估模型与数据的匹配程度，从而判断理论模 型的合理性。
验证性因素分析不仅关注变量之间的关系，还关注潜在变量的测量模型，即观察变 量与潜在变量之间的关系。
结构方程SEM拟合指标
样本容量小时一般低估
无法评估
（1）在应用最小二乘法估计模型时，优于TLI、NNFI。
（2）在最似然估计时，在小样本和偏差大的模型估计中，容易错误惩罚简约模型，奖赏复杂模型，因此渐不常用。
PNFI,PCFI,PGFI
节俭调整指数（Parsimony adjusted measures）
越接近1越好
（2）估计参数相对与数据点总数越少或自由度越大，AGFI越接近GFI。
近似误差的均方根RMSEA
绝对拟合指数
<0.05(<0.08可接受)
受影响
可以评估
（1）基于总体差距的指数，多数学者推荐为常用拟合指数；
（2）比较敏感；
（3）惩罚复杂模型。
比较拟合指数CFI
相对拟合指数
>0.90
不易受影响
无法评估
奖励简约模型
用于模型比较
CAIC(Consistent Akaike information criterion)
信息标准指数
越小越好
不受影响
奖励简约模型
用于模型比较
ECVI(Expected cross-validation index)
信息标准指数
越小越好
受影响
奖励简约模型
（1）用于模型比较；
（2）在样本较小时，支持简约模型；随着样本数的增大转而支持较复杂但解释力更强的模型。
拟合优度指数GFI
绝对拟合指数
>0.90
受影响
无法评估
（1）在最大似然和最小二乘法中比较稳定；
（2）在CFA中，当factor loading和样本容量较低时，容易接受模型；参数估计值比较低时，容易接受模型；
验证性因素分析中评价模型与数据拟合程度时常用的拟合指标
验证性因素分析中评价模型与数据拟合程度时常用的拟合指标
(1)χ²(chi-square)检验。
这一指标容易受样本容量的影响，样本量大时，χ²容易达到显著水平，几乎拒绝所有拟合较好的模型。
一般用χ²/df作为替代性检验指数。
χ²/df＜3表示模型整体拟合度较好，χ²/df＜5表示模型整体可以接受，χ²/df＞10表示整体模型非常差。
（2）RMSEA。
若RMSEA取值小于等于0.05，表示数据与定义模型拟合较好；RMSEA取值小于等于0.08时，表示模型与数据的拟合程度可以接受。
(3)其他拟合指数。
常用的有
“拟合良好性指标” (goodness of fit index，简称GFI)、
“调整拟合良好性指标”(adjusted goodness of fit index，简称AGFI)、
“常规拟合指标”(normal of fit index，简称NFI)、
“非常规拟合指标”(non-normal of fit index，简称NNFI)、
“比较拟合指标”(comparative fit index，简称CFI)、
“标准化残差均方根” (standardized root mean square residual，简称SRMR)、
“省俭性指标” (parsimony normed fit index，简称PNFI)。
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近似误差的均方根RMSEA
绝对拟合指数
<0.05(<0.08可接受)
受影响
可以评估
（1）基于总体差距的指数，多数学者推荐为常用拟合指数；
（2）比较敏感；
（3）惩罚复杂模型。
比较拟合指数CFI
相对拟合指数
>0.90
不易受影响
无法评估
拟合优度指数GFI
绝对拟合指数
>0.90
受影响Leabharlann 无法评估（1）在最大似然和最小二乘法中比较稳定；
（2）在CFA中，当factor loading和样本容量较低时，容易接受模型；参数估计值比较低时，容易接受模型；
调整的拟合优度指数AGFI
绝对拟合指数
>0.90
受影响
可以评估
（1）可以按照模型中参数估计总数的数量对GFI进行调整；
相对拟合指数
>0.90
样本容量小时一般低估
无法评估
（1）在最大似然估计时使用有较好稳定性，能正确对复杂模型进行惩罚，准确区分不同的模型，多数学者推荐；
（2）在应用最小二乘法估计模型时比较差；
（3）可以用于比较嵌套模型；
（4）缺点：估计值变化很大，有时可以超出0~1的范围。
递增拟合指数IFI
相对拟合指数
个人
建议：
（1）AGFI is not enough,最好综合各种指标判断,特别在CFA中，NNFI(TLI)更重要一些。
（2）相对比较可靠的指标：NNFI, CFI, AGFI, RMSEA
（3）坚实的理论比可靠的数据更重要！
同时受样本容量和估计的参数比率影响
奖励简约模型
（1）属于依照简约原则调整后的指数，为原来的指数乘以省俭比率；
（2）模型越简单，越不被惩罚。
（3）受样本容量同以上相对应的指标，同时受到估计参数与饱和参数值的影响
AIC（Akaikeinformation criterion）
信息标准指数
越小越好
不受影响
SEM各拟合指标一览
指数名称
性质
拟合成功
建议值
样本容量影响
模型节俭评估
经验性评价
X2拟合优度检验（X2goodness-of-fit test）
绝对拟合指数
p>0.05
受影响很大
无法评估
（1）样本容量很小时，容易接受劣势模型；样本容量大时，容易拒绝所有拟合很好的模型；
（2）在多个模型比较分析时非常有用；
奖励简约模型
用于模型比较
CAIC(Consistent Akaike information criterion)
信息标准指数
越小越好
不受影响
奖励简约模型
用于模型比较
ECVI(Expected cross-validation index)
信息标准指数
越小越好
受影响
奖励简约模型
（1）用于模型比较；
（2）在样本较小时，支持简约模型；随着样本数的增大转而支持较复杂但解释力更强的模型。
>0.90
样本容量小时一般低估
无法评估
（1）在应用最小二乘法估计模型时，优于TLI、NNFI。
（2）在最大似然估计时，在小样本和偏差大的模型估计中，容易错误惩罚简约模型，奖赏复杂模型，因此渐不常用。
PNFI,PCFI,PGFI
节俭调整指数（Parsimony adjusted measures）
越接近1越好
（1）应用不同的模型估计方法时很稳定；
（2）即使是对小样本模型拟合时表现也很好；
（3）在嵌套模型比较时很有用；
规范拟合指数NFI
相对拟合指数
>0.90
样本容量小时严重低估
无法评估
（1）对数据非正态和小样本容量非常敏感；
（2）不能控制自由度；
（3）受样本容量影响大，渐不使用；
Tucker-Lewis指数（TLI或NNFI）